押廣東卷第10題

函數與動態幾何規律和最值問題

押題探究

廣東中考對幾何、函數綜合知識的考查要求較高，均是在選擇題第10題壓軸出現，一般難度較大，要

求考生熟練掌握與幾何，函數有關的知識.2022年考察了函數的變量問題,2021年考察了二次函數的性質，

圓的相關知識等求最值；2020年針對二次函數的圖形性質考查；

根據現在命題的趨勢，大概率是以二次函數的參數問題，動點問題為主要考察，但是不排除隱圓問題為代

表的最值問題，需要加強這方面的訓練。

解題秘籍

必備知識

1.拋物線y=ax2+bx+c的圖象與字母系數a,b,c之間的關系：

(l)a開口向上

(2)b左同右異

(3)c拋物線與y軸的交點位置

(4)a+b+c系列，當x=l時，v=ax2+bx+c=a+b+c的位置；

⑸判斷a與b的關系，看對稱輸；

(6)b2-4ac>0看拋物線與x軸交點個數；

(7)判斷a與c,b與c,先搭建一個有關a、b、c的平臺，再利用對稱軸找到a與b的關系，替換掉不需

要的字母，即出現目標。

(8)遇到新的參數比如：7”(。機+3<。+雙加。1),關注最值就行。

2.阿氏圓

模型建立；已知平面上兩點A、B,則所有符合ra=?&>o且AWD的點尸會組成一個圓.這個結論最

PB

先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，稱阿氏圓.

阿氏圓基本解法：構造三角形相似.

模型解讀：

如圖1所示，。。的半徑為r,點A、8都在。0外，P為。。上的動點，已知r=k-OB.連接PA.

PB,則當“H1+QP3”的值最小時，P點的位置如何確定？

1：連接動點至圓心0（將系數不為1的線段兩端點分別與圓心相連接），即連接。尸、0B；

2：計算連接線段OP、05長度；

3：計算兩線段長度的比值黑=內

4：在。8上截取一點C,使得器=黑構建母子型相似：

UrUD

5：連接AC,與圓0交點為P,即AC線段長為E1+K*P8的最小值.

本題的關鍵在于如何確定”?PB”的大小，（如圖2）在線段。8上截取OC使0C=hr,則可說明△5P0與

△PC0相似，即k-PB=PC.

本題求““+A?PB”的最小值轉化為求“總+P。的最小值，即4、P、C三點共線時最小（如圖3）,時

AC線段長即所求最小值.

3：胡不歸問題

“PA+k?PB”型的最值問題，當k=l時通常為軸對稱之最短路徑問題，而當k>0時，若以常規的軸對稱

的方式解決，則無法進行，因此必須轉換思路.

1.當點P在直線上

如圖，直線BM,BN交于點B,P為BM上的動點，點A在射線BM,BN同側，已知sinNMBN=k.

過點A作AC_LBN于點C,交BM于點P,此時PA+k?PB取最小值，最小值即為AC的長.

證明如圖，在BM上任取一點Q,連結AQ,作QDJ_BN于點D.

由sinNMBN=k,可得QD=k?QB.

所以QA+k?QB=QA+QD^AC,即得證.

2.當點P在圓上

如圖，。。的半徑為r,點A,B都在。0外，P為。0上的動點，已知r=k?OB.

在0B上取一點C,使得0C=k?r,連結AC交。0于點P,此時PA+k?PB取最小值，最小值即為AC的長.

證明如圖，在。0上任取一點Q,連結AQ,BQ,連結CQ,0Q.

則0C=k?OQ,0Q=k?OB.

而NC0Q=NQ0B,所以△COQS^QOB,

所以QC=k-QB.

所以QA+k?QB=QA+QC》AC,即得證.

解題技巧

縱觀近幾年的中考考試題，主要考查以下兩個方面：一是動點函數圖形與幾何結合求多解問題，二是

幾何函數結合求點的坐標，解析式等，三是圖形動點求最值情況。

真題回顧

1.（2021?廣東?統考中考真題）設。為坐標原點，點A、8為拋物線y=Y上的兩個動點，且。4,03.連

接點A、B,過。作于點C,則點C到y軸距離的最大值（）

A.1B.也C.BD.1

222

【答案】A

【分析】設A（a,洲，B（6,廬）,求出AB的解析式為y=（a-，）x+l,進而得到OZ）=1,由/OCB=90。可知，

a

C點在以0。的中點E為圓心，以/-:。。二:為半徑的圓上運動，當CH為圓E半徑時最大，由此即可求

22

解.

