2024-2025學(xué)年河南省開封市高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

?,.11

1.已知數(shù)列，兩足a?+l=，若%=/,則知0=（）

A.-1B.1C.1D.2

2.已知拋物線C關(guān)于x軸對稱，且焦點在直線3x+2y-6=0上，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)

方程為（）

A.y2=-4xB.y2=4xC.)2二—8xD.y2=8x

3.已知函數(shù)〃無）的導(dǎo)函數(shù)為/'（x）,且/（尤）=2切［蕓+sinx,則/'（J卜（）

4.已知圓M經(jīng)過點（0,2）,（0,4）,且圓心M在直線2x-y-l=0上，則圓加的面積為

（）

A.2兀B.也itC.4兀D.5兀

5.記S,為等比數(shù)列血｝的前〃項和，若S4=3,S「9,則與=（）

A.21B.18C.15D.12

22

6.已知點P是雙曲線C:匕-土=1上一點，則點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離之

3616

積為（）

7.定義“等方差數(shù)列”：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項的平方與它的前一項的平

方的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列

的方公差.設(shè)數(shù)列｛%｝是由正數(shù)組成的等方差數(shù)列，且方公差為2,仆=5,則數(shù)列

---1的前60項和50=（）

A.B.5C.59D.60

2

8.設(shè)a=ln（1.2e）,b=e02,c=1.2,則。、b、c的大小關(guān)系為（）

A.a<c<bB.c<b<aC.c<a<bD.a<b<c

二、多選題（本大題共4小題）

9.已知直線/與直線4x+3y+10=0垂直，且與圓C:（x++（夕+2『=9相切，則直線

/的方程可以是（）

A.3x+4y—4=0B.3x+4y+26=0

C.3x-4y+10=0D.3x-4歹一20二0

10.如圖，在四棱錐尸-/BCZ）中，底面43CQ是平行四邊形，

AP=a,AB=b,AD=c,^PE=ED^CF=2FP,貝I（）

—?22-1

B.BF=—ciH—b—c

333

—?11-1

D.EF=-a——b+-c

333636

11.某高中通過甲、乙兩家餐廳給1920名學(xué)生提供午餐，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)：開學(xué)后第

一天有;7的學(xué)生到甲餐廳就餐，剩余的學(xué)生到乙餐廳就餐，從第二天起，在前一天選

擇甲餐廳就餐的學(xué)生中，次日會有（7的學(xué)生繼續(xù)選擇甲餐廳，在前一天選擇乙餐廳就

餐的學(xué)生中，次日會有」的學(xué)生選擇甲餐廳.設(shè)開學(xué)后第〃天選擇甲餐廳就餐的學(xué)生

6

比例為%,則（）

11/

A.=-an_x+-^n>2）

B.是等比數(shù)列

C.第100天選擇甲餐廳就餐的學(xué)生比例約為g

D.開學(xué)后第一個星期（7天）中在甲餐廳就過餐的有5750人次

12.已知函數(shù)〃力=竽，則（）

A.曲線>=f（x）在點（1,0）處的切線方程是尤+ey-l=0

B.函數(shù)/（X）有極大值，且極大值點打e（1,2）

C./(2)</(3)

D.函數(shù)只有1個零點

三、填空題(本大題共4小題)

22

13.已知橢圓C：工+二=1的兩個焦點分別為既用，點M為橢圓。上一點，則

3625

MI+M用=.

14.已知點43分別是直線4：2x+”2=0與直線/2：4x+2y+l=0上的點，則目的取值

范圍是.

15.若函數(shù)/@)=8班+--必在(1,3)上有且僅有一個極值點，則實數(shù)機的最小值

是.

22

16.已知點4民。是離心率為2的雙曲線rj-方=l(a>0,6>0)上的三點，直線

NBMGBC的斜率分別是匕，&，局，點D,E,尸分別是線段/3,/CIC的中點，O為坐標(biāo)

111,

原點，直線。￡,。尸的斜率分別是匕'也公，若1+”+?7=5,則

Kx4243

左+左2+左3=.

四、解答題(本大題共6小題)

17.在等差數(shù)列｛4｝中，q=1,%是出和的+2的等差中項.

(1)求｛與｝的通項公式；

(2)若｛%｝的前〃項和為S“，求使，<2024成立的最大正整數(shù)〃的值.

18.已知函數(shù)/(無)="3-/-3》+6,且當(dāng)x=3時，有極值一5.

(1)求的值；

(2)求/(x)在［工4］上的值域.

