高三數學復習-球的

切、接、截面問題（有答案）+函數+期末考試試題

數學復習…球的切、接、截面問題（附參考答案）

一.選擇題（共16小題）

1.（2014?廣西）正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該

球的表面枳為（）

A.8171B.16nC.9nD.27H

~4~~~T

2.（2014?寶雞三模）一個空間幾何體的三視圖如圖所示，且這個空間幾何體的所有頂點都

在一個球面上，則這個球的表面積是（）

二

正視圖側視圖

A

俯視圖

A.4nB.8nC.28D?豹

3.（2014?錦州一模）一個三楂錐的三視圖是三個直角三角形,如圖所示，則該三棱錐的外

接球的表面積為（）

主稷圖±7jSKj

L

A.29nB.30nC.29兀D.216n

~~2~

4.（2014?西藏一模）三棱錐S-ABC的頂點都在同一球面上，且

SA二AC二SB二BC二2&,SC=4,貝ij該球的體積為（）

A.256B.邃冗C.16nD.64n

-VK~3n

5.（2014?臨汾模擬）三棱錐P-ABC的四個頂點均在同一球面上，其中△ABC是正三角形,

PAJ?平面ABC,PA=2AB=6,則該球的體積為（）

A.16小B.32心C.48nD.64仃1

6.（2014?沈陽模擬）四個頂點都在球O上的四面體ABCD所有極長都為12,點E、F分別

為棱AB、AC的中點，則球0截直線EF所得弦長為（）

A.6A/5B.12C.6加D.6A/2

7.（2013?遼寧）已知三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球0的球面上，若AB=3,AC=4,

ABJLAC,AAi=12,則球O的半徑為（）

A.3V17B.2的工c.13D.3V10

2~2

8.（2013?河池模擬）將長寬分別為3和4的長方形ABCD沿對角線AC折起直二面角，得

到四面體A-BCD,則四面體A-BCD的外接球的表面積為（）

A.25nB.50nC.5nD.lOn

9.（2013?黃梅縣模擬）己知半徑為5的球O被互相垂直的兩個平面所截，得到的兩個圓的

公共弦為4,若其中的一圓的半徑為4,則另一圓的半徑為（）—

A.VioB.Vnc.2V3D.V13

10.（2013?鄭州一模）在三極錐A-BCD中，側棱AB、AC、AD兩兩垂直，△ABC、△ACD、

△ADB的面積分別為選、立、近，則該三棱錐外接球的表面積為（）

222

A.2nB.C.6nD.24n

11.（2013?河池模擬）一個四面體A-BCD中，AC=BD=3,AD=BC=4,AB=CD=5,那么

這個四面體的外接球的表面枳為（）

A.50nB.25nC.25兀D.50兀

~~3~

12.（2012?南寧模擬）已知RQABC的頂點都在半徑為4的球O面上，且AB=3,BC=2,

ZABC=—,則棱錐O-ABC的體積為（）

_2

A.逗B.I?C.屈D.3751

~2

13.在正四棱錐S-ABCD中，側面與底面所成角為工，則它的外接球的半徑R與內徑球

3

半徑r的比值為（)

A.5B-3C.10D.5

22

14.已知球O的表面積為20n,SC是球O的直徑,A、B兩點在球面上，且AB=BC=2,AC二2?,

則三棱錐S?AOB的高為（）

A.1B.y/~2C.V3D.1

2TT

15.（2014?安陽一模）如圖，平面四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1,BD=V2?BD_LCD,

將其沿對角線BD折成四面體A，-BCD,使平面ABD_L平面BCD,若四面體A，-BCD頂

點在同一個球面上，則該球的體積為（）

C返D.2n

3

16.（2011?瓊海一模）已知正六棱柱的12個頂點都在一個半徑為3的球面上，當正六棱柱

的體積最大（柱體體積=底而枳X高）時，其高的值為（）

A.373B.2?C.2V3D.V3

二.填空題（共8小題）

17.（2014?烏魯木齊二模）直三極柱ABC-A1BC1的各頂點都在同一球面上，若

AB=AC=AAi=2,ZBAC=120°,則此球的表面積等于

18.（2014?江西模擬）正四面體ABCD的棱長為4,E為棱BC的中點，過E作其外接球的

截面，則截面面積的最小值為.

