考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷11（共9

套）

（共213題）

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第1套

一、選擇題（本題共8題，每題1.0分，共8分。）

1、

以一種檢驗(yàn)方法診斷癌癥，真患癌癥和未患癌癥被診斷正確的概率分別為0.95

和0.90.今對(duì)一批患癌癥比率為2%的人用此方法進(jìn)行檢驗(yàn)，則其中某人被診斷

為患有癌癥時(shí)，他真的患有癌癥的概率為【】

(A)0.462(B)0.362(C)0.262(D)0.162

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識(shí)點(diǎn)解析：

【解】設(shè)4="他患有癌癥"，&="他未患癌癥"，8="診斷為癌癥”，則

P(4)=0.02,P(42)=0.98,P(8lA,)=0.95,

P(B\A2)=1-0.90=0.10,

根據(jù)貝葉斯公式可得

3修________P(4)P(8I4)________

p(4)p(8l4)+P(4)P(8I&)

0?02xO95_6

0.02x0.95+0.98x0.10''

故選（D）.

設(shè)X1,X2,-,X9為來自NQd)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.記環(huán)=孑￡x.,得=/￡x；,W=

*￡(X,-FT/一/￡(Xj-久凡則D(W)y

(A)[(B)興(C)(D)常

0bo

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識(shí)點(diǎn)解析：

=vwi一去憶

乙J

其中士(勺呼,％=士(王

i=l'/i*a4''

由簡(jiǎn)單陵機(jī)樣本的定義知W1與w2獨(dú)立.

且可知W】?于(2),Wz?/(5).

由X2(n)分布性質(zhì)知,D[yGO[=In.

=m)+/ww2)

=+X4+/X1O=學(xué)

=>D(W)=嗒

J/

故選(B).

函數(shù)/(%)=cos力￡在點(diǎn)4二。處

(A)不可導(dǎo)且/(0)#8(B)不可導(dǎo)且，(0)=8

(C)可導(dǎo)且/(0)=0(D)可導(dǎo)且/(0)=y[]

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識(shí)點(diǎn)解析：

【詳解】lim純'三」=0即/，(0)=0.

知識(shí)點(diǎn)解析：

【分析】利用引導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系來解決本題.

從函數(shù)y=/(x)的圖形可知，當(dāng)z<0時(shí)隨著*增大，/?)首先是單調(diào)減少,接著是單調(diào)增

加，然后再單調(diào)減少,與此相應(yīng)的是，其導(dǎo)函數(shù)尸(工)的符號(hào)當(dāng)4<0時(shí)隨著*增大，首先應(yīng)為

負(fù)，接著由負(fù)變正，然后再由正變負(fù)，因?yàn)?A),(B)中的函數(shù)當(dāng)“<0時(shí)隨％增大，其值從非

負(fù)變?yōu)檎蟛辉儆烧冐?fù).故它們不可能是y=/'(%)的圖形.

當(dāng)x>0時(shí)f(4)是單調(diào)減少的函數(shù)，與此相應(yīng)的是其導(dǎo)函數(shù)((*)應(yīng)始終不能取正值.

由此可見(C)不可能是y=/'(*)的圖形.

故應(yīng)選(D).

5、設(shè)(Pi(x),(P2(x)為一階非齊次線性微分方程y，+P(x)y=Q(x)的兩個(gè)線性無關(guān)的特

解，則該方程的通解為()

A、C[(pi(x)+(p2(x)]o

B、C[(pi(x)-(p2(x)]o

C、C[(pi(x)-*(P2(X)]+(P2(X)O

D、[(p|(x)—(P2(X)]+C(P2(X)O

標(biāo)準(zhǔn)答案：c

知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?Pi(x),(P2(x)為一階非齊次線性微分方程y'+P(x)尸Q(x)的兩個(gè)線

性無關(guān)的特解，所以必(x)—s(x)為對(duì)應(yīng)齊次方程y'+P(x)y=0的一個(gè)解，因此

y'+P(x)y=Q(x)的通解為C[(pj(x)~(p2(x)]+q)2(x)。故選C。

:]imS-2.T-/cos2.r

6、若…/l+x*-l=a#)，則().

A、k=2,a=-2

B、k=-2,a=-2

C、k=2,a=2

D、k=-2.a=2

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

知識(shí)點(diǎn)解析：

當(dāng)x—0時(shí).+—-I=(1+/戶一1~十"‘

COS2T—COS2J-=(1/cos2.r)—(1-cos2.r).

因?yàn)?-Jcov2/----=,r?.1—cos2.z?I-2x'.

所以cos2.r-/cos2.r=(1—X/COS2J)—(1—cos2.r)-----JT'，

oxK-/，a—

一2,選(A).