19.如圖，在四棱錐尸-/8C7)中，尸。,平面/3C。，四邊形/BCD是矩形，

尸。=/8=3,/。=2,點M是尸工的中點，點N,E分別是線段尸上的點，且

PNBE_1

'NC~^A~2'

p,

(1)求證：DE1MN；

⑵求平面DEN與平面4DP夾角的余弦值.

20.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為5，且滿足S"=4-%(〃eN*),等差數(shù)列也,｝滿足

a=2,asb32=1.

⑴求數(shù)列｛%｝,｛4｝的通項公式；

(2)設(shè)c“=b￡,求數(shù)列｛c“｝的前〃項和九

22

21.已知離心率為;的橢圓G：1?+W=l(a>6>0)與拋物線C2：/=2px(p>0)有共同

的焦點尸，P是橢圓G上任意一點，且忸尸|的最小值是1.

(1)求橢圓G和拋物線c2的方程；

⑵過點廠的直線/與橢圓G相交于42兩點，與拋物線相交于M，N兩點，若

\MN\=^AB\,求直線/的方程.

22.已知函數(shù)/(%)=62工一西+4羽.€1<.

(1)若“X)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求。的取值范圍；

⑵若函數(shù)/(無)有兩個極值點三戶2,且/(尤1)+/(尤2)<加爐+加e*恒成立，求實數(shù)機的取

值范圍.

答案

1.【正確答案】B

【分析】根據(jù)遞推公式計算數(shù)列｛0｝的前幾項，找到規(guī)律從而得到數(shù)列｛對｝的周期.

【詳解】因為數(shù)列｛%｝滿足。用=占,%=g,

1111

=a=

所以電==2,%~.=T4^,=_7,=a,

\—ax1一。2—%2

所以數(shù)列｛%｝是以3為周期的周期數(shù)列，

所以為0二々3x13+1==5?

故選：B

2.【正確答案】D

【分析】求出直線3x+2y-6=0與x軸的交點坐標(biāo)，從而得到拋物線的焦點坐標(biāo)，得

到答案.

【詳解】直線3x+2y-6=0與x軸的交點為（2,0）,所以拋物線C的焦點為（2,0）,

故點=2,解得。=4,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=8x.

故選：D.

3.【正確答案】C

【分析】對等式兩邊求導(dǎo)，求導(dǎo)的時候注意/是個常數(shù)，求導(dǎo)之后令尤=1即可

得出答案.

【詳解】因為/（x）=2礦閆+sinx,所以廣（x）=2唱J+cosx,令x=g，則

故選：C

4.【正確答案】D

【分析】利用圓的定義求出圓的方程即可.

【詳解】由圓M經(jīng)過點（0,2）和（0,4）,可知圓心/在直線y=3上,

又圓心M在直線2x-y-l=0上，

所以M的坐標(biāo)為（2,3）,半徑r=J（O-2y+（2-3）2=6,

所以圓M的面積為5TI.

故選：D.

5.【正確答案】A

【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得到$4,Sg-SQ幾-$8成等比數(shù)列，求出幾-國=12,得到

答案.

【詳解】因為s“為等比數(shù)列｛%｝的前"項和且見片。，

所以S,耳-國，幾-$8成等比數(shù)列，即3,6,$-$8成等比數(shù)列，

所以又一以=9=12,所以5口=5+12=9+12=21.

故選：A.

6.【正確答案】C

【分析】由雙曲線方程求出其漸近線方程，設(shè)P（X。,九），進而表示出點尸到雙曲線。

的兩條漸近線的距離之積的表達式，結(jié)合?（%,九）在雙曲線上，化簡，即可得答案.

22

【詳解】由雙曲線C的方程匕-土=1知。=6力=4,

3616

漸近線方程為y=±3x=±2尤，即3x±2y=0,

b2

設(shè)夕（分,人），由題意，得日-瓦=1,即47；一9考=144,

3616

點P到漸近線3x+2y=0的距離&=即：2可

V32+22

j|3尤0-

點P到漸近線3x-2了=0的距離4=/：，了

V3+（-2）

所以“二網(wǎng)-4^=144

9+413

故選：C.

7.【正確答案】B

【分析】先由等方差數(shù)列的定義得到｛[｝是公差為2的等差數(shù)列并求出4=而二T,

進而求出一--,再利用裂項相消法求和即得.

【詳解】因為｛%｝是方公差為2的等方差數(shù)列,

所以*-4=2,忖｝是公差為2的等差數(shù)歹h

所以*=4+12x2=25,解得

又。〃〉°,所以4=1,。；=2n-l,an=V2H-1,

所以一7=h[j[=!“2〃+1-,

a〃+a〃+iV2〃—1+V2〃+12'

所以s“二-Vl)+g(石-V3)+???Jj2"+1y2"_j=j-1

所以$6。=彗二1=5?