19.（2014?呼倫貝爾二模）設A、B、C、D是半徑為2的球面上的四點，且滿足AB_LAC,

AD±AC,AB±AD,則ABC+SAABD+SAACD的最大值是.

20.（2014?河南模擬）已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的正方形，所有側棱長相等

且等于a,若其外接球的半徑為R,則罵于.

R

21.（2012?遼寧）已知正三棱/P-ABC,點P,A,B,C都在半徑為?的球面上，若PA,

PB,PC兩兩垂直，則球心到我面ABC的距離為.

22.（2009?湖南）在半徑為13的球面上有A,B,C三點，AB=6,BC=8,CA=IO,則

6.已知正方體ABCD-AIBICIDI內有一個球與正方體的各個面都相切，經過DDi和BB1

作一個截面，正確的截面圖是.

(1)(2)(3)(4)

7.已知空間中動平面a,B與半徑為5的定球相交所得的截面的面積為4n與9爪，其截面圓

心分別為M,N,則線段|MN|的長度最大值為.

8.球O的球面上有三點A,B,C,且BC=3,ZBAC=30\過A,B,C三點作球O的截

面，球心O到截面的距離為4,則該球的體積為.

9.(2014?上海二模)設倒圓錐形容器的軸截面為一個等邊三角形，在此容器內注入水，并

浸入半徑為r的一個實心球，使球與水面恰好相切，試求取出球后水面高為多少？

P

2015年高三數學復習一球的切接問題組

參考答案與試題解析

一.選擇題（共16小題）

I.（2014?廣西）正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該楂錐的高為4,底面邊長為2,則該

球的表面積為（）

A.冬冗B.16nC.9nD.A7兀

~~r~~r

考點：球內接多面體：球的體積和表面積.

專題：計算題：空間位置關系與距離.

分析：正四極?錐p-ABCD的外接球的球心在它的高POi上，記為O,求出POi,OO1,解

出球的半徑，求出球的表面積.

解答：解：設球的半徑為R,則

?/棱錐的高為4,底面邊長為2,

R2=（4-R）2+（V2）2,

?.?IRX—-99

4

..?球的表面積為4n?（32=&經

44

故選：A.

點評：本題考查球的表面積，球的內接幾何體問題，考查計算能力，是基礎題.

2.（2014?寶雞三模）一個空間幾何體的三視圖如圖所示，且這個空間幾何體的所有頂點都

在一個球面上，則這個球的表面積是（）

俯視圖

A.4nB.8nD.32

71

~3

考點：球內接多面體.

專題：計算題.

分析：由三視圖知，幾何體是一個三棱柱，三棱柱的底而是邊長為2的正三角形，側棱長是

2,根據三棱柱的兩個底面的中心的中點與三棱柱的頂點的連線就是外接球的半徑，

求出半徑即可求出球的表面積.

解答：解：由三視圖知，幾何沐是一個三棱柱，三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，側棱

長是2,

三棱柱的兩個底面的中心的中點與三棱柱的頂點的連線就是外接球的半徑，

T各行之+］嘴球的表面積兀.

3

故選C.

點評：本題是中檔題，考查三棱柱的外接球的表面枳的求法，外接球的半徑是解題的關鍵,

考查計算能力.

3.（2014?錦州一模）一個三棱錐的三視圖是三個直角三角形，如圖所示，則該三棱錐的外

接球的表面積為（）

A.29nB.30nC.29冗D.2l6n

考點：球內接多面體；球的體積和表面積.

專題：計算題.

分析：兒何體復原為底面是直角三角形，?條側棱垂宜底面直角頂點的三楂錐，擴展為長方

體，長方體的對角線的長，就是外接球的直徑，然后求其的表面積.

解答：解：由三視圖復原幾何體，幾何體是底而是直角三角形，

?條側棱垂直底面直角頂點的三棱錐；把它擴展為長方體，兩者有相同的外接球，

它的對用線的長為球的直徑：^42+22+32-^29,球的半徑為：叵.

2

該三棱錐的外接球的表面積為：4X7TX（叵）2二29兀，

故選A.

點評：本題考查三視圖，幾何悻的外接球的表面積，考查空間想象能力，計算能力，是基礎

題.

4.（2014?西藏一模）三極錐S-ABC的頂點都在同一球而上，且

SA=AC=SB=BC=2V2，SC二4,則該球的體積為（）

A.256B.32c.I6nD.64n

~~z-九-7T

33

考點：球內接多面體；球的體積和表面積.

