大招半角模型

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模型介紹

角含半角模型，顧名思義即一個角包含著它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角

模型；正方形中角含半角模型兩種類型。解決類似問題的常見辦法主要有兩種：旋轉目標二角形法和翻折

目標三角形法.

角含半角模型，顧名思義即一個角包含著它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角

模型；正方形中角含半角模型兩種類型。解決類似問題的常見辦法主要有兩種：旋轉n標三角形法和翻折

目標三角形法.

類型一：等腰直角三角形角含半角模型

(1)如圖，在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°,點D,E在BC上，且NDAE=45°,則：BD2+CE2=DE4

作法2：分別翻折△ABD,4ACE

(2)如圖，在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°，點D在BC上，點E在BC延長線上，且NDAE=45°,

貝lj：BD2+CE2=DE2.

旋轉法切折法

(3)如圖，將等腰直角三角形變成任意等腰三角形時，亦可以設行兩種方法的操作處理.?

旋轉法

類型二：正方形中角含半角模型

(1)如圖，在正方形ABCD中,點E,F分別在邊BC,CD上，NEAF=45°,連接EF,過點A作AG_L

丁EF于點G,則：EF=BE+DF,AG=AD.

圖示(1)作法：將aABE繞點A逆時針旋轉90°

(2)如圖，在正方形ABCD中，點E,F分別在邊CB,DC的延長線上，NEAF=45°,連接EF,

貝lj：EF=DF-BE.

圖示(2)作法：將4ABE繞點A逆時針旋轉90°

(3)如圖，將正方形變成一組鄰邊相等，對角互補的四邊形，在四方形ABCD中，AB=AD,

ZBAD+ZC=180°，點E,F分別在邊BC,CD±,ZEAF=-ZBAD,連接EF,則：EF=BE+DF.

2

圖示(3)作法：將4ABE繞點A逆時針旋轉NBAD的大小

【專題說明】

半角模型應用比較廣泛：理解半角模型的定義，掌握正方形背景中半角模型的模型的應用，掌握等腰直角

三角形背景中半角模型的應用尤為重要。

【知識總結】

過等腰三角形頂點作兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為半角模型。

常見的圖形為正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解題思路i般是將半角兩邊的三角形通過旋轉到一

邊合并成新的三角形，從而進行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質得到線

段之間的數量關系。

圖1

AAGCF^AECF(SAS),

：.GF=EF,

?;CE=5,CB=4,

???8E=3,

：,AE=\,

設則。/=4-x,GF=3+(4-x)=7-x,

:，￡F=VAE2+X2=V1+X2'

:.(7-x)2=l+x2,/.A——,

7

即AF=—,

7

???DF=4--=-,

77

^^=VcD2+DF2=^42+(y)2=^^-*故答案為：岑2.

A變式訓練

【變式1T】.如圖四邊形48CD中，AD//BC,ZBCD=90°,AB=BC+AD,ND4C=45°,E為CD上

一點，且N8AE=45°.若C0=4,則AABE的面積為（）

48D.50

T

解法一：作AF_LC8交C8的延長線于F,在。尸的延長線上取一點G,使得rG=O￡

?：XDIIBC,

：,ZBCD+ZADC=\S()Q,

AZADC=ZBCD=ZAFC=90°,

???四邊形AOC"是矩形，

VZCAD=45°,

：.AD=CD,

，四邊形AOCT是正方形，

：,AF=AD,ZAFG=ZADE=90°,

AAFG^AADE,

：,AG=AE,4FAG=4DAE,

???/以G+N/%5=NE4D+N以4=45°=/BAE,

:.ABAEg/\BAG,

:,BE=BG=BF+GF=BF+DE,

設8C=a,則48=4+。，BF=4-a,

在RtZVW/中，42+(4-a)2=(4+d)2,解得a=l,

：.BC=\,BF=3,設WODE=b-3,CE=4-(b-3)=7-b.

在RtABCE中.12+(7-by2=Z>2,解得b=空.

7

：,BG=BE=—,

7

SA4^E=5/\4WG=~~x25x4="^^.