故選：B.

8.【正確答案】A

【分析】利用函數(shù)/'(x)=x-bu-1在(1,+s)上的單調(diào)性可得出“、c的大小關(guān)系，利用

函數(shù)g(x)=e*T-x在(1,+句上的單調(diào)性可得出。、c的大小關(guān)系，由此可得出a、b、

c的大小關(guān)系.

【詳解】令/(x)=x-lnx7,則/，(x)=l一上=土」，

XX

當(dāng)x>l時，f^x)>0,則/(X)單調(diào)遞增，所以/(L2)=1.2-lnl.2-l>〃l)=0,

即1.2〉lnl.2+1=ln(1.2e),貝lja<c；

令g(尤)=e‘T-無，則g，(x)=e*T_],當(dāng)x>l時，g，(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

所以g(1.2)=e°2_1.2>g(l)=0,即e°2>[.2,即c<6.

綜上所述，a<c<b.

故選：A.

結(jié)論點睛：兩個常見的重要不等式：

(1)Inx<x-1；(2)er>x+1.

9.【正確答案】CD

【分析】設(shè)出直線方程，由圓心到直線距離等于半徑得到方程，求出答案.

【詳解】直線/與直線4x+3y+10=0垂直，可設(shè)直線/為3x-4y+加=0,

圓C的圓心為C(-l,-2),半徑為廠=3,點。到直線/的距離為4=與回.

因為直線/與圓C相切，所以-----=/"=3,解得機=10或機=-20,

5

所以直線/的方程是3尤-4了+10=0或3x-4y-20=0.

故選：CD.

10.【正確答案】AC

【分析】結(jié)合幾何體，利用向量的線性運算法則，利用基底表示向量.

【詳解［BE=AE-AB=^^AP+ADyAB=^i-b+^,故A正確;

BF=AF-AB=AC+CF-AB=AC+-CP-AB=-AP+-AC-AB

333

2—?2—?1—>2-21一

=-AP——AB+-AD=-a——b+-c故B錯誤；

333333f

_—?2-2-1一/一2-1-2f

=而_BD=-a——b-st--c-\c-b\=—a+-b——c,故c正確;

3331J333

故D錯誤.

故選：AC

11.【正確答案】BCD

【分析】根據(jù)給定的信息求出遞推公式可判斷A；變形遞推公式根據(jù)等比數(shù)列的定

義可判斷B；求出通項公式，利用通項公式求出《。。、前7項和可判斷CD.

7111

【詳解】對于A,由題意，W??=4+7（1-）=4??-i+7-故A錯誤;

3626

對于B,又%=：，所以%_；=；，

'JJD

所以是以g為首項，g為公比的等比數(shù)列，故B正確；

故C正

確；

71575

對于D,%+電+%-?+%=—+—x

33192

又有1920名學(xué)生，所以開學(xué)后第一個星期（7天）中在甲餐廳就過餐的有

575

1920x面=5750人次，故D正確.

故選：BCD.

關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是根據(jù)給定的信息求出遞推公式及通項公式.

12.【正確答案】BD

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得曲線V=/（x）在點（1,0）處的切

線方程，判斷A；根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性以及極值的關(guān)系，可判斷B；利用函數(shù)的單

調(diào)性可判斷C；利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可判斷D.

【詳解】對A,由〃x）=M（x>0）,得/（月=與詈，則-⑴=：,

故曲線y=/（x）在點（1,0）處的切線方程是尸0=工卜-1）,即x-ey-1=0,故A錯誤;

e

對B,令g（x）=』-lnx,（x>0）,則g'（x）=--y--<0,所以g（x）在（0,+8）上單調(diào)遞

xx'x

減，

Xg（1）=1-Ini=1>0,g⑵=；-ln2=InVe-ln2<0,

,

所以存在e（1,2）,使得g（x（））=0,BP/（xo）=O,

即%￡（0,%）時,廣（力>0戶€（%,+8）時,/1）<0,

則在（0,x。）上單調(diào)遞增，在（%,+巧上單調(diào)遞減，

所以“X）有極大值，且極大值點%€（1,2）,故B正確；

對C,由以上分析知在［2,+8）上單調(diào)遞減，故〃2）>/（3）,故C錯誤；

對D,當(dāng)無?0,%）時，〃x）單調(diào)遞增，又/（l）=0J（x）在（0,x°）內(nèi)有唯一一個零點，

當(dāng)x>Xo時，/€（1,2）,則/（尤）>0,則/（x）在（%,+8）上無零點，

即/（x）只有一個零點，故D正確.

