五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)高效學(xué)習(xí)工具箱（2025年版）——緊貼課本·分層突破·思維升級(jí)·助力滿分各位老師好！備課找資料是不是經(jīng)常遇到這些煩惱？網(wǎng)上資源太多挑花眼，的習(xí)題總是不對(duì)路，好不容易找到合適的又不夠系統(tǒng)...為了解決這些痛點(diǎn)，特推出這套《五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)高效學(xué)習(xí)工具箱（2025版）》，專為課堂教學(xué)+課后練習(xí)+階段復(fù)習(xí)量身定制！模塊名稱定位內(nèi)容構(gòu)成核心優(yōu)勢(shì)適用場(chǎng)景課堂法寶·同步講練篇課堂教學(xué)計(jì)算題+應(yīng)用題組合

知識(shí)點(diǎn)變式訓(xùn)練包考點(diǎn)全覆蓋

一題多練新課講授

當(dāng)堂檢測(cè)提分利器·專項(xiàng)突破篇課后鞏固1520題/專項(xiàng)

填空/選擇/應(yīng)用全題型題型最全面

題量黃金比作業(yè)布置

薄弱項(xiàng)特訓(xùn)復(fù)習(xí)神器·單元總結(jié)篇復(fù)習(xí)階段思維導(dǎo)圖+易錯(cuò)清單

單元卷+答案解析系統(tǒng)性強(qiáng)

查漏補(bǔ)缺快考前復(fù)習(xí)

假期鞏固思維躍升·素養(yǎng)進(jìn)階篇能力拓展生活應(yīng)用題集

數(shù)學(xué)思想方法論銜接課標(biāo)

培養(yǎng)高階思維社團(tuán)活動(dòng)

競(jìng)賽輔導(dǎo)分層檢測(cè)·質(zhì)量評(píng)價(jià)篇教學(xué)評(píng)估A卷（基礎(chǔ)題70%）

B卷（提升題20%）

C卷（拓展題10%）精準(zhǔn)分層

快速評(píng)價(jià)報(bào)告隨堂測(cè)驗(yàn)

個(gè)性化作業(yè)在資料整理過程中，因?yàn)閭€(gè)人知識(shí)結(jié)構(gòu)與認(rèn)知視角所限，融入了部分主觀見解，可能致使資料出現(xiàn)一些錯(cuò)漏之處。在此，期望大家能夠以敏銳的視角審視資料。如若發(fā)現(xiàn)任何問題，煩請(qǐng)您不吝指出。一旦收到反饋，將立即修正完善。在此，衷心地感謝大家的理解與信任，期待在您的助力下，這份資料能夠更好地服務(wù)于大家的學(xué)習(xí)與工作。2025年2月17日20242025學(xué)年度五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步講練篇第二單元因數(shù)和倍數(shù)（質(zhì)數(shù)和合數(shù)）單元名稱第二單元因數(shù)和倍數(shù)知識(shí)概覽質(zhì)數(shù)和合數(shù)考點(diǎn)數(shù)量4大考點(diǎn)·2拓展考點(diǎn)（考點(diǎn)+例題+練習(xí)）難易程度☆☆☆☆☆備注：拓展考點(diǎn)根據(jù)實(shí)際情況可選擇性運(yùn)用。

TOC\o"11"\h\u【考點(diǎn)1】判斷質(zhì)數(shù)和合數(shù) 3【考點(diǎn)2】質(zhì)數(shù)和合數(shù)特殊情況的運(yùn)用 4【考點(diǎn)3】奇數(shù)和偶數(shù)運(yùn)算性質(zhì)（加法） 5【考點(diǎn)4】逐步分解法分解質(zhì)因數(shù) 8【拓展考點(diǎn)1】短除法分解質(zhì)因數(shù) 9【拓展考點(diǎn)2】分解質(zhì)因數(shù)求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù) 11

