試題PAGE1試題2024北京通州高二（下）期末數學一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．已知全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{x∈Z|x2＜4}，則?UA＝（）A．{﹣3，3} B．{2，3} C．{﹣1，0，1} D．{﹣3，﹣2，2，3}2．下列函數中，在區間（0，+∞）上單調遞增的是（）A． B．f（x）＝（x﹣1）2 C．f（x）＝lgx D．3．已知，b＝30.1，，則（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a4．設A，B為兩個隨機事件，若，P（A）＝，P（B）＝，則P（A|B）＝（）A． B． C． D．5．已知a＞0，b＞0，則“ab＝1”是“a+b≥2”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．在（x﹣2）10的展開式中，x6的系數為（）A．16C B．32C C．﹣8C D．﹣16C7．有兩臺車床加工同一型號零件，第1臺加工的次品率為4%，第2臺加工的次品率為5%，將兩臺車床加工出來的零件混放在一起，已知第1臺，第2臺車床加工的零件占比分別為40%，60%，現任取一件零件，則它是次品的概率為（）A．0.044 B．0.046 C．0.050 D．0.0908．某工廠生產一種產品需經過一，二，三，四共4道工序，現要從A，B，C，D，E，F這6名員工中選出4人，安排在4道工序上工作（每道工序安排一人），如果員工A不能安排在第四道工序，則不同的安排方法共有（）A．360種 B．300種 C．180種 D．120種9．設函數f（x）為定義在R上的奇函數，若曲線y＝f（x）在點（2，4）處的切線的斜率為10，則f′（﹣2）+f（﹣2）＝（）A．﹣16 B．﹣6 C．6 D．1610．已知函數，若g（x）＝f（x）﹣a有3個零點，則a的取值范圍為（）A．（﹣1，0） B． C． D．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）函數的定義域是．12．（5分）不等式x2﹣x﹣12＞0的解集是．13．（5分）某區高二年級4000名學生的期中檢測的數學成績服從正態分布N（90，152），則成績位于[90，105]的人數大約是．（參考數據P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545）14．（5分）已知命題P：函數為R上的增函數．能說明P為假命題的一組a，b的值為a＝，b＝．15．（5分）已知函數f（x）＝|lnx|+b，關于以下四個結論：①函數f（x）的值域為[b，+∞）；②當a＞b時，方程f（x）＝a有兩個不等實根；③當b＝0，a＞0時，設方程f（x）＝a的兩個根為x1，x2，則x1+x2為定值；④當b＝0，a＞0時，設方程f（x+1）＝a的兩個根為x1，x2，則x1x2+x1+x2＝0．則所有正確結論的序號為．三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。16．（10分）已知函數．（Ⅰ）若函數f（x）為奇函數，求實數a的值；（Ⅱ）當a＝2，b＝1時，求函數f（x）在區間（0，+∞）上的最小值．17．（15分）某班級的所有學生中，課前是否預習本節課所學內容的人數情況如下表所示．男生女生預習了所學內容1217沒預習所學內容65現從該班所有學生中隨機抽取一人．（Ⅰ）求抽到預習了所學內容的概率；（Ⅱ）若抽到的同學是男生，求他預習了所學內容的概率；（Ⅲ）試判斷“抽到的同學是男生”與“抽到的同學預習了所學內容”是否相互獨立，并說明理由．18．（15分）為促進全民閱讀，建設書香校園，某校在寒假面向全體學生發出“讀書好、讀好書、好讀書”的號召，并開展閱讀活動．