故選:BD.

13.【正確答案】12

【分析】由橢圓定義求出|即|+|5|=20=12.

【詳解】由題意知/=36,所以。=6,又由橢圓的定義，得|九陰|+|九里|=20=12.

故12

14.【正確答案】

L2J

【分析】先得到兩直線平行，求出兩平行線間距離公式求出以目的最小值，從而得到

答案.

【詳解】由（=5*卡可知直線〃4，所以當(dāng)NB口且AB，/2時，|”|有最小值，

其最小值為平行直線4與的距離，直線4的方程可化為4x+2y-4=0,

所以以吹=即以目的取值范圍是容*.

士J后1

故丁,+0°

15.【正確答案】y

o

【分析】求導(dǎo)，將原問題轉(zhuǎn)化成3+2x=%在區(qū)間(1,3)上只有一個變號的根，構(gòu)造函

數(shù)解決問題.

OO

【詳解】ff(x]=-+2x-m,令/'(x)=0,得一+2x=加，

XX

Q

由題意知？+2%=冽在區(qū)間(1,3)上只有一個變號的根，

x

令g(x)=?+2x,則g'(x)=2:/),令g'(x)=0,得x=2，

xx2

當(dāng)工?1,2)時,g?)<0,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)工?2,3)時,g'(x)>o,g(x)單調(diào)遞增.

又g⑴=10,g(2)=8,g(3)=g,如圖：

y

26A

25

24

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10-

9三-

83-

7

6

5

4

3

2

1

■6-57-3-2T012345678910

-3

所以當(dāng)小€當(dāng)26,10時，§+2x=〃?在區(qū)間(1,3)上只有一個變號的根,

3x

即函數(shù)/(X)在(1,3)上有且僅有一個極值點時，加的最小值為g.

故答案為.三

16.【正確答案】15

【分析】由點差法得到帖'=1=3,同理得至喋卮=3,岫'=3,從而得到

a

/+左2+&=二3+二3+二3T5

左1左2左3

【詳解】因為雙曲線「的離心率為2,所以2=6,

a

不妨設(shè)幺（石,必）潭（九2，%），。（%，%），

2

211

/-1

因為點42在「上，所以<兩式相減,

1

-1

（國+/）（再一%）_（必+匕）（必一%）

“/一P

因為點。是48的中點，所以西+工2=2%,必+y2=2y0,

訴(弘+%)(%-%)b2%(%-%)=/

XX22

(再+%2)(1~2)a，xQ(XJ-x2)a

所以k,k；=匕二三?及二，=3,同理k,k；=3,&乂=3,

xx-x2xo-Oa

111333

因為尸+尸+廣=5,所以左i+左2+%=7T+TT+7TT5.

左1左2左3底0化3

故15

17.【正確答案】（1）%=2。-1

（2）44

【分析】（1）根據(jù)條件，直接求出d,即可求出結(jié)果；

（2）利用等差數(shù)列的前〃項和公式、不等式的解法即可得出結(jié)果.

【詳解】（1）設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,

因為々=1,又應(yīng)是。2和。7+2的等差中項，

所以2牝=4+%+2,

即2（l+4d）=1+d+1+6d+2,解得d=2,

所以氏=1+（〃-1）義2=2〃-1.

（2）因為〃〃=2〃-1嗎=1,

所以S/（…）」（1+21）="2,

〃22

由S〃<2024,得小<2024,又44?=1936<2024,45?=2025>2024,

所以使S“<2024成立的最大正整數(shù)〃為44.

18.【正確答案】（1）。=；，6=4

【分析】(1)先求導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)極值點列方程求解即可；

(2)求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負得出單調(diào)性寫出極值和最值即可得出值域.

【詳解】(1)由/(x)=加-3x+b,得/'(%)=3辦2-2》一3,

又當(dāng)I時，仆/)、有極值-5,所以|［/(/3)⑶工=2_7］08-+9=-05,解得a=-

所以/(X)=X2-2X-3=(X+D(X-3),當(dāng)xe(-l,3)時，/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)

xe(3,+s)時，/。)>0,/(X)單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=3時，〃x)有極小值-5.

所以.」，6=4.

3

(2)由(1)知/'(X)=(x+l)(x—3).

令/'(x)=0，得玉=-1/2=3,

/'(x)j(x)的值隨工的變化情況如下表：

X-4(一4,一1)-1(-1,3)3。，4)4

f'(x)+0—0+

_6417_8

x單調(diào)遞增極大值/單調(diào)遞減極小值一5單調(diào)遞增

f()-T~3

由表可知/⑴在［-4,4］上的最大值為/(-1)=三，最小值為〃-4)=-三,

即/(X)在［-4,4］上的值域為.

