專題03用待定系數法確定二次函數表達式（1個知識點5種題型1個中考考點）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1．用待定系數法確定二次函數表達式【方法二】實例探索法題型1．根據文字信息，確定二次函數表達式題型2．根據圖像信息確定二次函數的表達式題型3．根據對稱軸或最高（低）點求二次函數表達式題型4．與二次函數相關的圖形面積問題題型5．以二次函數為載體的探究性問題【方法三】仿真實戰法考法．用待定系數法求二次函數表達式【方法四】成果評定法【學習目標】1．

能根據具體情況及已知條件，用待定系數法確定二次函數的表達式．2．

掌握二次函數表達式的幾種常見形式：一般式、頂點式、交點式，并能靈活選用恰當的二次函數表達式解決相關問題．3．

能根據條件建立關于函數表達式中待定系數的方程（組），從中體會二次函數與方程（組）的內在聯系，感悟數形結合思想．【知識導圖】【倍速學習四種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1．用待定系數法確定二次函數表達式一．待定系數法求二次函數解析式（1）二次函數的解析式有三種常見形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）；②頂點式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數，a≠0），其中（h，k）為頂點坐標；③交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數，a≠0）；（2）用待定系數法求二次函數的解析式．在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．二．二次函數的三種形式二次函數的解析式有三種常見形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0），該形式的優勢是能直接根據解析式知道拋物線與y軸的交點坐標是（0，c）；②頂點式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數，a≠0），其中（h，k）為頂點坐標，該形式的優勢是能直接根據解析式得到拋物線的頂點坐標為（h，k）；③交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數，a≠0），該形式的優勢是能直接根據解析式得到拋物線與x軸的兩個交點坐標（x1，0），（x2，0）．【例】（2022秋?啟東市校級月考）1．某二次函數的圖像過點，且它的形狀與拋物線形狀相同，開口方向相反，求這個二次函數的解析式．【變式1】2．一個二次函數的圖象經過三點．求這個二次函數的解析式．【變式2】3．一個二次函數的圖象經過三點.求這個二次函數的解析式并寫出圖象的開口方向、對稱軸和頂點.【方法二】實例探索法題型1．根據文字信息，確定二次函數表達式4．有一條拋物線，兩位同學分別說了它的一個特點：甲：對稱軸是直線x＝4；乙：頂點到x軸的距離為2，請你寫出一個符合條件的解析式：．5．老師給出一個二次函數，甲、乙兩名同學各指出這個函數的一個性質．甲：函數圖象的頂點在x軸上；乙：拋物線開口向下；已知這兩位同學的描述都正確，請你寫出滿足上述所有性質的一個二次函數表達式．6．老師給出一個二次函數，甲、乙、丙三名同學各指出這個函數的一個性質．甲：函數圖象的頂點在x軸上；乙：當x1時，y隨x的增大而減小；丙：該函數的開口大小、形狀均與函數y=x2的圖像相同已知這三位同學的描述都正確，請你寫出滿足上述所有性質的一個二次函數表達式．7．如圖，在平面直角坐標系中，有五個點，將二次函數的圖象記為W．下列的判斷中①點A一定不在W上；②點B，C，D可以同時在W上；③點C，E不可能同時在W上．所有正確結論的序號是．8．已知二次函數（是常數，）的與的部分對應值如下表：02606下列結論：①；②當時，函數最小值為；③若點，點在二次函數圖象上，則；④方程有兩個不相等的實數根．其中，正確結論的序號是．（把所有正確結論的序號都填上）題型2．根據圖像信息確定二次函數的表達式9．二次函數的圖象如圖所示，則這個二次函數的表達式為（

）A． B． C． D．10．如圖，經過原點的拋物線是二次函數的圖像，那么的值是．11．如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，過點A、C，D作拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0），點A，B，D的坐標分別為（﹣2，0），（3，0），（0，4），求拋物線的解析式．題型3．根據對稱軸或最高（低）點求二次函數表達式（2022?宜興市一模）12．請寫出一個開口向上，并且對稱軸為直線x=1的拋物線的表達式y=．13．設二次函數的圖象的頂點坐標為（﹣2，2），且過點（1，1），求這個函數的關系式．14．已知二次函數當x＝1時有最大值是﹣6，其圖像經過點（2，﹣8），求二次函數的解析式．題型4．與二次函數相關的圖形面積問題15．在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝ax2+bx﹣4經過A（﹣4，0），C（2，0）兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）若點M為第三象限內拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，△AMB的面積為S．求S關于m的函數關系式，并求出S的最大值．16．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），與y軸交于點C（0，4），頂點為（1，5）．（1）求該拋物線的函數關系式；（2）連接AC、BC，求△ABC的面積．

