第二章長方體（一）知識歸納與題型突破01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識速記一、長方體、正方體的特征及拼組1.長方體有8個頂點，6個面，每個面都是長方形（特殊情況下有2個相對的面是正方形）；相對的面面積相等；有12條棱，可以分為3組，分別叫長、寬、高。相對的棱長度相等。2.正方體有8個頂點，6個面，每個面都相同，都是正方形；有12條棱，每條棱的長度都相等。3.正方體可以看成是長、寬、高都相等的特殊長方體。二、長方體、正方體的展開與折疊1.正方體的展開圖是由6個完全相同的正方形組成的組合圖形，有11種；相對的面完全隔開，正方形的邊長是正方體的棱長。2.長方體的展開圖可按上下、前后、左右對應(yīng)的面進行組合、折疊成原來的形狀。三、長方體表面積的意義和計算方法1.長方體和正方體6個面的面積之和就是他們的表面積。2.長方體的表面積計算方法=長×寬×2+長×高×2+高×寬×2=（長×寬+長×高+高×寬）×23.正方體的表面積=棱長×棱長×6四、正方體組合體露在外面的面積計算方法1.計算堆放在墻角的正方體搭成的組合體露在外面的面積時，要先數(shù)出露在外面的面的總個數(shù)，再用一個面的面積乘面的總個數(shù)。2.數(shù)堆放在一起的正方體搭成的組合體露在外面的面的個數(shù)時，要先觀察正方體的擺放特點，再從中找露在外面的面的個數(shù)與正方體的個數(shù)之間存在的規(guī)律。0303題型歸納題型一長方體、正方體的特征及拼組例1．（2024秋?東?？h期中）媽媽的生日快到了，瑩瑩精心選了一個小禮物表達自己對媽媽的感激之情，并用一個長20cm、寬18cm、高6cm的長方體禮盒裝起來?，F(xiàn)在她需要一根彩帶捆扎禮盒（打結(jié)處的彩帶長12cm），一共需要彩帶多少厘米？【分析】彩帶的總長包括2條長、2條寬、4條高及打結(jié)處的長度，據(jù)此解答。【解答】解：20×2+18×2+6×4+12＝40+36+24+12＝112（厘米）答：一共需要彩帶112厘米。【點評】本題考查了長方體棱長總和計算方法的應(yīng)用。鞏固訓(xùn)練1．（2024秋?鹽都區(qū)期中）如圖，有一個長6分米、寬4分米、高都是3分米的長方體硬紙箱，如果用繩子將箱子橫著捆兩道，長著捆一道，打結(jié)處共用20厘米。一共要用繩子多長？【分析】根據(jù)長方體的特征，相對的棱的長度相等，由圖形可知：所需繩子的長度等于2條長+4條寬+6條高+打結(jié)用的20厘米，據(jù)此解答?！窘獯稹拷猓?0厘米＝2分米6×2+4×4+3×6+2＝12+16+18+2＝48（分米）答：一共用繩子48分米?！军c評】此題考查的目的是理解掌握長方體的特征，以及棱長和的計算方法，關(guān)鍵是弄清如何捆扎的。2．（2024春?博白縣期末）請把“正方體”和“長方體”分別填入如圖韋恩圖中的相應(yīng)括號里，以正確表示它們的關(guān)系。【分析】長方體和正方體都有6個面，12條棱，8個頂點，當長方體的12條棱全部相等時，就是正方體，正方體是特殊的長方體?！窘獯稹拷猓喝鐖D：【點評】本題考查了長方體和正方體的特征。3．（2023?金安區(qū)）有一個立方體，每個面上分別寫著數(shù)字1、2、3、4、5、6，有三個人從不同角度觀察的結(jié)果如圖所示，那么這個立方體1的對面是，3的對面是，4的對面是．【分析】圖1：正面為1，上面為6，右面為4；圖2：正面為3，上面為2，右面為1；圖3：正面為4，上面為5，右面為3；由圖1和圖2可以確定1的對面是5，由圖1和圖3可以確定4的對面是2，由此解答．【解答】解：根據(jù)題意可知：1的對面不能是6、4和2、3，所以1對5；4的對面不能是1、6和3、5，所以4對2；剩下的是3對6；故答案為：5，6，2．【點評】注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題．題型二長方體、正方體的展開與折疊例2．（2024春?濱江區(qū)校級期中）如圖是一個長方體紙盒的展開圖。（單位：厘米）這個長方體紙盒的表面積是多少？【分析】根據(jù)圖上的信息可知長方體的長為（21﹣5）厘米，寬為10厘米，高為5厘米，根據(jù)長方體的表面積＝（長×寬+長×高+寬×高）×2，代入數(shù)值即可求出這個長方體紙盒的表面積。【解答】解：21﹣5＝16（厘米）（16×10+16×5+10×5）×2＝（160+80+50）×2＝290×2＝580（平方厘米）答：這個長方體紙盒的表面積是580平方厘米。