§9.6

雙曲線第九章

平面解析幾何基礎知識

自主學習課時作業題型分類深度剖析內容索引基礎知識自主學習1.雙曲線定義平面內與兩個定點F1，F2的

等于常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做

，兩焦點間的距離叫做

.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數且a>0，c>0.(1)當

時，P點的軌跡是雙曲線；(2)當

時，P點的軌跡是兩條射線；(3)當

時，P點不存在.知識梳理距離的差的絕對值雙曲線的焦點雙曲線的焦距2a<|F1F2|2a=|F1F2|2a>|F1F2|2.雙曲線的標準方程和幾何性質標準方程－

＝1(a>0，b>0)－

＝1(a>0，b>0)圖形性質范圍_________________________________________對稱性對稱軸：

對稱中心：_______________頂點A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線_____________________離心率e＝

，e∈

，其中c＝___________________________實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝

，線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝

；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長a，b，c的關系c2＝

(c>a>0，c>b>0)x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a坐標軸原點(1，＋∞)2a2ba2＋b2巧設雙曲線方程(1)與雙曲線

＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為

＝t(t≠0).(2)過已知兩個點的雙曲線方程可設為

＝1(mn<0)【知識拓展】題組一思考辨析1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內到點F1(0,4)，F2(0，－4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線.(

)(2)方程

＝1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線.(

)(3)雙曲線方程

＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是

＝0，即

＝0.(

)基礎自測×123456√×(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于

.(

)(5)若雙曲線

＝1(a>0，b>0)與

＝1(a>0，b>0)的離心率分別是e1，e2，則

＝1(此條件中兩條雙曲線稱為共軛雙曲線).(

)√√123456解析

由題意知焦點到其漸近線的距離等于實軸長，雙曲線的漸近線方程為

＝0，即bx±ay＝0，∴2a＝

＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝

＝5，∴e＝

.題組二教材改編答案解析2.[P61T1]若雙曲線

＝1(a>0，b>0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為A. B.5C. D.2√1234563.[P62A組T6]經過點A(3，－1)，且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線方程為________.解析答案解析

設雙曲線的方程為

＝±1(a>0)，把點A(3，－1)代入，得a2＝8(舍負)，故所求方程為

＝1.1234564.(2016·全國Ⅰ)已知方程

＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是A.(－1，3) B.(－1，

)C.(0，3) D.(0，

)答案√題組三易錯自糾解析

∵方程

＝1表示雙曲線，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，由雙曲線性質，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1<n<3，故選A.解析123456解析答案5.若雙曲線

＝1(a>0，b>0)的一條漸近線經過點(3，－4)，則此雙曲線的離心率為√即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，1234566.已知雙曲線過點(4，

)，且漸近線方程為y＝±x，則該雙曲線的標準方程為_________.解析答案123456題型分類深度剖析命題點1利用定義求軌跡方程典例(2018·大連調研)已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為________________.題型一雙曲線的定義及標準方程多維探究解析答案幾何畫板展示解析

如圖所示，設動圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B.根據兩圓外切的條件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因為|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以點M到兩定點C2，C1的距離的差是常數且小于|C1C2|＝6.又根據雙曲線的定義，得動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M與C2的距離大，與C1的距離小)，其中a＝1，c＝3，則b2＝8.故點M的軌跡方程為x2－

＝1(x≤－1).命題點2利用待定系數法求雙曲線方程典例

根據下列條件，求雙曲線的標準方程：(1)虛軸長為12，離心率為

；解答(2)焦距為26，且經過點M(0，12)；解答解

∵雙曲線經過點M(0,12)，∴M(0,12)為雙曲線的一個頂點，故焦點在y軸上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.∴雙曲線的標準方程為

