專均值不等式及不等式綜合目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：公式直接用 1題型二：公式成立條件 3題型三：對勾型湊配 6題型四：“1”的代換：基礎代換型 7題型五：“1”的代換：有和有積無常數型 9題型六：“1”的代換：有和有積有常數型 10題型七：分母構造型：分母和定無條件型 12題型八：分母構造型：分離型型 14題型九：分母構造型：一個分母構造型 16題型十：分母構造型：兩個分母構造型 17題型十一：分離常數構造型 19題型十二：換元構造型 21題型十三：分母拆解湊配型 23題型十四：萬能“K”型 26題型十五：均值不等式應用比大小 27題型十六：利用均值不等式求恒成立參數型 30題型十七：因式分解型 32題型十八：三元型不等式 34題型一：公式直接用基本不等式基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)；基本不等式成立的條件：a>0，b>0； (2)等號成立的條件：當且僅當a＝b.基本不等式的變形：①a＋b≥2eq\r(ab)，常用于求和的最小值；②ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，常用于求積的最大值；1．（22-23高三·北京·階段練習）若，且，則在下列四個選項中，最大的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】（1）先判斷，可得，所以，排除A、D，再用作差法比較B、C的大小，可得答案.（2）也可以令，取特殊值進行驗證排除.【詳解】方法一：∵且，∴，可排除A；又，排除D；∵，即，排除B.故選：C.方法二：因為且，可取，.則：，，因為.故選：C.2．（22-23高三·全國·課后作業）若，則下列不等式中不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用不等式的性質及基本不等式化簡判斷即可.【詳解】因為，顯然有，故A正確；而，所以，故B正確；又，所以，故C正確；不妨令則，故D錯誤.故選：D.3．（22-23高一下·黑龍江佳木斯·開學考試）設，，且，則的最小值為（

）A．18 B．9 C．6 D．3【答案】C【分析】根據基本不等式，即可求解.【詳解】∵∴，（當且僅當，取“=”）故選：C.4．（23-24高一下·河南·開學考試）設，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知條件和不等式的性質，分別判斷各選項中的結論是否正確．【詳解】因為，所以，則，則A選項錯誤；因為，所以，又0，則，即，所以，即，則B選項正確；當時，，則C選項錯誤；因為，由B選項可知，所以，則D選項錯誤.故選：B5．（2024·重慶·模擬預測）設且，則的最大值為【答案】【分析】根據題意，利用題設條件，結合基本不等式即可求解.【詳解】因為且，則，解得：，當且僅當，時等號成立，所以的最大值為，則，即的最大值為故答案為：題型二：公式成立條件利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發生錯誤的地方.1．（23-24高三·遼寧本溪·開學考試）下列函數中，最小值為2的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】舉反例可判斷A錯誤；由基本不等式可得B正確；由基本不等式和正弦函數的值域可判斷C錯誤；由基本不等式和完全平方可判斷D錯誤.【詳解】A：當時，，故A錯誤；B：，當且僅當，即時取等號，故B正確；C：當時，，，當且僅當，即時取等號，因為，故C錯誤；D：，當且僅當，時取等號，又，故D錯誤；故選：B.2．（23-24高三·安徽六安·開學考試）設，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據基本不等式以及必要不充分條件的定義求解.【詳解】∵，，∴，當且僅當時等號成立，若時，，則，即“”是“”的必要不充分條件，而無法推出，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：.3．（23-24高三·西藏林芝·期中）下列命題中正確的是（