題型5．以二次函數為載體的探究性問題（2022秋?通州區校級月考）17．已知拋物線y＝ax2經過點A(2，1)．(1)求這個函數的解析式；(2)畫出函數的圖像，寫出拋物線上點A關于y軸的對稱點B的坐標；(3)拋物線上是否存在點C，使△ABC的面積等于△OAB面積的一半，若存在，求出C點的坐標；若不存在，請說明理由．18．如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點A（-3，0），B（1，0），與y軸交于點C（0，3），點D為拋物線的頂點．（1）直接寫出拋物線的函數表達式；（2）如圖1，拋物線的對稱軸上是否存在點F，使得△BCF周長最小，若存在求點F坐標，并求周長的最小值；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，拋物線在第二象限的部分上是否存在一點M，使得四邊形AOCM面積最大，若存在求點M坐標；若不存在，請說明理由；【方法三】仿真實戰法考法．用待定系數法求二次函數表達式（2021?無錫）19．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知二次函數，為矩形，A，B在拋物線上，當A，B運動時，點C也在另一個二次函數圖象上運動，設C，則y關于x的函數表達式為．（2023?寧波）20．如圖，已知二次函數圖象經過點和．

(1)求該二次函數的表達式及圖象的頂點坐標．(2)當時，請根據圖象直接寫出x的取值范圍．（2022?牡丹江）21．已知拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C，頂點為D．(1)求該拋物線的解析式；(2)連接BC，CD，BD，P為BD的中點，連接CP，則線段CP的長是______．注：拋物線的對稱軸是直線，頂點坐標是．（2023?紹興）22．已知二次函數．(1)當時，①求該函數圖象的頂點坐標．②當時，求的取值范圍．(2)當時，的最大值為2；當時，的最大值為3，求二次函數的表達式．（2022?黑龍江）23．如圖，拋物線經過點，點，與y軸交于點C，拋物線的頂點為D．(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線上是否存在點P，使的面積是面積的4倍，若存在，請直接寫出點P的坐標：若不存在，請說明理由．【方法四】成果評定法一、單選題（23·24九年級上·山西陽泉·階段練習）24．頂點坐標為，開口方向和大小與拋物線相同的拋物線為（

）A． B．C． D．（23·24九年級上·山西呂梁·期中）25．如圖，拋物線狀沙丘是大漠中常見的沙丘形狀，以沙丘頂端為原點建立平面直角坐標系，沙丘中兩點M，N的坐標分別為，，則的值為（

）

A．30 B．36 C．48 D．56（22·23九年級上·北京西城·期末）26．下表記錄了二次函數中兩個變量x與y的6組對應值，其中．x…13…y…m020nm…根據表中信息，當時，直線與該二次函數圖像有兩個公共點，則k的取值范圍為（

）．A． B．C． D．（22·23九年級上·山東棗莊·期末）27．若二次函數的圖象經過點，則該圖象必經過點(

)A． B． C． D．（23·24九年級上·安徽滁州·階段練習）28．二次函數的圖象如圖，且，則b等于（

）

A． B．1 C． D．（23·24九年級上·廣東珠海·期中）29．若二次函數的圖象的頂點坐標為，且拋物線過，則二次函數的解析式是（

）A． B． C． D．（22·23九年級上·陜西西安·期末）30．已知二次函數，函數y與自變量x的部分對應值如下表所示：x…013…y…366…當時，y的取值范圍是（

）A． B． C． D．（22·23九年級上·江蘇鹽城·階段練習）31．是的二次函數，其對應值如下表：|…01234……40149…下列敘述不正確的是（

）A．該二次函數的圖象的對稱軸是直線B．C．當時，隨的增大而增大D．圖象與軸有兩個公共點（2023·江蘇泰州·中考真題）32．函數y與自變量x的部分對應值如表所示，則下列函數表達式中，符合表中對應關系的可能是（

）x124y421A． B．C． D．（22·23九年級上·安徽合肥·期中）33．在中，邊的長與邊上的高的和為8，當面積最大時，則其周長的最小值為（

）A． B． C． D．二、填空題（2022·江蘇南通·一模）34．已知二次函數（a，b，c是常數，a≠0）的y與x的部分對應值如表x﹣114y3﹣33當x＝2時，函數值為．（2023·江蘇無錫·一模）35．請寫出一個函數的表達式，使其圖象是以直線為對稱軸，開口向上的拋物線：．（2023·江蘇連云港·二模）36．已知函數滿足下列兩個條件：①時，y隨x的增大而增大：②它的圖像經過點．請寫出一個符合上述條件的函數的表達式．（23·24九年級上·安徽合肥·階段練習）37．已知二次函數的圖象經過點，且頂點坐標為，則二次函數的解析式為．（2023·江蘇揚州·二模）38．已知：二次函數的圖象經過點、和，當時，y的值為．（23·24九年級上·浙江金華·階段練習）39．已知點、、、，若拋物線與四邊形的邊沒有交點，則a的取值范圍為．（23·24九年級上·安徽淮南·階段練習）40．如圖，拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于C點，在該拋物線的對稱軸上存在點Q使得的周長最小，則的周長的最小值為．

