專題03勾股定理【五大題型】

勾股定理的證明

勾股定理與單垂線問題

1.（2023?海淀區校級期中）在平面直角坐標系中，點P（-1,2）到原點的距離是（）

A.1B.2C.V3D.V5

解：在平面直角坐標系中，點尸（-1,2）到原點的距離是，（一1一0）2+（2-0尸=5

答案：D.

2.（2023?朝陽區校級期中）如圖，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,則AC邊上的高8。的長為

)

解：過A作AEL8C于點E,

A

\'AB=ACf

?)△ABC是等腰三角形，

9

：AE±BCf

1

：.EB=EC=?C8=3,

在RtAABE中，AE=yjAB2-BE2=V52-32=4,

1i

???AABC的面積為一?3C?AE=4x6X4=12,

22

1

A—AC-BD=12,

2

1

一X5X5O=12,

2

解得BD=苦

答案：C.

3.(2023?東城區期中統考)如圖，在平面直角坐標系中，A(3,0),B(0,2),以點A為圓心,

長為半徑畫弧，交x軸的負半軸于點G則點C坐標為—(3-V13,0).

/.AB=V32+22=V13,

:以點A為圓心，A3長為半徑畫弧，交入軸的負半軸于點C,

???AB=AC=V13,

/.(?c=V13-3,

???點。在x軸負半軸，

AC(3-V13,0),

答案：(3-V13,0).

4.（2023?西城區校級期中）如圖，直線與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點，ZOAB=45

第二象限的點CGn,w）在直線AB上，且mn=-4,則0A2_oc2的值為8.

'：ZOAB=45°,ZCEA=90°,

：.CE=EA,

C(m,n),

??AO~~n~m.

兩邊同時平方得：OA2=m2+n2-2mn,

?；nm=-4,

.\m2+n2=OA2-8,

在RtACEO中，Od=(-m)W=m2+n2,

AOC2=OA2-8,

22

：.OA-OC=8f

答案：8.

勾股定理與雙垂線問題

5.（2023?西城區校級期中）直角三角形的兩條直角邊的長分別為5和12,則斜邊上的高為（）

6013

A.B.—C.6D.13

132

解：??,直角三角形的兩條直角邊的長分別為5,12,

...斜邊為V52+122=13,

11

?..三角形的面積=1x5X12=1x13h（h為斜邊上的高），

.60

..力一育

答案：A.

6.（2023?豐臺區校級期中）如圖，在4X4的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,B,

C都在格點上，AOL8C于點。，則AD的長為（）

A.V2B.2C.V5D.3

解：由勾股定理得：AB="+42=2通,AC=VP+22=遮,BC=V32+42-5,

VAB2+AC2=25,BC2=25,

:.AB2+AC2=BC2,

：.ZBAC=90°,

11

S/\ABC=,ZB=《BC?AD,

/.V5x2A/5=5xAZ）,

：.AD=29

答案：B.

7.（2022?海淀區校級期中）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,則A5邊上的高

CD的長蘭.

由勾股定理得：AB=yjAC2+BC2=V32+42=5,

11

■:SAABC=IxACXBC='xABXCD,

1i

A-x3X4=4x5XC￡>,

22

解得：CD=^,

答案：y.

8.（2023?西城區校級期中）如圖，在△ABC中，ZC=90°,ZB=60°,AC=12,斜邊A8的垂

直平分線交A8于點。，交AC于點E,則CE的長為4.

C

ADB

VZC=90°,ZB=60°,

：.ZA=90°-ZB=30°,

VAC=12,

：.AB^2BC,

在RtZXABC中，根據勾股定理得：AB2=AC2+BC1,

即：4BC2=122+BC2,

解得：8。=48或一4百，

：.AB=2BC=8V3,

又,?DE是AB的垂直平分線，

：.BD=^AB=4y[3fZEBD=ZB=30°,

：.ZCBE=60°-30°=30°,

:?BE=2CE,

在RtZXBCE中，根據勾股定理得：BE2=BC?+C5,

即：4CE2=CE2+48,

解得：CE=4或-4（舍去）,

答案:4.

