PAGE1-5.3.5隨機事務的獨立性[A基礎達標]1.如圖，用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個系統．當K正常工作且A1、A2至少有一個正常工作時，系統正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次為0.9、0.8、0.8，則系統正常工作的概率為()A．0.960 B．0.864C．0.720 D．0.576解析：選B.可知K、A1、A2三類元件正常工作相互獨立．所以當A1，A2至少有一個正常工作的概率為P＝1－(1－0.8)2＝0.96，所以系統正常工作的概率為PK·P＝0.9×0.96＝0.864.2．一件產品要經過2道獨立的加工程序，第一道工序的次品率為a，其次道工序的次品率為b，則產品的正品率為()A．1－a－b B．1－abC．(1－a)(1－b) D．1－(1－a)(1－b)解析：選C.設A表示“第一道工序的產品為正品”，B表示“其次道工序的產品為正品”，則P(AB)＝P(A)P(B)＝(1－a)(1－b)．3．(2024·陜西省西安中學段考)從某地區的兒童中選擇體操學員，已知兒童體型合格的概率為eq\f(1,5)，身體關節構造合格的概率為eq\f(1,4).從中任挑一兒童，這兩項至少有一項合格的的概率是(假定體型與身體關節構造合格與否相互之間沒有影響)()A.eq\f(13,20) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,4) D.eq\f(2,5)解析：選D.法一：所求概率P＝eq\f(1,5)×eq\f(3,4)＋eq\f(4,5)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(3＋4＋1,20)＝eq\f(8,20)＝eq\f(2,5).法二：所求概率P＝1－eq\f(4,5)×eq\f(3,4)＝1－eq\f(3,5)＝eq\f(2,5).4．(2024·河南省鄭州市中原區月考)一道競賽題，A，B，C三人可解出的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，則三人獨立解答，僅有一人解出的概率為()A.eq\f(1,24) B.eq\f(11,24)C.eq\f(17,24) D.1解析：選B.所求概率P＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,12)＝eq\f(11,24).5．某大街在甲、乙、丙三處設有紅、綠燈，汽車在這三處因遇綠燈而通行的概率分別為eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，則汽車在這三處因遇紅燈而停車一次的概率為()A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,3) D.eq\f(7,18)解析：選D.設汽車分別在甲、乙、丙三處通行為事務A，B，C，則P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(C)＝eq\f(2,3)，停車一次即為事務eq\o(A,\s\up10(－))BC＋Aeq\o(B,\s\up10(－))C＋ABeq\o(C,\s\up10(－))的發生，故概率P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(7,18).6．在甲盒內的200個螺桿中有160個是A型，在乙盒內的240個螺母中有180個是A型．若從甲、乙兩盒內各取一個，則能配成A型螺栓的概率為________．解析：從甲盒內取一個A型螺桿記為事務M，從乙盒內取一個A型螺母記為事務N，因事務M，N相互獨立，則能配成A型螺栓(即一個A型螺桿與一個A型螺母)的概率為P(MN)＝P(M)·P(N)＝eq\f(160,200)×eq\f(180,240)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)7．已知A，B，C相互獨立，假如P(AB)＝eq\f(1,6)，P(eq\o(B,\s\up10(－))C)＝eq\f(1,8)，P(ABeq\o(C,\s\up10(－)))＝eq\f(1,8)，則P(eq\o(A,\s\up10(－))B)＝________．解析：依題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（AB）＝\f(1,6)，,P（eq\o(B,\s\up10(－))C）＝\f(1,8)，,P（ABeq\o(C,\s\up10(－))）＝\f(1,8)，))解得P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(C)＝eq\f(1,4).所以P(eq\o(A,\s\up10(－))B)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)8．在某道路A，B，C三處設有交通燈，這三盞燈在一分鐘內開放綠燈的時間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車在這條道路上勻速行駛，則三處都不停車的概率為________．解析：由題意可知，每個交通燈開放綠燈的概率分別為eq\f(5,12)，eq\f(7,12)，eq\f(3,4).某輛車在這個道路上勻速行駛，則三處都不停車的概率為eq\f(5,12)×eq\f(7,12)`×eq\f(3,4)＝eq\f(35,192).答案：eq\f(35,192)9．已知電路中有4個開關，每個開關獨立工作，且閉合的概率為eq\f(1,2)，求燈亮的概率．解：因為A，B斷開且C，D至少有一個斷開時，線路才斷開，導致燈不亮，P＝P(eq\o(A,\s\up10(－))eq\o(B,\s\up10(－)))[1－P(CD)]＝P(eq\o(A,\s\up10(－)))P(eq\o(B,\s\up10(－)))·[1－P(CD)]＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)×\f(1,2)))＝eq\f(3,16).所以燈亮的概率為1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).10．