（23·24九年級上·河南洛陽·階段練習）41．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，過點作軸的平行線交拋物線于點．為拋物線的頂點．若直線交直線于點，且為線段的中點，則的值為．三、解答題（23·24九年級上·福建莆田·開學考試）42．如圖，拋物線交軸于點，交軸于點，對稱軸是直線．求拋物線的解析式．

（2023·陜西西安·模擬預測）43．如圖，拋物線：與軸交于，兩點，與軸交于點，為拋物線的頂點．(1)求拋物線的表達式．(2)將拋物線向右平移，平移后所得的拋物線與軸交于點，，交軸于點，頂點為．若，求拋物線的表達式．（2023·廣東深圳·三模）44．如圖，拋物線經過點，點，且．

(1)求拋物線的表達式；(2)如圖，點是拋物線的頂點，求的面積．（23·24九年級上·江蘇南通·階段練習）45．已知二次函數圖象的對稱軸是．(1)求二次函數的解析式；(2)將二次函數圖象繞頂點旋轉180度得到新的拋物線．得到二次函數的解析式為________；(3)若二次函數的圖象滿足當時，二次函數有最大值1，求的值．（23·24九年級上·江蘇蘇州·階段練習）46．如圖，已知二次函數圖像的頂點為原點，直線與拋物線分別交于兩點，且．

(1)求二次函數的表達式；(2)已知點在拋物線上，過點作軸，交拋物線于點，求的面積．（23·24九年級上·江蘇蘇州·階段練習）47．如圖，拋物線交軸于A，兩點，交軸于點，對稱軸是直線，，，請解答下列問題；(1)求拋物線的函數解析式；(2)直接寫出拋物線的頂點的坐標，并判斷與的位置關系，不需要說明理由．（23·24九年級上·江蘇南通·階段練習）48．如圖，已知拋物線的對稱軸為直線，且拋物線經過，兩點，與x軸交于點B．

(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求出點M的坐標及此時距離之和的最小值；(3)如果點和點在函數的圖象上，且，，求的值．（23·24九年級上·遼寧盤錦·階段練習）49．已知如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象經過點，

