第03講勾股定理的應用

模塊導航-----?素養目標?-----

模塊一思維導圖串知識i.利用勾股定理及逆定理解決生活中的實際問題；

模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）2.通過觀察圖形，探索圖形間的關系，發展學生的空間

模塊三核心考點舉一反三觀念.

模塊四小試牛刀過關測3.能夠從實際問題中抽象出直角三角形，并能運用勾股

定理進行有關的計算和證明。

模塊一思維導圖串知識

勾股定理解決實際問題：11類

勾股定理的應用

平面展開圖-最短路徑問題

6模塊二基礎知識全梳理

知識點1：勾股定理應用

勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數量關系判斷一個三角形是否是直角三角形，在

具體推算過程中，應用兩短邊的平方和與最長邊的平方進行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第

三邊的平方比較而得到錯誤的結論.

知識點2：平面展開圖-最短路徑問題

幾何體中最短路徑基本模型如下：

基本思路：將立體圖形展開成平面圖形，利用兩點之間線段最短確定最短路線，構造直角三角形，利用

勾股定理求解

?＞模塊三核心考點舉一反三一

考點一：應用勾股定理解決梯子滑落高度

△l例1.（23-24八年級下?甘肅武威?期中）如圖，一架2.5米長的梯子/W斜靠在豎直的埼AC上，這

時梯子底部B到墻底端的距離為0.7米，考慮爬梯子的穩定性，現要將梯子頂部A沿增下移0.4米到A處,

間梯子底部8將外移多少米？

【答案】梯子底部5外移0.8米.

【分析】本題考查正確運用勾股定理，在RtZ\A8C中，根據已知條件運用勾股定理可將AC的長求出，又

知AA的長可.得AC的長，在RtAAbC中再次運用勾股定理可將夕C求出，B1的長減去8C的長即為底

部B外移的距離.

【詳解】解：在RtZ\ABC中，AB=2.5,BC=S7,

AC=yjAB'-BC1=Jzf-OT=2.4米，

又A4'=0.4,

.?.4C=2.4-0.4=2,

在A4'C中，B'c=-A'C2=V2.52-22=1.5米，

貝lj89=6一底=1.5—（17=0.8米.

故：梯子底部3外移0.8米.

【變式1-1］（23-24八年級下?廣西柳州?期中）如圖1是籃球架側面示意圖，小明為了測量籃板A8的長度，

設計了如下方案：

如圖2,八8垂直地面于點C,線段AO,BE表示同一根竹竿，第一次將竹竿的一個端點與點A重合，另一

端點落在地面的點。處，第二次將竹竿的一個端點與點8重合，另一端點落在地面的點E處.測量得竹竿

的長為5米，CD的長為3米，CE的長為4米.根據以上測量結果，請你幫助小明求出籃板A8的長度.

【答案】籃板A/3的長度為1米.

【分析】本題主要考查了勾股定理的實際應用，利用勾股定理分別求出AC,8C的長即可?得到答案.

【詳解】解：由題意得，==5米，/46=90°,

在Rt.ADC中，由勾股定理得=5r=4米，

在Rt8CE中，由勾股定理得3C=，8石2一支2=3米,

:.AB=AC-BC=1米，

，籃板48的長度為1米.

【變式1?2】（23-24八年級下?遼寧大連?期中）一架3m長的梯子，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻L8m.

⑴如圖1,/W=3m,4c=1.8m,求這架梯子的頂端距地面有多高？

（2）如圖2,如果梯子靠墻下移，底端向右移動0.6m至點七處，求它的頂端A沿墻下移多少米？

【答案】⑴這架梯子的頂端距地面有2.4m

⑵梯子的頂端A沿墻下移0.6m

【分析】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握利用勾股定理計算是解題的關鍵.

（1）根據勾股定理，計算得出答案即可；

（2）根據CE=8C+8E、DE=AB,結合勾股定理計算CO=、旗二豆7，最后根據AO=4C-8得出

答案即可.