勾股定理與全等

9.（2023?海淀區校級期中）如圖，已知人〃/2〃/3,相鄰兩條平行直線間的距離均為1,若等腰直角

△ABC的三個頂點分別在這三條平行直線上，NC=90°,求A8的長是（）

A.3B.V10C.2V2D.2百

解：如圖，過A作ADL/1交于點過B作所，八交于點E,

AZACD+ZBCE=90°,MZACD+ZDAC=90°,

:"DAC=NBCE,

又△ABC為等腰三角形，

：.AC=BC,

在△AOC和ACEB中，

/.CDA=乙BEC

Z.CAD=Z.BCE,

AC=BC

：.AADC^ACEB(AAS),

：.CE=AD=2,且3E=1,

在RtZXBCE中，CE=2,BE=1,由勾股定理可求得BC=有,

同理，AC=V5,

：.AB=(V5)2+(V5)2=V10.

答案：B.

10.（2023?海淀區校級期中）如圖，在RtZkABC中，ZC=90°,平分/BAC,交BC于點D

5.DA^DB.若CD=3,則BC=9.

解：如圖，過點。作DELAB于E,

VZC=90°,AO平分/BAC,

:.DE=CD=3,

"：AD=BD,DELAB,

；.AE=BE,

在RtAAED與RtAACZ)中:

.".RtAAED^RtAACD(HL),

：.AE^AC,BE=AC,

：.AB=2AC,

?,.ZB=30°,

：.ZCAD=30°,

：.AD=BD=2CD=6,

:.BC=9.

答案：9.

11.（2023?海淀區校級期中）如圖，RtZ\ABC中，ZC=90°,80平分/ABC交AC于點。，DE

J_48交48于點E,已知CD=6,AD=10.請判斷線段AD和的大小，并說明理由.

解：AD<BD,

理由：：/C=90°,BD平分/ABC交AC于點D,DELAB交AB于點E,CD=6,7AD?-。爐

：.DE=DC=6,ZCBD=ZEBD,ZC=ZDEB=90°,

：.AE=>JAD2-DE2=V102-62=8,

在△Z)CB和△DEB中，

2c=乙DEB

乙CBD=乙EBD,

DC=DE

:?△DCBQADEB(A4S),

:?BC=BE,

設3C=%,則A3=x+8,

VZC=90°,

:.AC2+BC2=AB2,

即(10+6)2+f=(x+8)2,

解得x=12,

即BE=n,

:.BD=y/DE2+BE2=V62+122=6后

V10<6V5,

：.AD<BD.

12.(2023?海淀區校級期中)如圖，RtZ\A8C中，ZC=90°,平分N8AC,交BC于點D,BC

=4,BD=25.

(1)則點D到直線AB的距離為1.5.

(2)求線段AC的長.

AHB

(1),?工。平分NA4C,

：.ZCAD=ZHAD,

?；NC=NDHA=90°,AD=AD,

???△ACO四△AH。（AAS）,

:?DH=CD,AH=AC,

,.?8C=4,BD=2.5,

:?CD=BC-BD=4-2.5=15

：.DH=1.5,

???點。到直線AB的距離是1.5.

答案：1.5.

（2）設AC=x,

由（1）知AH=AC=x,

?；BH=y/BD2-DH2=V2.52-1.52=2,

：.AB=AH+HB=x+2f

t221

：AB=AC+BCf

（x+2）2=X2+42,

；?x=3,

???AC的長是3.

勾股定理與分類討論

13.（2023?海淀區校級期中）在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=4,AB=5.點P在直線AC上,

且3P=6,則線段AP的長為3怖-4或3—+4.

解：在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=4,AB=5,

：.BC=7AB2-AC?=3,

當點尸在CA延長線上時，,:BP=6,BC=6,

：.CP='BP?-BC2=%-32=3后

；.AP=CP-AC=3V5-4；

當點P在AC延長線上時，?:BP'=6,BC=3,

:.CP'=3V3,

：.AC+CP'=4+3次，

綜上所述，線段”的長為3遮-4或3百+4；

答案：3百-4或3百+4.

14.（2023?西城區校級期中）如圖，ZABC=60°,AB=3,動點尸從點2出發，以每秒1個單位

長度的速度沿射線8C運動'設點P的運動時間為f秒，當AABP是直角三角形時,/=—|或人

解：分兩種情況:

3

：.BP=

29

??,動點P從點B出發，以每秒1個單位長度的速度沿射線BC運動,

②當N54P=90°時，過A作PA_LAB交2C于點P,

VZABC=60°,AB=3,

：.BP'=6,

???動點尸從點B出發，以每秒1個單位長度的速度沿射線BC運動，

.".t=6,

綜上所述，當△ABP是直角三角形時，r=|或6,

3

答案：或6.