(1)求拋物線的表達式；(2)如圖1，點E是拋物線上的第一象限的點，求的最大值，并求取得最大值時E點坐標；(3)如圖2，在拋物線對稱軸上是否存在一點P，使是等腰三角形？若存在，直接寫出點P的坐標，若不存在請說明理由．參考答案：1．【分析】設二次函數的解析式為y＝ax2+bx+c，根據已知條件可得到，然后解方程組即可．【詳解】解：設二次函數的解析式為y＝ax2+bx+c，與拋物線形狀相同，開口方向相反，又圖像過點代入得：，解得：．二次函數的解析式為：．【點睛】本題考查了用待定系數法求二次函數的解析式．在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．2．y＝4x2＋5x【分析】根據待定系數法求二次函數解析式，根據題意將已知點的坐標點代入，列出方程組求解即可．【詳解】解：設這個二次函數的解析式為，分別把（0，0），（－1，－1），（1，9）代入，得解得a＝4，b＝5，c＝0，所以這個二次函數的解析式為y＝4x2＋5x．【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，掌握待定系數法是解題的關鍵．3．,圖象開口向上，對稱軸直線，頂點.【分析】首先根據待定系數法求解二次函數的解析式，再根據二次函數的系數確定拋物線的開口方向，對稱軸，和公式法計算頂點坐標.【詳解】設二次函數的解析式為.由已知，函數的圖象經過三點，可得解這個方程組，得，，.所求二次函數的解析式為,圖象開口向上，對稱軸直線，頂點.【點睛】本題主要考查二次函數拋物線解析式的計算、拋物線的性質，這是考試的必考點，必須熟練掌握.4．（答案不唯一）．【分析】由題意，得到拋物線的頂點坐標為或，然后判斷開口方向，即可得到拋物線的解析式．【詳解】解：根據題意，∵拋物線的對稱軸是直線x＝4，頂點到x軸的距離為2，∴拋物線的頂點坐標為或，∴符合條件的解析式為：；（答案不唯一）故答案為：．（答案不唯一）【點睛】本題考查了二次函數的性質，解題的關鍵是掌握題意，正確得到拋物線的頂點坐標．5．y＝﹣（x﹣1）2，（答案不唯一）【分析】根據頂點在x軸上，開口方向向下，可以確定該函數的形式為y＝﹣a（x﹣b）2（a＞），即可確定答案.【詳解】解：根據題意知，滿足上述所有性質的二次函數可以是：y＝﹣a（x﹣b）2（a＞），寫出一個滿足該形式的解析式即可，如y＝﹣（x﹣1）2,答案不唯一.故答案為y＝﹣（x﹣1）2，（答案不唯一）．【點睛】本題考查了二次函數圖像的性質，解題的關鍵在于熟記并靈活運用二次函數解析式——頂點式.6．．【分析】根據已知條件知，此二次函數解析式形為，且a=1，h≥1，據此可得．【詳解】解：根據題意知，函數圖象的頂點在x軸上，設函數的解析式為；該函數的開口大小、形狀均與函數y=x2的圖像相同當x1時，y隨x的增大而減小；所以取滿足上述所有性質的二次函數可以是：，故答案為：，（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查待定系數法求二次函數解析式，解題的關鍵是掌握二次函數的圖象和性質及及其解析式．7．①②【分析】由m≠0可得點A不在拋物線上，故可判斷①；先根據B，C兩點坐標求出函數關系式，再把D點坐標代入即可判斷點D是否在函數圖象上；將C、E兩點坐標代入，能求出a，m則可判斷出C、E均在函數圖象上，否則，則不在函數圖象上.【詳解】由二次函數知其頂點坐標為（2，m），而m≠0，故（2，0）不在函數圖象上，所以，點A不在函數圖象上，即點A一定不在W上，故①正確；把C（-2，4），B（0，-2）代入得，，解得，，∴當x=4時，y=-2,所以，點D在函數的圖象上，因此，點B，C，D可以同時在W上，故②正確；把C（-2，4），E（7，0）分別代入得，，解得，∴所以，點C，E可能同時在W上，故③錯誤.故答案為：①②.【點睛】此題主要考查了二次函數的圖象與性質，運用待定系數法求二次函數解析式是解答本題的關鍵.8．①③④【分析】先根據表格中的數據利用待定系數法求出拋物線的解析式，進而可直接判斷①；由拋物線的性質可判斷②；把點和點代入解析式求出y1、y2即可③；當y=﹣5時，利用一元二次方程的根的判別式即可判斷④，進而可得答案．【詳解】解：由拋物線過點（﹣5，6）、（2，6）、（0，﹣4），可得：，解得：，∴二次函數的解析式是，∴a=1＞0，故①正確；當時，y有最小值，故②錯誤；若點，點在二次函數圖象上，則，，∴，故③正確；當y=﹣5時，方程即，∵，∴方程有兩個不相等的實數根，故④正確；綜上，正確的結論是：①③④．故答案為：①③④．【點睛】本題以表格的形式考查了待定系數法求二次函數的解析式、二次函數的性質以及一元二次方程的根的判別式等知識，屬于常考題型，熟練掌握二次函數與一元二次方程的基本知識是解題的關鍵．9．B【分析】根據題意，由函數圖像的對稱軸及與x軸的一個交點，則可以知道函數與x軸的另一個交點，再根據待定系數法求解函數解析式即可．【詳解】根據題意，二次函數對稱軸為，與x軸的一個交點為，則函數與x軸的另一個交點為，故設二次函數的表達式為，函數另外兩點坐標，可得方程組，解得方程組得，所以二次函數表達式為．故答案為B．【點睛】本題考查了用待定系數法求函數表達式的方法和二次函數的對稱軸的問題，同時考查學生解方程組的知識，是比較常見的題目．10．-1【分析】根據圖示知，的圖象經過（0，0），所以將點（0，0）代入方程，利用待定系數法即可求解．【詳解】解：根據圖示知，二次函數的圖象經過原點（0，0），∴0＝a+1，解得，a＝-1；故答案為：?1．【點睛】本題主要考查了二次函數的待定系數法，要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來解答問題．11．【分析】根據平行四邊形的性質求出點C的坐標，再利用待定系數法即可求出拋物線的解析式．【詳解】解：∵點A、B、D的坐標分別為（﹣2，0）、（3，0）、（0，4），且四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD＝5，∴點C的坐標為（5，4），∵拋物線過點A、C、D，，解得，故拋物線的解析式為．【點睛】本題主要考查利用待定系數法求二次函數的解析式，掌握待定系數法求二次函數的解析式的方法是解題的關鍵．12．（x﹣1）2．【分析】根據二次函數的性質，所寫出的函數解析式滿足a＞0，c=0即可．【詳解】符合的表達式是y=（x﹣1）2．故答案為：（x﹣1）2．【點睛】本題考查了用待定系數法求二次函數的解析式和二次函數的性質，能熟記二次函數的性質的內容是解此題的關鍵．13．y＝﹣（x+2）2+2．【分析】由于已知拋物線的頂點坐標，則可設頂點式y=a（x+2）2+2，然后把點（1，1）代入求出a的值即可．【詳解】解：設這個函數的關系式為y＝a（x+2）2+2，把點（1，1）代入y＝a（x+2）2+2得9a+2＝1，解得a＝﹣，所以這個函數的關系式為y＝﹣（x+2）2+2．【點睛】本題考查的知識點是待定系數法求二次函數解析式，解題的關鍵是熟練的掌握待定系數法求二次函數解析式.14．y＝﹣2（x﹣1）2﹣6【分析】由于已知拋物線的頂點坐標，則可設頂點式y＝a（x﹣1）2﹣6，然后把（2，﹣8）代入求出a的值即可．【詳解】解：設拋物線解析式為y＝a（x﹣1）2﹣6，把（2，﹣8）代入得a（2﹣1）2﹣6＝﹣8，解得a＝﹣2，拋物線解析式為y＝﹣2（x﹣1）2﹣6．【點睛】本題主要考查利用待定系數法求二次函數的解析式，掌握利用定系數法求二次函數的解析式的方法是解題的關鍵．15．（1）；（2）S關于m的函數關系式為，S的最大值為4．【分析】（1）將將A（﹣4，0），C（2，0）代入y＝ax2+bx﹣4，可求出a,b，即可確定解析式；（2）過點M作MN⊥AC于點N，可得，從而得到S關于m的函數關系式，再利用函數的性質得出最大值，即可求解．【詳解】解（1）將A（﹣4，0），C（2，0）代入y＝ax2+bx﹣4，得：，解得：，∴拋物線解析式為：；（2）如圖，過點M作MN⊥AC于點N，∵拋物線與y軸交于點B，當時，，∴，即OB=4，∵點M為第三象限內拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，∴，∴，，∴，∴，∴當時，S有最大值，最大值為，∴S關于m的函數關系式為，S的最大值為4．【點睛】本題考查待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的最值，用待定系數法求出二次函數的關系式是解決問題的關鍵．16．（1）；（2）【分析】（1）由條件直接設出拋物線的頂點式，把C點的坐標代入解析式就可以求出值，從而求出解析式；（2）連接AC、BC，利用解析式求出A、B的坐標，從而求出AB的值，由三角形的面積公式就可以求出△ABC的面積．【詳解】解：（1）設拋物線的解析式為，把C（0，4）代入中得：，，拋物線的解析式為：；（2）如圖所示：

