自動控制原理第8章采樣控制系統控制器被控對象反饋元件輸入輸出+-偏差第8章采樣控制系統的分析與設計

8.1引言8.2信號的采樣與復現8.3Z變換與Z反變換8.4脈沖傳遞函數8.5采樣系統的分析8.6最少拍采樣系統的校正概述連續控制系統中的變量是時間上連續的；隨著被控系統復雜性的提高，對控制器的要求也越來越高，控制的成本隨著數學模型的復雜化而急劇上升—模擬實現；隨著數字元件,特別是數字計算機技術的迅速發展，采樣控制系統得到了廣泛的應用；在采樣控制系統中,有一處或多處的信號不是連續信號,而在時間上是離散的脈沖序列或數碼。計算機控制系統-

一個系統只有離散信號而沒有連續信號，則系統稱為純離散小系統或簡稱離散系統。如果除了有離散還有連續信號，則稱采樣數字系統或簡稱采樣系統。一個采樣控制系統實際上包含兩個子系統，即離散子系統和連續子系統，而借助于保持互相連結，控制器可以是計算機或數字控制器。8.1離散系統的定義及常用術語離散系統：系統中只要有一個地方的信號是脈沖序列或數碼時，即為離散系統。脈沖控制系統：離散信號是脈沖序列而不是數碼。數字控制系統：離散信號是數碼而不是脈沖序列。開環采樣系統：采樣器位于系統閉合回路之外，或者系統本身就不存在閉合回路。閉環采樣系統：閉合回路中含有采樣器的系統。線性采樣：采樣器輸入與輸出信號幅值之間存在線性關系。線性采樣系統：采樣器和系統其余部分都具有線性特性。采樣：把連續信號變成脈沖序列(或數碼)的過程。采樣器：實現采樣的裝置叫采樣器，可以是機電開關，也可以是電子開關，A//D轉換器。周期采樣：采樣開關等間隔開閉。同步采樣：多個采樣開關等周期同時開閉。非同步采樣：多個采樣開關等周期但不同時開閉。多速采樣：各采樣開關以不同的周期開閉。隨機采樣：開關動作隨機，沒有周期性。保持器：從離散信號中，將連續信號恢復出來的裝置，具有低通濾波功能的電網絡和D／A轉換器都是這類裝置。-離散系統信號轉換的兩個特殊環節離散系統中連續信號和離散信號并存，在連續信號與離散信號之間要用采樣器，而在離散信號與連續信號之間要用保持器，以實現兩種信號的轉換。采樣器和保持器，是離散控制系統中兩個特殊的環節。計算機控制系統的優點：1、有利于實現系統的高精度控制；2、數字信號傳輸有利于抗干擾；3、可以完成復雜的控制算法，而且參數修改容易；4、除了采用計算機進行控制外，還可以進行顯示，報警等其它功能；5、易于實現遠程或網絡控制。一個連續信號經采樣開關變成了采樣信號采樣脈沖的持續時間遠小于采樣周期T和系統的時間常數可以將窄脈沖看成是理想脈沖，從而可得采樣后的采樣信號為信號的采樣過程8.2采樣過程和采樣信號的復現

是理想脈沖出現的時刻因此采樣信號只在脈沖出現的瞬間才有數值，于是采樣信號變為因此采樣過程可以看作一個調制過程。采樣信號的調制過程考慮到時，可以將原來采樣信號表達式變為如下采樣定理采樣窄脈沖為周期性的，采樣后的信號取該信號的拉氏變換,并令:采樣后信號頻譜是以

s為周期的。采樣時間滿足什么條件？才能復現原信號！

連續信號在時域上是連續的，但頻域中的頻譜是孤立的；連續信號采樣之后，具有以采樣角頻率為周期的無限多個頻譜。

采樣信號的頻譜

采樣定理：為使采樣后的脈沖序列頻譜互不搭接，采樣頻率必須大于或等于原連續信號所含的最高頻率的兩倍，這樣方可通過適當的理想濾波器把原信號毫無畸變的復現出來。

香農定理的物理意義是：滿足香農定理的采樣信號中含有連續信號的信息，該信息可以通過具有低通濾波特性的濾波器復現出來。零階保持器保持器是采樣系統的一個基本單元，功能是將采樣信號恢復成連續信號。理想濾波器可以將采樣信號恢復成連續信號；理想濾波器是物理上不可實現的，因此要尋找一種物理上可實現，特性上又接近于理想濾波器的設備-保持器。采樣信號只在采樣點上有定義,e*(kT)和e*((k+1)T)都是有定義的,但是在這兩者之間的時間段上連續信號應該是什么樣子呢?這就是保持器要解決的問題.