開學后，學校隨機抽取了100名學生，調查這100名學生的假期日均閱讀時間（單位：分鐘），得到了如下所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）若該校共有2000名同學，試估計該校假期日均閱讀時間在[20，60）內的人數；（Ⅱ）開學后，學校從日均閱讀時間不低于60分鐘的學生中，按照分層抽樣的方式，抽取了6名學生作為代表進行國旗下演講．若演講安排在第二，三，四周（每周兩人，不重復）進行．求第二周演講的2名學生系少有一名同學的日均閱讀時間處于[60，80）的概率；（Ⅲ）用頻率估計概率，從該校學生中隨機抽取3人，設這3人中日均閱讀時間不低于60分鐘人數為X，求X的分布列與數學期望E（X）．19．（15分）某農產品經銷商計劃分別在甲、乙兩個市場銷售某種農產品（兩個市場的銷售互不影響），為了了解該種農產品的銷售情況，現分別調查了該農產品在甲、乙兩個市場過去10個銷售周期內的銷售情況，得下表：銷售量銷售周期個數市場3噸4噸5噸甲343乙253（Ⅰ）從過去10個銷售周期中隨機抽取一個銷售周期，求甲市場銷售量為4噸的概率；（Ⅱ）以市場銷售量的頻率代替銷售量的概率．設X（單位：噸）表示下個銷售周期兩個市場的總銷售量，求隨機變量X概率分布列；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設該經銷商計劃在下個銷售周期購進n噸該產品，在甲、乙兩個市場同時銷售，已知該產品每售出1噸獲利1000元，未售出的產品降價處理，每噸虧損200元．以銷售利潤的期望作為決策的依據，判斷n＝7與n＝8應選用哪一個．20．（15分）已知函數f（x）＝2x3﹣3x2+x．（Ⅰ）若曲線y＝f（x）在點（x0，f（x0））處的切線的斜率為1，求曲線y＝f（x）在點（x0，f（x0））處的切線方程；（Ⅱ）定義：若?x∈[a，b]，均有f（x）≤g（x），則稱函數g（x）為函數f（x）的控制函數．（i）?x∈[0，1]，試問g（x）＝x是否為函數f（x）＝2x3﹣3x2+x的“控制函數”？并說明理由；（ii）?x∈[0，3]，若g（x）＝x+m為函數f（x）＝2x3﹣3x2+x的“控制函數”，求實數m的取值范圍．21．（15分）已知函數．（Ⅰ）當a＝e時，求f（x）的最小值；（Ⅱ）求f（x）的單調區間；（Ⅲ）寫出f（x）的零點個數（直接寫出結果）．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．【分析】根據已知條件，結合補集的定義，即可求解．【解答】解：全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{x∈Z|x2＜4}＝{﹣1，0，1}，則?UA＝{﹣3，﹣2，2，3}．故選：D．【點評】本題主要考查補集的運算，屬于基礎題．2．【分析】結合基本初等函數的單調性檢驗各選項即可判斷．【解答】解：f（x）＝在區間（0，+∞）上單調遞減，A不符合題意；f（x）＝（x﹣1）2在區間（0，+∞）上不單調，B不符合題意；f（x）＝lgx在區間（0，+∞）上單調遞增，C符合題意；f（x）＝（）x在區間（0，+∞）上單調遞減，D不符合題意．故選：C．【點評】本題主要考查了基本初等函數單調性的判斷，屬于基礎題．3．【分析】根據對數的運算性質以及指數的運算性質比較大小即可．【解答】解：因為＜lg1＝0，又因為＝30.5＞30.1，所以a＜b＜c．故選：A．【點評】本題考查了對數的運算性質以及指數的運算性質，屬于基礎題．4．【分析】利用條件概率公式求解．【解答】解：∵，P（A）＝，∴P（AB）＝P（B|A）P（A）＝＝，又∵P（B）＝，∴P（A|B）＝＝＝．故選：B．【點評】本題主要考查了條件概率公式，屬于基礎題．5．【分析】依次判斷充分性、必要性，即可求解．【解答】解：a＞0，b＞0，ab＝1，則，當且僅當a＝b＝1時，等號成立，故充分性成立，當a＝2，b＝1，滿足a＞0，b＞0，a+b≥2，但ab＝2≠1，必要性不成立，故“ab＝1”是“a+b≥2”的充分不必要條件．故選：A．【點評】本題主要考查充分性、必要性的判斷，屬于基礎題．6．【分析】利用通項公式即可得出．【解答】解：T5＝＝16x6，∴x6的系數為16，故選：A．