2

15.（2022?海淀區校級期中）在△ABC中，ZACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,動點P從點8出

發,沿射線BC以la〃/s的速度移動，設運動的時間為f秒，當△A2P為直角三角形時，求/的

值.

解：在RtZXABC中，

由勾股定理得：BC2=AB2-AC2=52-32=16,

?**BC=4-crn,

根據題意得：BP^tcm.

①如圖①，當NBAP為直角時，

BP=tcm.CP=(r-4)cm,AC=3cm,

在Rt/XACP中，AP2=AC2+CP2=32+(/-4)2

在RtzXBAP中，AB2+AP2=BP2,

.\52+32+(Z-4)2=P,

解得t=早

②如圖②，當NAP2為直角時,

此時點尸與點C重合，

圖②

BP=BC=4cm,

25

...當為直角三角形時，r=4或一.

4

16.（2023?西城區校級期中）如圖，在△A8C中，ZACB=90°,AB=5,BC=3,點P從點A出

發,沿射線AC以每秒2個單位長度的速度運動.設點尸的運動時間為f秒（f>0）.

備用圖

（1）當點尸在AC的延長線上運動時，CP的長為2-4；（用含f的代數式表示）

（2）若點尸在NABC的角平分線上，求f的值；

（3）在整個運動中，直接寫出是等腰三角形時/的值.

解：⑴?.,在△ABC中，ZACB=90",AB=5,BC=3,

：.由勾股定理得：AC=y/AB2-BC2=4,

,/已知點尸從點A出發，以每秒2個單位長度的速度運動，

...當點尸在AC的延長線上時，點尸運動的長度為：AC+CP=2f,

"：AC=4,

：.CP^2t-AC=2t-4.

答案:2t-4.

（2）過點尸作PMLAB于點M,如圖所示：

VZACB=90°,

：.PC±BC,

?.?點P在/ABC的角平分線上，PMLAB,

:.PC=PM,

又,：PB=PB,

：.Rt/\PCB^RtAPMB(HL),

：.CB=MB,

：.AM=AB-MB=AB=BC=5-3=2,

設PM=PC=x,貝ijAP=4-x,

在Rt/XAPM中，A序+PM2=Ap2,

22+J?=(4-x)

解得：x=I，

(4一j+2=X，

即若點尸在NABC的角平分線上，貝卜的值為三.

4

(3)當A3作為底邊時，如圖所示：

貝|］出=「8,設B4=a,貝ijPC=AC-AP=4-

在RtZXPCB中，PB1=PC2+CB1,

a2=(4-a)2+32,

解得：a=券，

此時t=等+2=||；

當A3作為腰時，如圖所示:

APi=AB=5,此時t=5+2=尚；

AB=BP2時,

9：BC±AP2,

；?AP2=2AC=8,

止匕時/=8+2=4,

255

綜上分析可知，％的值為77或二或4.

162

題型05I勾股定理的證明

■?

17.（2023?海淀區校級期中）如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，

這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”.連接四條線

段得到如圖2的新的圖案.如果圖1中的直角三角形的長直角邊為5,短直角邊為3,圖2中的

陰影部分的面積為S,那么S的值為（）

圖1圖2

A.8B.12C.16D.28

解：由題意可得，

圖2中陰影部分的直角三角形的兩條直角邊為3和2,中間小正方形的邊長為2,

1

；.S=/x3X2X4+2X2=12+4=16,

答案：c.

18.（2023?海淀區校級期中）我國三國時期的杰出數學家趙爽在注解《周髀算經》時，巧妙地運用

弦圖證明了勾股定理.“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的大

正方形.若圖中的直角三角形的兩條直角邊分別是2和4,則中間小正方形的面積占大正方形面

由勾股定理知，c2=a2+Z?2=22+42=20.

所以大正方形的面積為20.

所以中間小正方形的面積為：20-4x1x2x4=4.

41

所以=7-

205

1

所以中間小正方形的面積占大正方形面積的『

答案:

19.（2023?西城區校級期中）如圖為《勾股定理》章前圖中的圖案，它由四個全等的直角三角形拼

合而成.若圖中大,小正方形面積分別為62：和4,則直角三角形兩條直角邊