連接AC、BC，拋物線的解析式為，當時，則，，，，，，．【點睛】本題考查二次函數綜合題，設計了拋物線的頂點式以及三角形面積的求法，熟練掌握待定系數法和x軸交點的求法是解題的關鍵．17．（1）y=x2；（2）B的坐標為（-2，1）；（3）C（，）或（，）或（，）或（，），使△ABC的面積等于△OAB面積的一半，見解析.【分析】（1）把點A的坐標代入拋物線解析式求解即可得到a的值，從而得解；（2）根據關于y軸對稱的點的坐標，橫坐標互為相反數，縱坐標相同解答；（3）根據三角形的面積公式求出點C到AB的距離，再分①點C在AB下面，②點C在AB的上面兩種情況求出點C的縱坐標，然后代入拋物線解析式求出橫坐標，即可得到點C的坐標．【詳解】解：（1））∵拋物線y=ax2經過點A（2，1），∴4a=1，解得a=，∴這個函數的解析式為y=x2；（2）∵點A（2，1），關于y軸對稱的點的坐標，橫坐標互為相反數，縱坐標相同，∴點A關于y軸的對稱點B的坐標為（-2，1）；（3）如圖：∵點A（2，1），B（-2，1），∴AB=2-（-2）=2+2=4，S△OAB=×4×1=2，假設存在點C，且點C到AB的距離為h，則S△ABC=?AB?h=×4h，∵△ABC的面積等于△OAB面積的一半，∴×4h=×2，解得h=，①當點C在AB下面時，點C的縱坐標為，此時，解得，，則此時C的坐標為（，）或（，），②點C在AB的上面時，點C的縱坐標為，此時，解得，，則此時C的坐標為（，）或（，），綜上，存在點C（，）或（，）或（，）或（，），使△ABC的面積等于△OAB面積的一半．【點睛】本題是對二次函數的綜合考查，待定系數法求二次函數解析式，關于y軸對稱點的坐標特點，三角形的面積，以及二次函數的對稱性，（3）要注意分點C在AB的上面與下面兩種情況討論求解．18．（1）y=-x2-2x+3；（2）存在，F（-1，2）周長最小值；（3）存在，M（，）；【分析】(1)將A（-3，0），B（1，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，計算即可；(2)根據軸對稱的性質先找出C的對稱點C1，然后連接BC即可找到F點，最后根據B、C1的坐標求得直線BC1的解析式，即可求得F的坐標；利用兩點間的距離公式求出BC、BF、FC的長度相加即可；（3）根據即可求得解析式，根據解析式即可求得求出點M的坐標及的面積最大值；【詳解】解:(1)將A（-3，0），B（1，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c得:,解得:所以拋物線的函數表達式:y=-x2-2x+3(2)存在；∵拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3，∴拋物線的對稱軸x=-1,C(0,3)，∴C1(-2,3)，設直線BC1的解析式為：y=kx+b，∵B（1，0），∴解得，∴

