一、函數的概念與基本初等函數多選題

ln(x+l),x>0

1.已知函數/(x)=《，八?八，其中實數a￡R,則下列關于x的方程尸(x)-(l+

x-2av4-l,x<0

a)-/(x)+a=O的實數根的情況，說法正確的有()

A.。取任意實數時，方程最多有5個根

B.當一1一"<〃<上叵時,方程有2個根

22

C.當〃二一1—6時,方程有3個根

2

D.當QS-4時，方程有4個根

【答案】CD

【分析】

先化簡方程為，(外=1或/(%)=%再對。進行分類討論，結合圖象來確定，(刈=1或

/'(%)=。分別有幾個根，根據結果逐一判斷選項正誤即可.

【詳解】

解:關于x的方程尸(x)-(l+a)-/(x)+”O,即[/(幻-1][/(幻一句=0,故f(x)=l或

f(x)=a.

ln(x+l),x>()/、

函數/(?=12。?八中，xNO"(x)=ln(x+l)單調遞增，

xf(x)=—2zvc4-1=+\—Q~,對稱軸為x=。，判別式

△=4(a+l)(a-l).

(1)當a20時，函數/&)圖象如下：

由圖象可知，方程/@)=1有1個根，時方程/(幻=。有2個根，OKaKl時，方程

/(x)=a有1個根，故。>1時已知方程有3個根，0?。<1時，已知方程有2個根，

a=l時已知方程有1個根；

(2)。=一1時，函數/3)圖象如下：

由兩個圖象可知，-14〃<0時，方程f(x)=l有2個根，方程/(尢)=。沒有根，故已

知方程有2個根；

2

故當々〈土35時，1一/<a,直線y如圖①，方程/(%)=。有2個根，故已知

2

方程有4個根；

當〃=土好時，1一/=〃，直線y=。如圖②，方程有/(幻=。有1個根，故已知

2

方程有3個根；

當一1一百vqv—l時,l-a2>af直線>如圖③，方程了。）二〃沒有根，故已知

2

方程有2個根.

綜上可知，。取任意實數時，方程最多有4個根，選項A錯誤；土好<々<1時方程有

2

2個根，。=1時已知方程有1個根，4>1時方程有3個根，故選項B錯誤；當

。二上叵時，方程有3個根，c正確；當。<-4<士詼時，方程有4個根，故D

22

正確.

故選：CD.

【點睛】

關鍵點點睛：

本題的解題關鍵在于分類討論確定二次函數的圖象，以及其最低點處1-1與。的關系，

以確定方程/（幻=。的根的情況，才能突破難點.

2.已知“X）為定義在R上且周期為5的函數，當x<0,5）時，〃力二,一以+3］.則下

列說法中正確的是（）

A./（X）的增區間為（l+5￡2+5Z）u（3+5Z,5+5Z）,keZ

B.若丁=。與〉=/（力在［—5,7］上有10個零點，則。的范圍是（0,1）

C.當一?0,同時,/（力的值域為［0,3］,則。的取值范圍［1,4］

D.若y="-2（攵>0）與y=〃力有3個交點，則％的取值范圍為

【答案】BC

【分析】

首先作出了（元）的圖象幾個周期的圖象，由于單調區間不能并，可判斷選項A不正確；利

用數形結合可判斷選項B、C；舉反例如攵=1時經分析可得丁=丘—2（%>0）與y=/（x）

有3個交點，可判斷選項D不正確，進而可得正確選項.