(x+1)arctan」,x#±1?

<丁一1

7、設(shè)f(x);°，”=±八則().

A、f(x)在x=l連續(xù)，在x=-I間斷

B、f(x)在x=l間斷，在x=-1連續(xù)

C、f(x)在x=l,x=-1都連續(xù)

D、f(x)在x=l,x=-1都間斷

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識(shí)點(diǎn)解析：由媽(x+l)arclan/—1=0,f(—1)=0,得f(x)在x=-I處連續(xù).由f(l

lim-―^--lim—

-0)=L「(x+l)arctan爐一】二一兀，f(1+0)=r*r(x+1)arctanJr-1=兀，褥x=l為f(x)的

跳躍間斷點(diǎn)，選(B).

8、設(shè)A,B及A*都是n(佗3)階非零矩陣，且人T8=0,則r(B)等于().

A、0

B、1

C、2

D、3

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳TB=0且B為非零矩陣，所以方程組ATX=U有非本解，從而

r(AT)=r(A)*)=0或r(A*)=L又因?yàn)锳"為非零矩陣，所以r(A*)=l.由r(A*)=l

得r(A)=n—1,從而r(AT)=n-1.由人18=0得r(Ar)+r(B)Wn,于是r(BKl,又

B為非零矩陣,所以r(B巨1,于是r(B)=l,選(B).

二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)

9、

設(shè)A是正負(fù)慣性指數(shù)均為1的三階實(shí)對(duì)稱矩陣,且滿足IE+AI=1E-AI=0,則行

列式I2E+3AI=.

標(biāo)準(zhǔn)答案：-10

知識(shí)點(diǎn)解析：

【分析】三階矩陣的正負(fù)慣性指數(shù)均為1,說明必有一零特征值.

【詳解】由I￡+41=1E-4I=0知/有特征值兒=-l,A2=1,又4的正負(fù)慣性指數(shù)均為1,因

此其另一特征值必為入3=0.效行列式

I2E+3Al=(2+3At)(2+3A,)(2+3A,)=-10.

；【評(píng)注】設(shè)儲(chǔ)，M是n階矩降A(chǔ)的n個(gè)轉(zhuǎn)征值，

則"(4)1=/(A.)/(AJ)-^Aj.

將io雙鞋隨意分成10堆，每堆2只，以X表示10堆中恰好配成一雙鞋的堆數(shù),則EX

標(biāo)準(zhǔn)答案：10/19

知識(shí)點(diǎn)解析：

【詳解】記入｛:,堆兩臂恰成一雙一=一…/。.則X=k

M否則，白

將10雙鞋（20只鞋）隨意排成一行,1,2為第一堆,3,4為第二堆?如此下去,19、20為第10

堆.我們將任意一種排列作為一個(gè)基本事件，其總數(shù)為20!.半件4="第i堆兩只鞋恰成一

雙’等價(jià)于“從10雙鞋中任選一雙隨意放在第位置上（共有c：°x2!種不同放法）.

余下的18只鞋隨意排放在其他位置上（共有18!種放法），由索法原理知對(duì)事件人的有利

基本事件數(shù)為C；Qx2xl8!,所以

PM,=l|=P（Q⑸-8!

EX、=P（X,=1）=/

一加T.

????????????????????????????????-****************,***-***,**,e*,e,e**-e******ee*************"*-**--**

【評(píng)注】計(jì)算隨機(jī)支。?數(shù)字特征常用的方法是定義法與性質(zhì)法?無論用什么方法，都需要知道新

應(yīng)筮機(jī)變量的分布（或應(yīng)用已知結(jié)果）.如果隨機(jī)變量X是某個(gè)事件發(fā)生的次數(shù)，例如：

“鼠對(duì)數(shù)”，“停車次數(shù)”等，我他常常是想辦法將X分解為若干個(gè)較為簡(jiǎn)單的曲機(jī)變量*口

??

的和/=Z%,而后應(yīng)用性質(zhì)計(jì)算EX,DX.

11、

設(shè)曲線y=一;在點(diǎn)（1，」）處的切線與1軸的交點(diǎn)為（部，0）（〃=1,2,…），則

5-x"2-8

標(biāo)準(zhǔn)答案：-4

知識(shí)點(diǎn)解析：

分析切線斜率力7⑴=工點(diǎn)…=發(fā)

于是切線方程成為y=++管包-1）

令y=0可知&滿足&=1——（?=12…）

ln（l-

故limnln??=limnln（l----）=-4lim-----7---=-4.

1r-8H-Rfl刁―8__上

n

1

12^J1ixA3.arcsinJ*dx=.

標(biāo)準(zhǔn)答案："8

知識(shí)點(diǎn)解析：

f1.1.