專題：計算題.

分析：通過已知條件，判斷SC為球的直徑，求出球的半徑，即可求解球的體積.

解答：解：由題意SA二AC二SB二BC二2&，SC=4,

所以AC2+SA2=SC2,BC2+SB2=SC2,SC是兩個截面圓SAC與SCB的直徑，

所以SC是球的宜徑，球的半徑為：2.

所以球的體積為：—*兀?23=笆兀.

33

故選B.

點評：本題考查球與球的內接多面體關系，球的體積的求法，推出球的直徑是解題的關鍵，

考查計算能力.

5.（2014?臨汾模擬）三棱錐P-ABC的四個頂點均在同一球面上，其中△ABC是正三角形,

PAL平面ABC,PA=2AB=6,則該球的體積為（）

A.16A/3TIB.32倔C.48nD.64^^

考點：球內接多面體.

專題：球.

分析：由題意把A、B、C、P擴展為三棱柱如圖，求出上下底面中心連線的中點與A的距

離為球的半徑，然后求出球的體積.

解答：解：由題意畫出兒何體的圖形如圖，

把A、B、C、P擴展為三棱柱，

上下底而中心連線的中點與A的距離為球的半徑，

PA=2AB=6,OE=3,△ABC是正三角形，AB=3,

???AE旬超2_0杷）』

人。加2+（暫知時

所求球的體積為：絲（25）3=32

3

故選:B.

點評：本題考查球的內接體與球的關系，考查空間想象能力，利用割補法結合球內接多面體

的幾何特征求出球的半徑是解題的關鍵.

6.（2014?沈陽模擬）四個頂點都在球O上的四面體ABCD所有棱長都為12,點E、F分別

為極AB、AC的中點，則球O截直線EF所得弦長為（）

A.675B.12C.6A/3D.6^2

考點：球內接多面體：球的體積和表面積.

專題：綜合題；空間位置關系與距離.

分析：把四面體補成正方體，兩者的外接球是同一個，求出正方體的棱長，然后求出正方體

的對角線長，可得正四面體的外接球的半徑，求出球心到EF的距離，即可求出球O

截直線EF所得弦K.

解答：解：如圖，將四面體補成正方體，則正方體的梭?長是6&,正方體的對角線長為：6證,

正四面體的外接球的半徑為：3dd

設球心為O,O到EF的距離為d,則d=J2_32=3.

O截直線EF所得弦長為2y]（3^）2_32=6V5.

點評：本題是基礎題，考查空間想象能力，正四面體的外接球轉化為正方體外接球，使得問

題的難度得到降低，問通得到解決，注意正方體的對角線就是球的直徑，也是比較重

要的.

7.（2013?遼寧）已知三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,

AB±AC,AAi=12,則球O的半徑為（）_

A.3V17B.C.13D.3710

2~2

考點：球內接多面體；點、線、面間的距離計算.

專題：空間位置關系與距離.

分析：通過球的內接體，說明幾何體的側面對角線是球的直徑，求出球的半徑.

解答：解：因為三棱柱ABC-AIBICI的6個頂點都在球O的球面上，若AB=3,AC=4,

ABXAC,AAi=12,

所以三棱柱的底面是直角三角形，側棱與底面垂直，側面BiBC。，經過球的球心，

球的直徑是其對角線的長，

2

因為AB=3,AC=4,BC=5,BC\=^22=13'

所以球的半徑為：型.

2

故選C.

點評：本題考查球的內接體與球的關系，球的半徑的求解，考查計算能力.

8.（2013?河池模擬）將長寬分別為3和4的長方形ABCD沿對角線AC折起直二面角，得

到四面體A-BCD,則四面體A-BCD的外接球的表面積為（）

A.25nB.50nC.5nD.IOn

考點：球內接多面體.

專題：計算題.

分析：折卷后的四面體的外接球的半徑，就是長方形ABCD沿對角線AC的一半，求出球的

半徑即可求出球的表面枳.

解答：解：由題意可知，直角三角形斜邊的中線是斜邊的一半，所以長寬分別為3和4的長

方形ABCD沿對角線AC折起直二面角，得到四面體A-BCD,則四而體A-BCD

的外接球的半徑，是2AC=^

22

c2

所求球的表面積為：4、兀（2）=25n

2

故選A

點評：本題考查球的內接多而體，求出球的半徑，是解題的關鍵，考查空間想象能力，計算

能力.