【詳解】

y-x-2

對于選項A：單調區間不能用并集，故選項A不正確；

對于選項B：由圖知若y與在［-5,7］上有10個零點，則。的范圍是（0,1）,

故選項B正確：

對于選項C：/（1）=0,/（4）=3,由圖知當XW［0M］時，/（力的值域為［0,3］,則。的

取值范圍［1,4］,故選項c正確；

對于選項D：當々=1時，直線為丁=X一2過點（5,3）,/（x）也過點（5,3）,當％=10

時，y=10-2=8,直線過點（10,8）,而點（10,8）不在/（力圖象上，由圖知：當

2=1時，直線為>二工-2與y=/（x）有3個交點，由排除法可知選項D不正確，

故選：BC

【點睛】

方法點睛：已知函數有零點（方程有根）求參數值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；

（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；

（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫

出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.

x+ax,x<0

3.已知函數1八，則（）

'）.2-1,x>0

A./（X）的值域為（-1,+8）

B.當時，/（x）>/（%2+1）

c.當4〉0時，存在非零實數滿足/(一為)+/(%)=0

D.函數g(x)=/(x)+a可能有三個零點

【答案】BC

【分析】

A.考慮。=2時的情況，求解出各段函數值域再進行判斷；B.先根據條件分析/(X)的單

調性，再根據V+1與X的大小關系進行判斷；C.作出

y=Y+or,y=-犬=-/十公的函數圖象，根據圖象的對稱性進行分析判斷：

D.根據條件先分析出ae(O』)，再根據有三個零點確定出〃滿足的不等式，由此判斷出

〃是否有解，并判斷結論是否正確.

【詳解】

A.當x>0時，y=2-x-l>0-l=-l,當xWO時，y=d+必=卜+微)一(，取

a=2,此時y=(x+l『一l之一1,

所以此時的值域為［-1,+8),故A錯誤；

/\22

B.當心0時，y=x2+or=lx4-|j一5的對稱軸為x=-$0,所以/(同在

(F,0］上單調遞減，

又因為〃力在(0,+8)上單調遞減，且()2+0'4=2”—1，所以〃X)在R上單調遞

減，

又因為丁+1-1=［一目+(>°，所以f+1>X，所以/(x)>f(f+1)，故B正

確；

C.作出函數y-/+小,y—-2+ax,y-2一、-1的圖象如下圖所示：

由圖象可知：y=f+分,>=一/2+方關于原點對稱，且y=一彳2+QX與>=2-"一1相

交于（?％，%），

因為點（毛,%）在函數y=-V+or的圖象上，所以點（一毛,一%）在函數曠=父+”的圖

象上，

所以丁（%）+/（一%）=%+（一％）=°，

所以當々>0時，存在/使得/（一/）+/（%）=0，故C正確；

D.由題意知：/（力二一。有三個根，所以/（x）不是單調函數，所以。>0,

又因為丁=2一“一lw（T,0）,所以一々￡（—1,0）,所以。￡（0,1）,

-2\2

且》=了2+辦￡-^-,+00,若方程有三個根，則有一一幺，所以。>4或"0,這

L4）4

與。￡（0,1）矛盾，

所以函數g（x）=/（x）+a不可能有三個零點，故D錯誤，

故選：BC.

【點睛】

思路點睛：函數與方程的綜合問題，采用數形結合思想能高效解答問題，通過數與形的相

互轉化能使問題轉化為更簡單的問題，常見的圖象應用的命題角度有：

（1）確定方程根的個數；

（2）求參數范圍；

（3）求不等式解集；

（4）研究函數性質.

e\x<0

4.設函數/*）=，2I,對關于X的方程尸（幻一"（幻+2-方=0,下

—x"+2xH—.%>0

2

列說法正確的有（）.

A.當6=-2+2石時，方程有1個實根

3

B.當6=；；時，方程有5個不等實根

2

C.若方程有2個不等實根，則言Vb?2

D.若方程有6個不等實根，則一2+25/5<b<?

2

【答案】BD

【分析】

先作出函數/*）的圖象，進行換元/a）=乙將方程轉化成關于t的二次方程，結合/（X）

函數值的分布，對選項中參數值與根的情況逐一分析判斷四個選項的正誤即可.