【詳解】解：如下圖所示：過C點作），軸垂線，垂足為H,AB與x軸的交點為￡）,

If

設A(a,a2),B(b,%,其中存o,厚0,

???0A_L08,

,?k°A?koR——1,

./這

??---;-----i,

ab

即ab=—l,

設AB的解析式為：y=（a--）x+ni,代入A（ma2）,

a

解得：m=\f

：.OD=1,

???OCA.AB,即/OCB=90,

...C點在以。。的中點E為圓心，以r=!。。=!為半徑的圓上運動，

當C”為圓E的半徑時，此時CH的長度最大，

故C”的最大值為r=；,

故選：A.

【點睛】本題考查了二次函數的性質，圓的相關知識等，本題的關鍵是求出AB與），軸交點的縱坐標始終為

1,結合N0C8=90，由此確定點E的軌跡為圓進而求解.

2.（2021?廣東深圳?統考中考真題）在正方形ABCZ）中，43=2,點E是BC邊的中點，連接OE,延長EC

至點F,使得EF=DE,過點F作FGLOE,分別交CO、A8于N、G兩點，連接CM、EG、EN,下

列正確的是：?tanZGFB=l；②MN=NC;③竇=；；④“邊加碼="（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】解：①中由FGLOE即可得到NGEB=NEQC,再由正切等于對邊比鄰邊即可求解；

②中先證明△￡>￡(7絲△EEM得到EM=EC,DM=FC,再證明△DWNt△FCN即可求解：

③中先證明GE//CM,得到也=絲=與1=紀叵即可求解；

EGEF小5

④中由tanZ.F=tanZEDC=――=彳得到GB=—BF='>再由^VSHIKGBEM=25AGBE即可求解.

BF222

【詳解】解：①?；FGLDE,

NDMF=90o=NNCF,且對頂角/MND=NCNF,

：.NGFB=NEDC,

?..ABC。為正方形，E是8c的中點，

:.BC=CD,

PC1

tanNGFB=tanZEDC=——=一，①正確；

CD2

②由①知ZMDN=ZCFN,

又NECD=/EW=90,己知所=ED,

，MECSFEM(SAS),

EM=EC,

：.DM=FC,

'：ZMDN=NCFN,NMND=NCNF,DM=FC,

/.4DMN94FCN(AAS),

：.MN=NC,故②正確；

@VBE=EC,ME=EC,

：.BE=ME,

且N8=NGME=90°,GE為RjGBE和RtGME的公共邊，

：.Rt^GBEmRtAGME(HL),

NBEG=NMEG,

ME=EC,

：?/EMC=/ECM,

由三角形外角定理可知：/EMC+NECM=ABED=/BEG+/MEG,

:.ZGEB=ZMCEf

:.MCUGE,

.CMCF

??=,

EGEF

;EF=DE7EC2+CD?=加，CF=EF-EC=?-l,

.CMCFV5-15-75

故③錯誤;

"~EG~~EF~y/5~5

④由上述可知：BE=EC=\,CF=V5-1,

BF=y[s+\,

「A1

tanZF=tanZEDC=-=-,

BF2

?CD1DC+1

??GB=-BF=-舊----,

22

；?靠邊形w-M=2S^CBE=2^BEBG=注，故④正確.

故選B.

【點睛】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質，平行線分線段成比例定理，三角函數等知識，

解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題.

3.（2022?廣東廣州?統考中考真題）如圖，用若干根相同的小木棒拼成圖形，拼第1個圖形需要6根小木棒，

拼第2個圖形需要14根小木棒,拼第3個圖形需要22根小木棒……若按照這樣的方法拼成的第n個圖形需

【答案】B

【分析】根據圖形的變化及數值的變化找出變化規律，即可得出結論.

【詳解】解：設第〃個圖形需要〃〃（〃為正整數）根小木棒，

觀察發現規律：第一個圖形需要小木棒：6=6xl+0,

第二個圖形需要小木棒：14=6x2+2；

第三個圖形需要小木棒：22=6x3+4,…，

...第"個圖形需要小木棒：6n+2（n-1）=8n-2.

A8n-2=2022,得："=253,

故選：B.

【點睛】本題考查了規律型中圖形的變化類，解決該題型題目時，根據給定圖形中的數據找出變化規律是

關鍵.

4.（2022?廣東深圳?統考中考真題）如圖所示，已知三角形ABE為直角三角形，ZABE=90°,BC為。切

線，C為切點，DE為：O直徑,C4=CD,則；ABC和.CDE面積之比為（）

【答案】B

【分析】根據圓周角定理，切線的性質以及等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定及性質進行計算

即可.

【詳解】解：如圖取中點O,連接。C.

，NDCE=ZDCA=90°.

：8C與圓O相切.

，ZBCO=90°.

ZDCA=ZBCO=90°.

：.ZACB=NDCO.

ZABD+ZACD=\80°.

：.ZA+ZBDC=180°.

又NBDC+NCDO=180°.

ZA=ZCDO.

VZACB^ZDCO,AC=DC,ZA=ZCDO.

