2025高考數學考二輪專題復習-第九講-立體幾何初步（三大考向）-專項訓練

一：考情分析

命題解讀考向考查統計

2022?新高考□卷，

4

2023?新高考□卷，

14

2024?新高考□卷，

柱、錐、臺體的表面積與體5

1.高考對立體幾何初步的考

積2022?新高考口卷，

查，重點是掌握基本空間圖形

11

及其簡單組合體的概念和基本

2023?新高考□卷，

特征、解決多面體和球體的相

9

關計算問題。同時需要關注異

2023?新高考□卷，

面直線的判定和成角問題、空

14

間點線面的位置關系問題、夾

2022?新高考□卷，

角距離問題、截面問題。這些

8

問題對考生的空間想象能力要

2023?新高考□卷，

求有所提升，需要考生有強大球的切接問題

12

的邏輯推理能力。

2022?新高考□卷，

7

2022?新高考□卷，

9

夾角問題

2024?新高考□卷，

7

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考口卷考查了圓柱、圓錐表面積、體積的綜合應用，口卷考查了

以棱臺為背景的線面角的求法，總的來說，基本立體圖形的表面積和體積屬于常考

點，難度一般是較易和適中，掌握基本的公式和提升計算能力比較重要。預計2025年

高考還是主要考查基本立體圖形的表面積和體積，可以多多關注臺體的表面積和體積

計算。

三：試題精講

一、單選題

1.（2024新高考口卷-5）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等，且它們的高

均為6,則圓錐的體積為（）

A.2出nB.3君無C.6VD.9出兀

52

2.（2024新高考口卷-7）已知正三棱臺ABC-的體積為了，AB=6,=2,

則4A與平面N3C所成角的正切值為（）

A.1B.1C.2D.3

高考真題練

一、單選題

1.（2022新高考口卷4）南水北調工程緩解了北方一些地區水資源短缺問題，其中一

部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時，相應水面的面積為MQOkn?；水

位為海拔157.5m時，相應水面的面積為18O.Okm2,將該水庫在這兩個水位間的形狀看

作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5m上升至Ij157.5m時，增加的水量約為

（77?2.65）（）

A.1.0x109m3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

2.（2022新高考□卷-8）已知正四棱錐的側棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若該球

的體積為36萬，且3WE36，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

■811「27811-「27641,f

A.18,—B.-C.—D.r[1o8,27]

_4JL44JL43_

3.（2022新高考□卷-7）已知正三棱臺的高為I,上、下底面邊長分別為3后和4石,

其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.IOOTTB.128TIC.144兀D.192兀

二、多選題

4.（2022新高考口卷-9）已知正方體ABC。-44GR，則（）

A.直線BG與0A所成的角為90。B.直線BG與CA所成的角為90。

C.直線2G與平面班QD所成的角為45。D.直線BG與平面/BCD所成的角為

45°

5.（2023新高考□卷T2）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方

體容器（容器壁厚度忽略不計）內的有（）

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體

6.（2022新高考□卷T1）如圖，四邊形ABCD為正方形，瓦＞，平面ABCD,

FB//ED,AB=ED=2FB,記三棱錐E—AC。，F-ABC,尸-ACE的體積分別為

V%,%,則（）

A.匕=2%B.B=K

C.匕=匕+匕D.2匕=3匕

7.（2023新高考口卷-9）已知圓錐的頂點為尸，底面圓心為。，Z3為底面直徑，

ZAPB=120°,上4=2,點C在底面圓周上，且二面角P-AC—O為45。，則（）.

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側面積為4班兀

C.AC=2&D.APAC的面積為6

三、填空題

8.（2023新高考□卷T4）在正四棱臺ABC。-A耳GA中，AB=2,4g=1,A4,=應，則

該棱臺的體積為.

9.（2023新高考□卷T4）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去

一個底面邊長為2,高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為.

知識點總結

一、棱柱、棱錐、棱臺

1、棱柱：兩個面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都

互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.

（1）斜棱柱：側棱不垂直于底面的棱柱；

（2）直棱柱：側棱垂直于底面的棱柱；

（3）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；

（4）平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱；

（5）直平行六面體：側棱垂直于底面的平行六面體；

（6）長方體：底面是矩形的直平行六面體；

（7）正方體：棱長都相等的長方體.

2、棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成

的多面體叫做棱錐.

（1）正棱錐：底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心;

（2）正四面體：所有棱長都相等的三棱錐.