【詳解】

=0,

故/=G—1，EPf(x)=y/3-\e,看圖知存在三個根，使得故A

錯誤;

331I

選項B中，b=-方程即尸一二，+7=0,即2/一3/+1=0,解得/=1或，=二，當

2t222

/(幻=/=1時看圖可知，存在3個根，當/(%)=，=g時看圖可知，存在2個根，故共5

個不等的實根，B正確；

1z?r3、

選項c中，方程有2個不等實根，則有兩種情況：(1)r,=r=-,則彳￡1,不或

222IL)

,此時一,+2—8=0,即從一4人+8=0,解得〃=一2±2石，

fQ

-=-l±>/3,均不滿足上面范圍，舍去；(2)時，即力=3./2￡(-<?，0］或

33代入方程得(31-b-+2-b=0,

￡,，2￡(-°0，。］.①當4=3由￡(-00，。］時，1="?

乙乙⑶2

1731

解得6=而，由秘2=2—〃=而，得芍=《任(-8,0］，不滿足題意，舍去；②當

%百時/一初+2-6=0，則A="-4(2-b)>0,r/2=2-/?>0,

r,+t2=b<0,解得，<一2-2道，故C錯誤：

選項D中，方程有6個不等實根，則6也￡(3』且。工，2，

(p(t)=t2-bt+2-b=^t-^\一勺"+2—b圖象如下：

解得：-2+2百<〃<3,

故D正確.

2

故選：BD.

【點睛】

關鍵點點睛:

本題解題關鍵在于對方程f\x)-hf(x)+2-b=0進行換元/(x)=/,變成關于t的二次

方程根的分布問題，結合函數/(外圖象中函數值的分布情況來突破荒點.

5.1837年，德國數學家狄利克雷(P.G.Dirichlet,1805-1859)第一個引入了現代函數概念：

“如果對于X的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，那么)’是工的函數”.由此引

發了數學家們對函數性質的研究.下面是以他的名字命名的“狄利克雷函數”：

1,XGQ

X八9表示有理數集合)，關于此函數，下列說法正確的是()

0,X€^(2

A.。(幻是偶函數

B.Vxe/?,D(D(x))=l

C.對于任意的有理數f,都有。(x+/)=D(x)

D.存在三個點43,。(芯)),3(七,。(占)),。(占，0*3))，使A46C為正三角形

【答案】ABCD

【分析】

利用定義判斷函數奇偶性，可確定A的正誤，根據“狄利克雷函數"及有理數、無理數的性

質，判斷其它三個選項的正誤.

【詳解】

A：由。（元）定義知：定義域關于原點對稱，當xwQ則一xeQ,當工￡。。則一工￡為。，

即有。（一幻=。（幻，故。（幻是偶函數，正確；

B：由解析式知：Vx￡R,O（x）=l或0*）=0,即。（。（幻）=1,正確；

C：任意的有理數/,當xeQ時，x+f￡。即。（x+r）=。。），當XC6R。時，

%+，￡務。即。（x+/）=O（x）,正確；

D：若存在AABC為正三角形，則其高為1,邊長為2叵，所以當

3

3字。）向。』）。號。）時成立,正確：

故選：ABCD

【點睛】

關鍵點點睛：應用函數的奇偶性判斷，結合新定義函數及的埋數、無埋數的性質判斷各選

項的正誤.

6.已知5“=3，8"=5，貝IJ（）

A.a<bB.—+—>2C.?+-<b+yD.a+ab<b+ba

abab

【答案】ABD

【分析】

根據條件求得〃/表達式，根據對數性質結合放縮法得A正確，根據不等式性質得B正

確，通過作差法判斷C錯，結合指數函數單調性與放縮法可得D正確.

【詳解】

解：:5“=3，8"=5，

/.a=log；,b=log：,

因為34v5,=3<5：=log53<log55'=2，

又由54>83=>5>?=>log85>k）g8*=w，所以。<匕，選項A正確；

0<a=log：<l,0<b=log；<l,則,>1,1>1,所以L+_L〉2,選項B正確；

abab

因為〃<b,0<a<b<\,則〃一。>0,-y>1,此時

ab

1f,Hb-a小（1八八

a+——b+—={za-b）+------=（b-a）------1>0,

a'b）ab\ab）

所以。+2>6+:，故選項c不正確；

ab

I33

由5<a<1和工<b<1知/(x)="與g(x)=ZZ均遞減，

再由。，〃的大小關系知〈芹vZ/，nM<Z?"na+d<“Z?"，故選項D正確.