保持器是一種時域外推裝置，即將過去時刻或現在時刻的采樣值進行外推。通常把按照常數、線性函數和拋物線函數外推的保持器稱為零階、一階和二階保持器。則當前時刻的采樣值將被保持到下一個采樣時刻.這種保持器稱為零階保持器。

如何用數學語言描述這種特性呢?如零階保持器的輸入和輸出信號零階保持器:把采樣時刻kT的采樣值不增不減地保持到下一個采樣時刻（k＋1）T。

由于在采樣時刻

故保持器的輸出

拉氏變換為

零階保持器的傳遞函數為

零階保持器的傳遞函數為

零階保持器的頻率特性為

零階保持器的頻率特性如圖所示。除了允許主頻譜分量通過之外，還允許一部分附加高頻分量通過。因此復現出的信號與原信號是有差別的。3ω2ωω0-πTω3ω2ωω0-2π-3π8.3Z變換與反變換

線性連續控制系統用線性微分方程來描述，用拉普拉斯變換分析它的暫態性能及穩態性能。線性采樣控制系統則用線性差分方程來描述，用Z變換來分析它的暫態性能及穩態性能。

Z變換是研究采樣系統主要的數學工具，由拉普拉斯變換引導而來，是采樣信號的拉普拉斯變換。連續信號f（t）的拉普拉斯變換為連續信號f（t）經過采樣得到采樣信號f*（t）為其拉普拉斯變換為定義新的變量有常用的Z變換方法

在一定條件下，常用函數的Z變換都能夠寫成閉合形式。級數求和法例1

求單位階躍函數1（t）的Z變換。單位階躍函數的采樣脈沖序列為代入E(z)的級數表達式，得對上列級數求和，寫成閉合形式，得例2求指數函數的Z變換。

對上列級數求和，寫成閉合形式，得部分分式法

當連續信號是以拉普拉斯變換式F（s）的形式給出,且F（s）為有理函數時,可以展開成部分分式的形式，即

可得與其對應的z變換為

由此可得F（s）的Z變換為

例3已知，試求其Z變換.

解將G（s）展開成部分分式

其對應的時域表示式為

兩個時域信號的疊加。留數法設連續信號f(t)的拉普拉斯變換式F（s）及其全部極點pi為已知，可利用留數法求其Z變換F(z)，即當s=pi為一階極點時，其留數為

當s=pj為q階極點時，其留數為

例4求f（t）=t的z變換[t

0]

在s=0處有二階極點，f(t)的z變換F(z)為

解：由于Z變換的性質

1.線性定理若

i為常數，則

線性定理表明,時域函數線性組合的Z變換等于各時域函數Z變換的線性組合。

設有連續時間函數2.滯后定理

設e(t)的z變換為E（z），且t＜0時，e(t)=0,則

原函數在時域中延遲k個采樣周期求z變換,相當于它的z變換乘以z-k,z-k可以表示時域中的滯后環節,它把采樣信號延遲k個采樣周期。3.超前定理4.初值定理

設函數e(t)的z變換為E(z)，則5.終值定理

6.復數位移定理

設函數e(t)的z變換為E(z)，且在z平面上的以原點為圓心的單位圓上和圓外均沒有極點，則設函數e(t)的z變換為E(z)，則Z反變換

由F(z)求e*(t)過程稱為Z反變換，表示為

Z反變換只能給出連續信號在采樣時刻的數值，而不能再非采樣時刻提供連續信號的有關信息。通過查Z變換表得到的連續函數，從Z反變換的角度來說，只能是許多可能的答案之一，而不是唯一的答案。即有Z反變換方法1、長除法

將F(z)的分子、分母多項式按z的降冪形式排列,用分子多項式除以分母多項式,可得到F(z)關于z-1的無窮級數形式,在根據延遲定理得到f*(t)。對上式求z反變換,得