直線BC1的解析式為：y=-x+1，把x=-1代入直線BC1的解析式y=-x+1，得y=2，∴F(-1,2)；∴∴（3）存在；過點M作MN⊥AO于點N設M（m，-m2-2m+3）則N（m，0）∴AN=m-（-3）=m+3，MN=-m2-2m+3，NO=0-m=-m∵∴∴當m=時，面積最大把m=代入-m2-2m+3中得：-m2-2m+3=∴M（，）【點睛】本題是一道二次函數的綜合試題，考查了待定系數法求函數的解析式、勾股定理、軸對稱的性質、平面圖形的面積的計算，拋物線的頂點式的運用等多個知識點，難度比較大．19．【分析】過A作軸于D，過B作軸于E，連接、，設，，又，根據四邊形是矩形，可得，即可解得．【詳解】解：如圖，過A作軸于D，過B作軸于E，連接、，設，，又，∵四邊形是矩形，∴與中點重合，，而，∴，消去x、y得：，解得：或，又∵，∴，即（舍去）或，故答案為：．【點睛】本題考查二次函數圖象上點坐標的特征，解題的關鍵是根據四邊形是矩形列出關于m，n，x，y的方程組．20．(1)，頂點坐標為；(2)【分析】（1）把和代入，建立方程組求解解析式即可，再把解析式化為頂點式，可得頂點坐標；（2）把代入函數解析式求解的值，再利用函數圖象可得時的取值范圍．【詳解】（1）解：∵二次函數圖象經過點和．∴，解得：，∴拋物線為，∴頂點坐標為：；（2）當時，，∴解得：，，