故選：ABD

【點睛】

本題考查了數值大小比較，關鍵運用了指對數運算性質，作差法和放縮法.

7.函數/(x)的定義域為O,若存在區間上幾使/(X)在區間上的值域也是

也可，則稱區間［加,〃］為函數/(力的"和諧區間”，則下列函數存在“和諧區間”的是

()

￡/\1

A.f(X)=GB./(x)=x2-2x+2C./(x)=x+-

D.7(x)=g

【答案】ABD

【分析】

根據題意，可知若/(x)在區間［加,〃］上的值域也是［加,〃］，則"X)存在"和諧區

ri/(/n)=mf(m)=n

間”[見〃],且mV",則〈<或，;，再對各個選項進行運算求解

/(〃)=，nf(n)=m

…,即可判斷該函數是否存在“和諧區間

【詳解】

解：由題得，若/(“)在區間［八可上的值域也是［孫月，則，(了)存在“和諧區

間(〃?,〃］,

/(w)=m/("2)=〃

可知，mv幾，貝I卜或，

/(〃)=〃f0=m，

f(in\=\[tn=mm=0

A：/(x)=Vx(x>0),若?}/r，解得：?

f(n)=\ln=nn=1

所以〃x)=?存在"和諧區間"［0』：

f(〃z)=nr-2m+2=mm=\

B：/(x)=-2x+2(xe7?),若"川=j+22解得:1

n=2

所以〃x)=f—2工+2存在“和諧區間”［1,2］；

〃加）=771+—=m-=0

m

C：/(x)=x+-(x^O),若《,故無解:

X1

/(〃)=n+-=n-=0

n.n

/n+—=n

1m

〃加）=m-\—=n

mW4-W4-1八

若,即-y-=—＞化簡得:----—二0，

1m'+1nm(m+1)

/(〃)=〃+—二機

n1

〃+—=m

n

即加2+6+1=。，由于△=『-4x1x1=—3<0，故無解;

若0＜機＜1＜〃/./(1)=m廠.m=2,不成立

所以/（x）=x+-不存在"和諧區間”;

X

/⑻=5n

D：/（x）=1（x^0）,函數在（0,收）,卜8,0）單調遞減,貝1,不妨令

X“〃)=：

=tn

1

m=—

2,

n=2

所以=!存在"和諧區間"：，2；

綜上得：存在“和諧區間”的是ABD.

故選：ABD.

【點睛】

關鍵點點睛；本題以函數的新定義為載體，考查函數的定義域、值域以及零點等知識，解

題的關鍵是理解"和諧區間"的定義，考查運算能力以及函數與方程的思想.

8.已知函數/（幻=x+4，g（x）=d+4則下列結論中正確的是］）

XX

A./(%)+g(X)是奇函數B./（幻狀（幻是偶函數

C.f(x)+g(%)的最小值為4D./（幻達。）的最小值為2

【答案】BC

【分析】

利用奇偶性的定義可得A錯B對；利用均值不等式可得C對；利用換元求導可得D錯.

【詳解】

1

/(x)+^(x)=x+-+x2+—

XXx~

1°121

f(r)+g(r)=-x+—+(-%)+x+—+x+—

-x(r)~Xx~

???/(x)+g(x)=/(-X)+g(-x)

.■"(x)+g(x)是偶函數，A錯;

???fMg(x)=x+--

X撲T)

(-X)2+—Z-=x+—l-fx2+^;

???f(-x)-g(-x)=-x+—

-x「(T)1xll”

/./(-X)-g(T)=f(x)g(x)

.?./(x),g(x)是偶函數,B對；

???/(x)+g(幻=%+,+/+』22+2=4,當且僅當x=L和f=二時，等號成立,

XXXx~

即當且僅當爐=1時等號成立，C對;

/(x),g(x)=工+三(^+/]

令，=X+-(/>2),則/(x)-gCr)=J，2-2)二/一2/

.?.[/(x)g(x)]'=3,2_2，令3/一2>0,得，〉手或"一半

.?.d2時，/(x)-g(x)單調遞增

二當7=2有最小值，最小值為4,D錯

故選：BC.