＝1.解答命題點3利用定義解決焦點三角形問題典例

已知F1，F2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝___.解析

∵由雙曲線的定義有解析答案1.本例中，若將條件“|PF1|＝2|PF2|”改為“∠F1PF2＝60°”，則△F1PF2的面積是多少？引申探究解答解

不妨設點P在雙曲線的右支上，在△F1PF2中，由余弦定理，得2.本例中，若將條件“”改為“

＝0”，則△F1PF2的面積是多少？解答解

不妨設點P在雙曲線的右支上，∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，(1)利用雙曲線的定義判定平面內動點與兩定點的軌跡是否為雙曲線，進而根據要求可求出雙曲線方程.(2)在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經常結合|PF1－PF2|＝2a，運用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯系.(3)利用待定系數法求雙曲線方程要先定形，再定量，如果已知雙曲線的漸近線方程，可設有公共漸近線的雙曲線方程為

＝λ(λ≠0)，再由條件求出λ的值即可.思維升華跟蹤訓練(1)(2018·沈陽調研)設橢圓C1的離心率為

，焦點在x軸上且長軸長為26，若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標準方程為_________.解析答案解析

由題意知橢圓C1的焦點坐標為F1(－5,0)，F2(5，0)，設曲線C2上的一點P，則||PF1|－|PF2||＝8.由雙曲線的定義知，a＝4，b＝3.(2)(2016·天津)已知雙曲線

＝1(b>0)，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為解析答案√典例(1)已知F1，F2是雙曲線C：

＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，P是C上一點，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小內角的大小為30°，則雙曲線C的漸近線方程是解析題型二雙曲線的幾何性質師生共研答案√解析

由題意，不妨設|PF1|>|PF2|，則根據雙曲線的定義得，|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，而c>a，所以有|PF2|<|F1F2|，所以∠PF1F2＝30°，所以(2a)2＝(2c)2＋(4a)2－2·2c·4acos30°，得c＝

a，所以b＝所以雙曲線的漸近線方程為(2)(2016·山東)已知雙曲線E：

＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|＝3|BC|，則E的離心率是____.答案解析2雙曲線的幾何性質中重點是漸近線方程和離心率，在雙曲線

＝1(a>0，b>0)中，離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k＝±滿足關系式e2＝1＋k2.思維升華跟蹤訓練(2016·全國Ⅱ)已知F1，F2是雙曲線E：

＝1的左、右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝

，則E的離心率為解析答案√典例(2018·福州模擬)已知直線y＝kx－1和雙曲線x2－y2＝1的右支交于不同兩點，則k的取值范圍是________.解析題型三直線與雙曲線的綜合問題師生共研答案解析

由直線y＝kx－1和雙曲線x2－y2＝1聯立方程組，消y得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，因為該方程有兩個不等且都大于1的根，(1)研究直線與雙曲線位置關系問題的通法：將直線方程代入雙曲線方程，消元，得關于x或y的一元二次方程.當二次項系數等于0時，直線與雙曲線相交于某支上一點，這時直線平行于一條漸近線；當二次項系數不等于0時，用判別式Δ來判定.(2)用“點差法”可以解決弦中點和弦斜率的關系問題，但需要檢驗.思維升華跟蹤訓練(2017·貴州貴陽第一中學月考)已知雙曲線

＝1上存在兩點P，Q關于直線y＝x＋b對稱，且PQ的中點M在拋物線y2＝9x上，則實數b的值為解析答案A.0或－10 B.0或－2C.－2 D.－10√解析

因為點P，Q關于直線y＝x＋b對稱，所以PQ的垂直平分線為y＝x＋b，所以直線PQ的斜率為－1.設直線PQ的方程為y＝－x＋m，所以xP＋xQ＝－4m，所以xM＝－2m，所以M(－2m,3m).因為PQ的中點M在拋物線y2＝9x上，所以9m2＝9(－2m)，解得m＝0或m＝－2，又PQ的中點M也在直線y＝x＋b上，得b＝5m，∴b＝0或－10，故選A.典例

若直線y＝kx＋2與曲線x＝

交于不同的兩點，那么k的取值范圍是直線與圓錐曲線的交點現場糾錯糾錯心得現場糾錯錯解展示錯解展示：由直線y＝kx＋2與曲線x2－y2＝6相切，得x2－(kx＋2)2＝6，Δ＝16k2－4(1－k2)(－10)＝0，解得k＝±，所以k的取值范圍是錯誤答案

