單磁懸浮系統的原理與數學模型分析綜述磁懸浮平臺的工作原理磁懸浮系統包括間隙傳感器，加速度計，磁懸浮電源變換器，懸浮電磁鐵，懸浮控制器。

當在電磁線圈上加一定電流后，電磁鐵內電磁線圈產生磁場，使浮體受到相應電磁吸引力。

若產生電磁引力超過浮體重力時，就會吸引浮動物體達到懸浮目的。

所以，要保持浮體穩定懸浮，就必須對電磁線圈電流進行調節，使得所產生電磁引力與懸浮體重量相當。

但電磁引力與重力的平衡屬于非穩定平衡。

由于磁飽和現象以及電磁力與摩擦力之間存在非線性關系，使得控制系統具有很強的耦合性和不確定性。同時，在外界環境擾動下，系統往往不能夠達到理想的跟蹤效果。

所以如果外界的擾動是平衡的，那么就算系統只受微小的擾動也可能打破平衡的狀態。

然而，由于懸浮體本身質量較大，使得該過程存在著很大的不確定性，導致控制系統不具有魯棒性。另外，由于受到外界干擾的影響，也不能保證整個系統控制性能良好。

因此需要設計閉環控制反饋系統，對系統進行全面閉環控制。

間隙傳感器可以直接測得懸浮體懸浮氣隙尺寸并轉換成位移信號。

接著，控制器基于傳感器記錄進行變換，運算和產生對應控制信號。

功率放大器收到控制電壓并控制電磁鐵輸出電流從而在電磁線圈中產生對應電磁吸力。

所以當浮體和電磁鐵間懸浮間隙變化時，需適時調節電磁線圈內電流并改變電磁力大小才能保證所停物體穩定懸浮于平衡位置左右。

由于電磁感應定律告訴我們：在同一時刻，任何兩個相同導體間所產生的電磁場相等或近似相等。而這一規律又與磁飽和特性密切相關。當電磁鐵處于飽和區時會發生嚴重的飽和現象。

所以要保證磁懸浮系統可靠運行，就必須對電磁鐵電流即電磁線圈兩端電壓進行準確控制，才能保證磁場能穩定電磁強度及對應電磁懸浮力。單磁懸浮裝置的數學模型單電磁懸浮系統機械結構如REF_Ref104151694\h圖21所示，圖中磁性導軌位于上方，電磁鐵位于下方，該裝置內部存在一對電磁鐵。電磁鐵的吸引力與排斥力保證了導向裝置與導軌之間的距離即懸浮氣隙的動態平衡。圖STYLEREF2\s2SEQ圖\*ARABIC\s21單電磁懸浮系統結構示意圖電磁鐵的漏磁現象以及兩個相鄰的電磁鐵之間磁場的相互影響在本文中默認忽略不計，在假設的情況下，建立并分析單電磁懸浮系統的數學模型。設氣隙間距是，各電磁鐵的一個磁極所纏繞線圈數是，此電磁鐵有的磁漏，作為氣隙間的磁通，當磁懸浮裝置受到外界影響后，受擾動干擾記作，流過的電流為，兩極間的端電壓為，作用在導軌上的電場力為，該方向上所對應的另一個電磁鐵對此裝置的作用力為。按照牛頓定理可列如下等式： 其中，式中為懸浮物的重量之和。REF_Ref104151891\h圖22為該電磁鐵的等效磁路圖STYLEREF2\s2SEQ圖\*ARABIC\s22電磁鐵的磁通等效電路圖其中，電磁鐵上所繞線圈的磁動勢為，電磁鐵各電磁極和導軌氣隙內磁阻為。 公式GOTOBUTTONZEqnNum561697REFZEqnNum561697\*Charformat\!(2.2)中：表示電磁鐵的鐵心橫截面積；為真空磁導率。所述電磁鐵的總磁阻由電磁鐵的兩磁極所對應兩磁阻總和構成，即，綜上所述有： 電磁鐵所對應的氣隙磁通為： 電磁鐵線圈的電感為下式： 電磁鐵單線圈的電磁吸力為，電磁鐵的單一磁極的電磁力： 式GOTOBUTTONZEqnNum440623REFZEqnNum440623\*Charformat\!(2.7)為電磁鐵與導軌間的間隙電壓等式（以電流為變量）： 推導得單磁懸浮系統的數學模型為： 單磁懸浮模型的線性化處理由公式GOTOBUTTONZEqnNum431626REFZEqnNum431626\*Charformat\!(2.8)可知，所導出的單個磁懸浮裝置數學模型是非線性的，應將數學模型線性化，以確保數學模型能達到線性化的要求。由于該模型存在參數不確定性及外部干擾，導致系統難以得到準確的線性解，必須將其線性化才能確保系統穩定。

針對一類不確定非線性動態系統，設計了一種新的自適應模糊控制方案，該算法通過在線學習模糊控制規則來實現對系統未知擾動的抑制以及跟蹤誤差的補償，提高了系統的魯棒性能和抗干擾能力。