如圖，當時，∴．【點睛】本題考查的是利用待定系數法求解二次函數的解析式，二次函數的頂點坐標，利用圖象法解不等式，熟練的運用數形結合的方法解題是關鍵．21．(1)(2)【分析】（1）根據點的坐標，利用待定系數法即可得；（2）先根據拋物線的解析式求出點的坐標，再利用中點坐標公式可得點的坐標，然后利用兩點之間的距離公式即可得．【詳解】（1）解：將點代入得：，解得，則該拋物線的解析式為．（2）解：拋物線的頂點坐標為，當時，，即，為的中點，且，，即，，故答案為：．【點睛】本題考查了求二次函數的解析式、兩點之間的距離公式，熟練掌握待定系數法是解題關鍵．22．(1)①；②當時，(2)【分析】（1）①將代入解析式，化為頂點式，即可求解；②已知頂點，根據二次函數的增減性，得出當時，有最大值7，當時取得最小值，即可求解；（2）根據題意時，的最大值為2；時，的最大值為3，得出拋物線的對稱軸在軸的右側，即，由拋物線開口向下，時，的最大值為2，可知，根據頂點坐標的縱坐標為3，求出，即可得解．【詳解】（1）解：①當時，，∴頂點坐標為．②∵頂點坐標為．拋物線開口向下，當時，隨增大而增大，當時，隨增大而減小，∴當時，有最大值7．又∴當時取得最小值，最小值；∴當時，．（2）∵時，的最大值為2；時，的最大值為3，∴拋物線的對稱軸在軸的右側，∴，∵拋物線開口向下，時，的最大值為2，∴，又∵，∴，∵，∴，∴二次函數的表達式為．【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，頂點式，二次函數的最值問題，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．23．(1)(2)存在，，【分析】（1）將點，點，代入拋物線得，求出的值，進而可得拋物線的解析式．（2）將解析式化成頂點式得，可得點坐標，將代入得，，可得點坐標，求出的值，根據可得，設，則，求出的值，進而可得點坐標．【詳解】（1）解：∵拋物線過點，點，∴，解得，∴拋物線的解析式為：．（2）解：存在．∵，∴，將代入得，，∴，又∵B（2，-3），∴BC//x軸，∴到線段的距離為1，，∴，∴，設，由題意可知點P在直線BC上方，則，整理得，，解得，或，∴，，∴存在點P，使的面積是面積的4倍，點P的坐標為，．【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數頂點式，二次函數與三角形面積綜合等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．24．B【分析】根據拋物線的形狀，開口方向和拋物線的值有關，利用頂點式解析式寫出即可．【詳解】解：拋物線的頂點坐標，開口方向和大小與拋物線相同，這個二次函數的解析式為．故選：B．【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，熟記拋物線中，值確定拋物線的開口方向和拋物線的形狀是解題的關鍵．25．B【分析】設拋物線的表達式為，把代入求出的值，再把代入即可求出的值．【詳解】解：設拋物線的表達式為，把代入得：，解得：，，把代入，．故選：B．【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，熟練掌握相關知識是解題關鍵．26．C【分析】根據表中數據得出對稱軸，進而得到拋物線與軸的交點，利用交點式得到，從而得到二次函數表達式為，根據當時，直線與該二次函數圖像有兩個公共點，可得．【詳解】解：由可得拋物線對稱軸，又由以及對稱軸可得，，則設拋物線交點式為，與對比可得，解得，二次函數表達式為，當時，；當時，；當時，，，當時，直線與該二次函數圖像有兩個公共點，，故選：C．【點睛】本題考查二次函數圖像與性質，掌握二次函數表達式的求法是解決問題的關鍵．27．C【分析】待定系數法求得解析式，然后當時求得函數值，即可求解．【詳解】解：∵二次函數的圖象經過點，∴解得，所以拋物線解析式為當時，，當時，∴該圖象經過點，故選：C．【點睛】本題考查了待定系數法求解析式，二次函數的性質，求得解析式是解題的關鍵．28．D【分析】根據，得到點，，然后代入解方程組即可解題．【詳解】解：∵，∴點，，代入可得，解得，故選D．【點睛】本題考查待定系數法求函數解析式，能寫出點和點的坐標是解題的關鍵．29．A【分析】根據拋物線的頂點坐標可設二次函數的解析式為，再將已知點的坐標代入求解即可；【詳解】解：設二次函數的解析式為，將點代入得，解得，所以該二次函數的解析式為．故選：A；【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．30．B【分析】利用待定系數法求函數解析式，即可求得開口方向，對稱軸，函數的最值，然后根據二次函數的性質，可以得到當時，的取值范圍．【詳解】解：將點，，代入得，解得，，該函數圖象開口向下，對稱軸為直線，函數有最大值7，和時的函數值相等，則時，的取值范圍是：，故選：B．【點睛】本題考查求二次函數的解析式，二次函數的性質，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．31．D【分析】由待定系數法求出二次函數的解析式，求出對稱軸，可以判斷A，當時，求出的值，可以判斷B，根據的值和對稱軸確定隨的變化情況，可以判斷C，根據根的判別式確定與軸的交點個數，可以判斷D，從而得到答案．【詳解】解：設二次函數為，則，解得：，二次函數的解析式為：，對稱軸為：，故選項A正確，當時，，，故選項B正確，，圖象開口向上，當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而增大，故選項C正確，，圖象與軸有一個公共點，故選項D錯誤，故選：D．【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質，解答本題的關鍵是采用待定系數法，求出二次函數的解析式．32．C【分析】根據反比例函數的坐標特征，一次函數的性質，二次函數的坐標特征即可判斷．【詳解】解：A、若直線過點，則，解得，所以，當時，，故不在直線上，故A不合題意；B、由表格可知，y與x的每一組對應值的積是定值為4，所以y是x的反比例函數，，不合題意；C、把表格中的函數y與自變量x的對應值代入得，解得，符合題意；D、由C可知，不合題意．故選：C．【點睛】主要考查反比例函數、一次函數以及二次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握待定系數法是解題的關鍵．33．B【分析】設，則高為，設面積為S，則，找到面積最大時的值，過A作直線l，作B關于l的對稱點E，連接CE交l于點F，則A在F處時，的周長最小，計算可以解題．【詳解】設，則高為，設面積為S，的面積最大，，即，過A作直線l，作B關于l的對稱點E，連接交l于點G，連接CE交l于點F，則A在F處時，的周長最小，，，，的周長最小值為：．故選B．【點睛】本題考查二次函數的最值問題，軸對稱的應用，是一道二次函數的綜合題，正確運用軸對稱是解題的關鍵．34．-3【分析】根據表格中的數據可以求得二次函數的解析式，再將x=2代入求y的值即可；【詳解】解：由題意，把（-1，3）、（1，-3）、（4，3）、代入y＝a2+bx+c得，，解得：，∴此二次函數關系式為：，當x=2時，，故答案為：-3．【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式以及給出自變量的值求函數值，求出二次函數的解析式是解決問題的關鍵．35．【分析】已知對稱軸，根據頂點坐標，開口方向，可寫出滿足條件的二次函數解析式．【詳解】解：根據題意，得二次函數的頂點坐標為，根據頂點式，得，設，，則函數的表達式為（本題答案不唯一）．故答案為：（答案不唯一）．【點睛】本題考查了二次函數的性質與解析式的關系，正確寫拋物線的頂點坐標是解題的關鍵．36．（答案不唯一）【分析】根據常見的幾種函數：一次函數，反比例函數和二次函數的圖像和性質寫出一個符合上述條件的函數的表達式即可．【詳解】解：若選擇二次函數，∵當時，y隨x的增大而增大，∴二次函數開口向上，即，∵它的圖像經過，∴二次函數可以是．故答案為：（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查函數的圖像和性質，掌握常見函數的圖像和性質是解題的關鍵．37．【分析】根據二次函數的圖象的頂點坐標為設二次函數的解析式為，將代入二次函數解析式求出的值即可得到答案．【詳解】解：二次函數的圖象的頂點坐標為，設二次函數的解析式為，二次函數的圖象經過點，，解得：，二次函數的解析式為：，即，故答案為：．【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，設二次函數的解析式為是解此題的關鍵．38．3【分析】根據題意可得交點式，然后把代入求出a值，即可求出二次函數表達式．【詳解】解：∵二次函數的圖象經過點、∴拋物線的解析式為，把代入得：，解得：，∴函數的解析式為，即，∴當時，，故答案為：3．【點睛】本題考查了求二次函數解析式，熟練掌握待定系數法求函數解析式是解題關鍵．39．或##或【分析】分別畫出當拋物線過四邊形的四個頂點時的圖象，觀察圖象可得．【詳解】解：把代入，得；把代入，得，解得；把代入，得，解得；把代入，得，解得，分別畫出當拋物線過四邊形的四個頂點時的圖象，如圖，如圖，若拋物線與四邊形的邊有沒有交點，則a的取值范圍為或，故答案為或．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數圖象與系數的關系，數形結合是解題的關鍵．40．##【分析】如圖，連接交拋物線對稱軸于，連接，由對稱的性質可知，，則的周長為，可知當三點共線時，的周長最小，將代入得，，解得，，則，當，，即，由勾股定理得，，，進而可求周長最小值．【詳解】解：如圖，連接交拋物線對稱軸于，連接，