3、棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺,

由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺.

簡單凸多面體的分類及其之間的關系如圖所示.

正

四

棱柱棱

柱

凸

多

面長方體

體

正

方

體

二、圓柱、圓錐、圓臺、球、組合體

1、圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的面所圍成的幾何體

叫做圓柱.

2、圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉軸，將其旋轉一周形成的面所

圍成的幾何體叫做圓錐.

3、圓臺：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺.

4、球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的旋轉體叫做球體，

簡稱為球（球面距離：經過兩點的大圓在這兩點間的劣弧長度）.

5、由柱體、錐體、臺體、球等幾何體組成的復雜的幾何體叫做組合體.

三、表面積與體積計算公式

1、表面積公式

S直棱柱=+2s底

柱體

S斜棱柱=c，l+2s底(c‘為直截面周長)

2"

S圓錐=2萬產+2萬力=2兀y(r+/)64

S正棱錐+S底

錐體

表

S圓錐=冗卜+7irl=兀r(r+Z)坯

面4b

積

S正棱臺="+a')h+S上+S卜.a

臺體

22

S圓臺=欣r'+r+r'l+rl)0M

球

S=4兀R?B

2、體積公式

/1

柱體4=S〃

體國

積

錐體vw=^sh

臺體%=g(S+后'+S.

?

43

球

3

四、空間幾何體的直觀圖

1、斜二測畫法

斜二測畫法的主要步驟如下：

（1）建立直角坐標系.在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的Ox,Oy,建立直

角坐標系.

（2）畫出斜坐標系.在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對應圖形.在已知圖形平行于

x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于。％,O'y',使/才。y=45（或135）,它們確定

的平面表示水平平面.

（3）畫出對應圖形.在已知圖形平行于x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于》軸的線

段，且長度保持不變；在已知圖形平行于y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于y軸，

且長度變為原來的一般.可簡化為“橫不變，縱減半”.

（4）擦去輔助線.圖畫好后，要擦去犬軸、y'軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）.被

擋住的棱畫虛線.

注：直觀圖和平面圖形的面積比為也:4.

五、四個基本事實

基本事實1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內.

注意：（1）此公理是判定直線在平面內的依據；（2）此公理是判定點在面內的方法

基本事實2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.

注意：（1）此公理是確定一個平面的依據；（2）此公理是判定若干點共面的依據

推論□:經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面；

注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據

（2）此推論是判定若干平面重合的依據

（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據

推論□:經過兩條相交直線，有且只有一個平面；

推論□:經過兩條平行直線，有且只有一個平面；

基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的

公共直線.

注意：（1）此公理是判定兩個平面相交的依據

（2）此公理是判定若干點在兩個相交平面的交線上的依據（比如證明三點共線、三線

共點）

（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據

基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

六、直線與直線的位置關系

位置關系相交（共面）平行（共面）異面

圖形/ZX7zS7工

符號ab-PaHbaa=A,b<^a,A^b

公共點個100

數

特征兩條相交直線確定一個平兩條平行直線確定一個平面兩條異面直線不同在如何

面一個平面內

七、直線與平面的位置關系

位置關系包含（面內線）相交（面外線）平行（面外線）

圖形

//

符號lualf]a=P/□“

公共點個數無數個10

八、平面與平面的位置關系

位置關系平行相交（但不垂直）垂直

圖形

三a

LJ

a/3=1

符號a工B,aP=1

公共點個0無數個公共點且都在無數個公共點且都在

數唯一的一條直線上唯一的一條直線上

九、等角定理

1、定義：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

十、直線和平面平行

1、定義

直線與平面沒有公共點，則稱此直線/與平面a平行，記作/口a

2、判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果平面外的一條直線和這個平l//lx

面內的一條直線平行，那么這條6ua>=>/〃a

線口線nN__/IUa

直線和這個平面平行（簡記為

線口面

“線線平行n線面平行

如果兩個平面平行，那么在一個一&

a"B

平面內的所有直線都平行于另一aua

面口面n

個平面

線口面

3、性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果一條直線和一l//a

個平面平行，經過lu0>=>i//r

a/3=

這條直線的平面和

線□面n線□線

這個平面相交，那

么這條直線就和交

線平行

■*一、兩個平面平行

1、定義

沒有公共點的兩個平面叫作平行平面，用符號表示為：對于平面a和夕，若

a/?=0,則a口,

2、判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

判定定如果一個平面內有aua,bua,ab=P

理線口兩條相交的直線都

allB，b〃B=a〃0

面n面平行于另一個平//

面，那么這兩個平

□面

面平行（簡記為“線

面平行n面面平行

線，面如果兩個平面同垂2_____/_L，

n7>=>a□/?

n面口直于一條直線，那

面么這兩個平面平行

3、性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果兩個平面平

面〃面=>

行，那么在一個平

a11B

線〃面面中的所有直線都>=>〃//

au%

平行于另外一個平

面

如果兩個平行平面

同時和第三個平面

a//，

相交，那么他們的

性質定理aRiy=a'=a〃b.