例求的Z反變換。2、因式分解法（部分分式法）

將F(z)/z展開成部分分式。由于在F(z)式中,分子表達式中通常含有z。得到部分分式后,再將z乘到各部分分式的分子部分,再查表進行反變換即可。例求的Z反變換。思考3.留數法由z變換的定義有

用zm-1乘上式兩端,得根據復變函數理論,知

當z=pi為單極點時，其留數為

當z=pj為n重極點時，其留數為

8.4離散系統的數學模型

描述n階線性連續系統的數學模型為微分方程，而描述線性采樣系統的教學模型為差分方程。差分的定義：一階前向差分定義為二階前向差分定義為一階后向差分定義為：二階后向差分定義為：前向和后向差分示意圖線性常系數差分方程

線性定常離散系統寫成遞推形式：前向差分方程來描述遞推的形式差分方程的解法

差分方程式時域解代數方程Z域解代數法解經典法解Z變換法求差分方程的一般步驟如下：

(1)利用Z變換的超前或延遲定理對差分方程兩邊進行Z變換，代入相應的初始條件，化成復變量z的代數方程。

(2)求出代數方程的解。

(3)通過查Z變換表，對求Z反變換，得出解。例一階采樣系統的差分方程為

其中b為常數,求y(k)

。對方程兩邊進行在z變換，并由實移定理

因為

所以

例已知二階離散系統前向差分方程為

求c(k)

。脈沖傳遞函數

線性采樣系統初始條件為零時,系統輸出信號的Z變換與輸入信號的Z變換之比,稱為線性采樣系統的脈沖傳遞函數,或簡稱為Z傳遞函數。

實際采樣系統的輸出信號通常是連續信號,為了應用脈沖傳遞函數概念,可在系統的輸出端虛設一個同步采樣開關,使輸出成為采樣信號。

實際采樣系統設輸入脈沖序列為由疊加原理可求出系統對脈沖序列的響應為

根據Z變換的卷積定理，上式的Z

變換為

脈沖傳遞函數和連續系統的傳遞函數一樣表征了采樣系統的固有特性,它除了與系統的結構、參數有關系，還與采樣開關在系統中的具體位置有關。1、兩個環節有采樣開關時根據脈沖傳遞函數的定義：

環節之間有采樣開關時，等效脈沖傳遞函數為各串聯環節脈沖傳遞函數之積。該結論也可推廣到n個環節串聯的情況。采樣系統的結構圖

2、兩個環節沒有采樣開關時

串聯環節之間無采樣開關時,系統脈沖傳遞函數為各串聯環節傳遞函數乘積的z變換。該結論可推廣到相互間無采樣開關的n個環節串聯的情況。例已知3、有零階保持器時的開環系統脈沖傳遞函數

有零階保持器時的開環采樣系統

有零階保持器時的開環采樣系統，若

有零階保持器時，不增加系統的階次，不改變系統開環極點，只影響開環零點。并聯環節的脈沖傳遞函數

根據脈沖傳遞函數的定義閉環系統的傳遞函數閉環系統的誤差脈沖傳遞函數

閉環系統脈沖傳遞函數為系統輸出

當系統有擾動作用時,可得閉環系統的誤差與擾動間的脈沖傳遞函數為

TTT系統輸出與擾動之間的脈沖傳遞函數

由于系統中有采樣器的存在，所以一般情況下

例設閉環采樣系統結構圖如圖所示，求其閉環脈沖傳遞函數。

閉環采樣系統結構圖

對于有些采樣控制系統，無法寫出閉環脈沖傳遞函數只能寫出輸出的Z變換。

穩定性的基本概念穩定性是指在擾動的作用下，系統會偏離原來的平衡位置，在擾動撤除，系統恢復到原來平衡狀態的能力；根據穩定性的定義，可以采用脈沖響應的情況來研究系統的穩定性；系統的脈沖響應如果能夠衰減到0，則系統是穩定的；否則系統是不穩定的。8.5采樣系統的穩定性分析