由對稱的性質可知，，∴的周長為，∴當三點共線時，的周長最小，將代入得，，解得，，∴，當，，即，由勾股定理得，，，∴的周長的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數解析式，二次函數與坐標軸交點，軸對稱的性質，勾股定理．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．41．2【分析】先根據拋物線解析式求出點坐標和其對稱軸，再根據對稱性求出點坐標，利用點為線段中點，得出點坐標；用含的式子表示出點坐標，寫出直線的解析式，再將點坐標代入即可求解出的值．【詳解】解：∵拋物線與軸交于點，∴，拋物線的對稱軸為∴頂點坐標為，點坐標為∵點為線段的中點，∴點坐標為設直線解析式為（為常數，且）將點代入得∴將點代入得解得故答案為2【點睛】考核知識點:拋物線與坐標軸交點問題.數形結合分析問題是關鍵.42．【分析】根據拋物線的對稱軸是直線，設出解析式為，待定系數法求解析式即可．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸是直線，∴設拋物線的解析式是為，∵拋物線交軸于點，∴，∴，∴．【點睛】本題考查求二次函數的解析式．解題的關鍵是掌握待定系數法求解析式．43．(1)(2)或【分析】（1）利用待定系數法求解即可；（2）先求出原拋物線頂點D的坐標，再求出，得到，設拋物線向右平移m個單位長度得到拋物線，則，，拋物線的解析式為，即可求出；進一步求出，再由，得到，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：把，代入到拋物線解析式中得：，∴，∴拋物線解析式為；（2）解：∵原拋物線解析式為，∴，原拋物線對稱軸為直線，∴，∴；設拋物線向右平移m個單位長度得到拋物線，∴，，拋物線的解析式為，∴；在中，令，則，∴，∵，∴，∴，∴，∴或，∴或，解得或（舍去）或或（舍去）；綜上所述，或，∴拋物線的表達式為或．【點睛】本題主要考查了二次函數圖象的平移，待定系數法求二次函數解析式，熟知二次函數圖象平移的特點是解題的關鍵．44．(1)(2)【分析】（1）根據已知得出點，進而待定系數法求解析式即可求解．（2）根據解析式化為頂點式求得，待定系數法求得直線的解析式，過點作軸于點，交于點，則，進而根據三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線經過點，點，且．∴，即，設拋物線解析式為，將代入得，解得：，∴拋物線解析式為（2）解：∵，∴,如圖所示，過點作軸于點，交于點，

設直線的解析式為，將代入得，解得：，∴直線的解析式為，當時，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，面積問題，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．45．(1)(2)(3)或【分析】（1）根據拋物線的對稱軸是可得，求出的值即可得到拋物線的解析式；（2）將原拋物線化為頂點式得出頂點為，再根據原拋物線圖象繞頂點旋轉180度得到新的拋物線，可得頂點不變，開口方向相反，由此即可得到答案；（3）分情況討論：當時，