）A．若，且，則B．若，則C．若，則D．對任意，均成立.【答案】A【分析】根據基本不等式對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，，當且僅當時等號成立，A選項正確.B選項，當時，，所以B選項錯誤.C選項，當時，，所以C選項錯誤.D選項，當時，，不成立，所以D選項錯誤.故選：A4．（多選）（23-24高三·四川眉山·期中）下列結論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若且，則 D．若，則【答案】ABC【分析】利用基本不等式可判斷ABC選項，利用特殊值法可判斷D選項.【詳解】對于A選項，若，則，當且僅當時，即當時，等號成立，A對；對于B選項，，當且僅當時，即當時，等號成立，B對；對于C選項，若且，則，當且僅當時，即當時，等號成立，C對；對于D選項，若，取，則，D錯.故選：ABC.5．（多選）（23-24高三·重慶南岸·期中）下列說法正確的是（

）A．函數的最大值是 B．函數的最小值是2C．函數的最小值是6 D．若，則的最小值是8【答案】ACD【分析】根據基本不等式的知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，對于函數，，當且僅當時等號成立，所以A選項正確.B選項，，當無實數解，所以等號不成立，所以B選項錯誤.C選項，對于函數，，，當且僅當時等號成立，所以C選項正確.D選項，由基本不等式得，所以，當且僅當時等號成立，所以D選項正確.故選：ACD6．（多選）（23-24高三·貴州貴陽·階段練習）下列命題中正確的是（

）A．當時，B．若，則函數的最小值等于C．若，則的取值范圍是D．的最大值是【答案】ACD【分析】利用基本不等式知識即可判斷，需注意“一正二定三相等”.【詳解】當時，重要不等式成立，故A正確；選項中對于均值不等式的運用出錯，不滿足“一正二定三相等”中的“積為定值”條件，故B錯誤；由于，當且僅當時等號成立.因此，即的取值范圍是，故正確；由于，根據均值不等式得，當且僅當，即時等號成立，即有最大值為，故D正確.故選：ACD.題型三：對勾型湊配1.對勾型結構：1.對勾型結構：容易出問題的地方，在于能否“取等”,如，2.對勾添加常數型對于形如，則把轉化為分母的線性關系：可消去。不必記憶，直接根據結構轉化1．（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知函數，則當時，有（

）A．最大值 B．最小值C．最大值 D．最小值【答案】B【分析】由基本不等式即可求解.【詳解】由題意當時，，等號成立當且僅當.故選：B.2．（23-24高三·陜西西安·階段練習）函數的最小值為（

）A．2 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】由基本不等式即可求解.【詳解】由可得，所以，當且僅當，即時等號成立，故選:D3．（21-22高二上·陜西咸陽·期中）已知函數的定義域為，則的最大值為（

）A．5 B． C．1 D．【答案】C【分析】令之后用基本不等式求函數的最值.【詳解】令當且僅當即時取得.故選：C4．（23-24高三·吉林·階段練習）已知，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】利用基本不等式求和的最小值，注意取值條件.【詳解】由，則，當且僅當時等號成立，故最小值為.故選：C5．（23-24高三·廣東佛山·模擬）函數，的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】C【分析】利用配湊法結合基本不等式求解即可.【詳解】因為，所以，則，當且僅當，即時取等號，所以函數，的最小值為.故選：C.題型四：“1”的代換：基礎代換型“1”的代換“1”的代換.利用常數代換法。多稱之為“1”的代換1．（2022高三上·全國·專題練習）若，，且，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【詳解】將展開利用基本不等式求得最小值可得答案.【分析】因為且，所以，，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為2.故選：A.2．（23-24高三·貴州黔南·階段練習）已知且，則的最小值為（）A． B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為9.故選：C3．（23-24高三·河南南陽·階段練習）若，，則的最小值是（

）A．2 B．4 C．3 D．8【答案】B【分析】利用常數代換的思想和基本不等式即可求得.【詳解】因，，故由，當且僅當時，等號成立.由解得：即當且僅當時，取最小值為4.故選：B.4．（22-23高一下·湖南邵陽·階段練習）設，，若，則的最小值為（