/\ABC=△OOC(ASA).

??S/XAZiC=S&DOC?

?.?點。是OE的中點.

,,S^DOC=0.5SACD￡.

,1S^ABC=0.5SACD￡.

,,S^ABC-S4CDE=1:2

故答案是：1:2.

故選:B.

【點睛】本題考查切線的性質，圓周角定理，等腰三角形以及全等三角形的性質，理解切線的性質，圓周

角定理以及全等三角形的判定和性質是解決問題的前提.

5.(2020?廣東?統考中考真題)如圖，拋物線丫=0?+公+。的對稱軸是x=l.下列結論：①"c>0；②

b2-4ac>0：③&/+c<0；@5a+b+2c>0,正確的有()

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【分析】由拋物線的性質和對稱軸是x=l,分別判斷a、b、c的符號，即可判斷①；拋物線與x軸有兩個

交點，可判斷②；由1=-3=1,得匕=-2”，令x=-2,求函數值，即可判斷③;令x=2時，則y=4a+2A+c>0,

2a

令時，y^a-b+c>0,即可判斷④；然后得到答案.

【詳解】解：根據題意，則。<0，c>0,

b

?X--------1,

2。

：.b=-2a>0f

abc<0,故①錯誤;

由拋物線與X軸有兩個交點，則層-4ac>0,故②正確；

*.*b=-2?,

令了二—2時，y=4。-2b+c、<0,

???8Q+CV0,故③正確；

在y=ax1+bx+c中，

令x=2時，則y=4o+2b+c>0,

令時，y=a-b+c>0,

由兩式相加，得5a+A+2c>（）,故④正確；

.??正確的結論有：②③④，共3個；

故選：B.

【點睛】本題考查了二次函數的圖像和性質，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的性質，熟練判斷各個式子

的符號.

6.（2020?廣東深圳?統考中考真題）如圖，矩形紙片A8C力中，AB=6,BC=12.將紙片折疊，使點B落在邊

AO的延長線上的點G處，折痕為EF,點E、F分別在邊和邊BC上.連接BG,交CD于點、K,FG交CD

于點H.給出以下結論：①EF_LBG；②GE=GF；③△GOK和△GKH的面積相等；④當點尸與點C重合時，

/￡）EF=75。.其中正確的結論共有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】由折疊的性質可得四邊形EBFG是菱形從而判斷①②正確;由角平分線定理即可判斷DGKGH,由此

推出③錯誤;根據F、C重合時的性質，可得NAEB=30。,進而算出④正確.

【詳解】

連接BE,由折疊可知BO=GO,

,?EG//BF,

ZEGO=ZFBO,

XVZEOG=ZFOB,

.".△EOG^AFOB(ASA),

；.EG=BF,

四邊形EBFG是平行四邊形,

由折疊可知BE=EG,

則四邊形EBFG為菱形,

故EF1.BG,GE=GF,

...①②正確；

?..四邊形EBFG為菱形，

KG平分/DGH,

；.,DGWGH,

SAGDK/SAGKH,故③錯誤：

當點F與點C重合時，BE=BF=BC=12=2AB,

NAEB=30°,NDEF=LNDEB=75°,故④正確.

2

綜合，正確的為①②④.

故選C.

【點睛】本題考查矩形的性質，菱形的判斷，折疊的性質，關鍵在于結合圖形對線段和角度進行轉換.

押題沖關

7.（2023?廣東深圳?校聯考模擬預測）二次函數y=a/+/7x+c,的圖象如圖所示，以下結論正確的個數為（）

@abc<0；②c+2a<0；?9a—3b+c=Q；@am2—a+bm+b>0（"?為任意實數）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】由拋物線開口方向得到。>0,利用拋物線的對稱軸方程得到b=2〃>0,由拋物線與y軸的交點在

x軸的下方得到c<0,則可對①進行判斷；利用x=l,a+b+c=（）得到c=-3a,則c+2a=-a,于是可對

②進行判斷；利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點坐標為（-3,0）,則可對③進行判斷：由于

戶-1時，y有最小值，則可對④進行判斷.

【詳解】解：；拋物線開口向上，

??a>0,

?..拋物線的對稱軸為直線工=-3=-1,

2a

b=2a>0,

?.?拋物線與〉軸的交點在X軸的下方，

??cv0,

abc<0,所以①正確；

=l時，y=o,

?*.a+b+c=G，

c=-a-2a=-3a,

**?c+2a——3a+2。——u<0，所以②正確；

???拋物線的對稱軸為直線,拋物線與X軸的一個交點坐標為(1,0),

.?.拋物線與x軸的另一個交點坐標為(-3,0),

.,.當x=-3時，y=0,

即9a-3/?+c=(),所以③正確；

—1時，y有最小值，

*,?a-b+c<am2+bm+c(機為任意實數)，

am2—a+bm+b>0>所以④錯誤；

綜上，①②③正確，

故選：C.