9.（2013?黃梅縣模擬）己知半徑為5的球O被互相垂直的兩個平面所截，得到的兩個圓的

公共弦為4,若其中的一圓的半徑為4,則另一圓的半徑為（）—

A.VioB.Vnc.2V3D.V13

考點：球內接多面體.

專題：計算題：空間位者關系與距離.

分析：可以從三個圓心上找關系，構建矩形利用對角線相等即可求解出答案.

解答：解：設兩圓的網心分別為Oi、02,球心為0,公共弦為AB,其中點為E,則OO1EO2

為矩形，

于是對角線OIO2=OE=^Q^2_2=^25_4=V21,

圓OI的半徑為4,。IE=Jo]A2-AE”麻十2冊

-5E=啦1-12=3

圓02的半徑為J為二

故選D.

點評：本題主要考查球的有關概念以及兩平面垂直的性質，是對基礎知識的考查.解決本題

的關鍵在于得到00正02為矩形.

10.（2013?鄭州一模）在三棱錐A-BCD中，側棱AB、AC、AD兩兩垂直，△ABC、△ACD、

△ADB的面積分別為選、且、近，則該三棱錐外接球的表面積為（）

222

A.2nB.C.6nD.24n

考點：球內按多面體；球的體積和表面積.

專題：計算題：空間位置關系與距離.

分析：三棱錐A-BCD中，側棱AB、AC、AD兩兩垂直，補成長方體，兩者的外接球是同

一個，長方體的對角線就是球的直徑，求出長方體的三度，轉化為對角線長，即可求

三棱錐外接球的表面積.

解答：解：三棱錐A-BCD中，側棱AB、AC、AD兩兩垂直，補成長方體，兩者的外接球

是同一個，長方體的對角線就是球的直徑，

,「f則楂AC、AC、AD兩兩垂直，ZkABC、△ACD、△ADB的面積分別為Y2、立、

22

近

2

1AD?AC&1AB*AD=2^

22222

AB=A/2,AC=1?AD=5/3

球的直徑為：V2+1+3=V6

半徑為近

2

二?三梭錐外接球的表面積為4冗X@=6n

4

故詵C.

點評：本題考查三極錐外接球的表面枳，三棱錐轉化為長方體，兩者的外接球是同一個，以

及長方體的對角線就是球的直徑是解題的關鍵所在.

11.（2013?河池模擬）一個四面體A-BCD中，AC=BD=3,AD=BC=4,AB=CD=5,那么

這個四面體的外接球的表面積為（）

A.5OnB.25nC.25幾D.50兀

考點：球內接多面體：球的體枳和表而枳.

專題：計算題：空間位置關系與距離.

分析：由四而體A-BCD相對的棱長度相等，將其放置于長方體中，如圖所示.由題意得該

長方體的外接球就是四而體A-BCD的外接球，因此算出長方體的對角線長得到外接

球的直徑，利用球的表面積公式加以計算，可得四面體A?BCD的外接球的表面積.

解答：解:將四面體A-BCD放置于長方體中，如圖所示.

四面體A-BCD的頂點為長方體八個頂點中的四個，

???長方體的外接球就是川面體A-BCD的外接球，

/AC=BD=3,AD=BC=4,AB=CD=5,

」?長方體的對角線長為成（32+1+52）=5,

可得外接球的直徑2R=5,所以R=i

2

因此，外接球的表面積為S=4TIR2=257X.

故選：B

點評：本題給出相對棱長相等的四面體，求它的外接球的表面積.著重考查了長方體的性質、

長方體的對角線長公式和球的表面枳公式等知識，屬于口檔題.

12.（2012?南寧模擬）已知RSABC的頂點都在半徑為4的球O面上，且AB=3,BC=2,

ZABC=—,則極錐O?ABC的體積為（）

_2__

A.逗B.1反C.屈D.3751

F2

考點：球內接多面體；棱柱、棱錐、棱臺的體積.

專題：計算題；空間位置關系與距離.

分析：先求AC的值，利用△ABC外接圓是球O的截面圓，球心O在平面ABC的射影點為

AC的中點O',求出OO',即可求得棱錐O-ABC的體積.

解答：解：AB=3,BC=2,ZABC=—,/.AC=V13

2

△ABC外接圓是球O的截面圓，球心O在平面ABC的對影點為AC的中點b,此

時。。*2-竽隼

.??棱錐O-ABC的體積為』X工X3x2x恒憫

3222

故選A.