）A． B．4 C．9 D．【答案】D【分析】利用基本不等式求得正確答案.【詳解】，當且僅當時等號成立.故選：D5．（22-23高三·內蒙古呼和浩特·期中）已知x，y為正實數，且，則的最小值是（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】結合基本不等式求得正確答案.【詳解】依題意，，，當且僅當時等號成立.故選：B題型五：“1”的代換：有和有積無常數型有和有積無常數有和有積無常數形如，可以通過同除ab，化為構造“1”的代換求解1．（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習）若，，且，則的最小值為（

）A． B． C．6 D．【答案】A【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】，，由得，故，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為.故選：A2．（23-24高二上·陜西西安·期中）已知且，則的最小值為（

）A． B．10 C．9 D．【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.【詳解】由可得，，所以，當且僅當，即時取得等號，所以的最小值為9，故選:C.3．（2022·四川樂山·一模）已知，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意得，，再根據基本不等式乘“”法即可得最小值.【詳解】由題可知，乘“”得，當且僅當時，取等號，則的最小值為.故選：A4．（21-22高三·山西太原·階段練習）已知，，，則的最小值為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【詳解】根據題意，，∴，當且僅當且時等號成立，∴的最小值為，故選：D．5．（23-24高一下·廣西·開學考試）已知，，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題干等式變形得出，可得出，將代數式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因為且，，所以，則，當且僅當時，即當，時，等號成立.因此，的最小值是.故選：C.題型六：“1”的代換：有和有積有常數型有和有積有常數有和有積有常數形如求型，可以對“積pxy”部分用均值，再解不等式，注意湊配對應的“和”的系數系數，如下：1．（23-24高三·廣西·模擬）已知，則的最大值為（

）A．2 B．4 C．8 D．【答案】B【分析】利用基本不等式可得關于的一元二次不等式，解不等式即可.【詳解】，則有，可得，即4，當且僅當時，等號成立.所以的最大值為4.故選：B2．（23-24高三·甘肅·模擬）若正數a，b滿足，則ab的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式將等式轉化為關于的不等式即可求解.【詳解】，，即.，又因為a，b為正數，所以.，即，當且僅當等號成立，故的取值范圍是.故選：C.3．（23-24高三·江蘇·模擬）已知正實數，滿足，則的最小值是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】注意到不等式，所以可將條件等式轉換為關于的一元二次不等式，從而即可得解.【詳解】注意到，等號成立當且僅當，從而，因為，是正實數，所以解得或（舍去），即的最小值是4，等號成立當且僅當.故選：C.4．（23-24高三·安徽阜陽·模擬）已知正實數滿足，記的最小值為；若且滿足，記的最小值為.則的值為（

）A．30 B．32 C．34 D．36【答案】C【分析】由條件，利用基本不等式可求得，可得的值，又由“1”的代換可求得的最小值，可得的值，進而得解.【詳解】根據題意，∵，當且僅當時等號成立，令，有，解得，即，；，，當且僅當，即，時等號成立，；故選：C.5．（23-24高三·福建莆田·模擬）已知，，，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式求和的最小值.【詳解】由，得，又，，即，，則，即，解得，當且僅當，即，時，等號成立，所以，故選：C.題型七：分母構造型：分母和定無條件型無條件分母和定型無條件分母和定型型，滿足（定值），則可以構造1．（2020高三·全國·專題練習）的最小值為（

）A．2 B．16 C．8 D．12【答案】B【分析】先構造，再利用均值不等式求最值即可.【詳解】解：∵，∴，當且僅當，即，時“=”成立，故的最小值為16.故選：B.【點睛】本題考查了均值不等式的應用，重點考查了構造均值不等式求最值，屬基礎題.2．（21-22高三·福建莆田·期末）當時，的最小值為（

）A． B． C．6 D．【答案】B【分析】利用，借助基本不等式計算即可.【詳解】因為，所以,,因為，所以，，當且僅當時，即時，取得最小值.故選：B.3．（2024·山西臨汾·三模）若，則的最小值是（