【點評】本題考查了二項式定理的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．7．【分析】根據已知條件，結合全概率公式，即可求解．【解答】解：由題意可知，任取一件零件，則它是次品的概率為：4%×40%+5%×60%＝0.046．故選：B．【點評】本題主要考查全概率公式，屬于基礎題．8．【分析】根據A是否入選進行分類討論，即可求解．【解答】解：根據A是否入選進行分類：若A入選，則先給A從一，二，三3道工序安排一道工序，再安排另外的3道工序，共有＝180種方法；若A不入選，則另外的5個人選4人，安排在4道工序，有＝120種方法，所以共有180+120＝300種不同的安排方法．故選：B．【點評】本題主要考查排列、組合及簡單計數原理的應用，屬于中檔題．9．【分析】根據函數f（x）為定義在R上的奇函數，得f′（x）是定義域R上的偶函數，再根據曲線y＝f（x）在點（2，4）處的切線的斜率求出f′（﹣2）和f（﹣2）即可．【解答】解：因為函數f（x）為定義在R上的奇函數，所以f′（x）在定義域R上是偶函數；若曲線y＝f（x）在點（2，4）處的切線的斜率為10，則f′（2）＝10，所以f′（﹣2）＝f′（2）＝10，且f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣4；所以則f′（﹣2）+f（﹣2）＝10﹣4＝6．故選：C．【點評】本題考查了函數的奇偶性應用問題，也考查了導數的幾何意義應用問題，是基礎題．10．【分析】設h（x）＝（x＞0），求出函數h（x）的單調區間和最小值，再利用數形結合分析得解．【解答】解：設h（x）＝（x＞0），則h'（x）＝，令h'（x）＞0，解得0＜x＜e，令h'（x）＜0，解得x＞e，所以函數h（x）在（0，e）單調遞增，在（e，+∞）單調遞減．所以h（x）max＝．因為g（x）＝f（x）﹣a＝0，所以f（x）＝a有三個零點．作出函數y＝f（x）和y＝a的圖象如圖所示，所以a的取值范圍為（﹣1，）．故選：B．【點評】本題考查了函數的零點、轉化思想、數形結合思想，屬于中檔題．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．【分析】根據已知條件，列出使函數有意義的不等式組，即可求解．【解答】解：，則，解得0＜x≤1，故函數f（x）的定義域為（0，1]．故答案為：（0，1]．【點評】本題主要考查函數定義域的求解，屬于基礎題．12．【分析】根據已知條件，結合一元二次不等式的解法，即可求解．【解答】解：x2﹣x﹣12＞0，解得x＞4或x＜﹣3，故所求不等式的解集為{x|x＞4或x＜﹣3}．故答案為：{x|x＞4或x＜﹣3}．【點評】本題主要考查一元二次不等式的解法，屬于基礎題．13．【分析】由題意可得．再乘以總人數4000可求得結果．【解答】解：因為數學成績X服從正態分布N（90.152），所以，所以成績位于[90，105]的人數大約是1365．故答案為：1365．【點評】本題考查正態分布的性質，屬于基礎題．14．【分析】由已知結合基本初等函數單調性及分段函數性質即可求解．【解答】解：若函數為R上的增函數，則a≤b，若P為假命題，則只要a＞b即可．故答案為：a＝2，b＝1（答案不唯一）．【點評】本題主要考查了分段函數單調性的應用，屬于基礎題．15．【分析】去掉絕對值，寫成分段函數，根據分段函數特點求解即可．【解答】解：由題意，作出圖象：①：觀察圖象可知函數f（x）的值域為[b，+∞），①正確；②：觀察圖象可知當a＞b時，方程f（x）＝a有兩個不等實根，②正確；③：由題意，﹣lnx1＝lnx2，故lnx1+lnx2＝lnx1x2＝0，故x1x2＝1為定值，③錯誤；④：由題意，﹣ln（x1+1）＝ln（x2+1），故ln（x1+1）+ln（x2+1）＝ln[（x1+1）（x2+1）]＝0，故x1x2+x1+x2+1＝1，則x1x2+x1+x2＝0，④正確．故選：①②④．【點評】本題考查分段函數的性質，屬于中檔題．三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。16．