【考點(diǎn)1】判斷質(zhì)數(shù)和合數(shù)【思路點(diǎn)撥】一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它自身外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也稱為素?cái)?shù)。一個(gè)大于1的整數(shù)，如果除了1和它本身以外，還有其他的約數(shù)，這樣的數(shù)就叫作合數(shù)。可以通過查閱質(zhì)數(shù)表來快速判斷一個(gè)數(shù)是否為質(zhì)數(shù)。常見的質(zhì)數(shù)表列出了一定范圍內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)，如100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。：著名的哥德巴赫猜想中提到：任意一個(gè)大于2的偶數(shù)，一定能寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)相加的和。利用這一猜想，拆分下面的偶數(shù)：20＝()＋()，28＝()＋()，34＝()＋()。答案：317523331分析：質(zhì)數(shù)是只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)的自然數(shù)。例如34以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31。可通過試驗(yàn)分別找出兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和，分別是20、28、34。據(jù)此解答。詳解：20＝3＋17（答案不唯一）28＝5＋23（答案不唯一）34＝3＋31（答案不唯一）1．15的因數(shù)有()，這些因數(shù)中有()個(gè)質(zhì)數(shù)。答案：1、3、5、152分析：可以列乘法算式找因數(shù)，按照從小到大的順序，一組一組地寫出所有積是15的乘法算式，乘法算式中的兩個(gè)因數(shù)就是15的因數(shù)。只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)。1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。據(jù)此解答。詳解：3和5都是質(zhì)數(shù)。所以，15的因數(shù)有1、3、5、15，這些因數(shù)中有2個(gè)質(zhì)數(shù)。2．一個(gè)數(shù)，億位上是最大的一位數(shù)，千萬位上是6，萬位上是最小的合數(shù)，千位上是最小的質(zhì)數(shù)，其余數(shù)位上都是0，這個(gè)數(shù)是()，四舍五入到億位約是()億。答案：96004200010分析：一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)。一個(gè)數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫做合數(shù)。整數(shù)的寫法：從高位到低位，一級(jí)一級(jí)地寫，哪一個(gè)數(shù)位上一個(gè)單位也沒有，就在那個(gè)數(shù)位上寫0。省略“億”后面的尾數(shù)就是四舍五入到億位，把億位后的千萬位上的數(shù)進(jìn)行四舍五入，再在數(shù)的后面寫上“億”字。詳解：960042000≈10億一個(gè)數(shù)，億位上是最大的一位數(shù)，千萬位上是6，萬位上是最小的合數(shù)即4，千位上是最小的質(zhì)數(shù)即2，其余數(shù)位上都是0，這個(gè)數(shù)是960042000，四舍五入到億位約是10億。3．一個(gè)三位數(shù)，百位上的數(shù)是既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，十位上的數(shù)是最小的質(zhì)數(shù)，個(gè)位上的數(shù)是最小的合數(shù)，這個(gè)三位數(shù)是()。答案：124分析：只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)；除了1和它本身，還有其它因數(shù)的數(shù)叫做合數(shù)。1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，最小的質(zhì)數(shù)是2，最小的合數(shù)是4。據(jù)此解答。詳解：通過分析可得：這個(gè)三位數(shù)是124。【考點(diǎn)2】質(zhì)數(shù)和合數(shù)特殊情況的運(yùn)用【思路點(diǎn)撥】1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。2是最小的質(zhì)數(shù)，也是唯一的偶質(zhì)數(shù)。：自然數(shù)中除了奇數(shù)就是偶數(shù)，除了質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。()答案：×分析：能被2整除的數(shù)是偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)；只有本身和1兩個(gè)因數(shù)的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，除了1和它本身之外還有其他因數(shù)的數(shù)是合數(shù)，1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。據(jù)此判斷。