）A．1 B．4 C． D．【答案】D【分析】根據基本不等式及“1”的妙用計算即可．【詳解】因為，所以，則，當且僅當，即時，等號成立，取得最小值，故選：D．4．（22-23高三·江蘇南通·模擬）函數（）的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由展開后，運用基本不等式可得所求最小值，注意取值條件.【詳解】由，可得，，僅當，即時等號成立，故的最小值為.故選：B5．（23-24高三·四川成都·期中）若，則的最小值為（

）A．12 B． C． D．【答案】D【分析】由題意確定，且，將變形為，展開后利用基本不等式，即可求得答案.【詳解】因為，故，則，故，當且僅當，即時等號成立，即的最小值為，故選：D題型八：分母構造型：分離型型對勾分離常數型（換元型）對勾分離常數型（換元型）型，可以通過換元分離降冪，轉化為對勾型1．（21-22高三·遼寧沈陽·模擬）若不等式在區間上有解，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】運用換元法，構造新函數，利用新函數的最值進行求解即可.【詳解】令，所以，設，，函數在時，函數單調遞減，在時，函數單調遞增，因為，，所以函數在時，最大值為，要想不等式在區間上有解，只需，故選：C2．（23-24高三·海南海口·階段練習）若函數在是增函數，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】變形換元得到，，考慮，和三種情況，結合對勾函數性質得到不等式，求出實數的取值范圍.【詳解】，令，故，，當，即時，在上單調遞增，滿足要求，當，即時，在上單調遞增，滿足要求，當，即時，由對勾函數性質得到在上單調遞增，故，解得，綜上，實數的取值范圍是.故選：A3．（2020高三·河北石家莊·階段練習）已知，則的最大值是（

）A． B． C．2 D．7【答案】A【分析】化簡

為，利用均值不等式求解即可.【詳解】，，，當且僅當，即時，等號成立，所以

的最大值為故選：A4．（20-21高三·遼寧大連·模擬）“”是“關于的不等式（）有解”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用基本不等式求得當時，的最小值為，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意知，可得，則，當且僅當時，即時，等號成立，所以當時，的最小值為，當時，可得關于的不等式有解成立，即充分性成立，反之：關于的不等式有解時，不一定成立，即必要性不成立，所以“”是“關于的不等式有解”的充分不必要條件.故選：A.5．（20-21高三·浙江紹興·期中）若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【答案】A【分析】將給定函數化簡變形，再利用均值不等式求解即得.【詳解】因，則，于是得，當且僅當，即時取“=”，所以當時，有最大值.故選：A題型九：分母構造型：一個分母構造型單分母單分母形如，求型，則可以湊配，再利用“1”的代換來求解。其中可以任意調換a、b系數，來進行變換湊配。1．（23-24高三·浙江溫州·模擬）已知非負實數滿足，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】依題意可得且，利用乘“1”法及基本不等式計算可得.【詳解】因為非負實數滿足，顯然，則，所以，則，當且僅當，即，時取等號，所以的最小值為.故選：B2．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，則的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】由題意可得，根據“1”的靈活應用結合基本不等式運算求解.【詳解】因為，可得，且，，可知，則，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為1.故選：B.3．（23-24高三下·江蘇揚州·開學考試）已知實數，，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據給定條件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【詳解】實數，，由，得，因此，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.故選：B4．（23-24高三·浙江·模擬）已知，，且，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】D【分析】根據題意，以與為基本量加以整理，化簡后利用基本不等式算出答案.【詳解】由得，其中，，所以，當且僅當，即，則，時，等號成立，故的最小值為9.故選：D5．（23-24高三·廣東肇慶·模擬）已知，，，則的最小值為（