點評：本題考查棱錐體積的計算，考查球的截而圓，屬于基礎題.

13.在正四棱錐S-ABCD中，側面與底面所成角為工，則它的外接球的半徑R與內徑球

3

半徑r的比值為（）

A.5B.3C.10D._5

2~2

考點：球內接多面體.

專題：計算題：壓軸題.

分析：由題意通過側面與底面所成角為工，設出正四棱錐的底面邊長，求出斜高，側棱長,

3

求出內切球的半徑與正四棱錐底面邊長的關系；利用外接球的球心與正四棱錐的高在

同一條直線，結合勾股定理求出，外接球的半徑與底面邊長的關系，即可得到比值.

解答：解：由于側而與底面所成用為工，可知底面邊長與兩個對面斜高構成正三角形，設底

3

面邊長為a,則斜高也為a,進而可得側棱長為

叵，高為叵

22

四棱錐的內切球半徑就是上述正三角形的內切圓半徑為冬，

6

其外接球球心必在頂點與底而中心連線上，半徑為R，球心為O,頂點為P,底面中

心為O1,底面一個頂點為B,則OB=OP,

于是就有：2+（叵）2=R2

22

解得R=^&.

12

所以兩者的比為：

2

故選D

點評：本題是中檔題，考查學生的空間想象能力，計算能力推理能力.求出球的半徑與正三

棱柱的底面邊長的關系，是本題的關鍵.

14.已知球O的表面積為20n,SC是球O的直徑,A、B兩點在球面上，且AB=BC=2,AC二2加,

則三棱錐S?AOB的高為（）

A.1B.&C.^3D.1

2TT

考點：球內接多面體；棱柱、棱錐、棱臺的體積.

專題：計算題：壓軸題：空間位置關系與距離.

分析：將三棱錐S?AOB的高，轉化為C到平面AOB的距離，利用等體積法，即可求得結

論.

解答：解：,??球O的表面積為20n,.?.球O的半徑為加，

「SC是球O的直徑，三棱錐S?AOB的高等于C到平面AOB的距離，設為h

AB=BC=2.AC-2VS?,?cosA=—牝絲——4r

2X2X2732

sinA=^

2

△ABC外接圓半徑為，BC=2

2sinA

O到平面ABC的距離為1

SMAB=X2X病6=2,SAABC-|x2X2V3XsinA=V3

?'??|x2Xh=^xV3Xl

JJ

故選c.

點評：本題考查三棱錐的高，考查三棱錐的體積公式，考查學生的轉化能力，屬于中檔題.

15.（2014?安陽一模）如圖，平面四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1,BDf^，BD1CD,

將其沿對角線BD折成四面體X-BCD,使平面A，BDJ_平面BCD,若四面體N-BCD頂

點在同一個球面上，則該球的體積為（)

A.A/?B.3nD.2n

考點：球內接多面體：球的體積和表面積.

專題：計算題：壓軸題.

分析：說明折段后幾何體的特征，求出三棱錐的外接球的半徑，然后求出球的體積.

解答：解：由題意平面四邊形ABCD中，AB=AD=CD=I,BD。/，BD1CD,將其沿對角

線BD折成四面體A-BCD,使平面A，BD_L平面BCD,若四面體A-BCD頂點在

同?個球面上，可知A，B_LA，C,所以BC是外接球的直徑，所以BC=J3球的半徑

為：立：所以球的體枳為：竺（近）工叵冗.

2322

故選A

點評：本題是基礎題，考查折登問題，三棱徘的外接球的體積的求法，考查計算能力，正確

球的外接球的半徑是解題的關鍵.

16.（2011?瓊海一模）已知正六棱柱的12個頂點都在一個半徑為3的球面上，當正六棱柱

的體積最大（柱體體積=底面枳x高）時，其高的值為（）

A.373B.2?C.2V3D.V3

考點：球內接多面體.

專題：計郛題；壓軸題.

分析：根據正六棱柱和球的對稱性，球心o必然是正六棱柱上、.底面中心連線的中點，作出

過正六棱柱的對角面的軸截面即可得到正六棱柱的底面邊長、高和球的半徑的關系，

在這個關系下求函數取得最值的條件即可求出所要求的晝.