19.【正確答案】(1)證明見解析

【分析】(1)通過建立空間直角坐標(biāo)系得到瓦=(2,2,0),旃借助數(shù)量積

公式計算即可；

(2)利用向量法求出平面DEN與平面4DP的法向量，求出二面角的余弦值即可.

【詳解】(1)因為尸口，平面48cD,AD,C75u平面4BCD,且四邊形4BCD是矩

形，

所以。4OC,QP兩兩垂直，

以點。為坐標(biāo)原點，尸所在直線分別為無軸，y軸，，軸建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系，

PNRF1

根據(jù)題意，因為。。=43=3,/。=2,且復(fù)=生=

NCEA2

.??。（0,0,0）,4（2,0,0）,￡（2,2,0）C0,3,0）尸（）,0,3）BQ,3,0）M1,0,（0,1,2）,

所以瓦=（2,2,0）,加=卜,1,￡|.

因為亦加=2x（-l）+2xl+0x；=0,

所以詼，而，即D￡_LM?V.

（2）由（1）得詼=（2,2,0）,麗=（0,1,2）.

設(shè)元=（再,必,zj是平面DEN的一個法向量，

n?DE=2x+2u=0

則一—}1J，

n?DN=必+2Z]=0

令4=1,得再=2,必=一2,所以拓=（2,-2,1）.

因為。C_LZM,OC_LZ）P,ZMnOP=。,。4。尸u平面/加，

所以DC_L平面ADP,

所以平面/十的一個法向量為四=詼=（0,3,0）.

一一m-h-62

因為c°s叫〃=瓦同=而

3

2

結(jié)合圖形可得：平面。EN與平面40尸夾角的余弦值為“

【分析】（1）根據(jù)%與S“的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義可得｛a?｝的通項公

式，由等差數(shù)列的通項公式，即可求得｛b?｝的通項公式；

（2）結(jié)合分組求和法與錯位相減法，求解即可.

【詳解】（1）當(dāng)〃=1時，岳=4一%,又S1=%,所以％=2.

a”、1

由S〃=4-%,得S用=4-%,兩式相減，得%討=%—%,即3=5'

an2

所以｛見｝是首項為2,公比為g的等比數(shù)列，

因此｛%｝的通項公式”,=2.f'=QJ\

設(shè)等差數(shù)列也,｝的公差為d,則由為為=1，得原='=64,

又4=2,所以31d=62,解得d=2,

所以數(shù)列也｝的通項公式為“=4+（〃-1”=2〃.

設(shè)｛8〃｝的前〃項和為夕，貝U只=*包1=4〃2+4”.

設(shè)，"的前"項和為則0“=8xlxg+8x2x[g]+---+8n-

1e?=8xlxI+8X2XL+

得;2=8xlx；+8]]+[；]+.??+[[-8"[]

兩式相減,

所以=16一〃言+2.

H_|_2H2

所以M=R-Q,=44+4n-16-^-=4M2+4H-F^-If.

21.【正確答案】（1）三+二=1,/=4x

43

（2）岳_>_6=0或氐+>_'0

【分析】（1）根據(jù)離心率和忸下|的最小值求出橢圓的方程，根據(jù)共焦點得出拋物線

的方程；

（2）根據(jù)弦長公式和拋物線的定義列出方程求解即可.

【詳解】（1）設(shè)橢圓q的焦距為2c,由橢圓q的離心率是1:，得￡c=：1,

2a2

因為盧尸|的最小值為"C=l，所以a=2,c=l,b=后二？=百，

22

所以橢圓5的方程為'+4=1.

因為橢圓。的焦點坐標(biāo)為（士1,0）,橢圓G與拋物線。2有共同的焦點F，

所以］=1屹=2,所以拋物線的方程為V=4x.

（2）當(dāng)直線/的斜率不存在時，直線/的方程為x=l,

此時|/創(chuàng)=3,|兒叫=4,不符合條件|向|=。/同，舍去.

當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的方程為

y=k（x-l）,A（x1,y1）,B（x2,y2）,M（x3,y3）,N（x4,y4）,

三+2=1

聯(lián)立｛43'得（3+4左—8左2x+4后2—12=0,

△=64左4—4（3+4萬2）（4左°一12）=14442+144>0,

8/4錄一12

X]+X,=------，尤[X,=---------—

123+4k72'I?3+4左2

4^-1212伍2+1)

2

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