）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】C【分析】通過配湊，借助基本不等式計算即可.【詳解】因為，，所以，，當且僅當，即，時，有最小值.故選：C.題型十：分母構造型：兩個分母構造型雙分母雙分母形如，求型，則可以湊配，再利用“1”的代換來求解。其中可以任意調換a、b系數，來進行變換湊配。1．（2024·全國·模擬預測）設正實數a，b滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得，根據“1”的代換化簡得出.進而根據基本不等式，即可求得答案.【詳解】因為，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為．故選：C．2．（23-24高三·浙江·期中）已知，且，則的最小值為（

）A．1 B． C．9 D．【答案】C【分析】根據已知等式，結合基本不等式進行求解即可．【詳解】因為，所以，則當且僅當，即時，等號成立．故選：C．3．（23-24高三·江蘇徐州·階段練習）已知正實數滿足，不等式恒成立，則實數m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得當時，，即可求得實數m的取值范圍是.【詳解】易知，所以可得；當且僅當，即時，等號成立；依題意需滿足，所以.故選：D4．（23-24高三上·江蘇南京·階段練習）已知非負實數，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，利用基本不等式“1”的代換求其最小值，注意取值條件.【詳解】非負實數，滿足，則，則，當且僅當，即時等號成立，所以當時，的最小值為.故選：D5．（23-24高三·湖北·階段練習）若，且，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】利用乘“1”法即可求解.【詳解】可變形為，所以，當且僅當即，時取等號，故選：C題型十一：分離常數構造型對于分式型不等式求最值，如果分子上有變量，可以通過常數代換或者分離常熟，消去分子上變量，轉化為分式型常數代換或者分式型分母和定來求解對于分式型不等式求最值，如果分子上有變量，可以通過常數代換或者分離常熟，消去分子上變量，轉化為分式型常數代換或者分式型分母和定來求解分離常數技巧：1．（23-24高三·廣東佛山·階段練習）已知正數，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用基本不等式求最值即可.【詳解】因為，所以，則．因為，所以，當且僅當，即，時，等號成立，故的最小值是．故選：A.2．（23-24高三上·廣東東莞·期中）已知a，b為正實數，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據給定條件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【詳解】正實數滿足，則，當且僅當，即時取等號，所以當時，取得最小值.故選：D3．（23-24高三·全國·期末）已知，，且，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．5【答案】C【分析】根據題意整理可得，再利用基本不等式求解即可得.【詳解】由于，，且，則，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為.故選：C.4．（23-24高三·湖北武漢·模擬）已知且，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】將已知化為，，再利用基本不等式即可求解.【詳解】，，，，當且僅當，且，即時等號成立，的最小值為.故選：A5．（22-23高一下·云南·階段練習）已知，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】整理得出，由已知變形可得，展開后利用基本不等式可求得所求代數式的最小值.【詳解】因為，，則，因為，則，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，故的最小值為.故選：B.題型十二：換元構造型若已知若已知（定值），型，則可通過線性換元，令，反解出代入條件等式中，換元為簡單的條件不等式1．（23-24高三上·四川巴中·開學考試）已知且，則的最小值為（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【分析】令，結合可得，由此即得，展開后利用基本不等式即可求得答案.【詳解】由題意得，，令，則，由得，故，當且僅當，結合，即時取等號，也即，即時，等號成立，故的最小值為9，故選：B2．（23-24高三上·山東·階段練習）已知實數x，y滿足，且，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】先得出，再根據基本不等式“1”的妙用求得結果.【詳解】設，則且，解得.所以，因為，所以，當時取等號，即且，解得.故選：B.3．（21-22高三·河南洛陽·階段練習）已知正數，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用雙換元法化簡后，根據基本不等式計算【詳解】，令，，則，，，當且僅當，即，時，等號成立，故有最小值．故選：B4．（22-23高三上·江西南昌·階段練習）已知正數，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式“1”的妙用及換元法即可求得結果.【詳解】，令，，則，，，當且僅當且，即，時，等號成立，所以，故有最小值.故選：D.5．（2022·安徽合肥·模擬預測）已知正數x，y滿足，則的最小值（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用換元法和基本不等式即可求解.【詳解】令，，則，即，∴，當且僅當，即，時，等號成立，故選：A.題型十三：分母拆解湊配型湊配拆解型湊配拆解型形如，求型，則可以湊配，再利用“1”的代換來求解。其中可以任意調換a、b系數，來進行變換湊配1．（22-23高三上·河北保定·階段練習）不等式的解集為，其中，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意可得，則有，所以，化簡后利用基本不等式可求得其最小值.【詳解】方程有兩個不等的實數根，，，即，，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為.故選：C2．（22-23高三·河北承德·期末）已知正實數滿足，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．12 D．10【答案】B【分析】利用得出，結合基本不等式求解.【詳解】因為，所以，而，，當且僅當，即時，等號成立.故選：B3．（19-20高三上·陜西榆林·階段練習）已知的值域為，當正數滿足時，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據值域計算，變換，利用均值不等式得到答案.【詳解】，當時，函數有最小值，故；即，，當，即，時等號成立.故選：.【點睛】本題考查了函數值域，均值不等式，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.4．（2024·四川成都·模擬預測）若是正實數，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】觀察等式分母可知，利用基本不等式中“1”的妙用可得結果.【詳解】因為，當且僅當時取等號，所以的最小值為.故選：A5．（23-24高三下·河北·開學考試）已知，均為正實數，且滿足，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】先將化為，把待求不等式先通分，再利用均值不等式可得.【詳解】因為，均為正實數，且，得，所以，又，當且僅當即時取等號，所以.故選：B.題型十四：萬能“K”型一般情況下的“萬能K法”一般情況下的“萬能K法”設K法的三個步驟：⑴、問誰設誰：求誰，誰就是K；⑵、代入整理：整理成某個變量的一元二次方程（或不等式）；⑶、確認最值：方程有解（或不等式用均值放縮），≥0確定最值。求誰設誰，構造方程用均值1．（22-23高三上·江蘇南京·模擬）已知正實數，滿足，則的最大值為（

