特殊平行四邊形間的關系的綜合應用練素養第9章中心對稱圖形——平行四邊形1234溫馨提示：點擊進入講評如圖，在矩形ABCD中，E是AD上一點，PQ垂直平分BE，分別交AD，BE，BC于點P，O，Q，連接BP，EQ.1(1)求證：四邊形BPEQ是菱形；∴△BOQ≌△EOP(ASA)．∴QB＝PE.∵BC∥AD，∴四邊形BPEQ是平行四邊形．又∵QB＝QE，∴四邊形BPEQ是菱形．(2)若AB＝6，F為AB的中點，連接OF，OF＋OB＝9，求PQ的長．【解】∵O，F分別為BE，AB的中點，∴AE＋BE＝2OF＋2OB＝18.設AE＝x，則BE＝18－x.在Rt△ABE中，62＋x2＝(18－x)2，解得x＝8，即AE＝8，則BE＝18－x＝10.已知點M是正方形ABCD對角線AC上一點，AC與BD交于點O，AH⊥BM，垂足為H，直線AH與BD交于點N.(1)如圖①，當M在線段OC上時，求證：MO＝NO；2【證明】∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，BO＝AO.∴∠BOM＝∠AON＝90°.∴∠OAN＋∠ANO＝90°.∵AH⊥BM，∴∠OAN＋∠BMO＝90°.∴∠BMO＝∠ANO.(2)如圖②，當M在線段OA上時，BM的延長線交AD于點E，若EN∥AC，求證：①四邊形AENM為菱形；②CM＝CB．【證明】①∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∠ADB＝∠CBD＝∠BAC＝45°，AO＝BO.∴∠BOM＝∠AON＝90°.∴∠OAN＋∠ANO＝90°.∵AH⊥BM，∴∠OBM＋∠ANO＝90°.∴∠OBM＝∠OAN.②∵∠BMC是△AMB的一個外角，∴∠BMC＝∠ABM＋∠BAC＝∠ABM＋45°.∵四邊形AENM是菱形，∴BE垂直平分AN.∴AB＝NB.∵BH⊥AN，∴∠ABM＝∠NBM.∴∠BMC＝∠NBM＋45°.又∵∠CBM＝∠NBM＋∠CBD＝∠NBM＋45°，∴∠CBM＝∠BMC.∴CM＝CB.已知在矩形ABCD中，BC＝12，AB＝10，四邊形EFGH的三個頂點E，F，H分別在矩形ABCD的邊AB，BC，DA上，AE＝2.3(1)如圖①，當四邊形EFGH為正方形時，求△GFC的面積；【解】如圖①，過點G作GM⊥BC于M.∵在正方形EFGH中，∠HEF＝90°，EH＝EF，∴∠AEH＋∠BEF＝90°.∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠B＝90°，∴∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠AHE＝∠BEF.(2)如圖②，當四邊形EFGH為菱形，且BF＝a時，求△GFC的面積(用含a的代數式表示)；【解】如圖②，過點G作GM⊥BC交BC的延長線于M，連接HF.∵AD∥BC，∴∠AHF＝∠MFH.∵四邊形EFGH為菱形，∴EH＝EF＝FG，EH∥FG，∴∠EHF＝∠GFH.∴∠AHE＝∠MFG.(3)在(2)的條件下，當△GFC的面積等于6時，求AH的長．如圖，在△ABC中，點O是AC邊上一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交△ABC的外角∠ACD的平分線于點F，連接BE，AE，AF.4(1)探究OE與OF的數量關系并加以證明．【解】OE＝OF.證明如下：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF.又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF.∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC.∴EO＝CO，FO＝CO.∴OE＝OF.(2)當點O在邊AC上運動時，四邊形BCFE能否為菱形？若能，請證明；若不能，請說明理由．【解】不能為菱形．理由如下：如圖，連接BF，交EC于點G.(3)當點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？請說明理由．【解】當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．理由：當點O運動到AC的中點時，AO＝CO.又∵EO＝FO，∴四邊形AECF是平行四邊形．∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO.∴AO＋CO＝EO＋FO，即AC＝EF.∴四邊形AECF是矩形．(4)在(3)的條件下，△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？請說明理由．【解】當點O運動到AC的中點，且△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形時，四邊形AECF是正方形．理由：由(3)知，當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．已知