【點睛】本題考查二次函數圖象與性質等知識，涉及的知識點有拋物線的對稱軸、拋物線與〉，軸的交點、二

次函數的最值等，是重要考點，難度較易，掌握二次函數圖象與性質是解題關鍵.

8.(2023?廣東深圳?校聯考模擬預測)如圖，ZABC=ZADB=9Q°,DA=DB,若3C=2,AB=4,則點。

到AC的距離是()

A.也^B.色5C,生叵D.至

6554

【答案】B

【分析】過點。作QF1AC,垂足為尸，過點。作。GLC8,交CB的延長線于點G,在Rt/XABC中，

利用勾股定理可求出AC的長，再利用等腰直角三角形的性質可得ND84=/DA5=45。，AD=BD=2垃,

然后在RtZkOBG中，利用銳角三角函數的定義求出OG的長，最后根據△ADC的面積fABC的面積

+..ADB的面積DBC的面積進行計算即可解答.

【詳解】解：過點。作0F1AC,垂足為尸，過點。作￡）G_LC8,交C8的延長線于點G,

ZABC=90°,BC=2,AB=4,

AC=《AB'+BC?=742+22=2石，

ZADB=90°,DA=DB,

:.ZDHA=ZDAB=45°,AD=BD=^=^==272,

ZABC=90°,

ZABG=1800-ZABC=90°,

NDBG=90°-/DBA=45°,

在RtADBG中，DB=20，

DG=￡>B-sin45°=2^—=2,

2

.'ADC的面積=ABC的面積+.4)3的面積-_￡>3c的面積,

:.-ACDF=-ABBC+-ADDB--BCDG

2222

.?.-X2V5-DF=-X4X2+-X2>/2X2V2--X2X2,

2222

:.45DF=4+4-2,

:.DF=—,

5

..?點。到AC的距離是拽，

5

故選：B.

【點睛】本題考查了等腰直角三角形，點到直線的距離，利用了勾股定理，銳角三角函數，根據題目的已

知條件結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵.

9.（2023?廣東珠海?統考一模）如圖，。。與/a的兩邊相切，若/a=60。，則圖中陰影部分的面積S關于

。。的半徑r的函數圖象大致是（）

【分析】過0點作兩切線的垂線，垂足分別為A、B,連接0尸，如圖，利用切線的性質得OA=OB=r,根

據切線長定理得到/APO=NBPO=30。，則AP=V5OA=Gr,再利用四邊形內角和計算出/40B=120。,

接著利用扇形面積公式得到S=（V3-1n）產（r>0）,然后根據解析式對各選項進行判斷.

【詳解】過。點作兩切線的垂線，垂足分別為A、B,連接0P,如圖，則O4=OB=r,NAPO=NBPO=

30°,:.AP=0OA=0r.

N0AP=N0BP=9G。,：.ZAOB=180°-a=180°-60°=120°,：.S^Sm^AOBP-Sr?

幣r-l20mr=（有一:）杉（r>0）.

3603

【點睛】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑.也考查了二次函數的圖象.

10.（2023?廣東東莞?校考一模）如圖，二次函數丫=2*2+6*+<:的圖象開口向上，對稱軸為直線x=l,圖象

經過（3,0）,下列結論中，正確的一項是【】

C.a-b+c<0D.4ac-b2<0

【答案】D

【詳解】A、根據圖示知，拋物線開口方向向上，則a>0,

拋物線的對稱軸x=-二=1>0；

2a

拋物線與y軸交于負半軸，則c<0,

abc>0.故本選項錯誤.

B>x=—=1,/.b=-2a,即2a+b=0.故本選項錯誤.

2a

C、：對稱軸為直線x=l,圖象經過（3,0）,

該拋物線與x軸的另一交點的坐標是（一1,0）.

...當x=-1時，y=0,即a—b+c=0.故本選項錯誤.

D、根據圖示知，該拋物線與x軸有兩個不同的交點，則△=b2-4ac>0,即4ac—b2<0.故本選項正確.

故選D.

11.（2023?廣東深圳?二模）如圖，已知在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,連接AC,動點Q以每秒1個

單位的速度沿A-B—C向點C勻速運動，同時點P以每秒2個單位的速度沿A-C—D向點D勻速

運動，連接PQ,當點P到達終點D時，停止運動，設AAPQ的面積為S,運動時間為t秒，則S與

t函數關系的圖象大致為（）

h

【答案】A

9

【分析】根據題意，由矩形的性質和勾股定理，得到AC=5,則得到點P的運動時間為1秒，則對運動過程

進行分類討論：①當點P從點A運動到點C的過程，即04芯,；②點P經過點C之后，點Q到達點B時一，

59

即廣區4；③點Q經過點B后，點P到達點D停止，即分別求出S與t的關系，即可得到答

案.