【點睛】

本題綜合考查奇偶性、均值不等式、利用導數求最值等，對學生知識的運用能力要求較

高，難度較大.

9.已知正數為y，z,滿足3*=4、=120則()

,)，121

A.6z<3x<4yB.—+—=—

xyz

C.x+y>4zD.xy<4z2

【答案】AC

【分析】

令3、=4「=Ik=陽>1,根據指對互化和換底公式得：

-=log”3,-=log,"4」=logn,12,再依次討論各選項即可.

xyz

【詳解】

由題意，可令3、=4v=12工=加>1，由指對互化得：

111

---------=X，----------=y,-----------=Z.

log,”3log,”4log,,,12

1?c1?1.0111

由換底公式得：一二log,”3,-=bg,”44,-=log〃J2,則有一+—=一，故選項B錯誤；

xyzxyz

對于選項A,---=log,?12-log,?9=log/w->0,所以x>2z,又

zx3

---=log,,,81-log,,,64=logw>0,所以4y>3x,所以4y>3x>6z,故選項A

xy64

正確：

,111xy

對于選項C、D,因為一+一=一,所以2=-------,所以

xyzx+y

4z2f二”亡笆工_汕￥<o,

(x+y)(x+y)

所以盯>4z?,則z(x+y)>4zt則x+y>4z,所以選項C正確，選項D錯誤；

故選：AC.

【點睛】

本題考查指對數的運算，換底公式，作差法比較大小等，考查運算求解能力，是中檔題.本

題解題的關鍵在于令3*=4、=12二=相>1，進而得■；--=~~7=z

log,”3log,”4

再根據題意求解.

xx+1x+2

10.已知函數/。)=——+——+——，下列關于函數/(X)的結論正確的為()

x+1x+2x+3

A.f(x)在定義域內有三個零點B.函數/(x)的值域為R

C./(x)在定義域內為周期函數D./(x)圖象是中心對稱圖象

【答案】ABD

【分析】

(111、

將函數變形為/(幻=3---+—-+--,求出定義域，結合導數求函數的單調性

\x+\x+2x+3J

即可判斷BC,由零點存在定理結合單調性可判斷A,由/(x)+/(T-x)=6可求出函數

的對稱點，即可判斷D.

【詳解】

解：由題意知,fM=1-----+1------+1------=3-+----+----

x+lx+2x+3x+2x+3J

定義域為(F,—3)U(—3,—2)5—2,—1)D(T,”),

f(X)=—二+—!—r+—二>0

(X+1)2(X+2)233)2，

所以函數在(口,一3),(-3,-2),(-2,-1),(一1,y)定義域上單調遞增，C不正確；

，3、3712

當x>T時，/=-3+—>—<0,/(0)=-+->0,則(-L+oo)上有一個零點,

\?J1JLJIJJ

當xw(-2,—l)時，/(一()<°，/(一；)>°，所以在工￡(-2,-1)上有一個零點，

當刀￡(-3,-2)時，/(一分)<0,/(-"I>0,所以在%￡(-3,-2)上有一個零點，

當xv-3,/(x)>0,所以在定義域內函數有三個零點,A正確：

當x<0,1一>一1一時，/(x)->-oo,當x-用時，/(x)->+oc,

又函數在(-1,4力)遞增，且在(一1,一)上有一個零點，則值域為R,B正確；

/(-4-x)=3+f—+—!—+—1=6-3-|—+—+—H=6-/(x),

lx+1x+2x+3)LU+lx+2x+3〃v7

所以/(%)+/(T-X)=6,所以函數圖象關于(-2,3)對稱，D正確；

故選:ABD.

【點睛】

結論點睛：

1、y=/(x)與y=-/(x)圖象關于x軸對稱；

2、y=〃x)與y=/(r)圖象關于y軸對稱：

3、y=〃x)與>=/(2〃一力圖象關于工=。軸對稱；

4、y=/(x)與y=2a-/(x)圖象關于y=。軸對稱；

5、y=/(x)與y=2/?_/(2QT)圖象關于(。力)軸對稱.