【詳解】（I）解：???4C/8C于點C,

???ZACB=90°,

在Rt^ACB中，根據勾股定理，得A4=AC2+BC2,

VAB=3m,BC=1.8m,

???AC=JAB?-BC?=V32-1.82=2.4m，

答：這架梯子的頂端距地面有2.4m；

（2）解：由題意，得5E=0.6m,

:.CE=I3C+BE=1.8+0.6=2.4m,

DE=AB=3m,

，在RtVDCE中，根據勾股定理，^DE2=DC2+CE2,

工CD=y/DE2-CE2=V32-2.42=1.8m，

：.AD=AC-CD=2.4-1.8=0.6m,

答：梯子的頂端A沿墻下移0.6m.

【變式1?3】（23-24八年級下?黑龍江哈爾濱?期中）如圖1,一個梯子長為5米，頂端A靠在墻AC上,

這時梯子下端8與墻角C之間的矩離是4米.

圖I圖2

⑴求梯子的頂端與墻角C之間的距離.

（2）如圖2,將梯子的底端B向。方向挪動1米，若在墻AC的上方點七處須懸掛一個廣告牌，點￡與。之

間的距離是4.2米，試判斷：此時的梯子的擺放位置能否夠到點七處？

【答案】⑴3米

（2）不能

【分析】本題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理求邊長；

（1）根據勾股定理求邊長即可；

（2）先求出底端8向C方向挪動I米后底端到墻角C的距離，再由勾股定理求解梯子的頂端到達的高度,

再與七的高度進行比較即可：

【詳解】（1）解：由題意知3C=4米，ZC=90°,

在RtZXABC中，AC=jG-叱=3米'

梯子的頂端與墻角C之間的距離是3米；

（2）不能，理由如下：

設B向。方向挪動1米到夕，此時4向上挪動到4,則8*=1米，4'9=5米，CE=4.2米，

.?.5'C=3米,

在RlZXA'B'C中，A'C=JA'B'2-BC2=4米,

4<4.2,

:.^C<CE,

???梯子的擺放位置不能夠到點E處;

考點二：應用勾股定理解決旗桿高度

2.(23-24八年級下?河南深河?期中)如圖①，AB為直立在水平操場上的旗桿，旗繩自然下垂,

X例

發現旗繩的長度比旗桿的高度多1m，現在要測量旗桿的高度(不許將旗桿放倒).

(1)第一小組的方法是將旗繩的底端從點8滑動到點C,并使旗繩AC筆直，如圖②，此時測量得出友三5m,

請按此方法求出旗繩AC的長度;

(2)第二小組的方法是利用2m高的標桿DE,將旗繩的底端與標桿頂端。重合，并移動標桿至旗繩八。筆直,

且標桿OE垂直于地面，如圖③，請利用(1)中的結論求出標桿和旗桿的水平距離的長度).

【答案】(l)13m

(2)x/69m

【分析】本題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵將實際問題轉化為幾何問題.

(I)根據題意可知以構成直角三角形，設AC=x,AB=x-l,根據勾股定理即可求得AC的長度；

(2)過點。作"_LA8,垂足為F,于是構成矩形DEBF,在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求得DF

的長，即為標桿和旗桿的水平距離的長度.

【詳解】(1)設旗繩AC的長度為xm,則旗桿AB的長為

;ABA.BC,

Z4BC=90,

/.ABZ+BC2=AC2

(x-I)2+52=x2,

解得:x=13,即AC=13m.

答：旗繩AC的長度為13m.

(2)由題意可知：AB=12m,AD=AC=13m,DE=2m,

A

過點。作力尸_LAA,垂足為F,

則DF=BE,FB=DE=2m,

...AF=AB-FB=\2-2=\0(m\

DF=>JAD2-AF2=7132-102=V69(m)

答：標桿與旗桿的水平距離為屈m.

【變式2?1](23-24八年級下.湖北荊門?期中)為了測量學校旗桿A8的高度，某數學興趣小組發現系在旗

桿頂端A的繩子垂到了地面8并多出了一段BC的長度為1米，把繩子拉直向左走5米后，繩子底端C正好

落在地面。處，請通過以I?.信息求由旗桿的高度.

【答案】12米

【分析】本題主要考查了勾股定理的實際應用，設旗桿A8的高度為x米，則AO=(x+l)(米)，在RtZvSO

中由勾股定理得(x+l)2=f+52,解方程即可得到答案.

【詳解】解：由題意知AO=A8+BC=AB+1,80=5米，

設旗桿A4的高度為x米，則AD=(x+l)(米)，

在RiAABO中，由勾股定理得A