詳解：由分析可知，在自然數(shù)中，除了奇數(shù)就是偶數(shù)，說法正確。1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，所以除了質(zhì)數(shù)、合數(shù)外還有1，后半句說法錯(cuò)誤。故答案為：×1．一個(gè)非零自然數(shù)含有因數(shù)2，那么這個(gè)數(shù)一定是合數(shù)。()答案：×分析：根據(jù)合數(shù)和質(zhì)數(shù)的意義：一個(gè)自然數(shù)，除了1和它本身兩個(gè)因數(shù)外，還有其它的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)，一個(gè)自然數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，據(jù)此判斷即可。詳解：2的最大因數(shù)是它本身，2是最小的質(zhì)數(shù)，因此，含有因數(shù)2的自然數(shù)是一定是合數(shù)，這種說法錯(cuò)誤。故答案為：×2．個(gè)位上是1、3、5、7、9的數(shù)，都是質(zhì)數(shù)。()答案：×分析：一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫作質(zhì)數(shù)；據(jù)此可以舉例進(jìn)行判斷。詳解：個(gè)位上是1、3、5、7、9的數(shù)，都是質(zhì)數(shù)的說法錯(cuò)誤，例如21的因數(shù)除了1和它本身外，還有3和7。所以原題說法錯(cuò)誤。故答案為：×3．兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。()答案：×分析：只用1和它本身兩個(gè)因數(shù)的數(shù)是質(zhì)數(shù)；除了1和它本身兩個(gè)因數(shù)，還有其它因數(shù)的數(shù)是合數(shù)。1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。據(jù)此解答。詳解：當(dāng)這個(gè)兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)是0和1時(shí)，它們的和：0＋1＝1，1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。題目說，兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)，這種說法是錯(cuò)誤的。故答案為：×【考點(diǎn)3】奇數(shù)和偶數(shù)運(yùn)算性質(zhì)（加法）【思路點(diǎn)撥】奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)。：一個(gè)兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)和一個(gè)兩位數(shù)的合數(shù)的和、差均為奇數(shù)，并且質(zhì)數(shù)、合數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字和十位上的數(shù)字分別交換后，質(zhì)數(shù)變成合數(shù)，合數(shù)變成質(zhì)數(shù)。原來的質(zhì)數(shù)和合數(shù)各是多少？（已知原來的質(zhì)數(shù)和合數(shù)均為15~20之間的數(shù)。）答案：質(zhì)數(shù)：19；合數(shù)：16分析：能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。質(zhì)數(shù)：一個(gè)數(shù)，只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)；合數(shù)：一個(gè)數(shù)，除了1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)；奇數(shù)和偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：①偶數(shù)±偶數(shù)＝偶數(shù)②奇數(shù)±奇數(shù)＝偶數(shù)③偶數(shù)±奇數(shù)＝奇數(shù)據(jù)此找出15~20的質(zhì)數(shù)和合數(shù)，再進(jìn)行分析，即可解答。詳解：15~20的質(zhì)數(shù)有：17，19；合數(shù)：15，16，18，20。17個(gè)位上的數(shù)字和十位上的數(shù)字調(diào)換是71，71是質(zhì)數(shù)，不符合題意。19個(gè)位上的數(shù)字和十位上的數(shù)字調(diào)換是91，91是合數(shù)，符合題意。15個(gè)位上的數(shù)字和十位上的數(shù)字調(diào)換是51，51是合數(shù)；不符合題意。16個(gè)位上的數(shù)字和十位上的數(shù)字調(diào)換是61，61是質(zhì)數(shù)；符合題意。18個(gè)位上的數(shù)字和十位上的數(shù)字調(diào)換是81，81是合數(shù)；不符合題意。20個(gè)位上的數(shù)字和十位上的數(shù)字調(diào)換是02，不符合題意。因?yàn)?9＋16＝35；35是奇數(shù)；19－16＝3；3是奇數(shù)，所以原來的質(zhì)數(shù)是19，合數(shù)是16。答：原來的質(zhì)數(shù)是19，合數(shù)是16。1．6月28日是媽媽的生日，芳芳拿出壓歲錢計(jì)劃到花店給媽媽買一束鮮花。看過價(jià)格表之后，芳芳選了一些康乃馨和郁金香，售貨員說她應(yīng)該付63元，你覺得售貨員說的對(duì)嗎？說說你的理由。