【點評】本題考查長方體表面積的計算及應(yīng)用。理解題意，找出數(shù)量關(guān)系，列式計算即可。鞏固訓(xùn)練1．（2024春?未央?yún)^(qū)期中）如圖中每個方格的邊長都是1厘米，請按要求回答下面各題。（1）如圖中是一個不完整的長方體展開圖，請在合適的位置把缺少的面添上。（2）觀察并想象，與★相對的面的面積是平方厘米?！痉治觥浚?）根據(jù)長方體的展開圖畫出缺少的一個面即可；（2）和★相對的面的面積即是含有★這個面的面積，根據(jù)“長方形的面積公式＝長×寬”即可求解?！窘獯稹拷猓海?）如下圖所示：（2）2×1＝2（平方厘米）答：與★相對的面的面積是2平方厘米。故答案為：2?！军c評】本題考查了長方體的展開圖的應(yīng)用。2．（2024?西城區(qū)）如圖是一個正方體紙盒，將它的上半部分涂上顏色。（1）如果正方體紙盒的棱長為4dm，那么涂色部分的面積是多少平方分米？（2）請在如圖的展開圖中把涂色部分補充完整?！痉治觥浚?）讀題可知：涂色部分的面積正好占原來正方體表面積的一半，據(jù)此作答即可。（2）看圖發(fā)現(xiàn)：展開圖中整個正方形涂滿顏色的面對應(yīng)的是正方體的上底面，除了與它相對的下底面（展開圖中最左端的正方形）不用涂色以外，其中“相鄰”的面都要各涂一半?！窘獯稹拷猓海?）4×4×6÷2＝16×6÷2＝96÷2＝48（平方分米）答：涂色部分的面積是48平方分米。（2）如圖?！军c評】本題考查的知識點主要包括兩個：一是關(guān)于正方體的表面積的計算問題，二是關(guān)于正方體表面展開圖的認識與應(yīng)用問題。3．（2024?西城區(qū)）圖是正方體的展開圖。在圖中標上數(shù)，再把它還原成正方體，相交于同一頂點的三個面上的數(shù)的和最大是。【分析】“1—4—1”型正方體的展開圖，“1”和“4”是相對面，“3”和“2”是相對面，“5”和“6”是相對面，相交于同一頂點的三個面是相鄰面，并且三個面不在同一行，據(jù)此解答?！窘獯稹拷猓褐虚g一行相鄰的兩個面最大的兩個數(shù)是“3”和“4”，另外一個面最大是“6”。3+4+6＝13所以，相交于同一頂點的三個面上的數(shù)的和最大是13。故答案為：13?！军c評】本題主要考查正方體的展開圖，理解三個相鄰的面不在同一行是解答題目的關(guān)鍵。題型三長方體表面積的意義和計算方法例3．（2023秋?南京期末）已知②號正方體的棱長是①號的2倍。王師傅給①號正方體的表面刷油漆，正好用了1罐。錢師傅準備給②號正方體的表面刷油漆，錢師傅說“那我準備這樣的2罐油漆就夠了?！卞X師傅說對了嗎？為什么？（可以寫一寫，算一算）【分析】根據(jù)“正方體表面積＝六個正方形面積之和”分別求出①號和②號正方體的表面積，用②號正方體的表面積除以①號正方體的表面積即是②號正方體刷油漆需要的罐數(shù)?！窘獯稹拷猓哄X師傅說得不對。假設(shè)①號正方體的棱長是1，則②號正方體的棱長是2。①號正方體的表面積是：1×1×6＝6②號正方體的表面積是：2×2×6＝2424÷6＝4（罐）即王師傅給①號正方體的表面刷油漆，正好用了1罐。錢師傅準備給②號正方體的表面刷油漆，錢師傅需要4罐。答：錢師傅說得不對，因為他需要4罐。【點評】本題考查了正方體表面積計算的應(yīng)用。鞏固訓(xùn)練1．（2024秋?洪澤區(qū)期中）求如圖的表面積。【分析】根據(jù)正方體的表面積＝棱長×棱長×6，把數(shù)據(jù)代入公式解答。【解答】解：0.5×0.5×6＝0.25×6＝1.5（平方分米）答：這個正方體的表面積是1.5平方分米?！军c評】此題主要考查正方體表面積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。2．（2024春?大冶市期末）如圖，將一個長方體分割成兩個小長方體，分別按A、B、C三種方式進行分割后，表面積分別增加了12平方厘米、24平方厘米、16平方厘米。原來這個長方體的表面積是多少平方厘米？【分析】通過觀察圖形可知，用三種不同的方式把這個長方體分割成兩個小長方體，每切割一次就增加兩個切面的面積；從左往右，圖A是平行于左右面切，增加2個寬×高的面積；圖B是平行于前后面切，增加2個長×高的面積；圖C是平行于上下面切，增加2個長×寬的面積；根據(jù)長方體的表面積＝長×寬×2+長×高×2+寬×高×2，三種方式切割增加的表面積之和就是原來長方體的表面積?！