解答：解：以正六棱柱的最大對角面作截面，如圖.設球心為O,正六樓柱的上下底面中心

分別為O”02,則。是6,02的中點.設正六棱柱的底面邊K為a,高為2h,則

a2+h2=9.正六棱柱的體積為V=6乂g&2、2?即V二加（9-h2）h，則

V，二3M（9-3h2），得極值點不難知道這個極值點是極大值點，也是

最大值點.故當正六棱柱的體積最大，其高為以;9

故選B

點評：本題是在空間幾何體、導數的應用交匯處命制，解題的關鍵是建立正六棱柱體積的函

數關系式.考生如果對選修系列四的《不等式選講》較為熟悉的話，求函數

v二工區（9-h2）h的條件可以使用三個正數的均值不等式進行.

二.填空題（共8小題）

17.（2014?烏魯木齊二模）直三桂樣ABC-AiBCi的各頂點都在同一球面J若

AB=AC=AAi=2,ZBAC=I2O°,則此球的表面積等于

20n.

考點：球內接多面體.

專題：計算題；壓軸題.

分析：通過已知體枳求出底而外接圓的半徑，設此圓圓心為O,球心為O,在RI4OBO，

中，求出球的半徑，然后求出球的表面積.

解答：解：在△ABC中AB=AC=2,ZBAC=120%

可得BC二2?,

由正弦定理，可得△ABC外接圓半徑r=2,

設此圓圓心為O',球心為O,在RTAOBO中,

易得球半徑區。四，

故此球的表而枳為4nR2=20n

故答案為：20n

點評：本題是基礎題，解題思路是：先求底面外接圓的半徑，轉化為直角三角形，求出球的

半徑，這是三棱柱外接球的常用方法；木題考查空間想象能力，計算能力.

18.（2014?江西模擬）正四而體ABCD的棱長為4,E為棱BC的中點，過E作其外接球的

截面，則截面面積的最小值為」n_.

考點：球內接多面體.

專題：計算題：空間位置關系與距離；球.

分析：根據題意，將四面體ABCD放置于如圖所示的正方體中，則正方體的外接球就是四面

體ABCD的外接球.因此利用題中數據算出外接球半徑R=遙，過E點的截面到球

心的最大距離為石，再利用球的截面圓性質可算出截面面積的最小值.

解答：解：將四面體ABCD放置于正方體中，如圖所示

可得正方體的外接球就是四而體ABCD的外接球，

止四面體ABCD的棧長為4,

.?.正方體的樓長為2&,

可得外接球半徑R滿足2R=2加-泥，解得R=V^

E為極BC的中點，過E作其外接球的做面，當截面到球心O的距離最大時，

截面圓的面積達最小值，

此時球心O到截面的距離等于正方體棱長的一半，

可得截而圓的半杼為r=^R2_2=2,得到截面圓的面積品小侑為S=nr2=4n.

故答案為：4n

點評：本題給出正四面體的外接球，求截面圓的面枳最小值.著重考查了正方體的性質、球

內接多面體和球的截面圓性質等知識，屬于中檔題.

19.（2014?呼倫貝爾二模）設A、B、C、D是半徑為2的球而上的四點，且滿足ABJ_AC,

AD±AC.ABJ_AD,貝S4ABC+SAABD+S^ACD的最大值是3

考點：球內接多面體.

分析：根據題意，以AB、AC、AD為長、寬、高作長方體，可得長方體與三棱錐D-ABC

有相同的外接球.從而鳧出長方體的對角線長為4,AB2+AC2+AD2=I6.再利用基

本不等式求最值即可算出SAABC+SAABD+SAACD的最大值.

解答：解：「AB_LAC,AD±AC,AB_LAD,

.?.以AB、AC、AD為長、寬、高，作長方體如圖所示

可得長方體的外接球就是三極錐D-ABC的外接球

?.?球的半徑為2,可得直徑為4

.,?長方體的對角線長為4,得AB2+AC2+AD2=I6

*,SAABC—AB*AC?SaABD=」AB?AD,SAACD=-IAC*AD

222

SAABC+SAABD+SAACD=—（AB*AC+AB*AD+AC*AD）

2

???AB.AC+AB?AD+AC*AD<AB2+AC2+AD2=16

當且僅當AB=AC=AD時，等號成立

」?當且僅當AB=AC=AD時，SAABC+SAABD+SAACD的最大值為8

故答案為：8

點評：本題求內接手球的三棱錐的側面積的最大值，著重考杳了球內接多面體、長方體的性

質和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題.