答案：不對(duì)；理由見詳解（理由合理即可）。分析：康乃馨每枝8元，郁金香每枝4元，8和4都是偶數(shù)。因?yàn)榕紨?shù)×偶數(shù)＝偶數(shù)，偶數(shù)×奇數(shù)＝偶數(shù)，所以買康乃馨的錢數(shù)是偶數(shù)，買郁金香的錢數(shù)也是偶數(shù)。又因?yàn)榕紨?shù)＋偶數(shù)＝偶數(shù)，所以買康乃馨和郁金香的總錢數(shù)是偶數(shù)。根據(jù)奇數(shù)、偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解答即可。詳解：售貨員說的不對(duì)。理由：8和4都是偶數(shù)，偶數(shù)的倍數(shù)一定是偶數(shù)，所以無論各買幾枝康乃馨和郁金香，積都是偶數(shù)；兩個(gè)偶數(shù)積相加還是偶數(shù)，不可能出現(xiàn)奇數(shù)，而63是奇數(shù)，所以售貨員說的不對(duì)。（理由合理即可）點(diǎn)睛：此題考查了奇數(shù)、偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及奇數(shù)、偶數(shù)的意義。2．實(shí)驗(yàn)小學(xué)抽調(diào)35名教師分別到甲、乙兩個(gè)社區(qū)參加創(chuàng)城志愿者服務(wù)活動(dòng)。如果抽調(diào)到甲社區(qū)的教師人數(shù)為奇數(shù)，那么抽調(diào)到乙社區(qū)的教師人數(shù)為奇數(shù)還是偶數(shù)？如果抽調(diào)到甲社區(qū)的教師人數(shù)為偶數(shù)呢？請(qǐng)分這兩種情況，用你喜歡的方式（如文字、算式、列表等）說明理由。答案：偶數(shù)；奇數(shù)；理由見詳解分析：由運(yùn)算性質(zhì)的奇偶性可知，奇數(shù)與奇數(shù)的差為偶數(shù)，奇數(shù)與偶數(shù)的差為奇數(shù)，假設(shè)出抽調(diào)到甲社區(qū)的教師人數(shù)，求出抽調(diào)到乙社區(qū)的教師人數(shù)，最后判斷乙社區(qū)的教師人數(shù)為奇數(shù)還是偶數(shù)，據(jù)此解答。詳解：情況1：假設(shè)抽調(diào)到甲社區(qū)了15人。35－15＝20（人）因?yàn)?0為偶數(shù)，所以當(dāng)抽調(diào)到甲社區(qū)的教師人數(shù)為奇數(shù)時(shí)，抽調(diào)到乙社區(qū)的教師人數(shù)為偶數(shù)。情況2：假設(shè)抽調(diào)到甲社區(qū)了10人。35－10＝25（人）因?yàn)?5為奇數(shù)，所以當(dāng)抽調(diào)到甲社區(qū)的教師人數(shù)為偶數(shù)時(shí)，抽調(diào)到乙社區(qū)的教師人數(shù)為奇數(shù)。答：如果抽調(diào)到甲社區(qū)的教師人數(shù)為奇數(shù)，那么抽調(diào)到乙社區(qū)的教師人數(shù)為偶數(shù)，如果抽調(diào)到甲社區(qū)的教師人數(shù)為偶數(shù)，那么抽調(diào)到乙社區(qū)的教師人數(shù)為奇數(shù)。點(diǎn)睛：熟練掌握奇數(shù)和偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是解答題目的關(guān)鍵。3．陽光小學(xué)五（3）班有47名同學(xué)，現(xiàn)在派他們到4個(gè)社區(qū)參加志愿者服務(wù)活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)要求派奇數(shù)名同學(xué)，你能按要求分配任務(wù)嗎？說說你的理由。答案：不能；理由見詳解分析：根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解答即可。詳解：因?yàn)槠鏀?shù)＋奇數(shù)＝偶數(shù)，偶數(shù)＋偶數(shù)＝偶數(shù)，所以4個(gè)奇數(shù)相加的和一定是偶數(shù)，而47不是偶數(shù)，所以無法分配此任務(wù)。點(diǎn)睛：此題主要考查學(xué)生對(duì)奇數(shù)和偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的理解。【考點(diǎn)4】逐步分解法分解質(zhì)因數(shù)【思路點(diǎn)撥】從最小的質(zhì)數(shù)開始，逐個(gè)嘗試能否整除給定的合數(shù)，能整除的就將其作為一個(gè)質(zhì)因數(shù)提出來，然后用商繼續(xù)進(jìn)行分解，直到最后得到的商也是質(zhì)數(shù)為止。：把下面各數(shù)分解質(zhì)因數(shù)。21