交線平行（簡記為

/Bny=b

“面面平行=>線面

平行”）

如果兩個平面中有

面〃面=>

一個垂直于一條直/tva11[3

/./I.La

線，面線，那么另一個平

面也垂直于這條直

線

十二、直線與平面垂直

1、直線與平面垂直的定義

如果一條直線和這個平面內的任意一條直線都垂直，那稱這條直線和這個平面相互垂

直.

2、判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

一條直線與?

1

一個平面內

的兩條相交a,bua

aLI

判斷定理直線都垂7=>/_La

bU

直，則該直acb=P

線與此平面

垂直

兩個平面垂

直，則在一

a工B

面口面口線口個平面內垂a(~\[3-a

1>=b_La

面直于交線的bu/3

bLa

直線與另一

個平面垂直

一條直線與

____L

平行與垂直

兩平行平面a!1(3}n

aLa]

的關系中的一個平二口

面垂直，則

該直線與另

一個平面也

垂直

兩平行直線ab

中有一條與

平行與垂直平面垂直，

的關系則另一條直a

線與該平面

也垂直

3、性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

垂直于同一平ab

aLa\

性質定理面的兩條直線

bLa]

平行

文字語言圖形語言符號語言

垂直于同一___a

垂直與平行a-La]

直線的兩個a11/3

aL/3}

的關系/

平面平行J

如果一條直

線垂直于一

線垂直于面個平面，則

的性質該直線與平二

面內所有直

線都垂直

十三、平面與平面垂直

1、平面與平面垂直的定義

如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的

兩條交線互相垂直.（如圖所示，若acQ=CD,C"y,且

acy=AB,0cy=BE,ABLBE,貝Ua_L尸）

一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂

直.

2、判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

判定定理一個平面過另一b.La]

>=a_L尸

一個平面的垂

線，則這兩個

平面垂直

知識點6：性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

性質定理兩個平面垂直，則a工B

ac。=a

一個平面內垂直于}=匕J_a

bup

交線的直線與另一blaJ

個平面垂直

十四、直線與平面所成的角

1、定義

□斜線和斜足：如圖，一條直線/與一個平面a相交，但不與這個平面垂直，這條直線

叫做這個平面的

斜線，斜線和平面的交點/叫做斜足.

□斜線在平面上的射影：如圖，過斜線上斜足以外的一點尸向平面a引垂線P。，過垂

足。和斜足力的

直線AO叫做斜線在這個平面上的射影.

□斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直

線和這個平面所

成的角.

2、直線與平面所成的角的范圍

□一條直線和平面平行，或在平面內，我們說它們所成的角是0。.

□一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是90。.

□與平面相交且不垂直于此平面的直線和此平面所成的角。的范圍是0。<6><90。.

□直線與平面所成的角。的取值范圍是0。WOW90。.

十五、二面角

1、二面角的定義

□半平面：平面內的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常叫做半平面.

口二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面

角的棱，這兩個

半平面叫做二面角的面.

2、二面角的表示

□棱為面分別為a,￡的二面角記作二面角如果棱記作/，那么這個二

面角記作二面角a

-I邛，如圖(1).

□若在a,￡內分別取不在棱上的點尸，Q,這個二面角可記作二面角尸-48-。，如果棱

記作/,那么這

個二面角記作二面角P-/-0,如圖(2).

⑴

3、二面角的平面角

□自然語言

在二面角a-1-P的棱I上任取一點O,以點0為垂足，在半平面a和夕內分別作垂直于

棱/的射線0A和

0B,則射線0/和0B構成的口4。3叫做二面角的平面角.

□圖形語言

□符號語言

an/3=l,OEI,0A(Za,0BU/3,OALl,OBLn口/03叫做二面角a-//的

平面角.

