全國初三奧數試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題[X]分，共[X]分）

1.一個等差數列的前三項分別是a、b、c，且a+b+c=12，b-c=4，則這個等差數列的公差是：

A.2

B.3

C.4

D.5

2.在直角坐標系中，點A（2，3）關于原點對稱的點的坐標是：

A.（2，-3）

B.（-2，3）

C.（-2，-3）

D.（2，3）

3.若a、b、c是等比數列，且a+b+c=1，a+c=3，則b的值為：

A.2

B.1

C.0

D.-1

二、填空題（每題[X]分，共[X]分）

4.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若S5=15，S10=50，則S15=______。

5.在等腰三角形ABC中，AB=AC，若∠BAC=70°，則∠ABC的度數是______。

6.已知a、b、c是等比數列，且a+b+c=12，b^2=ac，則a+c=______。

三、解答題（每題[X]分，共[X]分）

7.已知數列{an}的通項公式為an=3n^2-2n，求：

（1）數列{an}的前n項和；

（2）數列{an}的前n項平均數。

8.在直角坐標系中，已知點A（-3，4），點B（1，2），求線段AB的長度。

四、應用題（每題[X]分，共[X]分）

9.小明從家出發前往學校，他先以4米/秒的速度勻速前進200米，然后以6米/秒的速度勻速前進。如果小明總共用了50秒到達學校，請計算：

（1）小明以4米/秒的速度前進的時間；

（2）小明以6米/秒的速度前進的距離。

10.在一個長方形花園中，長是寬的兩倍。如果長方形的周長是100米，請計算：

（1）長方形的面積；

（2）如果在這個長方形花園中種植了80棵樹，每棵樹占據的面積是2平方米，請計算剩余的空地面積。

五、證明題（每題[X]分，共[X]分）

11.證明：在任意三角形中，外角等于不相鄰的兩個內角之和。

六、綜合題（每題[X]分，共[X]分）

12.已知數列{an}是等比數列，且a1=2，公比q=3。數列{bn}是等差數列，且b1=1，公差d=2。求：

（1）數列{an}的第5項；

（2）數列{bn}的前10項和；

（3）數列{an}和{bn}的第10項的和。

試卷答案如下：

一、選擇題答案：

1.B

解析思路：由a+b+c=12和b-c=4可得a+c=8，又因為等差數列的性質，a+c=2b，所以b=4，公差d=(b-c)/2=2，故選B。

2.C

解析思路：點A（2，3）關于原點對稱的點的坐標是（-2，-3），故選C。

3.C

解析思路：由a+c=3和b^2=ac，可得b=1，因為a、b、c是等比數列，所以b=ac，代入b=1得ac=1，結合a+c=3，解得a=1，c=2，故選C。

二、填空題答案：

4.70

解析思路：由等差數列的性質，S5=5(a1+a5)/2，S10=10(a1+a10)/2，兩式相減得S5-S10=5(a5-a10)，即S5-S10=5d，其中d是公差。由S5=15和S10=50可得d=5，所以S15=5S10=250。

5.55

解析思路：由等腰三角形的性質，底角相等，所以∠ABC=∠ACB，又因為∠BAC=70°，所以∠ABC=180°-70°=110°。

6.8

解析思路：由等比數列的性質，b^2=ac，代入a+c=12得b^2=12b，解得b=12或b=0，因為b不能為0，所以b=12，所以a+c=2b=24。

三、解答題答案：

7.

（1）數列{an}的前n項和為Sn=3n(n+1)^2/2-2n(n+1)/2。

（2）數列{an}的前n項平均數為(Sn/n)=(3n(n+1)^2/2-2n(n+1)/2)/n。

8.線段AB的長度為√[(2-(-3))^2+(3-2)^2]=√[25+1]=√26。

四、應用題答案：

9.

（1）小明以4米/秒的速度前進的時間為200/4=50秒。

（2）小明以6米/秒的速度前進的距離為50-200/4=25米。

10.

（1）長方形的面積是100/2=50平方米，寬是50/3米，長是100/3米。

（2）剩余的空地面積是50-80×2=20平方米。

五、證明題答案：

11.

證明：設三角形ABC的三個內角為∠A、∠B、∠C，對應的外角為∠D、∠E、∠F。由三角形內角和定理，∠A+∠B+∠C=180°，所以∠D+∠E+∠F=360°-∠A-∠B-∠C=180°。又因為∠D=∠A+∠B，∠E=∠B+∠C，∠F=∠C+∠A，所以∠D+∠E+∠F=∠A+∠B+∠C，即外角等于不相鄰的兩個內角之和。

六、綜合題答案：

12.

（1）數列{an}的第5項為a5=a1*q^(5-1)=2*3^4=162。

（2