J(j7arcsin-dr=-'LrcsinL內(nèi)

iJTx\JC)

，匚，r“2

=-/arcsin/d/arcsinrd/=~Jarcsin/d(/)

=-1/-arcsin/1\——

e_d/=A._L一J.

nv/l-/242°/H77

2X1

=—?——n1f才

-*?cosudw=手.2i

44JnCOSU42?sinudu=

三一J?工=工

42228,

l(：)(100)的弧長(zhǎng)為

13、曲線9=2'r+

J_ln3

標(biāo)準(zhǔn)答案：2+5”

/=rsin

知識(shí)點(diǎn)解析：曲線的參數(shù)方程為"(l<r<3),根據(jù)弧長(zhǎng)公式,

(4"(r)+y"⑺dr

dr

=((尹副#=2+/電

3〃-1

s3"

14、無窮級(jí)數(shù)?=?

7_

標(biāo)準(zhǔn)答案:T

知識(shí)點(diǎn)解析:

因，1="佶)-卜令S(z)=±丘|,7￡(-1,1),

則

于是

而

根據(jù)級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得

8

3n—117

—=—.

3-冬嗚)二冬5424

三、解答題(本題共9題，每題1?0分，共9分。)

15、

設(shè)/(〃,/具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足g+#=1，又g(NO)=

fg方父一力】,求奈+靜.

標(biāo)準(zhǔn)答案：

［解】設(shè)吁=yCx*一力，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法?則

需=*3幾+就-也'，=端+粽

同理,=燃7黑

因此奈=個(gè)小卬匕+繇［*-，+］+累+工［繇〃"+篝［+叱-也，］

“學(xué)+2秒施+，3+為

同理'券=/考-2個(gè)怒+y學(xué)一案?

從而言+教=”+V〉誓+"+式)翳="+已

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

16、設(shè)函數(shù)f(x)在口，+8)上連續(xù)，若由曲線y=f(x),直線x=l,x=t(t>l)與x軸所

圍成的平面圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體積為V⑴=M3［t2f(i)_f(l)］.試求y=f(x)

所滿足的微分方程，并求該微分方程滿足條件yIx=2=2/9的解.

標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)，旋轉(zhuǎn)體體枳應(yīng)為兀j￥(X)dx,則加tf2(X)dx=W3[t2f(t)_f(l)],從

而J]if2(x)dx=l/3[Ff⑴兩邊對(duì)I求導(dǎo)，得〉f2⑴=1/3[21跳)+*「⑴],即Ff'⑴一

3f2(t)+2tf(t)=0.令

4P■=%則號(hào)=3”(“-1).分離變量得下■生彳y=義?市，積分得七4=c/

/⑴=??1，=1%?又由已知/(2)=卷，則可解出。=-1.「廣

1-cr1-u9從而

/(<)s7~j?所以>=/(*)=產(chǎn)K

I4-11+4

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

17、假設(shè)X],X2，…，Xn為來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，已知EW)=ak(k=l,

z.=：￡r

2,3,4),證明：當(dāng)n充分大時(shí)，隨機(jī)變量n3近似服從正態(tài)分布，并

指出其分布參數(shù).

2

標(biāo)準(zhǔn)答案：依題意X|,X2,…，Xn獨(dú)立同分布，可知X[2,X2...,X，也獨(dú)立同

分布，由E(xk尸ak(k=l,2,3,4)有

瓜片)=02,1)(X^)=初片)-爐(片):%-4,1=1.2,???，兒

■

于是E(Z.)=E(-i-5x')=7Z￡(￥)=%?

D(Z”哈￡￥)號(hào)￡D(加手

因此根據(jù)獨(dú)立同分布的(列維―林德伯格)中心極限定理，當(dāng)〃充分大時(shí)，

U.=^=^~N(0.1).

故當(dāng)〃充分大時(shí),么=}i尤近似服從參數(shù)為卜2,的正態(tài)分布?

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

/(I)=3￡e'-y(x)dx

18、設(shè)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且滿足

證明：存在龔(0,1),使得rg=2軟切。

標(biāo)準(zhǔn)答案：由積分中值定理，存在一點(diǎn)々61°'于］使得

/（I）=

令則/"）在上連續(xù)，在（々，口內(nèi)可導(dǎo)，且

尸（I）=/（D==F（白）。

由羅爾定理，在（帛，1）內(nèi)至少存在一點(diǎn)乙使得

F'（f）=-涉（6）］=0,

于是有

/'⑷=鄧公，WeJ）C（0,1）。

知識(shí)點(diǎn)解析：智無解析

19、設(shè)常數(shù)a＞0,討論曲線丫=2乂與曲線y=21nx的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).