4、二面角大小的度量

□二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面

角是多少度.平面

角是直角的二面角叫做直二面角.

□當二面角的兩個半平面重合時，規定二面角的大小是0。；當二面角的兩個半平面合

成一個平面時，

規定二面角的大小是180。.所以二面角的平面角'的范圍是0。WaW180。.

名校模擬練

一、單選題

1.（2024?重慶?三模）若圓錐的母線長為2,且母線與底面所成角為則該圓錐的側

4

面積為（）

A.叵iB.2兀C.2正兀D.4兀

2.（2024?河北秦皇島?三模）已知加，幾表示兩條不同的直線，。表示平面，則（）

A.若根cc,n//a,則B.若加a,m^_n,則〃_La

C.若根_La,mVn,貝!j〃〃aD.若zn_La,幾ua,則機_L〃

3.（2024?新疆喀什三模）已知底面邊長為2的正四棱柱A5CQ-AAG2的體積為

16,則直線AC與A出所成角的余弦值為（）

卜返B亞c叵D3M

'55'7（7'10

4.（2024?山東濰坊?三模）某同學在勞動課上做了一個木制陀螺，該陀螺是由兩個底面

重合的圓錐組成.已知該陀螺上、下兩圓錐的體積之比為1:2,上圓錐的高與底面半徑

相等，則上、下兩圓錐的母線長之比為（）

AVioR1「應NA/15

5225

5.（2024?陜西?三模）黃地綠彩云龍紋盤是收藏于中國國家博物館的一件明代國寶級瓷

器.該龍紋盤敞口，弧壁，廣底，圈足.器內施白釉，外壁以黃釉為地，刻云龍紋并

填綠彩，美不勝收.黃地綠彩云龍紋盤可近似看作是圓臺和圓柱的組合體，其口徑

22.5cm,足徑14.4cm,高3.8cm,其中底部圓柱高0.8cm,則黃地綠彩云龍紋盤的側面

積約為（）（附：兀的值取3,J25.4025-5）

A.300.88cm2B.311.31cm2C.322.24cm2D.332.52cm2

6.（2024?四川成都?模擬預測）我們把所有頂點都在兩個平行平面內的多面體叫做擬柱

體，在這兩個平行平面內的面叫做擬柱體的底面，其余各面叫做擬柱體的側面，兩底

面之間的垂直距離叫做擬柱體的高，過高的中點且平行于底面的平面截擬柱體所得的

截面稱為中截面.已知擬柱體的體積公式為V=g〃（S+4S°+S）,其中分別是上下

底面的面積，S。是中截面的面積，//為擬柱體的高.一堆形為擬柱體的建筑材料，其兩

底面是矩形且對應邊平行（如圖），下底面長20米，寬10米，堆高1米，上底的長

寬比下底的長寬各少2米.現在要徹底運走這堆建筑材料，若用最大裝載量為5噸的

卡車裝運，則至少需要運（）（注：1立方米該建筑材料約重1.5噸）

A.51車B.52車C.54車D.56車

7.（2024?天津河西?三模）如圖，在三棱柱ABC-A4G中，E,尸分別為43,4C的中

點，平面石4G廠將三棱柱分成體積為匕，匕兩部分，則匕：%=（）

A.1D1B.4D3C.6D5D.7D5

8.（2024?新疆?三模）設四棱臺ABC。-A4GA的上、下底面積分別為耳，邑，側面積

為S,若一個小球與該四棱臺的每個面都相切，則（）

2

A.S=S&B.S=St+S2

C.S-2邪也D.直=￡+病

9.（2024?天津北辰?三模）中國載人航天技術發展日新月異.目前，世界上只有3個國家

能夠獨立開展載人航天活動.從神話“嫦娥奔月”到古代“萬戶飛天”，從詩詞“九天攬月”

到壁畫“仕女飛天”……千百年來，中國人以不同的方式表達著對未知領域的探索與創

新.如圖，可視為類似火箭整流罩的一個容器，其內部可以看成由一個圓錐和一個圓柱

組合而成的幾何體.圓柱和圓錐的底面半徑均為2,圓柱的高為6,圓錐的高為4.若將其

內部注入液體，已知液面高度為7,則該容器中液體的體積為（）

―3257r

C215兀D.------

,916

10.（2024?山東泰安?二模）已知四面體的各頂點都在同一球面上，若

AB=BC=CD=DA=BD=4y[3,平面ABD_L平面BCD,則該球的表面積是（）

A.40TIB.80TIC.IOO71D.160兀

11.（2024?天津?二模）在如圖所示的幾何體中，底面ABC。是邊長為4的正方形，

AA,,BG,CG,均與底面ABCD垂直，且朋=。6；=￡>2=236=46，點&F

分別為線段BC、CG的中點，記該幾何體的體積為V,平面AFE將該幾何體分為兩部

分，則體積較小的一部分的體積為（）

7

cD.