277

【變式1-2].如圖，AABC是邊長為5的等邊三角形，△3DC是等腰三角形，.且/3OC=120°,以點。

為頂點作一個60°的角，使其兩邊分別交A3、AC于點M、N,則△AMN的周長為10

解：?:△BOC是等腰三角形，且NBOC=I20°,

.??/BCO=NOBC=30°，

???△ABC是邊長為3的等邊三角形，

???N/WC=N8八C=N8C4=60°，

：.ZDBA=ZDCA=9()G,

延長A8至立使BF=CN,連接DP,

在和△CQN中，

fBF=CN

ZFBD=ZDCN?

IDB=DC

:?△BDF"ACDN(SAS),:./BDF=/CDN,DF=DN,

VZMD/V=60°,

BDM+/CDN=60°,/.ZRDM^ZRDF=^Q,

在△QMN和△QM/；中，

fMD=MD

ZFDM=ZMDN，

IDF=DN

/.(SAS):,MN=MF,

???△AMN的周長是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=5+5=\0.故答案為：10.

【變式1-3].如圖，在正方形A8CO中，點。是對角線8。的中點，點尸在線段0。上，連接AP并延長

交CD于點E,過點〃作AF_LAP交8C于點凡連接AF、EF,A尸交3。于G,現有以下結論;

①AP=PF；

②BG'DP'GP2；

③PB-PD=^/3BF；

④S四邊形尸"G=S,W，G.

以上結論正確的有①②④（填入正確的序號即可）.

B

圖1

,：APLPF,四邊形A8C。是正方形，

???NA8F=NAP尸=90°,NABD=NCBD=45°,

?：AT=TF,

：,BT=AT=TF=PT,

A4,B,F,P四點共圓,

：.ZPAF=ZPBF=^,

???/以〃=NP/%=45°,

：,PA=PF,故①正確，

②如圖2,將△AOE繞點A順時針旋轉90°得到△ABM,過點8作8N_LB。，交AM于N,連接NG,

???NAOE=NABM=90°,ZABC=90°,

???/A8C+NA8W=180°,

AC,B,M共線,

圖2

VZEAF=45°,NOAB=90°,

AZDAE+ZBAF=45°,

'：ZDAE=ZBAM,

???NB4M+N8A/=45°=NEAF,

?；NGBN=90°,NABO=45°,

，/ABN=45°=ZADP,

*：AB=ADt4DAP=NBAN,

:.XDAP烏RBAN(ASA),

：.AP=AN,

?：AG=AG,

???△AGP經AAGN(SAS),

???PG=NG,

■:/NBG=90°,

:.BN2+BG2=NG2,

：.BGi+PD1=GP1.故②正確：

③如圖3,連接。C,過點P作PQ_LCr于Q,過點夕作戶卬_LCO于W,則四邊形PQCW是矩形,

圖3

在aPBA和中，

rPB=PB

'ZPBA=ZPBC-

AB=BC

:?4PBA烏/\PBC(SAS),

：.PA=PC,

?：PF=PA,

：,PF=PC,

,/PQLCF,

：,FQ=QC.

。：PB=?BQ,PD=?PW=?CQ=?FQ,

：.PB-PD=y/2(BQ-1-Q)=y/2BF,故③不正確;

④如圖2,???ZABF+ZAPF=]SO<,

???A,B,F,P四點共圓,

/.ZAPG=ZAFB,

△hFE/AFM、

???^AFE=/AFB,

：.Z1APG=4AFE,

*：ZPAG=ZEAF,

，△BAGs△用上，

.SAAPG_zAPs2-ZAPx2-1

lJk；

SAAFEAFV2AP彳，

，S四邊膨WG=S"PG，故④正確，故答案為：①②④.

【例2】.如圖，ZXAEF中NE4"=45°,AG_LEF于G,且GF=2,GE=3,求

W：如圖，將沿AF折疊得到△AKA,將△AFG沿A尸折疊得到△△尸。，延長BE和。尸相交于點

C.

：.AD=AG=AB,/O=NAGF=90°,NB=/4G石=90°,ZDAF=ZGAF,ZBAE=ZGAE,

VZEAF=45°=ZFAG+ZGAE,

??./D4〃+/B4E=45°,

...NQ4A=450+45°=90°,

即N8=NO=/OAB=90°,AD=AB,

???四邊形ABC。是正方形.