【分析】（Ⅰ）根據函數f（x）為奇函數，建立條件關系即可求實數a的值；（Ⅱ）當a＝2，b＝1時，利用基本不等式即可求函數f（x）在區間（0，+∞）上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因為函數f（x）為奇函數，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即，所以b＝0，所以a＝0．（Ⅱ）當a＝2，b＝1時，，因為x＞0，所以，當且僅當x＝1時取等號，所以f（x）≥4，即函數f（x）在區間（0，+∞）上的最小值為4．【點評】本題考查函數的奇偶性、基本不等式求最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．17．【分析】設抽到的同學是男生為事件A，抽到的同學預習了所學內容為事件B，（Ⅰ）由古典概型公式計算可得答案；（Ⅱ）分析男生人數和其中預習了所學內容的人數，由條件概率公式計算可得答案；（Ⅲ）由相互獨立事件的概率公式分析可得答案．【解答】解：根據題意，設抽到的同學是男生為事件A，抽到的同學預習了所學內容為事件B，（Ⅰ）該班級中，共有12+17+6+5＝40人，其中預習了所學內容的有12+17＝29人，從該班所有學生中隨機抽取一人，抽到預習了所學內容的概率P（B）＝；（Ⅱ）該班級中，男生有12+6＝18人，其中預習了所學內容的有12人，故若抽到的同學是男生，他預習了所學內容的概率P（B|A）＝＝；（Ⅲ）根據題意，設抽到的同學是男生為事件A，抽到的同學預習了所學內容為事件B，則P（A）＝，P（B）＝，P（AB）＝，易得P（AB）≠P（A）P（B），則事件A、B不相互獨立．【點評】本題考查古典概率的計算，涉及相互獨立事件的判斷，屬于基礎題．18．【分析】（1）由頻率分布直方圖計算出閱讀時間在[20，60）內的頻率，然后即可求解；（2）先計算出每組應抽取的人數，然后利用古典概型即可求解；（3）由題可得，X～B（3，0.6），然后利用二項分布相關知識即可得解．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可得，閱讀時間在[20，60）內的頻率為20×（0.0075+0.0125）＝0.4，所以該校假期日均閱讀時間在[20，60）內的人數為2000×0.4＝800；（2）由頻率分布直方圖可得，閱讀時間不低于60分鐘的三組學生中，頻率之比為0.015：0.01：0.005＝3：2：1，故在[60，80）組應抽取人，在[80，100）組應抽取人，在[100，120）組應抽取1人，故所求概率為p＝＝；（3）頻率分布直方圖可得，閱讀時間不低于60分鐘的頻率為20×（0.015+0.01+0.005）＝0.6，所以X～B（3，0.6），則P（X＝0）＝（1﹣0.6）3＝0.064，P（X＝1）＝＝0.288，P（X＝2）＝＝0.432，P（X＝3）＝0.63＝0.216，所以X的分布列為：X0123P0.0640.2880.4320.216則E（X）＝3×0.6＝1.8．【點評】本題考查了頻率分布直方圖的應用及離散型隨機變量的分布列和期望，屬于中檔題．19．【分析】（1）利用古典概率求得結果．（2）求出X的可能及各個值對應的概率，列出分布列．（3）分別求出n＝7與n＝8時銷售利潤的期望，再比較大小即得結果．【解答】解：（1）設甲市場銷售量為4噸的事件為A，則P（A）＝0.4．（2）設甲市場銷售量為x噸的概率為P（x），乙市場銷售量為y噸的概率為P（y），則由題意得P（x＝3）＝0.3，P（x＝4）＝0.4，P（x＝5）＝0.3；P（y＝3）＝0.2，P（y＝4）＝0.5，P（y＝5）＝0.3，設兩個市場總需求量為X的概率為P（X），X所有可能的取值為6，7，8，9，10，P（X＝6）＝P（x＝3，y＝3）＝P（x＝3）P（y＝3）＝0.3×0.2＝0.06，P（X＝7）＝P（x＝3，y＝4）+P（x＝4，y＝3）＝0.3×0.5+0.4×0.2＝0.23，P（X＝8）＝P（x＝3，y＝5）+P（x＝4，y＝4）+P（x＝5，y＝3）＝0.3×0.3+0.4×0.5+0.3×0.2＝0.35，