采樣系統的脈沖響應：穩定條件：若，即系統的所有極點位于Z平面的單位圓內，則穩定的充分必要條件是

系統閉環脈沖傳遞函數的所有極點位于Z平面上的單位圓內。或者說，所有極點的模都小于1,即，單位圓就是穩定區域的邊界。

系統穩定，則其閉環脈沖傳遞函數的全部起點應位于Z平面以上原點為圓心的單位圓內；反之，若閉環極點處于單位圓外，系統不穩定；在單位圓上時系統為臨界穩態。

s平面的左半平面，z的幅值在0和1之間變化，對應z平面單位圓內；

s平面的虛軸，對應z平面的單位圓。

s平面與z平面的映射關系例某系統的結構框圖如圖所示，問系統采樣周期取時是否穩定？-故系統不穩定

勞斯判據

線性采樣系統不能直接使用勞斯穩定判據，因為采樣系統穩定邊界是z平面上以原點為圓心的單位圓周，而不是虛軸。為能使用勞斯判據，可將z平面上單位圓周映射到新坐標系中的虛軸，這種變換稱為w變換，或稱雙線性變換。式中，z、w均為復變量，可分別寫為代入雙線性變換公式，得w平面虛軸上的點對應于上式中實部為零的點，即則設z平面上單位圓內(x2+y2＜1)對應著w平面實部為負數的左半平面。z平面上單位圓外(x2+y2＞1)對應著w平面實部為正數的右半平面。z平面與w平面的映射關系所示。例設采樣控制系統的結構圖如圖所示，采樣周期T=1s,T=0.5s，試求使系統穩定的K值范圍。系統的開環脈沖傳遞函數為相應的閉環系統特征方程為將T=1s代入上式，得

進行w變換可求得w域系統的特征方程為

根據代數判據，閉環系統穩定條件為所以穩定時K的取值為

同理可得,T=0.5s時，穩定時K的取值為

開環增益K和采樣周期T對采樣系統穩定性有如下影響：

(1)采樣周期T一定時，增加開環增益K會使采樣系統穩定性變差，甚至使系統不穩定。

(2)開環增益K一定時,采樣周期T越長，丟失的信息越多，對采樣系統穩定性及動態性能均不利，甚至使系統不穩定。

兩種方法：（1）應用z變換終值定理計算穩態誤差的終值；（2）應用誤差脈沖傳遞函數計算靜態誤差系數,進而得到穩態誤差。8.6采樣系統的穩態誤差閉環采樣控制系統

誤差脈沖傳遞函數為由z變換終值定理得穩態誤差為

與連續系統類似,開環脈沖傳遞函數的一般形式為

=0稱為0型系統；

=1稱為I型系統；……

=n稱為n型系統。定義為靜態位置誤差系數對于0型系統為一常量，穩態誤差為對于Ⅰ型及以上系統單位階躍輸入：定義靜態速度誤差系數對于0型系統，穩態誤差為。對于Ⅰ型為常值,也為常值。對于Ⅱ型及以上系統。單位斜坡輸入：定義靜態加速度誤差系數對于0型和Ⅰ型系統，穩態誤差為。對于Ⅱ型為常值,也為常值。單位加速度輸入：

采樣系統誤差除了與系統的結構、參數和輸入信號有關外，還與采樣周期有關，縮小采樣周期可以減小穩態誤差。例系統如圖所示。求穩態誤差。暫態響應與傳遞函數零、極點分布的關系設閉環采樣系統的脈沖傳遞函數為式中M(Z)、D(Z)——閉環脈沖傳遞函數分子多項式和分母多項式