【詳解】解：由矩形的性質，得/B=90。，AB=DC=4,AD=BC=3,

由勾股定理，得：上。="+42=5,

；?點P運動到點C的時間為：1秒；

點P運動到點D的時間為：一5+4=《9秒；

22

4

點Q運動到點B的時間為：1=4秒；

根據運動的情況，可分成以下三種情況：

①當點P從點A運動到點C的過程，B|JO</<|,

如圖，作PELAB于E,

DC

：.AP=2t,AQ=f,

VPE±AB,BC±AB,

.".△APE^AACB,

.PEAP

??~~,

BCAC

.clBC?AP3x2r6

??PE=-----------=-------=—t,

AC55

.?.△APQ的面積為：S=-AQ?PE=-f-t=-r(0<r<-)；

22552

②點P經過點C之后，點Q到達點B時，即|<f44；

如圖，

D

1135

**?△APQ的面積為：S=-8C=—/x3=-f(—<f44)；

2222

9

③點Q經過點B后，點P到達點D停止，即如圖,

/.CQ=3—(t—4)=7—t,

*，?AAPQ的面積為：S=Sgpc+S^CQ-S&PCQ，

：.S=^PC?AD+^CQ*AB-^PC?CQ

=^x(2f-5)x3+^x(7-r)x4-^x(2r-5)x(7-Z)

c15c/21935、

=3t---+14-2z-(-r+-t------)

222

17o

=t2——1+24(4<f<-)；

22

AS與t函數關系的圖象大致為A選項中的圖像；

故選：A.

【點睛】本題考查了動點問題的函數圖象，矩形的性質，勾股定理，以及二次函數的性質，解題的關鍵是

根據x的取值范圍表示出S與x之間的函數關系式.

12.(2023?廣東廣州?統考一模)如圖，菱形A8CD中，ZB=60°MB=2.動點P從點B出發，以每秒1個

單位長度的速度沿折線AC運動到點C,同時動點。從點A出發，以相同速度沿折線ACrCD運動

到點。，當一個點停止運動時，另一點也隨之停止.設△APQ的面積為y,運動時間為x秒.則下列圖象能

大致反映y與x之間函數關系的是()

AD

Q

BC

【答案】A

【分析】由菱形的性質可證“BC和AAOC都是等邊三角形，可得AC=AB=2,/BAC=60。=乙4。￡),分

兩種情況討論，由銳角三角函數和三角形的面積公式可求y與x之間函數關系，由二次函數的性質可求解.

【詳解】當04x42時，如圖1,過點。作。"于點”,

圖1

由題意得BP=AQ=x,

?菱形WO中，NB=60°,A8=2,

AB=BC=CD=AD=2,ZB=AD=6O°,

"8(7和4AOC都是等邊三角形，

AC=AB=2,ABAC=ZACD=60°,

sin/ft4C=也，

AQ

:.HQ=AQs'in600=^-x,

■■△APQ的面積y='(2-x)x^=-立。一1尸+立,

當2<xW4時，如圖2,過點。作QNLAC于點N,

rD

圖2

由題意得AP=CQ=X_2,

,sinZAC或強=迫，

CQ2

NQ=與(x-2),

△AP。的面積y=；(x-2)x5(X_2)=￥(X-2)2,

該圖象開口向上，對稱軸為直線x=2,

,2<xM4時，y隨x的增大而增大，

.?.當x=4時，y有最大值為7L

故選：A.

【點睛】本題考查了動點問題的函數圖象，菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，銳角三角函數，二次

函數的性質等知識，利用分類討論思想解決問題是本題的關鍵.

13.(2023?廣東廣州?統考一模)二次函數丫=以2+公+。(4H0)的圖象如圖所示，則下列結論中正確的有

()個

@ahc>0；②4a+2/?+c<0；③函數的最大值為a+/?+c；④當一3<x<l時，y20；⑤x<-l時，y隨x增

【答案】A

【分析】由拋物線的開口方向判斷。與o的關系，由拋物線與y軸的交點判斷。與o的關系，然后根據對稱

軸及拋物線與*軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷.

【詳解】解：由圖可知：拋物線開口向下，對稱軸為直線x=-i=-=，與y軸的交點在y軸的正半軸，

2a

??a<0,b-2cl,c>0,

：.b<0,

ahc>0,故①正確；

由圖可知：當x=2時，圖像在x軸下方，

則y=4〃+勸+c<0,故②正確；

當x=-l時，函數取最大值，且為y=a-6+c,故③錯誤；

?.?對稱軸為直線％=-1,圖像與x軸交于(1,0),

圖像與x軸的另一個交點為(-3,0),

???拋物線開口向下，

...當一34x41時，>>>0,故④正確；

???拋物線開口向下，對稱軸為直線

x<-i時，y隨x增大而增大，故⑤正確；

...正確的有①②④⑤，共4個，

故選A.