P（X＝9）＝P（x＝4，y＝5）+P（x＝5，y＝4）＝0.4×0.3+0.3×0.5＝0.27，P（X＝10）＝P（x＝5，y＝5）＝0.3×0.3＝0.09，所以X的分布列如下表：X678910P0.060.230.350.270.09（3）由（2）知，P（X＝6）＝0.06，P（X≥7）＝0.94，當n＝7時，銷售利潤T1，當X＝6時，T1＝1000×6﹣（7﹣6）×200＝5800，當X≥7時，T2＝1000×7＝7000，因此T的分布列為：XX＝6X≥7T158007000P0.060.94則E（T1）＝5800×0.06+7000×0.94＝6928元；當n＝8時，P（X＝6）＝0.06，P（X＝7）＝0.23，P（X≥8）＝0.71，銷售利潤T2，當X＝6時，T2＝1000×6﹣（8﹣6）×200＝5600，當x＝7時，T2＝1000×7﹣（8﹣7）×200＝6800，當X≥8時，T2＝1000×8＝8000．因此T2的分布列為：XX＝6X＝7X≥8T2560068008000P0.060.230.71則E（T2）＝5600×0.06+6800×0.23+8000×0.71＝7850元；因為7850＞6928，所以應選n＝8．【點評】本題主要考查離散型隨機變量分布列的求解，屬于難題．20．【分析】（Ⅰ）根據導數的幾何意義，即可求解；（Ⅱ）（i）由f（x）≤g（x）得x2（2x﹣3）≤0，根據x的范圍可得答案；（ii）轉化為?x∈[0，3]，2x3﹣3x2≤m恒成立，h（x）＝2x3﹣3x2，求出h（x）在?x∈[0，3]的最值可得答案．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝2x3﹣3x2+x，則f'（x）＝6x2﹣6x+1，所以，解得x0＝0或x0＝1，可得切點坐標為（0，0），或（1，0），所以曲線y＝f（x）在點（0，0）處的切線方程為y＝x，曲線y＝f（x）在點（1，0）處的切線方程為y＝x﹣1，綜上所述，所求切線方程為y＝x或y＝x﹣1．（Ⅱ）（i），是“控制函數”，理由如下，由f（x）≤g（x）得2x3﹣3x2+x≤x，可得2x3﹣3x2≤0，x2（2x﹣3）≤0，因為?x∈[0，1]時，x2（2x﹣3）≤0恒成立，即2x3﹣3x2+x≤x恒成立，所以函數g（x）為函數f（x）的“控制函數”；（ii）若g（x）＝x+m為函數f（x）＝2x3﹣3x2+x的“控制函數”，則?x∈[0，3]，f（x）＝2x3﹣3x2+x≤g（x）＝x+m恒成立，即?x∈[0，3]，2x3﹣3x2≤m恒成立，令h（x）＝2x3﹣3x2，x∈[0，3]，則h'（x）＝6x2﹣6x＝6x（x﹣1），當0＜x＜1時，h（x）＜0，當1＜x＜3時，h（x）＞0，h（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，3）上單調遞增，所以h（x）在x＝1有極小值，h（0）＝0，h（3）＝2×33﹣3×32＝27，所以m≥27，故m的取值范圍為[27，+∞）．【點評】本題主要考查導數的應用，考查轉化能力，屬于中檔題．21．【分析】（Ⅰ）當a＝e時，f（x）＝+elnx+，求導分析單調性，最值．（Ⅱ）求導得f′（x）＝，分情況討論f′（x）的符號，f（x）的單調性，即可得出答案．（Ⅲ）f（1）＝1+a，結合（Ⅱ）的單調性，零點的定義，即可得出答案．【解答】解：（Ⅰ）當a＝e時，f（x）＝+elnx+，f′（x）＝+﹣＝＝，令f′（x）＝0，得x＝1，所以在（0，1）上f′（x）＜0，f（x）單調遞減，在（1，+∞）上f′（x）＞0，f（x）單調遞增，所以f（x）min＝f（1）＝1+e．（Ⅱ）f′（x）＝+﹣＝，當a≥0時，令f′（x）＝0，得x＝1，所以在（0，1）上f′（x）＜0，f（x）單調遞減，在（1，+∞）上f′（x）＞0，f（x）單調遞增，當a＜0時，令f′（x）＝0得x＝1+ln（﹣a）或x＝1，①若1+ln（﹣a）≤0，即﹣≤a＜0時，在（0，1）上f′（x）＜0，f（x）單調遞減，在（1，+∞）上f′（x）＞0，f（x）單調遞增，②若0＜1+ln（﹣a