由折疊知，R^ABE^Rt/^AGE,RtA>4DF^RtAAGF,

:.BE=EG=3,DF=FG=2,

'：EF=5,

設AG=.i,貝【JAB=/?C=CD=AG=x,CE=CB-BE=x-3,CF=x-2.

，：CE1+CF2=EF2,

???(A--3)2+(x-2)2=52.

解得Xl=6,X2=-1(舍去).

AG=6.

???△AEQ的面積=』EF?AG=2X5X6=15.

22

》變式訓練

【變式27].如圖，等邊△A8C中，。、E為3c邊上的點，BD=2CE,ZDAE=30°,DE=3,CE的長

解：將△/WO繞點A逆時針旋轉60°得至[「△AC6作"/_LBC于，.

???△A8C是等邊三角形，

：.AB=IiC=AC,Z/^=ZBAC=ZACB=6()°,

*：ZDAE=30°,

JZCAF+ZCAE=ZBAD+ZCAE=30°,

???NEAO=/E4尸=30°,

\9AE=AE,AD=AF,

???△E4OgZXE4F,

:,DE=EF=3,設EC=x,WOBD=CF=2x

VZACF=ZAC?=60°,

ZFCH=60°,

：,CH=-CF=x,FH=MX,

2

在RlZXE"/中，EF2=EH2+FH2,

.??9=4，+3/,

.r-3V7

7

故答案為3YZ.

【變式2-2]如圖，在梯形A8CD中，AD//BCCBC>AD),ZD=90°,BC=CD=\2,ZABE=45°,

若AE=I().求CE的長度.

解：過8作D4的垂線交D4的延長線于M,M為垂足,

延長。M到G,使MG=CE,連接BG,

易知四邊形8CQM是正方形，

則△4EC與△8GM中，

BC=BM

■ZC=ZBMG=90°?

EC=GM

：.ABEC必BMG(SAS),

MBG=/CBE,BE=BG,

VZ/4BE=45°,

???NCBE+NABM=NMBG+NABM=45°,

即N/1BE=NABG=45°,

在與△4HG中，

BE=BG

-NABE=NABG，

AB=AB

AAABE^AABG(SAS),

???AG=AE=10,

設CE=x,則AM=IO-x,

AD=12-(10-A)=2+x,DE=12-AS

在RtZ\ADE中，AE1=AD2+DE1,

.*.100=(x+2)2+(12-x)2,

卻10x+24=0；

解得：xi=4,X2=6.故CE的長為4或6.

【變式2-3］如圖①，在△4BC中，ZBAC=90°,A8=AC,點。和點E均在邊BC上，且ND4E=45°.

（1）如圖②，把△ABO繞點A順時針旋轉90°至△ACG,可使A8與AC重合，連接七G,求證：△D4E

也XGAE；

（2）試猜想4。、DE、EC應滿足的數量關系，并寫出推理過程.

**?AD=AGt

VZZ?AC=90°,ZDAE=45°,

???NE4G=45°,

在△D4E和△G4E中，

fAD=AE

NDAE:NEAG，

IAE=AG

：,^DAE^^GAE(SAS)；

(2)由△QAEgZ\GAK,

:.BD=EG,

由旋轉，BD=CG,NACG=NB,

???NBAC=90°,

AZECG=90°,

在RtZXCEG中，EG2=EC2+CG2,

:?DE=CW+B》.

實戰演練

1.如圖，已知等邊三角形△48C邊長為小等腰三角形△8QC中N8OC=120°,NMON=60°,角的兩

邊分別交AB,AC于點M,N,連接WN,則△4MN的周長為()

A

A.aB.2aC.3aD.4。

解：???△8QC是等腰三角形，且NBOC=120°,

???N8C￡)=NOBC=30°,

???△ABC是邊長為。的等邊三角形，

???/A8C=N84C=NBC4=6()°,

AZD^=ZDCA=90°,

延長A8至P,使BF=CN,連接。P,

A

在RlZ\8。/和RtZXCNO中，RF=CN,DB=DC,

:.RlABDF/RtACDN(HL),

：.ZBDF=ZCDN,DF=DN,

?:NMDN=60°,

???N8QM+NCON=60°,

AZBDM+ZBDF=60°,ZFDM=60a=/MDN,DM為公共邊,

:.△DMN妾ADMF(SAS),

:.MN=MF

:AAMN的周長是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=2a,

故選：B.