【點睛】本題主要考查圖象與二次函數系數之間的關系，解題的關鍵是會利用對稱軸的范圍求2a與人的關

系.

14.(2023?廣東深圳?統考二模)如圖，四邊形A8C。的對角線AC和30相交于點E.若NABC=N4C￡>=90。，

且AC=8,AB=3,60=15,則8c的長為()

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

［分析］過點。作。F，5c交BC的延長線于點F,證明VCDF^VACB(AAS),得到DF=BC,CF=AB,

令DF=BC=x,則BF=x+3,運用勾股定理可求得8尸+OF?=BO?，代入求出x即可.

【詳解】解：過點。作OF18c交BC的延長線于點凡

NF=NBHC=9Q。,

'：ZABC=ZACD=90°,

：.ZF=ZABC,

'：ZACB+ZBAC=90°,ZACB+ZDC尸=90°,

NDCF=NBAC,

在二CDF和ZMCB中，

NF=ZABC

"ZDCF=NBAC

CD=AC

：.VCDF^VACB(AAS),

:.DF=BC,CF=AB,

'：AB=3,BD=\5,

：.CF=3,

在RtZ\B。尸中，BF2+DF2=BD2^

令DF=BC=x,則BF=x+3,

：.(X+3)2+X2=152

解得：X,=9^2=-12(舍去)，

DF=BC=9,

故選：C.

【點睛】此題是一道幾何綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，勾股定理，正確添加輔助線構造

全等三角形是解題的關鍵.

15.（2023?廣東湛江?校考一模）如圖，在正方形A8C。中，ABPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別

交A￡＞于點E,F,連接8￡＞、DP,與CF相交于點”，給出下列結論：①ZDPC=75°；②CP=2/1E；

DF2

③「;不；④△FP4APHB.其中正確結論的個數是（）

BC3

【答案】B

【分析】①根據正方形和等邊三角形的性質可得PC=CD、NPCD=3O。，然后根據三角形內角和求得/DPC

即可判斷；②證明△ABEgZkOC尸，根據全等三角形的性質得出"'=AE,進而得出AE=gbC；③根據

tan30°=—=即可求解；④根據兩角相等兩個三角形相似即可解答.

CD3

【詳解】解：①：四邊形A3。是正方形，

.*.48=90°,BC=CD,

???_8CP是等邊三角形，

^PBC=ZPCB=ZBPC=60P,BP=BC,

：.ZPCD=30°,BC=PC,

：.PC=CD,

■eno_q。。

/.ZDPC=-———=75°,故①正確；

2

②???8CP是等邊三角形，四邊形A88是正方形，

Z.NABE=ZDCF=90°-60°=30°,AB=DC,ZA=NFDC=90°,

，4ABE/ADCF,

；?DF=AE,

又；ZFCD=30°,

：.FD=-FC,

2

g|JAE=-FC,

2

CF=2AE,故②正確；

③Y/PCD=30°,

.t.noFDG

CD3

,:CD=BC

.?.空=立，故③錯誤；

BC3

■:AD//BC.

：./DFP=4BCP=NBPH=60。,

9：ZPHB=ZPCB+ZCBH=600+45°=105°,

又,：CD=CP,ZPCD=30°,

：.ZCPD=ZCDP=75°,

Z.ZDPF=105°,

:./PHB=ZDPF,

:?一DFPBPH,故④正確,

故選：B.

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質、等邊三角形的性質、正方形的性質、直角三角形30度角

的性質等知識，靈活運用相關性質是解答本題的關鍵.

2

16.（2023?廣東珠海?校考一模）如圖，已知第一象限內的點A在反比例函數y=4的圖象上，第二象限的點

x

k

B在反比例函數y=—的圖象上，.MOA±OB,tanA=2,則k的值為（）

x

【答案】D

【分析】過點A、B分別作AC，x軸、BD，x軸，垂足分別為點C、D,如圖，易證△AOCS/MDBD,則

根據相似三角形的性質可得％夕=（絲■￥=」，再根據反比例函數系數k的幾何意義即可求出k的值.

S&B8VOB）4

【詳解】解：過點A、B分別作ACLx軸、BDLx軸，垂足分別為點C、D,如圖，則/ACO=/BDO=90。，

ZOAC+ZAOC=90°,

.,.ZOAC=ZBOD,

AAAOC^AOBD,

**SA0C=—x2=1,S^BOD=—|X:|,

11

.??場二鼠/.KI=8,

Vk<0,

k=-8.

故選：D.

【點睛】本題考查了反比例函數系數k的幾何意義、相似三角形的判定和性質以及三角函數的定義等知識,

熟練掌握所學知識、明確解答的方法是解題的關鍵.

