專題02復(fù)數(shù)的幾何表示及三角表示知識歸納與題型突破知識點(diǎn)1復(fù)數(shù)的幾何表示1.復(fù)數(shù)的幾何意義：（1）復(fù)平面的定義建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).（2）復(fù)數(shù)的幾何意義①每一個復(fù)數(shù)都由它的實(shí)部和虛部唯一確定，當(dāng)把實(shí)部和虛部作為一個有序數(shù)對時，就和點(diǎn)的坐標(biāo)一樣，從而可以用點(diǎn)表示復(fù)數(shù)，因此復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)是一一對應(yīng)關(guān)系.②若復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a、b∈R)，則其對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(a，b)，不是(a，bi).③復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為始點(diǎn)的向量也可以建立一一對應(yīng)關(guān)系.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a、b∈R)可以用點(diǎn)Z(a，b)或向量表示.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a、b∈R)與點(diǎn)Z(a，b)和向量的一一對應(yīng)關(guān)系如下：2.復(fù)數(shù)的模：（1）復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a、b∈R)對應(yīng)的向量為，則的模叫做復(fù)數(shù)z的模，記作|z|且|z|＝當(dāng)b＝0時，z的模就是實(shí)數(shù)a的絕對值.（2）復(fù)數(shù)模的幾何意義復(fù)數(shù)模的幾何意義就是復(fù)數(shù)z＝a＋bi所對應(yīng)的點(diǎn)Z(a，b)到原點(diǎn)(0,0)的距離.由向量的幾何意義知，|z1－z2|表示在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z1與z2對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離.（3）模的重要性質(zhì)：①；②；③.3.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)：（1）一般地，當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)記作．（2）（3）共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)：①；②；③.4.復(fù)數(shù)加減法的幾何意義：z1、z1、z3∈C，設(shè)eq\o(OZ1,\s\up6(→))、eq\o(OZ2,\s\up6(→))分別與復(fù)數(shù)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)相對應(yīng)，且eq\o(OZ1,\s\up6(→))、eq\o(OZ2,\s\up6(→))不共線加法減法幾何意義復(fù)數(shù)的和z1＋z2與向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ,\s\up6(→))的坐標(biāo)對應(yīng)復(fù)數(shù)的差z1－z2與向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))－eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝eq\o(Z2Z1,\s\up6(→))的坐標(biāo)對應(yīng)知識點(diǎn)2復(fù)數(shù)的三角表示1.i2=1的幾何意義：2.旋轉(zhuǎn)任意角：3.復(fù)數(shù)三角表示：（1）輻角：θ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線(射線OZ)為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的輻角，記作argz=θ.若θ是z的一個輻角，則z的所有輻角argz=θ+2kπ（k為整數(shù)）復(fù)數(shù)的三角形式：一般地，任何一個復(fù)數(shù)z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是復(fù)數(shù)z的模.4.復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算：（1）乘法：設(shè)復(fù)數(shù)z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，①z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)=r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]即：兩個復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和．②推廣：③乘方：……棣莫佛公式（2）除法：設(shè)復(fù)數(shù)z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，＝＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．即：兩個復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.題型一復(fù)數(shù)用點(diǎn)、向量表示【例1】（2324高一下·四川成都·期中）如圖所示，平行四邊形，頂點(diǎn)分別表示，試求：(1)對角線所表示的復(fù)數(shù)；(2)求點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù).【變式11】（2324高一·上海·課堂例題）如果復(fù)平面上的向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是，那么向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式12】（湖南省部分學(xué)校20242025學(xué)年高三下學(xué)期入學(xué)檢測聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式13】（2324高一·上海·課堂例題）設(shè)復(fù)數(shù)、、、、．(1)在復(fù)平面上分別作出這些復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)A、B、C、D、E；(2)在復(fù)平面上分別作出這些復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量．題型二根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)求參數(shù)【例2】（2223高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足，且z的虛部為1，z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.(1)求z；(2)若z，在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求【變式21】（多選）（2425高一下·全國·課后作業(yè)）（多選）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A．1 B． C． D．【變式22】（2425高一下·全國·課后作業(yè)）在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)：分別求實(shí)數(shù)的取值范圍．(1)在虛軸上；(2)在第二，四象限；【變式23】（2324高一下·陜西商洛·期末）已知，復(fù)數(shù).(1)若為純虛數(shù)，求；(2)若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求整數(shù)的值.題型三共軛復(fù)數(shù)及其運(yùn)算【例3】（2425高三上·河南周口·期末）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，為的共軛復(fù)數(shù)，則（

