6.3.1二項式定理第六章計數原理1.能用多項式法則和計數原理推導二項式定理，會用二項式定理求解二項展開式.2.理解二項式定理，會利用定理解決與二項式有關的簡單問題.想一想：你還記得什么是二項式嗎？對于a+b,(a+b)2,(a+b)3,(a+b)?

等代數式，數學上統稱為二項式，其一般形式為：(a+b)n

(n∈N*).在許多代數問題中需要將二項式展開，因此，二項式定理研究的是(a+b)n展開后的表達式的一般結構.那么(a+b)n

的展開式是什么呢?(a+b)2

(a+b)3

那么將(a+b)4，(a+b)5...展開后，它們的各項是什么呢？＝C20

a2+C21

ab+C22

b2=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3=a3+3a2b+3ab2+b3=a2+2ab+b2

我們先來展開下面的式子：(a+b)2＝

(a+b)(a+b)展開后其項的形式為：a2

，ab

，b2這三項的系數為各項在展開式中出現的次數.考慮b:每個都不取b的情況有C20

種,則a2前的系數為C20恰有1個取b的情況有C21種，則ab前的系數為C21恰有2個取b的情況有C22

種，則b2前的系數為C22(a+b)2=a2+2ab+b2

＝C20

a2+C21

ab+C22b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3對(a+b)2展開式的分析：a3以(a+b)3為例體會組合思想(a+b)3=a3+3ab2+3a2b+b3(a+b)3(a+b)(a+b)(a+b)a2ba2ba2bab2ab2ab2b3a3a2bab2b3

展開式的每一項都是從這三個因式中各取一個字母相乘得到.發現：(a+b)3=a3+3ab2+3a2b+b3(a+b)(a+b)(a+b)各項是關于a,b的三次單項式a3a2bab2b3(a+b)4＝

(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)＝？(1)(a+b)4展開后各項形式分別是什么？(2)各項前的系數代表著什么？a4a3ba2b2ab3b4各項前的系數代表著這些項在展開式中出現的次數問題:每個都不取b的情況有1種,即C40,則a4前的系數為C40恰有1個取b的情況有C41種，則a3b前的系數為C41恰有2個取b的情況有C42

種，則a2b2前的系數為C42恰有3個取b的情況有C43

種，則ab3前的系數為C43恰有4個取b的情況有C44種，則b4前的系數為C44則(a+b)4＝C40a4

＋C41

a3b

＋C42

a2b2＋C43

ab3

＋C44

b4(3)你能分析說明各項前的系數嗎？a4a3ba2b2ab3b4(a+b)n=?二項式定理每個都不取b的情況有1種,即Cn0,則an前的系數為Cn0恰有1個取b的情況有Cn1種，則an-1b前的系數為Cn1恰有2個取b的情況有Cn2

種，則an-2b2前的系數為Cn2......恰有k個取b的情況有Cnk

種，則an-kbk前的系數為Cnk......恰有n個取b的情況有Cnn

種，則bn前的系數為Cnn

右邊的多項式叫做(a+b)n的二項展開式Cnk

an-kbk：二項展開式的通項，記作Tk+1；Cnk：

二項式系數.①二項展開式共有n+1項②各項中a的指數從n起依次減小1，到0為止，各項中b的指數從0起依次增加1，到n為止.如(1+x)n=Cn0

+Cn1x+Cn2x2+…

+Cnkxk+…+

xn注意：二項式定理

例1解：

例2求(1+2x)7的展開式的第4項.求：（1）第4項的二項式系數.（2）第4項的系數.解：(1+2x)7的展開式的第4項是T3+1=C7317-3(2x)3=35×23×x3=280x3第4項的二項式系數是C73=35第4項的系數是280方法歸納(1)注意對二項式定理的靈活應用；(2)注意區別二項式系數與項的系數的概念二項式系數：Cnr；項的系數：二項式系數與數字系數的積(3)求二項式系數或項的系數的一種方法是將二項式展開.例3

(多選)在

的展開式中，下列說法正確的是()A.展開式中各項的通項為Tr＋1＝

B.展開式中各項的系數等于其二項式系數C.x的冪指數是整數的項共有5項D.展開式中存在常數項當r分別取0，6，12，18，24時，x的冪指數為整數，所以x的冪指數有5項是整數項，C正確.求二項展開式的特定項的常見題型：①求第k項，Tk＝Cnk－1an－k＋1bk－1；

②求含xk的項(或xpyq的項)；③求常數項；④求有理項．方法：根據通項Tk＋1＝Cnkan－kbk，建立方程求k，再將k的值代回通項求解，注意k的取值范圍(k＝0,1,2，…，n)．方法歸納1.求（x+a)12