標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線y=21nx的定義域?yàn)閤＞0,故只要考慮右半平面x＞0上曲線y=21n

x與y=ax的公共點(diǎn)即可.令f（x）=ax—21nx,

有l(wèi)im/(J)=+oo,limfQ)=4-oo,//(j)=a-----

T+X

令/（力=0.得唯一駐點(diǎn)工=2,/仔）=2—2山2,且當(dāng)工＜2時(shí)/（/）＜0,當(dāng)1＞2時(shí).

aQ'aaa

/（x）＞0.

討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)如下：

若2—21n2V0,即0VaV2,由在工=2的左、右人力的嚴(yán)格單調(diào)性及連續(xù)函數(shù)介值定理

aea

知,在區(qū)間（0，看）與（子，+8）內(nèi)/（X）分別各有唯一零點(diǎn),

若2—21n看=0,即a=!,/（浸）=0,此時(shí)f（工）恰有1個(gè)零點(diǎn),

若2-2ln看＞0?即a＞看,/（看）＞0,/（x）無零點(diǎn).

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

20、已知二維非零向量X不是二階方陣A的特征向量.口）證明X,AX線性無

關(guān)；（2）若A2x+AX—6X=0,求A的特征值，并討論A可否對(duì)角化.

標(biāo)準(zhǔn)答案：（1）用反證法證之.若X與AX線性相關(guān)，則存在不全為零的常數(shù)匕，

k2使kiX+k2AX=0.為方便計(jì)，設(shè)k2,0,則AX=廄X,于是X為A的特征向

量，與題設(shè)矛盾.（2）由題設(shè)有A?X+AX—6X=（A+3E）（A—2E）X=0.①下證

A—2E,A+3E必不可逆，即IA—2EI=IA+3EI=0.事實(shí)上，如A+3E

可逆，則由方程①得到（A—2E）X=AX—2X=0,即AX=2X.這說明X為A

的特征向量，故IA+3EI=0.②同法可證A—2E也不可逆，即IA-2EI

=0.③由式②、式③即知，2與一3為A的特征值，所以A能與對(duì)角陣相似.

知識(shí)點(diǎn)解析：A為抽象矩陣，則AX,X均為抽象的向量組.討論其特征值、特征

向量的有關(guān)問題常用有關(guān)定義及其性質(zhì)證明.也常用反證法證之.

；二二黃量X?N2,在X=x（x€R）的條件下，Y的條件概率密度為fYix（yIX尸

Ae廠

?yGR.

71求常跖A.

標(biāo)猛答案：利而規(guī)范性

1=1fY\x（yIx）d>=

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

22、求Y的概率密度fY（y）;

/（z,y）=/x（x）/nx（yI］）二！e.N,Y￡R

/r（y）=「一〃”，y）dr=-e-^rL'才一dx

—e?>/2n,-y=-rl=e片,yGR

標(biāo)準(zhǔn)答案：X2伍

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

23、求概率I33I.

/vx卜I｝）=產(chǎn)（T）［￡R

P（y4」|x-"I?卜，Je-（T）'dy?1-e"?d?-=y

標(biāo)準(zhǔn)答案：*“打J-G—A2

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第2套

一、選擇題（本題共8題，每題1.0分，共8分。）

1、

設(shè)隨機(jī)變星序列1“，>“、心,，心，&2，???，占2,???,北，/尸，人.“「?相互獨(dú)立，都服從

1"■

參數(shù)為1的泊松分布，令Y,==1.2,…，則隨機(jī)變量序列匕，匕，…，匕，…一定

m>>=?

（A）滿足切比直夫大數(shù)定律.（B）滿足伯努利大數(shù)定律.

（C）滿足辛欽人數(shù)定律?（D）滿足獨(dú)立同分布中心極限定理.

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

知識(shí)點(diǎn)解析：

【分析】依題意匕，為，…，匕，…相互獨(dú)立，期望、方差都存在且

E匕=1,DY,=；WI.

滿足切比雪夫大數(shù)定律的三個(gè)條件，因此匕，丫2.…，匕，…一定滿足切比雪夫大數(shù)定律,故

應(yīng)選(A).

由于m-m0…不一定全相同,因此不能確定匕，丫2,…，匕，…是否同分布，即不能確定

其是(要求f，=m[=???=mn=….此時(shí)匕，匕,…，匕，…同分布)否(叫，如，…不全相

同，匕，八，…不能同分布)一定滿足辛欽大數(shù)定律與獨(dú)立同分布的中心極限定理，顯然因匕

不服從0/分布，因此匕，丫2，“'匕，…也不滿足伯努利大數(shù)定律，應(yīng)選(A).