）A．0 B．2 C． D．4【變式31】（2324高一下·廣東廣州·階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)滿足，則其共軛復(fù)數(shù)的模為（

）A．1 B． C． D．【變式32】（2425高三上·黑龍江·期末）已知復(fù)數(shù)，若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A． B． C．2 D．3【變式33】（2425高三上·上海嘉定·期中）已知復(fù)數(shù)，，則.題型四共軛復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)特征【例4】（2324高一下·山東青島·期末）已知復(fù)數(shù)z滿足，則的虛部為（

）A． B．1 C． D．i【變式41】（2425高二上·云南曲靖·階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部是（

）A． B．i C．i D．1【變式42】（2425高三下·北京·開學(xué)考試）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式43】（2425高三上·寧夏銀川·期末）已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限題型五求復(fù)數(shù)的模【例5】（2425高三上·山西呂梁·階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B． C．2 D．【變式51】（2024·浙江·一模）已知復(fù)數(shù)（其中是虛數(shù)單位），則（

）A．2 B．1 C． D．【變式52】（多選）（2324高一下·青海·期末）已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B．C．的虛部是 D．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限【變式53】（2324高一下·山東淄博·期中）復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)的虛部是.題型六根據(jù)復(fù)數(shù)的模求參數(shù)【例6】（2425高一上·上海·課后作業(yè)）已知復(fù)數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【變式61】（2425高三上·上海·期中）記是虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)且，則復(fù)數(shù)的虛部為.【變式62】（2425高一上·上海·隨堂練習(xí)）已知復(fù)數(shù)（），且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式63】（2324高一下·江蘇·期末）滿足且的復(fù)數(shù).題型七與復(fù)數(shù)模相關(guān)的圖形、軌跡【例7】（2425高一下·全國·課堂例題）已知，指出下列等式所表示的幾何圖形．(1)；(2)．【變式71】（2425高一下·全國·課后作業(yè)）已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的集合是什么圖形（

）A．一個圓 B．線段 C．兩點(diǎn) D．兩個圓【變式72】（2324高一下·甘肅酒泉·期末）已知復(fù)數(shù)z的模為2，則的最大值為．【變式73】（2425高一下·全國·課前預(yù)習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)，，則的取值范圍是．題型八復(fù)數(shù)加減法的幾何意義【例8】（2024高一下·全國·專題練習(xí)）（1）根據(jù)復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何意義，求復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)，之間的距離.（2）求復(fù)平面內(nèi)下列兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離：①；②.【變式81】（多選）（2425高一下·全國·課后作業(yè)）（多選）在復(fù)平面內(nèi)有一個平行四邊形，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．點(diǎn)位于第二象限C． D．【變式82】（2324高一下·四川樂山·期中）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別是，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為．【變式83】（2024高一下·全國·專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)滿足，且，求.題型九復(fù)數(shù)代數(shù)形式與三角形式的互化【例9】（2324高一·上海·課堂例題）把下列復(fù)數(shù)用三角形式表示：(1)；(2)；(3)；(4)．【變式91】（2425高一上·上海·課堂例題）計算，并用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式表示計算結(jié)果：(1)；(2)．【變式92】（2425高一上·上海·隨堂練習(xí)）把下列復(fù)數(shù)用三角形式表示.(1)；(2)；(3)；(4).【變式93】（2425高一下·全國·課后作業(yè)）已知實(shí)數(shù)，寫出下列復(fù)數(shù)的三角表示．(1)；(2)；(3)；(4)．題型十復(fù)數(shù)三角形式的乘法（方）【例10】（2425高一上·上海·課堂例題）計算：(1)；(2)．【變式101】（2324高一下·河南安陽·階段練習(xí)）法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理，則（

）A．1 B． C． D．【變式102】（2425高一上·上海·課后作業(yè)）計算：．【變式103】（2324高一·上海·課堂例題）設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的向量是，將繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到向量．求向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)．（結(jié)果用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式表示）題型十一復(fù)數(shù)三角形式的