設：

i——閉環極點，zj——閉環零點當輸入為單位階躍信號時系統輸出信號的z變換為

將上式展成部分分式可得式中：對上式進行z反變換，得采樣系統輸出采樣信號為

上式右邊第一項為系統的穩態響應分量，第二項為暫態響應分量。

顯然,隨極點在平面位置的不同，它所對應的暫態分量也不同。

實數極點：若實數極點分布在單位圓內，其對應的分量呈衰減變化。正實數極點對應的單調衰減，負實數極點對應的振蕩衰減；共軛極點：有一對共軛復數極點

i與

i，即

當|

i|＞1時,yi(k)為發散振蕩函數；當|

i|＜1時，yi(k)為衰減振蕩函數,振蕩角頻率為,

i為共軛復數系數Ai的幅角。

ImRe暫態響應與實數極點位置關系

ImRe暫態響應與復數極點位置關系

1)當閉環脈沖傳遞函數的極點位于z平面上以原點為圓心的單位圓內時,其對應的暫態分量是衰減的。

2)要使控制系統具有比較滿意的暫態響應,其閉環極點應盡量避免分布在Z平面單位圓內的左半部,最好分布在單位圓內的右半部。

3)極點盡量靠近坐標原點,相應的暫態分量衰減速度較快。

4)離單位圓周最近且附近無閉環零點的共軛復數極點為主導極點。

例若系統結構如圖所示，試求其單位階躍響應的離散值，并分析系統的動態性能。采樣周期T=0.2秒。系統的閉環脈沖傳遞函數為

當輸入量r(t)=1(t)時，R(z)=z/(z－1)，輸出量的z變換為

8.8采樣系統的校正

-

在確定數字控制器的脈沖傳遞函數時，假設其前后兩個采樣開關的動作是同步的.設反饋通道的傳遞函數H(s)=1則設計數字控制器的設計步驟為：（1）由連續系統部分傳遞函數G(s)的求出脈沖傳遞函數G(z)。（2）根據系統的性能指標要求和其他約束條件，確定所需要的閉環脈沖傳遞函數Φ(z)。（3）按下式確定數字控制器的脈沖傳遞函數D(z)。數字控制器為-例采樣控制系統如圖，其中，數字控制器的輸入和輸出滿足關系

分析該系統在單位階躍輸入時是否有差？

由于開環傳遞函數分母多項式中含有，是一階無差系統，故該系統在單位階躍輸入時是無差的。

在采樣系統中通常將一個采樣周期稱之為一拍，若在典型輸入信號作用下，經過最少采樣周期，系統的采樣誤差信號減小為零實現完全跟蹤，則稱之為最少拍系統。

具有數字控制器的采樣控制系統

最少拍系統的脈沖傳遞函數

閉環脈沖傳遞函數

誤差脈沖傳遞函數為數字控制器的脈沖傳遞函數為

或

最小拍系統的設計是針對典型輸入作用進行的。典型輸入信號的z變換可以表示為一般形式：所以有

根據終值定理，采樣系統的穩態誤差為

根據終值定理，采樣系統的穩態誤差為

要使系統無穩態誤差

可取

可得最小拍系統的閉環誤差脈沖傳遞函數閉環脈沖傳遞函數（1）單位階躍輸入最小拍系統經過一拍便可以完全跟蹤輸入信號，這樣的采樣系統稱為一拍系統，調節時間為最小拍系統階躍響應序列

（2）單位斜坡輸入

可見，最小拍系統經過二拍便可以完全跟蹤輸入信號。

這樣的采樣系統稱為二拍系統，調節時間為

最小拍系統斜坡響應序列

（3）單位加速度輸入

可見，最小拍系統經過三拍便可以完全跟蹤單位加速度輸入信號。

這樣的采樣系統稱為三拍系統，調節時間為

最小拍系統單位加速度響應序列例采樣控制系統如下圖所示其中連續部分的傳遞函數為

已知T=0.5s，試求在單位斜坡輸入下，最小拍系統數字控制器的脈沖傳遞函數.

解：由圖可知最小拍系統數字控制器的脈沖傳遞函數當單位斜坡響應

顯然，暫態過程只要兩個采樣周期即可結束。則系統的輸出信號的z變換為

將上述系統的輸入信號改為單位階躍信號

此時動態過程也可在兩個采樣周期內結束，但在t=T時超調量為100%。單位階躍響應

根據一種典型信號進行校正設計的最小拍采樣系統，往往不能很好地適應其它形式的輸入信號，這使最小拍系統的應用受到很大的局限。其次，上述校正方法只能保證在采樣時刻的穩態誤差為零，而在采樣點之間系統的輸出可能會出現紋波，因此把這種系統稱為有紋波系統。紋波的存在不僅影響系統的精度，而且會增加系統的機械磨損和功耗，這是我們不希望的。適當的增加暫態時間(拍數)，可以實現無紋波輸出的采樣系統。

8.9MATLAB在離散系統中的應用連續系統的離散化。命令為c2dm(num,den,T,’zoh’)

例已知離散系統的結構圖如圖所示，采樣周期T=1s，求開環脈沖傳遞函數。用MATLAB可以方便求得上述