2、

以下命題正確的是

(A)1陛門卒arctan-=-y.(B)limp^y-arctan=三.

i1*1x2*-oIxI|%I2

(C)1im-1X*arctan=-y-(D)lim1arctan—=J.【]

彳IxI2?-oIzIx21

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

知識(shí)點(diǎn)解析：

【分析】函數(shù)關(guān)系式中包含絕對(duì)值，應(yīng)作為分段函數(shù)處理，在分段點(diǎn)的極限要通過左右極限進(jìn)行

分析.

【詳解】lim『量arctan-=limarctan-=-1?(-等)=多，

2.IxIxx-4—xx22

■■sinx.1..sinx.1、/八ir

nm：—rarctan—=lim----arctan-=1?(―)=

—?ladxizx'2'2

于是有l(wèi)im?普mctan-=y-.(B),(C),(D)均可檢驗(yàn)極限是不存在的,故應(yīng)選(A).

)【評(píng)注】一效來說，形如1/(#)I,max|/(x),g(#)],min{/(w),g(%)|的函數(shù)，均應(yīng)當(dāng)作分段?

：函數(shù)處理.\

3、設(shè)n維向量ai，a2……痣的秩為r，則下列命題正確的是

A、ai，a?.......如任何r—1個(gè)向必必線性無關(guān).

B、ai，a2.......as中任何r個(gè)向量必線性無關(guān).

C、如果s>n,則a必可由ai，a2.......線性表示.

D、如果r=n,則任何n維向量必可由ai，a2......as線性表示.

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識(shí)點(diǎn)解析：r(ai，a2.......as)=r?ai，a2......as中一定存在r個(gè)向量線性無關(guān)，而

任意r+1個(gè)向量必線性相關(guān).當(dāng)向量組的秩為I?時(shí)，向量組中既可以有「一1個(gè)向

量線性相關(guān)，也可以有I?個(gè)向量線性相關(guān)，故A、B均錯(cuò)誤.例如向量ai,a2,a3,O4

分別為(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(3,0,0,0),其秩為3,其

中(11,04線性相關(guān)，⑺,(12,04也線性相關(guān).該例說明，4維向量可以有2個(gè)向量線性

相關(guān)，也可以有3個(gè)向量線性相關(guān).但肯定有3個(gè)向量線性無關(guān).當(dāng)s>n時(shí)，表明

a]，a2......Os必線性相關(guān),此時(shí)有理由可以由a1，…，a>],ai+j...?...?as線性表

示，但如不一定能由cq,…，as/線性表示.故C不正確.若r(ai，

a2.......as)=n,則對(duì)任何n維向量。必有r(ai,a?.......as?f)=n故D正確.因此應(yīng)選

D.

4、設(shè)X,Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，其中E(X尸2,E(Y尸一1,D(X)=9,D(Y)=16,且

X,Y的相關(guān)系數(shù)為。一一萬’由切比雪夫不等式得P{IX+Y-lI<10}>().

⑴蓋⑻蓋(0)1(嗚

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識(shí)點(diǎn)解析：^Z=X+Y,則E(Z尸E(X)+E(Y)=1,D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)

?D(Z)87

+2Cov(X,Y)=13,則P(IX+Y-lI<10)-P(IZ-E(Z)I<10)>100

選B.

[(1—e^)cos—,mRO

5、函數(shù)f(x)=I°，N一°在點(diǎn)x=0處().

A、極限不存在

B、極限存在，但不連續(xù)

C、連續(xù)，但不可導(dǎo)

D、可導(dǎo)

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識(shí)點(diǎn)解析：分段困數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性和可導(dǎo)性通常用連續(xù)和可導(dǎo)的定義來討

論.因

f(z)—/(0)_r1—e”1/e數(shù)一11\

11mz---------5-----=hm-----------cos—=hm-----------cos—

LO0x-oxxLO\xx/

1「於1

——=lim—cos—

Xx-*0Xx9

顯然上述極限不存在，故f(x)在x=0處不可導(dǎo).但口這是因?yàn)闉闊o窮小量

(x—0),而cos()為有界變量.因而f(x)在x=0處連續(xù)，但不可導(dǎo).僅(C)入選.

6、設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(山o2),則隨著。的增大，概率P{Ix—pdV

。}()?

A、單調(diào)增大

B、單調(diào)減小

C、保持不變

D、增減不定

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

7、設(shè)A是mxn矩陣，則下列4個(gè)命題①若r(A)=m,則非齊次線性方程組Ax=b

必有解；②若r(A)=m,則齊次方程組Ax=0只有零解；③若r(A尸n,則非齊次線

性方程組Ax=b有唯一解；④若r(A尸n,則齊次方程組Ax=0只有零解中正確的

是①

A、①?.