2.如圖，菱形ABC。的邊AB=20,面積為320,ZBAD<90°,。。與邊A8,A。都相切，40=10,則

解：如圖作QH_LA8于H,連接3。，延長AO交3。于E.

???菱形ABC。的邊48=20,面積為320,

.?*8?。，=320,

；?OH=16,

在中，"/=辦/2印,2=]2,

：,HB=AB-AH=S,

22=8,

在RtZXBOH中，^=7DH+BH^5

設O。與A8相切于F,與A。相切于J,連接OF,OJ,則。/_LA8,OJA.AD,OF=OJ,

???。4平分ND4B,

'：AD=ABt

：.AE±BD,

?.?NCMF+//WE=9()°,NABE+NBDH=90°,

：./OAF=NBDH,?；NAFO=NDHB=900,

.??4AoFs/\DBH,

.OA=OF

??麗麗’

-10_OF

.?市一丁

：.OF=2后

故選:C.

3.如圖，在矩形4BCO中，AB=2,BC=6,點E、尸分別在8C、C。上，若AE=J^,NE4F=45°,則

A尸的長為，

解：取A8的中點M,連接M￡,在AO上截取NQ=QF,設。產=ON=x,

???四邊形A8CO是矩形，

/.ZD=ZBAD=ZB=90°,AO=8C=6,

:.NF=gx,AN=G-A,

???A8=2,

：.AM=BM=\,

?：AE=4^>,AB=2,

：.BE=\,

22=

???ME=4BM+BE2=V1+1V2,

VZE4F=45°,

???NMA￡+NNA尸=45°,

???NMAE+NAEM=45°,

：?/MEA=NNAF,

:.XRMEs

.AM_ME

一麗而

V2

?,1?r—_=，

V2x6-x

解得x=2.

?*-AF=7AD2+DF2=V62+22=2V10.

放答案為：2^10.

4.PA.P8切。。于A、8兩點，CD切OO于點E,交以、尸B于C、D,若。。的半徑為r,的周

???必，P8切。。于A、8兩點，CD切。0于點E

???NOA/=NPB尸=90°,CA=CE,DB=DE,PA=PB,

'：叢PCD的周長=尸。+。母。耳尸。=尸。+/1。+尸￡>+。8=%+尸8=3廠,

q

=r.

2

在RtZXPBF和RtAO/lF中,

[ZFA0=ZFBP

IZOFA=ZPFB，

r.RtAPBF^RtAOAF.

?建=幽=工=2

**FBBP3rW，

2r

2

：.AF=—I'B,

3

在Rl△尸8尸中，

VPF2-PB1=FB1

r.CPA+AF)2-PB2=FB2

:.(3r+28F)2-(3「)2=B產,

232

解得"=理「，

5

5.如圖，在正方形A/3C。中，點M,N在.CB,CO上運動，且/M4N=45°,在MN上截取一點G,滿足

BM=GM,連接4G,取AM,AN的中點AE,連接GF,GE,令AM,AN交BD于H,/兩點，若44

=4,當G尸+GE的取值最小時，則”/的長度為8-4A歷.

BMC

W：如圖I中，將△AON繞點八順時針旋轉90°得到△八8/則AN=/1J,ZDAN=ZBAJ,

BM

圖1

???四邊形ABCQ是正方形,

???NZMB=NA4C=90°,

VZMAN=45°,

???ZMAJ=ZMAB+ZBAJ=NMA8+ND4N=45°,

???ZMAJ=/MAN,

\'AM=AM,AJ=AN,

:.XAMJQXAMN(SAS),

/.ZAMB=NAMN,

?：MA=MA,MB=MG,

：./\MAB^/\MAG(SAS),

???AB=AG=4,NA8M=N4GM=90°,

'：AF=FM,AE=EN,

：.FG=—AM,EG=』AN,

22

：.GF+GE=—(AM+AN),

2

下面證明當AM=AN時，AM+AN的值最小，如圖2中，過點4在直線/〃MN,作點N關于直線/的對

稱點N',連接AN',例”.