二、導數及其應用多選題

Inx

11.對于函數f(x)=-r，下列說法正確的是()

廠

A.函數在x=五處取得極大值二B.函數的值域為1-8,：

2e12e」

C./(幻有兩個不同的零點D./(2)</(6)</(石)

【答案】ABD

【分析】

求導，利用導數研究函數的單調區間，進而研究函數的極值可判斷A選項，作出函數f(x)

的抽象圖像可以判斷BCD選項.

【詳解】

12

函數的定義域為(0,+“)，求導"/.x%-_l-21nx

/⑺一4一3

XX

令/(%)=0,解得：x=&

X(。㈤(&,+00)

f'M+0—

f(x)/極大值

所以當X二五時，函數有極大值/(&)=*，故A正確；

對于BCD,令/(x)=0,得lnx=O,即x=l,當x—>+oo時，lnx>0,f>o，則

fM>0

作出函數/(x)的抽象圖像，如圖所示:

故B正確；函數只有一個零點，故C錯誤；又函數

/(幻在(G,+oo)上單調遞減，且&＜百＜正＜2,則/(2)＜八6)＜/(百)，故D

正確；

故選：ABD

【點睛】

方法點睛：本題考查利用導數研究函數單調性，函數的極值，函數的值域，及求函數零點

個數，求函數零點個數常用的方法：

(1)方程法：令/(另=(),如果能求出解，有幾個解就有幾個零點.

(2)零點存在性定理法：利用定理不僅要求函數在區間川上是連續不斷的曲線，且

/(a)?/(b)＜0,還必須結合函數的圖像與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性)才

能確定函數有多少個零點或零點值所具有的性質.

(3)數形結合法：轉化為兩個函數的圖像的交點個數問題.先畫出兩個函數的圖像，看其

交點的個數，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點.

12.已知函數/(x)對于任意xeR,均滿足/(x)=/(2—x).當xWl時

若函數g(x)=m|x|-2-/(力，下列結論正確的為()

A.若m<0,則g(x)恰有兩個零點

B.若則g(x)有三個零點

c.若0<加工5，則g(x)恰有四個零點

D.不存在也使得g(x)恰有四個零點

【答案】ABC

【分析】

設〃(力=加兇—2,作出函數g(x)的圖象，求出直線y=mx-2與曲線

)=111工(0<x<1)相切以及直線>=加-2過點4(2,1)時對應的實數加的值，數形結合

可判斷各選項的正誤.

【詳解】

由"X)=〃2-x)可知函數/(力的圖象關于直線x=1對稱.

令g(x)=0,即加兇一2=/(可，作出函數/(力的圖象如下圖所示：

令〃(%)=加兇一2,則函數g(x)的零點個數為函數/(力、力(工)的圖象的交點個數,

??,a(x)的定義域為R,且力(一司二制一^一2=機同一2=〃(力，則函數〃(X)為偶函

數，

旦函數/2（力的圖象恒過定點（0,-2）,

3

當函數人（力的圖象過點A（2,l）時，有〃⑵=2加-2=1,解得〃2=]

過點（0,-2）作函數y=lnx（O<.E<l）的圖象的切線，

設切點為（毛,lnx°）,對函數y=lnx求導得y'=一，

X

所以，函數y=lnx的圖象在點（七,117%）處的切線方程為了一皿七二-!-（工一%），

切線過點（0,-2）,所以，-2—ln/=-l,解得與=1,則切線斜率為e,

即當機=e時，函數），=〃%）的圖象與函數y=lnx（Ovxv1）的圖象相切.

若函數g（x）恰有兩個零點，由圖可得加WO或〃2=e,A選項正確；

若函數g（x）恰有三個零點，由圖可得]</nve,B選項正確；

3

若函數g（x）恰有四個零點，由圖可得。〈mC選項正確，D選項錯誤.

故選：ABC.