B、②?.

C、②@④.

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳是mxn矩陣，苞r(A尸m,說明A的行電量組線性無關(guān)，那么

它的延伸組必線性無關(guān).所以必有r(1)=m.從而r(A)=r(3),故線性方程組

Ax二b必有解，①正確.下面只需判斷③或④正確即可.若r(A尸n,說明A的列

向量組線性無關(guān)，亦即Ax=0只有零解.，所以④正確，故應(yīng)選(B).當(dāng)r(A)=m

時(shí)，必有畦m.如果m=n,則Ax=0只有零解，而mVn時(shí),Ax=0必有非零解,

所以②不正確.當(dāng)r(A尸n時(shí)，r(A)有可能是n+1,方程組Ax=b可以無解.所以

③不正確，你能舉例說明嗎？

設(shè)n個(gè)隨機(jī)變盤X，&X.是獨(dú)立同分布,且〃（乂）=。2,]=；￡X,S2=

則（）.

（A）S是。的無偏估計(jì)量（B）S是"的最大似然估計(jì)量

（C）S是。的一致估計(jì)址（D）S與X相互獨(dú)立

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

二、填空題（本題共6題，每題上0分，共6分。）

9、

設(shè)+D=一%.則/（o）=.

標(biāo)準(zhǔn)答案：-1

知識(shí)點(diǎn)解析：

Z（x+1）=（2*+2）2/+2”成-1,以1=-1代人得尸（0）=-1,

10、

巳知&=[0,0,1了，&=[1,1,iy是線性方程組

ar?-X2—2x3=-2,

bx1—4x2+3x3=3,（I）

5+工2+X3=d

的兩個(gè)解，則方程組（I）的通解為.

[0,0,l]T4-<-1,-1?0」，其中/為任意常

數(shù).答案不唯一，例如也可以是口，1J了+匯一1，-1，

標(biāo)準(zhǔn)答案：。了，其中￡為任意常數(shù)?

知識(shí)點(diǎn)解析：

解由&K&知，（I）的解不唯一，故（I）的系

數(shù)矩陣A的秩V3.因A有一個(gè)2階子式

-1-2

=-11H0,

-43

故rank（A）=2,從而（I）的導(dǎo)出組Ar=0的基礎(chǔ)解系

由

3-rank（A）=3-2=1

個(gè)非零的解向量組成,而

g=&-&=[-1,—1，。了

就是Ar=0的一個(gè)非零解，故可作為一個(gè)基礎(chǔ)解系，若

取&為（I）的特解，則（I）的通解為

&+:=[0,0/丁+1一1,一

其中￡為任意常數(shù).若取而為（I）的特解，則（I）的通

解為

蒞+埼=口，1,1]丁+—-1,-1,0]丁，

其中1為任意常數(shù).

11、

』（1--v）2（tan（.r-y）sinl>-,y）jd.rdj=.其中D=｛（^,,y）l1<.r<2,

I）

標(biāo)準(zhǔn)答案：0

知識(shí)點(diǎn)解析:

分析法一注意到該區(qū)域關(guān)于y=x對(duì)稱，且被積函數(shù)是關(guān)于(才-⑴的奇函數(shù),故積分

為零.

法二『1-j?)2[tan(x-y)+sin(x-_y)]drd_y

D

=jjdi(z->)2[tan(x—y)+sin(x-“dy

2

+j]dzj(x-^)[tan(x-_y)+sin(x-_y)]d1y

/2

而12—j[d;rj(工一j>)2Ltan(.r-y)+sin(x-y)Jdy

=/盧!：("-，)2[tan(1-，)+sin(.r-，)]dr

=(dij](y-z)2：tan(y-x)+sin(j-x)]dj>

=4聞(y-x)2[tan(x-j?)+sin(x-3/)]d>=

其中第一個(gè)等號(hào)利用變換枳分順序，第二個(gè)等號(hào)是改變i,.y.

從而得到JJ(x->y)2(tan(j：-y)+sin(x-y)]ckrdy=0.

D

12、

甲袋中有5個(gè)白球,5個(gè)紅球,15個(gè)黑球；乙袋中有10個(gè)白球,5個(gè)紅球，10個(gè)黑球.

從兩袋中各取一球，則兩球顏色相同的概率為?

標(biāo)準(zhǔn)答案：9/25

知識(shí)點(diǎn)解析：

【解析】設(shè)4G=】，2,3)表示從甲袋取出的球的顏色依次為白、紅、黑的事件；

8,G=1,2,3)表示從乙袋中取出的球的顏色依次為白、紅、黑的事件；

C表示取出的球顏色相同的事件，則

C—A\B\+4282+4383.