20.（2014?河南模擬）已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的正方形，所有側棱長相等

且等于a,若其外接球的半徑為R,則罵于V2_-

R

考點：球內接多面體.

專題：空間位置關系與距離.

分析：畫出圖形，求出外接球的半徑即可求出結果.

解答：解：底面ABCD外接圓的半徑是退9即人0=返3

22

則相一（經

???四棱錐的外接球的半徑為：返且即R=Y2a

22

故答案為：V2.

P

點評：本題考瓷幾何體的外接球的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力.

21.(2012?遼寧)已知正三棱錐P-ABC,點P,A,B,C都在半徑為近的球面上，若PA,

PB,PC兩兩垂直，則球心到裁面ABC的距離為亞.

一3-

考點：球內接多面體.

專題：計算題；壓軸題.

分析：先利用正三棱錐的特點，將球的內接三棱錐問題轉化為球的內接正方體問題，從而將

所求距離轉化為止方體中，中心到截面的距離問題，利用等體積法可實現此計算

解答：解：?.?正三棱錐P-ABC,PA,PB,PC兩兩垂直，

二.此正三棱錐的外接球卻以PA,PB,PC為三邊的正方體的外接圓O,

V圓O的半徑為加，

???正方體的邊長為2,即PA=PB=PC=2

球心到截面ABC的距離即正方體中心到截面ABC的距離

設P到截面ABC的距離為h,則正三極錐P-ABC的體積

V=-isAABCxh=-iSAPABxPC=-tc-i<2x2x2=2V3

3332

2

△ABC為邊長為2b的正三角形,SAABC=率(272)

...h=^L^2V3

,△ABC3

???正方體中心O到截面ABC的距離為班-冬叵亞

33

故答案為亞

3

點評：本題主要考球的內接三棱錐和內接正方體間的關系及其相互轉化，棱柱的幾何特征，

球的幾何特征，點到面的距離問題的解決技巧，有一定難度，屬中檔題

22.(2009?湖南)在半徑為13的球面上有A,B,C三點，AB=6,BC=8,CA=IO,則

(1)球心到平面ABC的距離為12:

(2)過A,B兩點的大圓面與平面ABC所成二面角為(銳角，的正切值為3.

考點：球內接多面體.

專題：計算題：壓軸題.

分析：(1)由題意說明△ABC是直角三角形，平面ABC是小圓，圓心在AC的中點，利用

勾股定理直接求出球心到平面ABC的距離.

(2)如圖作出過A,B兩點的大圓面與平面ABC所成二面角，直接求出它的正切值

即可.

解答：解：(1)AB=6,BC=8,CA=10,△ABC是直角三角形，平面ABC是小圓，圓心在

AC的中點D,

A0=13,AD=5,球心到圓心的距離就是球心到平面ABC的距離，

即：OD=12

(2)過D作DE垂直AB于E,連接OE則NOED就是過A,B兩點的大圓面與平

面ABC所成二面角.

易得DE=4

所以tanz0ED=@=3

ED

故答案為：(1)12：(2)3.

點評：本題是基礎題，考查球的截面問題，二面角的求法，考查空間想象能力，計算能力，

能夠正確作出圖形是解好本題個前提，也是空間想象能刀的具體體現.

23.正三棱錐P-ABC的四個頂點同在一個半徑為2的球面上，若正三棱錐的側棱長為2丁無

則正三棱銖的底面邊長是

3.

考點：球內接多面體；棱椎的結構特征.

專題：計算題：作圖題：壓軸題.

分析：畫出正三棱錐的圖形，設出底面邊長，利用三角形相似求出AE,求出底面三角形的

高，設出底面邊長，然后求出正三楂錐的底面邊長.

解答：解：由題意畫出正三棱錐的圖形如圖，

三角形ABC的中心為E,連接PE,球的球心O,在PE上，連接OA,

取PA的中點F連接OF,則PO=2=OA,PF=V3?OF=1

△PF。-△PAE

所以迎旦，。二2

AE-PAAE二2加

373

AE=V3＞底面三角形的高為:

2

底面三角形的邊長為：a

V33V3

2&一2

a=3

故答案為：3

點評：本題考查球內接多面體，棱錐的結構特征，考查作圖能刀，計算能力，是基礎題.