【點睛】

方法點睛：利用導數解決函數零點問題的方法：

（1）直接法：先對函數求導，根據導數的方法求出函數的單調區間與極值，根據函數的基

本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數圖象與X軸的交點問題，突出導數的工具作用，

體現了轉化與化歸思想、數形結合思想和分類討論思想的應用；

（2）構造新函數法：將問題轉化為研究兩函數圖象的交點問題；

（3）參變量分離法：由/（x）=o分離變量得出々=g（x）,將問題等價轉化為直線y=〃

與函數y=g（x）的圖象的交點問題.

2

13.關于函數/（x）=-+ln,E,下列判斷正確的是（）

X

A.1=2是/（X）的極大值點

B.函數y=/（x）-x有且只有1個零點

C.存在正實數A,使得恒成立

D.對任意兩個正實數占，與，且%>王，若/（司）=/（々），則％+工2>4

【答案】BD

【分析】

對于A,利用導數研究函數/(X)的極值點即可：

對于B,利用導數判斷函數y=/(x)?x的單調性，再利用零點存在性定理即得結論；

對于C,參變分離得到4<之+生土，構造函數g(x)=4+處，利用導數判斷函數

xXX'x

g(x)的最小值的情況；

對于D,利用/(力的單調性，由f(x)=/(9)得到0<%<2<%,令/二手("1),

由/(內)=/(9)得玉+玉=子薩’所以要證玉+工2>4,即證2/-2—4"n"0,構

造函數即得.

【詳解】

21V—2

A：函數/(力的定義域為(0,+?),r(x)=-—+-=^-,當X￡(0,2)時，

XX

“X)單調遞減，當xu(2,go)時，/^x)>0,單調遞增，所以

x=2是/(力的極小值點，故A錯誤.

x+2

B：y=f(x)-x=—+\nx-xfy=-p-4---l=-~^<0,所以函數在(0,+?)

上單調遞減.又/(1)一l=2+lnl-l=l>0,/(2)-2=l+ln2-2=ln2-l<0,所以

函數y=/住)-工有且只有1個零點，故B正確.

C：若即2+inx>履，則Av—------.令g(x)="------->則

xxxxx

=令人(x)=-4+x-xlnx,則〃(x)=-lnx,當x?O,l)時，

”(x)>0,〃(力單調遞增，當x?l,+8)時，”㈤<0,M%)單調遞減，所以

/Z(X)</2(1)=-3<0,所以g")v(),所以8(%)=蛾+(在(0,+?)上單調遞減，

函數無最小值，所以不存在正實數上,使得/(力>履恒成立，故C錯誤.

D：因為了(可在(0,2)上單調遞減，在(2,+?)上單調遞增，

x=2是f(x)的極小值點.

:對任意兩個正實數3，與，且多>內，若/(%)=/(%2)，則。<為<2<9.

V22

令”二則《2=的，由/(%)=/(9)，得一+也%=一+/1,

X]Ak|<Xy

---=\nx2-\nx,,即2(X2-」)_]n強,即2”1)丁一叱解得與二2('-1),

Xx2%rinr

2r(r-l)2r-2

-------,所cr以blX+%二------.

Xj=t~X.=rlnr"2rlnr

故要證玉+/>4,需證百+/—4>0,需證二士一4>0,需證"-2-4"nf>o

/In/t\nt

vr=—>1,則/ln「>0,

為

/.ijE2r2-2-4zlnr>0.令"“)=2/-2-4〃n/(/>I),Hz(r)=4r-41nr-4(r>1),

“"(/)=4—3=”/>。(/>1)，所以“'(，)在(L+?)上是增函數.

因為ff1時，H'(f)-0,則”'(。>0,所以“⑺在(L+?)上是漕函數.

因為Ff1時，H(，)f0,則所以"0，

X）+x2>4,故D正確.

故選：BD.

【點睛】

關鍵點點睛：利用導數研究函數的單調性、極值點，結合零點存在性定理判斷A、B的正

誤；應用參變分離，構造函數，并結合導數判斷函數的最值；由函數單調性，應用換元法

并構造函數，結合分析法、導數證明D選項結論.