故P(C)=P(A區(qū)+AtBt+A3)=尸(兒耳)+尸(4鳥)+口(4&)

=尸(A)尸(5)+P(A')P(B)

22+P(AS)P(B3)

510..5_5_,1510=

=/*25十25*25十25?25—25，

13、已知向量組cq=(l,2,-1,I),(12=(2,0,t,0),<13=(。，-4,5,-2)的

秩為2,則t=.

標(biāo)準(zhǔn)答案：3.

/=「?——--

14、設(shè)a是一個(gè)常數(shù)，則J。(1+丁)(1+/)=

標(biāo)準(zhǔn)答案：彳

令X=工,則dx=-3山，且,：?8—0.于是

*r

=arctan：

知識(shí)點(diǎn)解析:

三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)

15、

設(shè)/(X)在［0,1］上連續(xù)，在(0.1)內(nèi)可導(dǎo)，且當(dāng)0wxW1時(shí)有03)W*(l-X).求證：至少存

在一個(gè)fe(0,1),使得/'(f)=1-2f.

標(biāo)準(zhǔn)答案：

【證明］由/(力)在工=注續(xù)以及(l-x=limx(lx)-0,從而利用央

0±jx-1himfx)▲一

逼定理可得

/(0)=lim/(x)=0,/(I)==0.

i-*0411

引入函數(shù)F(x)=/(》)-*(1-，)，于是廣(X)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且尸(0)

=F(1)=0成立.由羅爾定理知，至少存在一個(gè)f6(0/),滿足F，(《)=0,

即/'(f)-1+2f=0,移項(xiàng)即得/(f)=l-21

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

16、設(shè)z=z(x,y)是由9x2—54x),+90、2-6yz-z2+18=0確定的函數(shù)，求

z=z(x,y)的極底點(diǎn)和極值.

標(biāo)準(zhǔn)答案：利用一階全微分形式不變性，將方程求全微分即得I8xdx一

54(ydx+xdy)+180ydy-6zdy—6ydz-2zdz=0,即(18x—54y)dx+(180y—54x一

6z)dy-(6y+2z)dz=0.從而

加!8x二_9x-27y加_180y-54i-6;_90y-Tlx-

瓦=6y+2z=3y一’后=一方二云■-—一方二一為求隱函數(shù)Z=Z(X,y)的

駐點(diǎn)，應(yīng)解方程組

9x2-54xy?90尸_6yg-J+18=0.①

9x-27y=0.②

90)-27x-3:=0.③②可化簡(jiǎn)為

x=3y.由⑧可得z=30y-9x=3y,代入①可解得兩個(gè)駐點(diǎn)x=3y=l,z=3與x=-

3,y=~1,z=-3.為判定z=z(x,y)在兩個(gè)駐點(diǎn)處是否取得極值，還需求z=z(x,

y)存這兩點(diǎn)的二階偏導(dǎo)數(shù)：

,9(3y+z)-(9x-27y)李-27(3y?s)-(9r-270H?

trzoxn2z'

Ax1(3y?z)2'dxdy(3yr)‘

在二(90?3款3)-她-27*?3川3書

'(3y+:)2記P^3,1,

3).Q=(—3,—1,一3),即可得出在P點(diǎn)處

814593

8-C1了?丁?彳(0,旦一彳＞。故在點(diǎn)(3,1)處z=z(x,y)取得極小值z(mì)(3,

一4I?-1,8M業(yè)|?4-.c.學(xué)IX-15

1)=3.類似可知在Q點(diǎn)處2力打1〃2機(jī)(故

,"?北=丁彳=?彳＜。且A-T＜0故在點(diǎn)(一3,—I)處z=z(x,y)收得極大

值z(mì)(-3,—*1)=一3.

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

17、設(shè)甲袋中有2個(gè)白球，乙袋中有2個(gè)紅球，每次從各袋中任取一球，交換后放

入另一袋，這樣交換3次，求甲袋中白球數(shù)X的數(shù)學(xué)期望.

標(biāo)準(zhǔn)答案：為求數(shù)學(xué)期望的先求出甲袋白球數(shù)X的概率分布.經(jīng)過第一次交換

后，甲、乙兩袋中都各有一白一紅，故我們從第二次交換開始討論.設(shè)Ai={第二

次交換后甲袋有i個(gè)白球},i=0,1,2.由于經(jīng)過第一次交換，甲、乙兩袋中各有

一個(gè)紅球，一個(gè)白球，故，(右)-4，-2，尸"?)4又設(shè)(x=k}表示

1

三次交換后甲袋中的白球數(shù),k=0,1,2.則P(X=O|Ao}=O,P{X=0|Ai)=4*

1

P{X=0|A2}=0,P{X=1|AO)=1,P{X=1|A|)=^*P{X=1|A2}=1,P{X=2|A0}=0,

JL.ii.i

4

P{X=2|A1}=*P{X=2|A2}=0,所以P{X=O}=P{X=O}A]}P(AO)=428

P{X=1}=P{X=l|Ao)P(Ao)-P{X=1|A|}P(A|)+P{X=1|A2}P(A2)