圖2

,:N,N'關于直線對稱，

：,AN=ANf,

：,AM+AN=AN'+AM,

???當4,M,N'共線時，AM+AN的值最小,

此時???/UV=AN',

:./ANN'=NAN'N,

???MN〃直線/,NN'_L直線/,

:?NN‘工MN,

：,/MNN'=90°,

:.NAMN+NAN'N=90°,

ZANM+ZANN'=90°,

NAMN=4ANM,

：.AN=AM,

???當AM=4N時，AM+AN的值最小，

如圖1中，當AM=AN時，可知BH=DL過點，作”?J_48于P，在4P上截取一點K,使得4K=K”,

連接KH,設尸H=?B=x,

???/84M=N/)AN=22.5°,KA=KH,

：,ZKAH=ZKHA=22.5<3,

:./PKH=NKAH+/KHA=450,

:.PK=PB=PH=x.AK=KH=&x,

???/W=4,

.\2X+V2X=4,

Ax=4-2加,

???BH=DI=42PB=4V2-4,

VBD=4a,

:.HI=4?-2(4^2-4)=8-4^2，故答案為8-4版

6.如圖，正方形被兩條與邊平行的線段七凡G〃分割成四個小矩形，P是EF與GH的交點,若矩形PFCH

的面積恰是矩形AGPE面積的2倍，試確定NH4”的大小并證明你的結論.

解：如圖，連接尸從延長C3到M,使8M=。〃，連接AM,

???RtAABM^RtAADH,

：.AM=AH,NMAB=/HAD,

ZMAH=ZMAB+ZBAH=NBAH+NHAD=90°,

如圖設正方形邊長為a,AG=m,GP=n,則FC=a-，?，CH=a-m,

因為面積是二倍所以列式得到：a2-(m+n)a+mn=2mn,

在直角三角形PC“中F〃2=(〃-〃)2+(“_〃)2,將上面的式子聯立得到:

FH2=MF2=(m+n)2,即得到

*：AF=AFfAH=AM,

：,ZMAF=ZHAF,

：.AHAF=ZMAF=45°.

7.如圖，正方形ABC。的邊長為1,點M、N分別在BC、CO上，且△(>/%的周長為2,求的面

積的最小值.

解：設DN=x,BM=y,

：.NC=\-x,MC=I-y,CMM=NC+CM+NM=2,

：,NM=x+y.

將△QNA繞點A順時針旋轉90°至△AB”，

N

則NM=MF,AM=MA,AN=AF,

:.XANM9XAFM(SSS).

???NN4M=45°，NDNA=NAFB=/ANE.

過點4作4EJ_NM,垂足為E,

VZAEN=ZD,4DNA=/ANE,AN為公共邊，

:.XDAN4MEAN(AAS),

??AE=AD=19

???在RlZ\CMW中，由勾股定理得：CN+CM2=NM?,

(1-x)2+(1->,)2=(x+y)2,

???化簡得：xy+x+y-1=0,①

**?S^ANM=—■(x+y)②.

2

,/(A--y)220,

2

:.(x+y)>4xyf

???x)W.(x四產.③

4

???將②③代入①并整理可得524-25-120,④

/.(S+l)222.

V5>0,

:-\，

??.△MAN的面枳的最小值為1.

8.如圖，石是正方形ABC。中CD邊上一點，以點A為中心把AAD上順時針旋轉90°.

（1）在圖中畫出旋轉后的圖形；

（2）若旋轉后七點的對應點記為M,點尸在8c上，且N￡AF=45°,連接EE

①求證：△AMf'gZXAER

②若正方形的邊長為6,AE=3遍，求EF.

解：（1）如圖，AA3M為所作;

(2)①如圖，連接ER

???四邊形ABC。是正方形，

，/B4O=90°，

TAADE點八順時針旋轉90°得到△40”,

：.AM=AE,ZMAE=9(f,

又???/"r=45°,

：,ZMAF=ZEAF,

在/和AAE/中，

fAM=AE

ZMAF=ZEAF?