14.已知函數/（司=/+訴2一%+門］￡口），則下列結論正確的是（）.

A.函數/（X）一定存在極大值和極小值

B.若函數/（x）在（TO,%）、（9，+8）上是增函數，則占一%之38

3

C.函數/（X）的圖像是中心對稱圖形

D.函數/（X）的圖像在點（毛，，（%））（/￡/?）處的切線與/（幻的圖像必有兩個不同的公

共點

【答案】ABC

【分析】

首先求函數的導數/'（幻=3/+20￥-1=0,再根據極值點與導數的關系，判斷AB選

項；證明/（一+x）+/（r）=2/（-*判斷選項C；令"=。=0,求切線與

/（力的交點個數，判斷D選項.

【詳解】

4選項，/'（幻=3X2+2公一1=0的△=4〃2+12>0恒成立，故;（幻=0必有兩個不等

實根，不妨設為王、x2,且用<電，

令/'（x）>0,得X<X］或x>X2，令f'（x）v。，得xvxvw，

一.函數/⑶在(/.)上單調遞減，在(T°，%)和(孫+8)上單調遞增，

.?.當X=X時，函數取得極大值，當工=電時，函數/(X)取得極小值，A對，

,2a1

8選項，4^f\x)=3x+2ax-1=0,則%+/=---,X1x2=--,易知王〈.，

,,X2-X1=J(X]+%2)2-4中2='*+'2，B對，

C選項，易知兩極值點的中點坐標為(一],/(-1)),又

/(-j+X)=-(1+f?+X3+/(-j)，

???/(-j+x)+/(-j-X)=2/(-j),

???函數/(x)的圖像關于點(一]，八一至)成中心對稱，C對，

D選項，令。=。=0得/*)=/一/，/*)在(0,0)處切線方程為)，二一工，

y=-x

且《3有唯一實數解，

y=x-x

即/(x)在(0,0)處切線與/(x)圖像有唯一公共點，D錯，

故選：ABC.

【點睛】

方法點睛：解決函數極值、最值綜合問題的策略：

1、求極值、最值時，要求步驟規范，含參數時，要討論參數的大小；

2、求函數最值時，不可想當然地認為極值點就是最值點，要通過比較才能下結論;

3、函數在給定閉區間上存在極值，一般要將極值與端點值進行比較才能確定最值.

15.定義在/?上的函數“X),若存在函數S(x)-皿+力(a,b為常數)，使得

/(幻之晨幻對一切實數乂都成立，則稱g&)為函數/(力的一個承托函數，下列命題中

正確的是()

lnx,x>0

A.函數g(%)=-2是函數/0)=<八的一個承托函數

1",0

B.函數g*)=xT是函數f(x)=x+sin%的一個承托函數

C.若函數g(x)=ar是函數/*)="的一個承托函數，則。的取值范圍是。e]

D.值域是R的函數/5)不存在承托函數

【答案】BC

【分析】

由承托函數的定義依次判斷即可.

【詳解】

解：對A,二?當x>0時，/(x)=lnxG(^o,-H?),

??.f(x)Ng(x)=-2對一切實數x不一定都成立，故A錯誤；

對B,令z(x)=/(x)-g(x),則?%)=x+sinx-(x-l)=sinx+120恒成立，

函數g(x)=x-l是函數/(x)=x+sinx的一個承托函數，故B正確；

對C,令h(x)=ex-ax.則li(x)=ex-a,

若。=0,由題意知，結論成立，

若。>0,令〃'(x)=0,得x=ln。，

「?函數力(x)在(-℃,加。)上為減函數，在(In4,+0。)上為增函數，

.?.當x=ln〃時，函數力(幻取得極小值，也是最小值，為a—alna,

■「g(x)=or是函數/(x)=e］的一個承托函數，

a-a\na>0,

即InaK1,

.1-0<a<e>

若。<0,當XfYO時，版X)fY0,故不成立，

綜上，當滕女e時，函數g(x)=公是函數/3)=/的一個承托函數，故C正確；

對D,不妨令不(")=2爸8(1)=2%-1,則f(x)-g(x)=120