24.與四而體的一個面及另外三個面的延長面都相切的球稱為該四面體的旁切球，則棱長為

1的正四面體的旁切球的半徑尸近.

—6―

考點：球內接多面體.

專題：計算題；壓軸題；新定義.

分析：先根據題意作出圖形，如圖所示，圓。是枝長為1的正四而體ABCD的旁切球的大

圓，AF是正四面體ABCD的高，F是底面三角形BCD的中心，AG是大圓O的切線,

G為切點，設大圓的半徑為R,在三角形ABC中，求出AE,在直角三角形AEF中,

求出AF,再利用△AOG-△AEF,得出關于R的方程即可求出答案.

解答：解：根據題意作出圖形，如圖所示，圓O是棱長為1的正四面體ABCD的旁切球的

大圓，AF是正四面體A-BCD的高，F是底面三角形BCD的中心，AE是側面上的

中線，AG是大圓O的力線，G為切點，設大圓的半徑為R,

在三角形ABC中.AE?^=ED.

2

在直角三角形AEF中，EF=2ED」x叵正，

3326

AF=7AE2_

在三角形AOG利三角形AEF中，ZOAG=ZEAF,ZAGO=ZAFE=90°,

△AOG-△AEF,

近+R立

...AO^j^2

OG-EFRV3

6

.R,V6

6

故答案為：近.

6

A

點評：本小題主要考有球內接多面體、棱銖的兒何特征、三角形相似等基礎知識，考查運算

求解能力，考查空間想象能力.屬于基礎題.

參考答案與試題解析

一.填空題（共8小題）

I.過正三棱錐?惻棱及其半徑為R的外接球的球心O所作截面如圖，則它的側面三角形的

考點：棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積.

專題：計算題；空間位置關系與距離.

分析：底面正三角形在球的大圓上，且圓心是正三角形的中心，從而求出底和高.

解答：解.：由圖可知，底面正三角形在球的大圓上，

正三棱錐的高為R.

則f則面三角形的底邊長為J永，

則s

點評：考查了學生的空間想象力，及組合體中面積，體積的求法.

2.一正方體內接于一個球，經過球心作一個截面，則截面的可能圖形為①②⑶（只

填o寫序號）@.?o

(D③

考點：簡單空間圖形的三視圖.

專題：計算題；空間位置關系與距離.

分析：當截面的角度和方向不同時，球的截而不相同，應分情況考慮.

解答：解：當截面與正方體的一面平行時，截面圖形如③，

當截面不與正方體的一面平行，截面圖形如①②.

故答案為：①②③.

點評：截面的形狀既與被截的幾何體有關，還與截面的角度和方向有關.

3.枝長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截而如圖，則

圖中三角形（正四面體的截面）的面積是_加_

考點：球內接多面體；棱錐的結構特征.

專題：作圖題；證明題.

分析：將截面圖轉化為立體圖，求三角形面積就是求正四面體口的4ABD的面積.

解答：解.：如圖球的截面圖就是正四面體中的AABD,

已知正四面體棱長為2

所以AD=J5,AC=1

所以CD=E

截面面積是：V2

故答案為：V2

A

點評：本題考查球內接多面體以及棱錐的特征，考查空間想象能力，是中檔題.

4.已知正三棱錐S?ABC內接于半徑為6的球，過側棱SA及球心O的平面截三棱徘及球

面所得截面如右圖，則此三極錐的側面積為_27/直.

考點：球的體積和表面積；棱在、棱錐、棱臺的側面積和表面積.

專題：計算題；壓軸題.

分析：根據圖示，這個截而三用形圖由原正三棱錐的一條棱，一個例面三角形的中線和底面

正三角形的中線圍成，正三棱錐的外接球的球心在底面正三角形的重心上，從而可求

得側面的底邊長與高，牧可求.

解答：解：根據圖示，這個截面三角形圖由原正三棱錐的一條梗，一個側面三角形的中線和

底面正三角形的中線圍成，正三棱錐的外接球的球心在底面正三角形的重心上，于是

有半徑R=Z詫面中線長

3

設BC的中點為D,連接SO

R=6

AD=9,

0D=3,SD=^62+32=V45,BC=

三極錐的側面積=3xd而W5=27^/15.

故答案為：27-15

點評：本題考查空間想象能力，關鍵是要抓住這個截面三角形圖由原正三棱錐的一條棱，一

個側面三角形的中線和底面正三角形的中線國成，正三極錐的外接球的球