17.（2023?廣東惠州?統考一模）二次函數尸++bx+c的圖像如圖所示，有下列結論：

?abc>Q；@4a+2b+c<0；?a+h>x（ax+b）；④3a+c>0.

其中正確的有（）

【分析】由拋物線的開口方向、與），軸交點以及對稱軸的位置可判斷。、從c的符號，由此可判斷①正確;

由拋物線的對稱軸為x=l，可知x=2時和x=0時的），值相等可判斷②正確；

由圖知x=l時二次函數有最小值，可判斷③錯誤：

由拋物線的對稱軸為x=l可得b=-2a,因止匕y=ox2—2ox+c,根據圖像可判斷④正確.

【詳解】①：拋物線的開口向上，

:.a>Q.

??,拋物線與y軸交點在y軸的負半軸上，

r.c<0.

由一>0得，b<0

2a

ahc>0

故①正確.

②由拋物線的對稱軸為x=l,可知x=2時和x=0時的y值相等.

由圖知x=0時，y<0,

，x=2時，y<0.

即4a+%+c<0.

故②正確.

③由圖知x=l時二次函數有最小值

:.a+b+c<ax2+bx+c

:.a+b<ax2+bx

a+b<x(ax+b)

故③錯誤.

④由拋物線的對稱軸為x=l可得-導1

:.b=-2a,

y=ax2-2ax+c

當-1時，y=a+2a+c=3a+c.

由圖知x=-l時y>0,

3a+c>0.

故④正確.

綜上所述：正確的是①②④.

故選B.

【點睛】本題主要考查了二次函數的圖像與系數的關系，二次函數的對稱軸及頂點位置.熟練掌握二次函

數圖像的性質及數形結合是解題的關鍵.

18.（2023?廣東珠海?珠海市前山中學校聯考一模）如圖所示是拋物線嚴加+云+c（a<0）的部分圖像，其

頂點坐標為。,〃），且與x軸的一個交點在點（3,0）和（4,0）之間，則下列結論：①a-b+c>0；②3a+c>0；

其中正確的結論個數是（）

D.4個

【分析】根據拋物線的頂點坐標和對稱性可得到拋物線與與x軸的另一個交點在點（-2,0）和（-1,0）之間，又

開口向下可判斷①；根據對稱軸方程可得到6=-勿，進而可判斷②；根據頂點坐標公式可判斷③；由函數

的最大值丫=〃結合圖像可判斷④.

【詳解】解：拋物線的頂點坐標為

拋物線的對稱軸為x=l,

V拋物線與x軸的一個交點在點（3,0）和（4,0）之間，

???拋物線與與x軸的另一個交點在點（-2,0）和（-1,0）之間，又開口向下，

.,.當戶一1時，y=a-h+c>0,故①正確；

???拋物線的對稱軸為直線*=-3=1,

2a

h=-2a,

**?d—b-\-c—3ci+c>0,故②）正確；

???拋物線的頂點坐標為

b2=4ac-4an=4?（c-n）,故③正確；

???該函數的最大值為）'=〃，

，一元二次方程招2+法+°=〃-2有兩個不相等的實數根，故④錯誤，

綜上，正確的結論有3個，

故選：C.

【點睛】本題考查二次函數的圖像與性質、拋物線與坐標軸的交點問題、二次函數與方程和不等式的關系,

熟練掌握二次函數的圖像與性質，利用數形結合思想求解是解答的關鍵.

19.（2022?廣東江門?統考一模）如圖，函數產加+法+c經過點（3,0）,對稱軸為直線x=l,下列結論:

①層-4ac>0;②abc>0；③9a-3b+c=0；?5a+b+c—0；⑤若點A(a+1,y)、B(a+2,%)，則其

中結論的正確的有（）

C.3個D.4個

【答案】D

【分析】①根據圖象與x軸有兩個交點，A>0即可判斷；

②根據圖象的開口方向、對稱軸、圖象與y軸的交點即可判斷:

③根據圖象可得對稱軸為直線廣1,與X軸的一個交點為（3,0）,則另一個交點為（-1,0）,再根據拋物

線增減性即可判斷；

④根據圖象拋物線與x軸的一個交點為（3,0）,可得9a+36+c=0,對稱軸為x=l,可得b=-2a,將2氏-4。代

入9a+3Hc=0,即可判斷；

⑤根據圖象可得。>0,即可得出1<。+1<。+2,再結合對稱軸為直線x=l,運用二次函數增減性即可判斷.