窘獯稹拷猓?2+24+16＝36+16＝52（平方厘米）答：原來這個長方形的表面積是52平方厘米?！军c評】明確立體圖形切割時，增加的表面積是哪些面的面積。3．（2024秋?淮安月考）一種長方體的廣告燈箱，框架由鋁合金條制成，各個面由燈箱布圍成。制作一個這樣的廣告燈箱：（1）至少需要鋁合金條多少米？（2）需要燈箱布多少平方米？【分析】（1）根據(jù)長方體的棱長總和＝（長+寬+高）×4，把數(shù)據(jù)代入公式解答。（2）根據(jù)長方體的表面積＝（長×寬+長×高+寬×高）×2，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！窘獯稹拷猓海?）（0.8+1.5+1.2）×4＝3.5×4＝14（米）答：至少需要鋁合金條14米。（2）（0.8×1.5+0.8×1.2+1.5×1.2）×2＝（1.2+0.96+1.8）×2＝3.96×2＝7.92（平方米）答：需要燈箱布7.92平方米?！军c評】此題主要考查長方體的棱長總和公式、長方體的表面積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。題型四正方體組合體露在外面的面積計算方法例4．（2023春?湖濱區(qū)期中）如圖，王樂在墻角處用棱長為1cm厘米的小正方體搭建了一個長方體進行研究，發(fā)現(xiàn)了很多奧秘，你也是火眼金睛，試試吧：（1）有三個面露在外面的小正方體有個；（2）有兩個面露在外面的小正方體有個；（3）只有一個面露在外面的小正方體有個，露在外面的面積是cm2，這個長方體的體積是cm3?！痉治觥浚?）有三個面露在外面的小正方體在長方體不靠墻面和地面的頂點處，如圖；（2）兩個面露在外面的小正方體，如圖；（3）只有一個面露在外面的小正方體，如圖；邊長1cm的小正方形，面積是1cm2，據(jù)此從前面、右面和上面數(shù)出露在外面的小正方形個數(shù)就是露在外面的面積；分別數(shù)出長、寬、高，根據(jù)長方體體積＝長×寬×高，計算出體積即可?！窘獯稹拷猓海?）有三個面露在外面的小正方體有1個；（2）有兩個面露在外面的小正方體有4個；（3）1×1＝1（平方厘米）4+6+6＝10+6＝16（個）16×1＝16（平方厘米）3×2×2＝6×2＝12（立方厘米）答：只有一個面露在外面的小正方體有5個，露在外面的面積是16平方厘米，這個長方體的體積是12立方厘米。故答案為：1；4；5，16，12。【點評】本題考查了立體圖形的拼組知識，關(guān)鍵是認真觀察，掌握并靈活運用長方體表面積和體積公式。鞏固訓(xùn)練1．（2023春?惠來縣期末）如圖所示，某藝術(shù)館要給墻角處的三個正方體木箱（大小一樣）露在外面的面刷油漆，每平方米需要250克油漆，已知一個木箱的棱長是20厘米，則一共需要多少克油漆？【分析】先數(shù)出露在的面的個數(shù)，從正面看有3個面露在外面，從上面看有2個面積露在外面，從右邊看有2個面露在外面，一共有3+2+2個面露在外面；再根據(jù)正方形面積公式：面積＝邊長×邊長，代入數(shù)據(jù)，求出正方體一個面的面積，再乘露在外面面的個數(shù)，求出需要刷油漆的面積，再乘250，即可求出需要油漆的數(shù)量。【解答】解：3+2+2＝7（個）20厘米＝0.2米0.2×0.2×7×250＝0.28×250＝70（克）答：一共需要70克油漆?！军c評】本題主要考查正方體表面積公式的應(yīng)用。2．（2023春?河源期中）將6個棱長都是3厘米的正方體如下圖擺放，露在外面的面有幾個？露在外面的面積是多少？【分析】觀察圖形知道，從上面看到4個正方形面，從前面看到3個正方形面，從右面看到4個正方形的面，所以露在外面的面一共是4+3+4＝11（個），由此根據(jù)正方形的面積公式S＝a×a，求出一個正方形的面積，再乘11即可?！窘獯稹拷猓?+3+4＝11（個）3×3×11＝9×11＝99（平方厘米）答：露在外面的面有11個，露在外面的面積是99平方厘米?！军c評】本題考查了運用正方體的表面積計算方法解答問題，解答本題的關(guān)鍵是要先找出每個正方體露在外面的有幾個面，然后再求出露在外面的面積即可。3．（2023春?羅湖區(qū)期中）想一想，填一填。小正方體個數(shù)1234n露在外面的面/個【分析】根據(jù)圖示可知：1個小正方體露在外面的面：5個；2個小正方體露在外面的面：5+3＝8（個）；3個小正方體露在外面的面：5+3+3＝1