IAF=AF

A^AMF^AAEF(SAS).

②???AAMF^AAEF,

:.EF=MF,

即EF=MF=BM+BF,

而BM=DE,

：.EF=BF+DE,

在RiAADE中，DE=VAE2-AD2=V(3V5)2-62=3,

:.CE=CD=DE=6-3=3,

設所=x,則8F=x-3,

/.C'^=6-(x-3)=9-x.

在RtZ\CEr中，CC+CE2=EF2,

即(9-x)2+32=X2,

解得：x=5.

即EF=5.

9.如圖，邊長為1的正方形A8CQ中，點石、尸分別在邊CD、AD±,連接BE、BF、EF,fL<AF+CE

=EF.

(1)求(Af+l)(CE+1)

(2)探究NEBb的度數是否為定值，并說明理由.

解：(1)設CE=x,AF=y,則QE=l-x,DF=1-y,

■:AF+CE=EF,

EF=x+y.

???四邊形ABC。是正方形,

AZD=90!,，

：.EF1=DE1+DF2,即(x+y)2=(1-x)2+(1-y)2,

?=\y+x+y=1,

/.(AF+l)(CE+1)=(.y+1)(x+1)=xy+x+.y+l=l+l=2；

(2)NEB/的度數為定值，理由如下：

如圖，將△人8/繞點8順時針旋轉90°得到△8CM,此時AR與CB重合.

由旋轉，可得：AB=CB,BF=BM,AF=CM,NABF=NCBM,NBCM=NA=90°,

???/BCM+/8co=900+90°=180°,

???點M、C、七在同一條直線上.

\*AF+CE=EF,CM+CE=EM.

：?EF=EM.

fBF=BM

在△BE/7和aBEM中，(BE二EE，

IEF=EM

工△BEF/ABEM(SSS),

???NEBF=NEBM=NCBM+NCBE=NABF+NCBE,

又???NA8C=9()°,NABC=NEBF+NABF+NCBE,

，NE8F=2NABC=45°.

10.在正方形45co中，連接BD

（1）如圖1,AELBD于E,直接寫出N84E的度數；

（2）如圖2,在（I）的條件下，將△AEB以A旋轉中心，沿逆時針方向旋轉30°后得到AABiEi,AB\

與交于M,AEi的延長線與BQ交于M求證：BM2+NN=MN2.（提示,將繞點A順時針旋

轉90°,得到△AF8,并連接FM.）

(3)如圖3,E、F是邊BC、C。上的點，ZXCE"周長是正方形/WCO周長的一半，AE.力尸分別與8。

交于M、N,寫出線段AM、DV、例N之間的數量關系，并證明.

解：(1)如圖1中,

???8。是正方形ABCD的對角線,

???NA8O=NAO8=45",

AZABE=ZBAE=45；

(2)將△ANQ繞點D順時針旋轉90,得到△4F8,

圖2

；?NADB=NFBA,NBAF=NDAN,DN=BF,AF=AN,

???在正方形人BCO中，AELBD,

：.ZADB=ZABD=45,

???NFBM=ZFBA+ZABD=NADB+NABD=90,

在RlZ\BPM中，根據勾股定理得，FB1+BM1=FM1,

,Z旋轉△ABE得到△48IEI，

：.ZE\ABi=45,

???N3A8i+NOAN=90'-45：=45’,

???/BAF=DAN,

J/BABi+NBA尸=45,

???NRM=45,

：,ZFAM=ZE\AB\t

*：AM=AM,AF=AN,

XAFMqXANM、

:?FM=MN,

,：BM2+FB2=FM2,

.*.B/W2+DAT2=/W/V2.

(3)結論：BM2+DN2=MN2.

將△A。r繞點A順時針旋轉90得至l]Z\A8G,

:,DF=GB,

???正方形ABCD的周長為4AB.

△CEV周長為EF+EC+CF,

..?△6尸周長是正方形八時。冏長的一半，

：.4AB=2(EF+EC+CF),

：.2An=EF+EC+CF

?：EC=AB-BE,CF=AB-DF,

：.2AB=EF+AB-BE+AB-DF，

：.EF=DF+BE,

,:DF=GB,

:,EF=GB+BE=GE,

由旋轉得到”=AG,

?：AE=AE,

???△AEGdAER

???NE4G=NE4/=45°,

同理可得BM2+DN2=MN2.