常見的線性化方法有泰勒級數展開法等。單磁懸浮模型的反饋線性化利用精確狀態反饋線性化方法處理磁懸浮裝置數學模型。根據此系統的特點，將其分為線性子系統和非線性子系統兩部分來討論。最后分別對磁懸浮裝置電壓控制數學模型與電流控制數學模型進行推導。在對兩個模型進行對比的同時，對兩個模型之間的區別進行分析。兩種數學模型的上述區別造成了兩種模型應用受控對象的不同。（1）系統的電壓控制模型式（2,8）可得，設單磁懸浮系統的狀態變量分別為，，，設，為系統受到的影響系統正常工作的外部擾動，并且輸出為?？赏瞥鰻顟B方程為： 將代入式GOTOBUTTONZEqnNum440623REFZEqnNum440623\*Charformat\!(2.7)中，再結合單電磁懸浮系統的狀態變量可以推導出電流的導數公式為： 將式GOTOBUTTONZEqnNum883115REFZEqnNum883115\*Charformat\!(2.6)與式GOTOBUTTONZEqnNum996408REFZEqnNum996408\*Charformat\!(2.10)代入式GOTOBUTTONZEqnNum319745REFZEqnNum319745\*Charformat\!(2.9)，得： 根據式GOTOBUTTONZEqnNum235360REFZEqnNum235360\*Charformat\!(2.11)，系統的非線性狀態空間方程能夠用下式表示： 設，，，，式GOTOBUTTONZEqnNum835641REFZEqnNum835641\*Charformat\!(2.12)可表述成： 在不考慮影響系統工作的外部擾動的條件下，根據上式可知： 通過對上述的式子進行化簡可以得到，，，并且系統的相對階為，可得知系統階次與相對階相同且滿足定理規定的前提。使用的反饋規則為： 上式中，線性狀態變量可由表示，則可變換為： 轉換矩陣可以表示成： 根據式GOTOBUTTONZEqnNum840113REFZEqnNum840113\*Charformat\!(2.21)與式GOTOBUTTONZEqnNum148223REFZEqnNum148223\*Charformat\!(2.22)，可推出輸入和輸出之間有以下線性關系： 對原非線性系統進行線性化處理后能夠得到以下狀態空間方程： 由上式可見，這種單磁懸浮系統屬于可控系統。所以只要選擇恰當的系數，，就可以保證磁懸浮系統的全部極點處于復平面的左半平面內并從某種程度上表明系統的穩定性。REF_Ref104154767\h圖23為對原系統進行線性化處理后產生的電壓控制模型，可以知道該模型為三階模型。圖STYLEREF2\s2SEQ圖\*ARABIC\s23反饋線性化后的電壓控制模型圖（2）系統的電流控制模型根據式GOTOBUTTONZEqnNum235360REFZEqnNum235360\*Charformat\!(2.11)，設為系統的狀態變量，并以為系統輸出，得到系統的狀態空間方程如式GOTOBUTTONZEqnNum605930REFZEqnNum605930\*Charformat\!(2.25)： 定義、、與為：，，，設 則式GOTOBUTTONZEqnNum605930REFZEqnNum605930\*Charformat\!(2.25)能改寫為： 在忽略系統中外部擾動時，利用式GOTOBUTTONZEqnNum335937REFZEqnNum335937\*Charformat\!(2.27)來判斷系統是否符合要求。 根據上述式GOTOBUTTONZEqnNum813182REFZEqnNum813182\*Charformat\!(2.29)以及式GOTOBUTTONZEqnNum126130REFZEqnNum126130\*Charformat\!(2.30)可知，當系統的階次與相對階一致時滿足該線性化方法的要求。所使用的規則如下： 式中，定義為線性化活動狀態變量，對該變量進行如下變換： 則，能夠推導出： 由式GOTOBUTTONZEqnNum716614REFZEqnNum716614\*Charformat\!(2.31)和式GOTOBUTTONZEqnNum385869REFZEqnNum385869\*Charformat\!(2.32)，可以對式GOTOBUTTONZEqnNum605930REFZEqnNum605930\*Charformat\!(2.25)進行線性化： 從而線性狀態空間方程為： 根據式GOTOBUTTONZEqnNum978160REFZEqnNum978160\*Charformat\!(2.26)和式GOTOBUTTONZEqnNum716614REFZEqnNum716614\*Charformat\!(2.31)可以知道電壓和電流兩個控制量有如下關系： 因此可推出： 根據REF_Ref104578739\h圖24可知，在對原系統進行線性化處理后能夠得到一個二階的數學模型來表述系統。圖STYLEREF2\s2SEQ圖\*ARABIC\s24反饋線性化后的電流控制模型框圖考慮到模型的復雜性，電流控制模型的優點在于其為二階系統模型且較簡單的控制。但這一控制模型對實際問題的處理有點太簡單了，和實際情況有很大的差距。所以，在研究磁懸浮系統時，采用高階控制系統更為合適，因為其能夠更好地描述磁懸浮系統的非線性特性和魯棒性能等特點。另外，由于使用的數學工具不同。并且電壓控制模型是三階控制系統，比較適用于磁懸浮系統這一復雜控制結構，所以本課題選用電壓控制數學模型，使得所生成的結構更加貼近實際情況。單磁懸浮模型的平衡點線性化傳統的PID控制的控制規律是：，將其帶入表達式可以得到 令，，，可以求出系統的兩個奇點：，，，，，，。其中，因為奇點對于系統有同樣的影響效果，都是靠近兩奇點，系統工作性質也大體一致，因此本論文僅分析了靠近第一奇點的系統，預設了第二奇點和第一奇點有同樣的效果。這里取已知系統在該奇點處所對應的線性方程為：可以得到在該奇點處所對應系數矩陣分別為：，,某磁懸浮系統的有關參數如REF_Ref104382553\h表21所示。表STYLEREF2\s2SEQ表\*ARABIC\s21系統參數將上面的參數帶入矩陣可以得到：，，容易看出，系統為可控系統，利用軟件對求出的參數矩陣進行運算可以求出控制參數：，，由此可以得出控制量的表達式為：相對于只能在理論上保證線性系統優越特性的平衡點反饋線性化的方法來說直接反饋線性化可以產生更有效的控制效果，但在實際非線性系統的使用中，控制系統的特性會有很大的不同。當系統參數不發生改變時，兩種控制方式都可以實現系統的穩定懸浮，但平衡點反饋方法的設計參數與實際參數有明顯不同，而直接反饋方法的實際參數