A現場糾錯解析

曲線x＝

表示焦點在x軸上的雙曲線的右支，由直線y＝kx＋2與雙曲線方程聯立得消去y，得(1－k2)x2－4kx－10＝0.由直線與雙曲線右支交于不同兩點，故選D.答案

D糾錯心得

(1)“判別式Δ≥0”是判斷直線與圓錐曲線是否有公共點的通用方法.(2)直線與圓錐曲線的交點問題往往需考慮圓錐曲線的幾何性質，數形結合求解.課時作業1.(2018·新余摸底)雙曲線

＝1(a≠0)的漸近線方程為基礎保分練12345678910111213141516解析

根據雙曲線的漸近線方程知，y＝±x＝±2x，故選A.解析答案√2.(2017·山西省四校聯考)已知雙曲線C：

＝1(a>0，b>0)，右焦點F到漸近線的距離為2，點F到原點的距離為3，則雙曲線C的離心率e為答案12345678910111213141516解析√12345678910111213141516解析

∵右焦點F到漸近線的距離為2，3.(2017·河南新鄉二模)已知雙曲線C：

＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，點B是虛軸的一個端點，線段BF與雙曲線C的右支交于點A，若

且

＝4，則雙曲線C的方程為答案12345678910111213141516√解析12345678910111213141516由①②可得，a2＝4，b2＝6，A.32B.16C.84D.44.(2017·福建龍巖二模)已知離心率為

的雙曲線C：

＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，M是雙曲線C的一條漸近線上的點，且OM⊥MF2，O為坐標原點，若

＝16，則雙曲線的實軸長是解析答案12345678910111213141516√123456789101112131415165.(2018·開封模擬)已知l是雙曲線C：

＝1的一條漸近線，P是l上的一點，F1，F2是C的兩個焦點，若

＝0，則P到x軸的距離為解析答案12345678910111213141516√6.(2018·武漢調研)過雙曲線

＝1(a>0，b>0)的右焦點與對稱軸垂直的直線與漸近線交于A，B兩點，若△OAB的面積為

，則雙曲線的離心率為解析答案12345678910111213141516√解析答案123456789101112131415167.過雙曲線C：

＝1(a>0，b>0)的右頂點作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于點A.若以C的右焦點為圓心、4為半徑的圓經過A，O兩點(O為坐標原點)，則雙曲線C的方程為√12345678910111213141516由題意知右焦點到原點的距離為c＝4，答案123456789101112131415168.若雙曲線

＝1(a>0，b>0)上存在一點P滿足以|OP|為邊長的正方形的面積等于2ab(其中O為坐標原點)，則雙曲線的離心率的取值范圍是解析√解析

由條件，得|OP|2＝2ab，又P為雙曲線上一點，從而|OP|≥a，解析9.(2016·北京)已知雙曲線

＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線為2x＋y＝0，一個焦點為(，0)，則a＝____；b＝____.12345678910111213141516答案1210.設動圓C與兩圓C1：(x＋

)2＋y2＝4，C2：(x－

)2＋y2＝4中的一個內切，另一個外切，則動圓圓心C的軌跡方程為_________.解析12345678910111213141516答案解析

設圓C的圓心C的坐標為(x，y)，半徑為r，由題設知r>2，11.(2018·南昌調研)設直線x－3y＋m＝0(m≠0)與雙曲線

＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點A，B.若點P(m,0)滿足|PA|＝|PB|，則該雙曲線的離心率是____.12345678910111213141516解析答案12345678910111213141516設直線l：x－3y＋m＝0(m≠0)，因為|PA|＝|PB|，所以PC⊥l，12345678910111213141516所以kPC＝－3，化簡得a2＝4b2.12.設雙曲線x2－

＝1的左、右焦點分別為F1，F2，若點P在雙曲線上，且△F1PF2為銳角三角形，則|PF1|＋|PF2|的取值范圍是__________.12345678910111213141516解析答案解析

如圖，12345678910111213141516設|PF2|＝m，則|PF1|＝m＋2a＝m＋2，由于△PF1F2為銳角三角形，技能提升練123456789101112131415