11.如圖，四邊形A8C。為正方形，若點A坐標為(()，5).

(1)如圖I,直接寫出點B的坐標(5,5)；

(2)如圖I,點D為線段0A上一點，連接若點A到B。的距離為1,求點C到的距離；

(3)如圖2,若。為x軸上一點，且00=2,用為)，軸正半軸上一點，且NQ8M=45°,直接寫出點

”的坐標(0,—)或(0,—).

-------------4--------------6------

解：(1)???四邊形A8CO為正方形，點A坐標為(0,5),

???B的坐標(5,5),

故答案為:(5,5)；

(2)如圖I,作力于E,C/_LB。于凡

圖1

VZABE+ZFBC=90°,N48E+NE48=90°,

:,NFBC=NEAB,

又ZAEB=ZBFC=9(r，

:.4ABEqABCF(AAS),

：.BF=AE=\,

又???8C=OA=5,

???C尸=僅2卅2=2%,

即點C到8。的跑離為WE：

（3）①當點。位于x軸正半軸時，如圖2,在x軸上截取CF=AM,

圖2

'：AB=CB,NMAB=NFCB=90°,

A^ABM^/^CBF(SAS),

：,BM=BF,NABM=NCBF,

VZD?M=45°，

:?NDBF=NDBC+NCBF=NDBC+NABM=9()°-NQBM=45°,

???ZDBM=/DBF,

又?：BD=BD,

：.4DBM公ADBF(SAS),

設OM=y,則4M=C/=5-y,DF=DM=CD+CF=5-2+5-y=8-

在Rt/^MOD中，MD1=OM2+OD2,

即(8-y)2=}^+22,

解得：y=匹，

4

,此時M點坐標為(。，—)；

4

②當點。位于x軸負半軸時，如圖3,在工軸上截取CF=4W,

同理可得△ABMgZXCBF,

設0M=），，則AM=y-5=CF,DF=2+5-（y-5）=\2-y=DM,

在RtAMOD中，MD1=OM2+ODr,

即（12->'）2=<+22,

解得：y=2$，

6

???此時w點坐標為（0,更），

6

綜上，M點坐標為（（），工）或（0,選），

46

故答案為：（0,—）或（0,母）.

46

12.（I）【探索發現】

如圖I,正方形A8CO中，點、M、N分別是邊4C、。。上的點，NMAN=45°,若將△D4N繞點A順時

針旋轉90°到A/MG位置，可得△MANgAWAG,若的周長為6,則正方形A3C。的邊長為

（2）【類比延伸】

如圖（2）,四邊形A8C。中，AB=AD,2840=120°,Zfi+ZD=180°，點M、N分別在邊BC、CD

上的點，NM4N=60°,請判斷線段8M,DN,MN之間的數量關系，并說明理由.

（3）【拓展應用】

如圖3,四邊形A8C。中，AB=AD=\0,ZADC=120°,點M,N分別在邊〃C,CO上，連接AM,

MN,△A8W是等邊三角形，AM1AD,DN=5（愿-1）,請直接寫出MN的長.

解：(1)如圖1中,

GBMC

圖1

?；AMANm/\MAG,

:?MN=GM,

?:DN=BG,GM=BG+BM,

:?MN=BM+DN,

,/△CMN的周長為：MN+CM+CN=6,

：.BM+CM+CN+DN=6,

：.BC+CD=6,

,BC=CD=3,

故答案為3.

(2)如圖2中，結論：MN=NM+DN.