小22

12.（2024?江西鷹潭?三模）在菱形ABC。中，AB=2,AC=2?將一ABC沿對角線

AC折起，使點區到達&的位置，且二面角"-AC-。為直二面角，則三棱錐夕-ACD

的外接球的表面積為（）

A.5兀B.1671C.20兀D.100兀

二、多選題

13.（2024?山西?三模）將一個直徑為10cm的鐵球磨制成一個零件，能夠磨制成的零件

可以是（）

A.底面直徑為8cm,高為6cm的圓柱體B.底面直徑為8cm,高為8cm的圓錐

體

C.底面直徑為7cm,高為9cm的圓錐體D.各棱長均為8cm的四面體

14.（2024?浙江?二模）正方體ABCD-44CQ中，E,P分別為棱AD和。2的中點,

則下列說法正確的是（）

A.A。//平面3EF

B.BCJ■平面

C.異面直線42與斯所成角為60°

D.平面3EF截正方體所得截面為等腰梯形

15.（2024?河南三門峽?模擬預測）已知正方體A8CD-ABGR的棱長為1,尸為8a的中

點，。為線段AC上一動點，貝IJ（）

A.異面直線AP與AR所成角為30

B.4"平面APB

C.平面平面叫

D.三棱錐A-QCtD的體積為定值

16.（2024?湖南長沙?三模）已知一圓錐的底面半徑為G，該圓錐的母線長為2,A,B

為底面圓的一條直徑上的兩個端點，則下列說法正確的是（）

A.其側面展開圖是圓心角為后的扇形

B.該圓錐的體積為兀

C.從/點經過圓錐的側面到達3點的最短距離為2A

D.過該圓錐的頂點作圓錐的截面，則截面面積的最大值為2

17.（2024?河北保定?二模）如圖1,在等腰梯形ABCD中，AB//CD,EFYAB,

CF=EF=2DF=2,AE=3,EB=4,將四邊形AEFD沿用進行折疊，使AD到達

AD位置，且平面AZXFE_L平面3CFE,連接AB,D,C,如圖2,貝I］（）

A.BE±AD'B.平面A'￡B〃平面ZXFC

jr

C.多面體AEBCD，尸為三棱臺D.直線AD與平面BCFE所成的角為:

4

三、填空題

3

18.（2024?重慶?二模）將一個半徑為￡cm的鐵球熔化后，澆鑄成一個正四棱臺形狀的

鐵錠，若這個鐵錠的底面邊長為1cm和2cm,則它的高為cm.

19.（2024?浙江?三模）已知圓臺的上底面半徑為1,下底面半徑為5,側面積為30無，

則圓臺的高為.

20.（2024?貴州黔東南?二模）已知一個圓錐的底面半徑為4,用一個平行于該圓錐底面

的平面截圓錐，若截得的小圓錐的底面半徑為2,則截得的小圓錐的側面積與截得的圓

臺的側面積之比為.

21.（2024?上海奉賢二模）學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型，如圖所

示.該模型為長方體ABCD-ABGA中挖去一個四棱錐O-EFG”,其中。為長方體的

中心，E,F,G,H分別為所在棱的中點，AB=BC=4cm,M=2cm,3D打印所

用原料密度為0.9g/cn?.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為

S.

22.（2024?河南新鄉?二模）在直三棱柱A4G—A8C中，AB±BC,ACl=2AAl=4,則

該三棱柱的體積的最大值為.

23.（2024?四川?三模）已知正四棱臺ABC。-A4GA的上下底面邊長分別為4,6,若

正四棱臺的外接球的表面積為104兀，則正四棱臺ABCD-ABGP的體積—

24.（2024?重慶?三模）已知一個表面積為4兀的球與正三棱柱的各個面都相切，則此正

三棱柱的體積為.

25.（2024?山東濟南?二模）將一個圓形紙片裁成兩個扇形，再分別卷成甲乙兩個圓

錐的側面，甲乙兩個圓錐的側面積分別為S甲和S乙，體積分別為%和4.若薩=2,

則I.