【詳解】解：①???拋物線與x軸有兩個交點，

.,.△>0,

..b2-4ac>0,

???①正確；

②???拋物線開口向上，

，4>0,

???拋物線對稱軸在y軸右側，

〃與a異號，即〃V0,

.拋物線與y軸交點在x軸下方，

.,.c<0,

.".abc>0,

...②正確；

③???拋物線對稱軸為直線x=l,與x軸的一個交點為（3,0）,

...拋物線與x軸的另一個交點為（-1,0）,

:拋物線開口向上，在對稱軸左側），隨x增大而減小，

.,.當x=-3時,y>0,

/.-3b+c>0,

.?.③錯誤；

④???拋物線與x軸的一個交點為（3,0）,

9〃+3b+c=0,

???拋物線對稱軸為x=l,

,b_

??----——1,

2a

:?b=-2a,

9a+3h+c=9a+2h+h+c=9a~4a+h+c=5a+h+c=0f

.?.④正確；

1Va+1Va+2,

???拋物線對稱軸為直線x=l,拋物線開口向上，在對稱軸右側y隨X增大而增大，

y2Vo，

，⑤正確；

綜上所述，①②④⑤正確；

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數圖象和性質，二次函數圖象與系數的關系，二次函數圖象上點的坐標特征，

解決本題的關鍵是綜合運用二次函數的相關知識.

20.（2023?廣東珠海?校考一模）二次函數卜=G2+必+4。#0）的圖像的一部分如圖所示，已知圖像經過點

（-1,0）,其對稱軸為直線x=l.下列結論：①而c<0；②/-4ac<0;③8a+c<0；④9a+3b+2c<0；

⑤點Cd，*）。（孫冉）是拋物線上的兩點，若玉<々，則⑥若拋物線經過點（-3,〃），則關于x的一

元二次方程加+瓜+c-〃=0（a￥0）的兩根分別為-3,5；其中正確的有（）

【分析】根據二次函數的性質和函數圖像可得。<0、-二=1、c>0、a-b+c=O,然后再進行適當變形即

2a

可解答.

【詳解】解：；拋物線的開口向下,

?*.a<Q.

拋物線與y軸的正半軸相交，

cX）.

???拋物線的對稱軸為直線x=l,

---=1,即〃=-2a>0

2a

**-ahc<0,故①正確;

??,拋物線與x軸有兩個交點

b2-4tzc>0,故②錯誤；

??,拋物線經過點（-1,0）

a-b+c=O

b=-2a

a-（—2a）+c=0,即3a+c=0.

8a+c=3a+c+5a=5a<0,故③正確；

?；拋物線經過點（-1,0）,且對稱軸為直線x=l,

拋物線也過點（3,0）,

...當x=3時，y=0,即9a+勸+c=0.

Vc>0,

/.9a+3h+2c=9a+3h+c+c=c>0,故④錯誤；

??,對稱軸為直線x=l,

...當x<l時，X,<x2,則,<必；當當X>1時，X,<x2,則%>必，故⑤錯誤；

???拋物線經過點（-3,"）,其對稱軸為直線x=l,

根據對稱性可知：拋物線必經過點（5,〃），

當尸〃時，x=—3或5.

二關于x的一元二次方程a^+fer+c-”=0（aw0）的兩根分別為-3,5,故⑥正確

綜上，正確的結論有：①③⑥.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了拋物線與二次函數系數之間的關系、二次函數與方程等知識點，利用對稱軸的范

圍求2a與人的關系以是解答本題的關鍵.

21.（2023?廣東東莞?東莞市東城實驗中學校聯考一模）如圖，AB是半圓O的直徑，且AB=4cm,動點P

從點O出發，沿OATAB—BO的路徑以每秒1cm的速度運動一周.設運動時間為t,s=OP2,則下列圖象

能大致刻畫s與t的關系的是（）

【答案】C

【分析】在半徑AO上運動時，s=OP2=t2；在弧BA上運動B寸，s=OP2=4；在BO上運動時，s=OP2=（4兀+4-t）

2,s也是t是二次函數；即可得出答案.

【詳解】解：利用圖象可得出：當點P在半徑AO上運動時，s=OP2=t2；

在弧AB上運動時，s=OP2=4；

在OB上運動時，s=OP2=（2兀+4-t）2.

結合圖像可知C選項正確

故選：C.

【點睛】此題考查了動點問題的函數圖象，能夠結合圖形正確得出s與時間t之間的函數關系是解決問題的

關鍵.

22.（2023?廣東廣州?統考一模）如圖，在平面直角坐標系中，點4（6,0）,8（0,8）,點C從。出發，以每秒1個

7

單位長度的速度沿折線。-A-5運動了8.5秒，直線匕上有一動點"，軸上有一動點瓦當

0。+￡）后+￡'。的和最小時，點￡的坐標為（）

AX

A-B.（0，｛|。.嗚）D.（0,：）

【答案】B

7

【分析】作點。關于x=W對稱的點尸，作點C關于y軸的對稱點G,連接叩交）軸