有三種產品，合格率分別是0.90，0.95和0.95，各抽取一件進行檢驗．(1)求恰有一件不合格的概率；(2)求至少有兩件不合格的概率(精確到0.001)．解：設從三種產品中各抽取一件，抽到合格品的事務為A、B、C.(1)因為P(A)＝0.90，P(B)＝P(C)＝0.95，所以P(eq\o(A,\s\up10(－)))＝0.10，P(eq\o(B,\s\up10(－)))＝P(eq\o(C,\s\up10(－)))＝0.05.因為事務A、B、C相互獨立，恰有一件不合格的概率為：P(A·B·eq\o(C,\s\up10(－)))＋P(A·eq\o(B,\s\up10(－))·C)＋P(eq\o(A,\s\up10(－))·B·C)＝P(A)·P(B)·P(eq\o(C,\s\up10(－)))＋P(A)·P(eq\o(B,\s\up10(－)))·P(C)＋P(eq\o(A,\s\up10(－)))·P(B)·P(C)＝2×0.90×0.95×0.05＋0.10×0.95×0.95≈0.176.(2)法一：至少有兩件不合格的概率為P(A·eq\o(B,\s\up10(－))·eq\o(C,\s\up10(－)))＋P(eq\o(A,\s\up10(－))·B·eq\o(C,\s\up10(－)))＋P(eq\o(A,\s\up10(－))·eq\o(B,\s\up10(－))·C)＋P(eq\o(A,\s\up10(－))·eq\o(B,\s\up10(－))·eq\o(C,\s\up10(－)))＝0.90×0.052＋2×0.10×0.05×0.95＋0.10×0.052＝0.012.法二：三件產品都合格的概率為P(A·B·C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝0.90×0.952≈0.812.由(1)知，恰有一件不合格的概率為0.176，所以至少有兩件不合格的概率為1－[P(A·B·C)＋0.176]＝1－(0.812＋0.176)＝0.012.[B實力提升]11．從甲袋中摸出一個紅球的概率是eq\f(1,3)，從乙袋中摸出一個紅球的概率是eq\f(1,2)，從兩袋各摸出一個球，則eq\f(2,3)等于()A．2個球不都是紅球的概率B．2個球都是紅球的概率C．2個球至少有1個紅球的概率D．2個球中恰有1個紅球的概率解析：選C.分別記從甲、乙袋中摸出一個紅球為事務A、B，則P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,2)，由于A、B相互獨立，所以1－P(eq\o(A,\s\up10(－)))P(eq\o(B,\s\up10(－)))＝1－eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).依據互斥事務可知C正確．12．加工某一零件需經過三道工序，設第一、二、三道工序的次品率分別為eq\f(1,70)、eq\f(1,69)、eq\f(1,68)，且各道工序互不影響，則加工出來的零件的次品率為________．解析：設加工出來的零件為次品為事務A，則eq\o(A,\s\up10(－))為加工出來的零件為正品．P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up10(－)))＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,70)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,69)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,68)))＝eq\f(3,70).答案：eq\f(3,70)13．在社會主義新農村建設中，某市確定在一個鄉鎮投資農產品加工，綠色蔬菜種植和水果種植三個項目，據預料，三個項目勝利的概率分別為eq\f(4,5)，eq\f(5,6)，eq\f(2,3)，且三個項目是否勝利相互獨立．(1)求恰有兩個項目勝利的概率；(2)求至少有一個項目勝利的概率．解：(1)只有農產品加工和綠色蔬菜種植兩個項目勝利的概率為eq\f(4,5)×eq\f(5,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(2,9)，只有農產品加工和水果種植兩個項目勝利的概率為eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,6)))×eq\f(2,3)＝eq\f(4,45)，只有綠色蔬菜種植和水果種植兩個項目勝利的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))×eq\f(5,6)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,9)，所以恰有兩個項目勝利的概率為eq\f(2,9)＋eq\f(4,45)＋eq\f(1,9)＝eq\f(19,45).(2)三個項目全部失敗的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,6)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(1,90)，所以至少有一個項目勝利的概率為1－eq\f(1,90)＝eq\f(89,90).[C拓展探究]14．某公司聘請員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案．方案一：在三門課程中，至少有兩門及格為考試通過；方案二：在三門課程中，隨機選取兩門，這兩門都及格為考試通過．假設某應聘者對三門指定課程考試及格的概率分別為a、b、c，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響．(1)分別求應聘者用方案一和方案二時，考試通過的概率；(2)試比較應聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小(說明理由)．解：記該應聘者對三門指定課程考試及格的事務分別為A、B、C，則P(A)＝a，P(B)＝b，P(C)＝c.(1)應聘者用方案一考試通過的概率P1＝P(A·B·eq\o(C,\s\up10(－)))＋P(eq\o(A,\s\up10(－))·B·C)＋P(A·e