L

111,13—?4

42244P{X=2}=P{X=2|A|}.P(Ai)=*'8,故X的概

X0I2

131

PT7G

分布為

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

18、計(jì)算I,區(qū)域D由直線y=x、由線3々）切=2任刈

以及x軸圍成。

標(biāo)準(zhǔn)答案：圓x?+y2=4將區(qū)域D分成兩部分，圓x?+y2=4內(nèi)的部分記作D”

圓外的部分記作D2,則原積分化為

/rr2

/=|，/+八2|加=ff(2-Vx+y)da+J(y/x+/-2)dat

?A采用極坐標(biāo)計(jì)

算積分，其中

廣/

/(2-7%2+/)da=I*de￡(2-r)rdr=￡^r2-yr3的=(

A°°o3

[(*/x2+y2-2)da=de(r-2)rdr

o

二產(chǎn)4\

co83^-8cos2^^ylde

3

T1+cos2。,-74

(1-sin2d)dsin(一8——de+。丁麗

o2

222

故/=f1^+7-2l^=y-j^o

知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查二重積分的計(jì)算。根據(jù)被積函數(shù)的形式，當(dāng)

，，心2和G+F<2時(shí)，去掉絕對(duì)值對(duì)應(yīng)的被積函數(shù)不同，相應(yīng)選取的積分

區(qū)域也有所不同。因此需要分兩部分計(jì)算，然后再相加。

19、過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=e'的切線，該切線與曲線y=e'及x軸圍成的向x軸負(fù)向

無限伸展的平面圖形記為D.(1)求口的面積人；(1)求D繞直線x=l旋轉(zhuǎn)所成

的旋轉(zhuǎn)體的體積V.

標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為P(xo,yo),于是曲線丫=?*在點(diǎn)P的切線斜率為y=，，

切線方程為y—yo=e，0(x—xo).它經(jīng)過點(diǎn)(0,0),所以一yo二-x()

又因g=e\代入求得xo=l,從而yo=^=e,切線方程為y=ex.(I)取水平

A=UTny)dy=(笠-ylny+y)=4->=-7.

條面積元素，2eI。2-2(積

lim

分Joinydy為反常積分，I,ylny=0來自洛必達(dá)法則)(口)D繞直線x=l旋轉(zhuǎn)一周所

成的旋轉(zhuǎn)體的體積微元為

dV—［“(1-Iny):—x(1—卜y,

從而U=-2lny+g-￡|dy

二A(yln2y_41ylny+4y+?g]

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

20、設(shè)函數(shù)f(x)在［0,+00)上連續(xù)、單調(diào)不減且f(0)K),試證函數(shù)

(-rx>o,

A(x)=xJo

°，X=°，在［0,+8)上連續(xù)且單調(diào)不減(其中n>0).

標(biāo)準(zhǔn)答案:由題設(shè)知f(x)在［0,+8)上連續(xù)、單調(diào)不減且f(0)K),此外F(0)=0,而

。了(，)也

limF(x)=lim-----------==0,國(guó)

當(dāng)X>0時(shí)，1?Xf月-以當(dāng)x>0時(shí)，由積

分中值定理知，存在一點(diǎn)差(0,x),使得因此由前述知f(g)vf(x),則F'(X)X),因

此F(x)在［0,+oo)上單調(diào)不減.綜上，F(xiàn)(x)在［0,+00)上連續(xù)且單調(diào)不減.

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

2_

設(shè)隨機(jī)變量X?N彳，在X=x(x€R)的條件下，Y的條件概率密度為fYix(yIx尸

Ae"一,

21、求常數(shù)A；

標(biāo)準(zhǔn)答案：利用規(guī)范性

1=1fy\x(yIx)d>=d_y=A4,得到A=工

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

22、求Y的概率密度fY（y）；

f（工,y）=/x<x）/rix（y|工）=*z,y￡R

/y（>）=「7（"，》）業(yè)=，由dx

J—穴Jf>K

=c-^?>/2”,-y=J-e—,3￡R

標(biāo)準(zhǔn)答案：Kz后

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

P(Y"XT卜

23、求概率*

/“x(yI劫=六《+"沙SR

h撲=撲上尸t尸力-

Pe"市《=J

4

標(biāo)準(zhǔn)答案：

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第3套

一、選擇題（本題共8