56

75

68答案：21＝3×7；56＝2×2×2×7；75＝3×5×5；68＝2×2×17分析：把一個(gè)合數(shù)寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)連乘積的形式，叫做把這個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)。據(jù)此解答。詳解：21＝3×756＝2×2×2×775＝3×5×568＝2×2×171．把下面各數(shù)寫成質(zhì)數(shù)相乘的形式。45

96

70答案：45＝3×3×5；96＝2×2×2×2×2×3；70＝2×5×7分析：求一個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，要從最小的質(zhì)數(shù)除起，一直除到結(jié)果為質(zhì)數(shù)為止。分解質(zhì)因數(shù)的算式叫短除法，和除法的性質(zhì)差不多。分解質(zhì)因數(shù)只針對(duì)合數(shù)。詳解：，45＝3×3×5；，96＝2×2×2×2×2×3；，70＝2×5×72．把下列合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)。36

45

38

95答案：36＝2×2×3×3；45＝3×3×5；38＝2×19；95＝5×19分析：求一個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，要從最小的質(zhì)數(shù)除起，一直除到結(jié)果為質(zhì)數(shù)為止。分解質(zhì)因數(shù)的算式叫短除法，和除法的性質(zhì)差不多。分解質(zhì)因數(shù)只針對(duì)合數(shù)。詳解：，36＝2×2×3×3；，45＝3×3×5；，38＝2×19；，95＝5×19。點(diǎn)睛：每個(gè)合數(shù)都可以寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式，其中每個(gè)質(zhì)數(shù)都是這個(gè)合數(shù)的因數(shù)，把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。3．把下面各數(shù)分解質(zhì)因數(shù)。①78＝

②120＝答案：見詳解分析：分解質(zhì)因數(shù)就是把一個(gè)合數(shù)寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式，據(jù)此將78和120拆分為質(zhì)數(shù)乘積的形式即可。詳解：①78＝2×3×13②120＝2×2×2×3×5【拓展考點(diǎn)1】短除法分解質(zhì)因數(shù)【思路點(diǎn)撥】用一個(gè)能整除這個(gè)合數(shù)的質(zhì)數(shù)（通常從最小的開始）去除，得出的商如果是質(zhì)數(shù)，就把除數(shù)和商寫成相乘的形式；得出的商如果是合數(shù)，就繼續(xù)按上面的方法除下去，直到得出的商是質(zhì)數(shù)為止。最后把所有的除數(shù)和最后的商寫成連乘的形式。：用短除法求出下面各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。18和24

48和72

36和54答案：18和24最大公因數(shù)：2×3＝6，最小公倍數(shù)：2×3×3×4＝72；48和72最大公因數(shù)：2×2×2×3＝24，最小公倍數(shù)：2×2×2×3×2×3＝144；36和54最大公因數(shù)：2×3×3＝18，最小公倍數(shù)：2×3×3×2×3＝108。分析：由題意可知利用短除法求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)時(shí)，先從最小的質(zhì)數(shù)開始依次往上去除，直至兩個(gè)數(shù)互質(zhì)為止即可。詳解：18和24最大公因數(shù)：2×3＝6，最小公倍數(shù)：2×3×3×4＝72；48和72最大公因數(shù)：2×2×2×3＝24，最小公倍數(shù)：2×2×2×3×2×3＝144；36和54最大公因數(shù)：2×3×3＝18，最小公倍數(shù)：2×3×3×2×3＝108。找出下面每組數(shù)的最大公因數(shù)。15和75

18和42

17和18答案：15；6；1分析：①如果兩個(gè)數(shù)中大數(shù)是小數(shù)的倍數(shù)，那么小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)；②當(dāng)兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)時(shí)，它們的最大公因數(shù)是1；③用短除法求最大公因數(shù)，先用這幾個(gè)數(shù)的最小質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所有的商互質(zhì)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來，所得的積就是這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。詳解：（1），所以15和75的最大公因數(shù)是15；（2）18和42的最大公因數(shù)是：；（3）17和18是互質(zhì)數(shù)，所以17和18的最大公因數(shù)是1。【拓展考點(diǎn)2】分解質(zhì)因數(shù)求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)【思路點(diǎn)撥】求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)：通過分解質(zhì)因數(shù)，可