延長C8至石，使BE=DN,連接AE,

???NABC+NO=180°,ZABC+ZABE=\SOQ,

；?/D=/ABE,

在△48七和△AON中，

[AB=AD

ZABE=ZD>

IBE=DN

???AABE^AADN,

：.AN=AE,/DAN=/BAE,

■：4BAD=2/MAN,

???ZDAN+ZBAM=/MAN,

：.ZMAN=ZEAM,

在Z\M4N和△%￡：中，

'AN二AE

<ZMAN=ZMAE-

AM=AM

儂△%￡：,

,MN=EM=BE+BM=BM+DN,即MN=BM+DN；

(3)解：如圖3,把△ASM繞點A逆時針旋轉150°至△AOG,連接4N.作N"_LAO于“，在A”上

取?點K,使得NNK”=30°

在RADHN中,,?NNDH=60°DN=5（近?1）,

.?.DH=2DN=§（近=1）,HN=^3DH=.15-5立,

222

在RlZ\KN〃中，KN=2HN=\5-5如,HK=^3HN=.

2

：.AK=AH-HK=15-5畬，

:.AK=KN,

:./KAN=/KNA,

/NKH=NKAN+NKNA,

：?4NAK=\50,

:?/MAN=75°=—^BAD,

2

由（2）得，MN=BM+DN=\Q+5（孤?1）=5+5^3,

13.請閱讀下列材料:

問題：正方形A8CD中，M,N分別是直線C8、OC上的動點，/M4N=45°,當NM4N交邊C&DC

于點M、N(如圖①)時，線段AM、ON和例N之間有怎樣的數量關系？

小聰同學的思路是：延長。5至￡使BE=DN,并連接AE構造全等三角形經過推理使問題得到解決.請

你參考小聰同學的思路，探究并解決下列問題：

(1)更接寫出上面問題中，線段BM,3N和MN之間的數量關系；

(2)當NMAN分別交邊CB,QC的延長線于點M/N時(如圖②)，線段8M,ON和MN之間的又有怎

樣的數量關系？請寫出你的猜想，并加以證明；

(3)在圖①中，若正方形的邊長為16c/〃，DN=4cm,請利用(1)中的結論,試求MN的長.

W：(1)BM+DN=MN；

(2)DN-BM=MN.

理由如下：

如圖，在。。上截取Q"=及M，連接4F.

\*AB=AD,ZABM=ZADF=W,

(SAS)

：.AM=AF,ZMAB=ZFAD.

/.ZMAB+ZBAF=ZM￡>+ZMF=90o,

即NM4/=N8AO=90°.

又/AMN=45°,

：,ZNAF=ZMAN=45r3.

VAN=AN,

??.△MANg△膽N.

:.MN=FN,

即MN=DN-DF=DN-8M；

（3）???正方形的邊長為16,DN=4,

：,CN=\2.

根據（1）可知，BM+DN=MN,

設MN=x,則8M=x-4,

???CM=16-(x-4)=20-x.

在Rl^CMN中，

?：MN2=CM2+CN2,

???/=(20-x)2+122.

解得％=13.6.

如圖I,在四邊形A8CO中，AB=AD,NB4O=120°,NB=N/W）C=90°,E,尸分別是BC,CD±

的點，且N以F=60°,探究圖中線段△￡EF,FO之間的數量關系.小王同學探究此問題的方法是：

延長FZ）至I］點G,使DG=BE,連接AG,先證明△A8E0/\ADG,再證明△AEFgZXAGF,可得出結論，

他的結論應是EF=BE+DF.

實際應用：

如圖2,在新修的小區中，有塊四邊形綠化ABC。，四周修有步行小徑，且AB=4DZB+ZD=180°,

在小徑8C,。。上各修一涼亭￡F,在涼亭￡與尸之間有一池塘，不能直接到達經測量得到NE4/=2

2

/BAD,8七=10米，05=15米，試求兩涼亭之間的距離石尸.

解：問題背景：'：ZADC=90°,ZADC+ZADG=\SO°,

???NAOG=9()°,

在△ABE和△AQG中，

rBE=DG

-ZB=ZADG，

AB=AD

AAABE^AADG(SAS),

：,AE=AG,ZBAE=ZDAG,

VZEAF=60°,^BAD=\20°,

：.ZBAE+DAF=\20°-60°=60°,

/.ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=60a=ZEAF,

在△?!￡”和△AG〃中，

(AE=AG

ZEAF=ZGAF，

IAF=AF

AA/iEF^AAGF(SAS),

:,EF=FG,

???FG=DG+DF=BE+DF,

[EF=BE+DF,

故答案為：EF=BE+DF：

實際應用