26.（2024?河北秦皇島?二模）已知正三棱臺A8C-A4G的所有頂點都在表面積為65萬

的球O的球面上，且AB=2A4=46，則正三棱臺ABC-的體積為

參考答案與詳細解析

:考情分析

命題解讀考向考查統計

2022?新高考口卷，

4

2023?新高考口卷,

14

2024?新高考口卷，

柱、錐、臺體的表面積與體5

1.高考對立體幾何初步的考

積2022?新高考口卷，

查，重點是掌握基本空間圖形

11

及其簡單組合體的概念和基本

2023?新高考口卷，

特征、解決多面體和球體的相

9

關計算問題。同時需要關注異

2023?新高考□卷，

面直線的判定和成角問題、空

14

間點線面的位置關系問題、夾

2022?新高考口卷，

角距離問題、截面問題。這些

8

問題對考生的空間想象能力要

2023?新高考□卷，

求有所提升，需要考生有強大球的切接問題

12

的邏輯推理能力。

2022?新高考口卷，

7

2022?新高考□卷，

9

夾角問題

2024?新高考口卷，

7

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考口卷考查了圓柱、圓錐表面積、體積的綜合應用，口卷考查了

以棱臺為背景的線面角的求法，總的來說，基本立體圖形的表面積和體積屬于?？?/p>

點，難度一般是較易和適中，掌握基本的公式和提升計算能力比較重要。預計2025年

高考還是主要考查基本立體圖形的表面積和體積，可以多多關注臺體的表面積和體積

計算。

三：試題精講

一、單選題

1.（2024新高考口卷-5）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等，且它們的高

均為6,則圓錐的體積為（）

A.2扃B.3后C.6石兀D.9扃

【答案】B

【分析】設圓柱的底面半徑為「，根據圓錐和圓柱的側面積相等可得半徑，?的方程，求

出解后可求圓錐的體積.

【詳解】設圓柱的底面半徑為「，則圓錐的母線長為尸口，

而它們的側面積相等，所以2ax百=7irxg+/即2百=,3+5，

故r=3,故圓錐的體積為；畛9乂若=3石T.

故選：B.

52

2.（2024新高考口卷-7）已知正三棱臺ABC-的體積為石，AB=6,A耳=2,

則AA與平面/3C所成角的正切值為（）

A.1B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】解法一：根據臺體的體積公式可得三棱臺的高〃=遞，做輔助線，結合正三

3

棱臺的結構特征求得AM=乎，進而根據線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三

棱臺ABC-A與G補成正三棱錐P-ABC,AA與平面ABC所成角即為B4與平面ABC

所成角，根據比例關系可得/…c=18,進而可求正三棱錐P-ABC的高，即可得結果.

【詳解】解法一：分別取BC6G的中點則AD=3"AR=6,

可知5板=］6、6、*9"54烏"*2、君=6

設正三棱臺ABC-A與G的為跖

WOVABC-^BJC,=g（9A+6+,9代+6）/7=/,解得〃

如圖，分別過A，2作底面垂線，垂足為M,N,設AM=X,

貝（J招=JAM2+4M2=y+與,DN=AD-AM-MN=26-x,

222

可得OR=ylDN+DtN=J（2V3-x）+y,

結合等腰梯形BCC再可得BB；［等［+DD；,

即/+g=（2右一尤『+g+4,解得尤=孚，

所以AA與平面ABC所成角的正切值為tan?AA。41M=1;

解法二：將正三棱臺ABC-A與G補成正三棱錐P-ABC,

則4A與平面ABC所成角即為總與平面ABC所成角,

/—ABC1

因為，則

PAAB3^P-ABC27

可知匕BC-AB1G=2y^P-ABC=,則力-枷=18,

設正三棱錐P-ABC的高為d,貝！lL.c=*x；x6x6x#=18,解得d=2指,

取底面ABC的中心為。，貝!)尸?！沟酌鍭BC,且AO=2右,

PO

所以2與平面ABC所成角的正切值tanNPAO=^=L

故選：B.

高考真題練

一、單選題

1.(2022新高考口卷4)南水北調工程緩解了北方一些地區水資源短缺問題，其中一

部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時，相應水面的面積為140.0km，水

位為海拔157.5m時，相應水面的面積為180.0km2,將該水庫在這兩個水位間的形狀看

作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5m上