）A． B．1 C．2 D．9【答案】D【分析】利用基本不等式以及一元二次不等式求解.【詳解】因為，所以,所以，即所以，解得，當且僅當，解得或時等號成立，所以當時有最大值為9.故選:D.2.（2022·全國·高一課時練習）已知為正實數，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意，化簡得到，結合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，可得，則有，解得，當且僅當，取到最小值.故選：B.3.（2022秋·四川成都·高一成都外國語學校校考期中）已知正數滿足，則的最大值是.【答案】【分析】令，則，，利用基本不等式，并結合一元二次不等式的求法可得的范圍，進而得到答案.【詳解】令，因為，，所以.則，所以，當且僅當即時等號成立.所以，即，解得，所以的最大值為.故答案為：.4.（21-22高三上·湖北襄陽·期中）若正數滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】由題意可得，化簡利用基本不等式可得，從而可求出的最小值.【詳解】解：，，，當且僅當時等號成立，，解得，的最小值為故選：C題型十五：均值不等式應用比大小幾個重要不等式幾個重要不等式（1）_（）；（2）（）；（3）2（）；（4）__或（）；（5）1．（23-24高三下·全國·階段練習）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】構造函數，由導數分析函數在上單調遞減，所以得到，得到，作差比較的大小，利用基本不等式比較大小即可.【詳解】設，則在上單調遞減，所以，所以，，，，所以，故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是構造函數，由導數分析函數在上單調遞減，所以得到，利用基本不等式比較大小即可.2．（2023·河南洛陽·一模）下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】運用作差法、對數運算公式及基本不等式可比較與，再運用構造函數研究其單調性可比較與.【詳解】∵，，∴，所以.∵∴比較與的大小，即比較與的大小.令，則.令，則.所以在上單調遞減，所以當時，，所以，所以在上單調遞減.又因為，所以，即.所以，即.綜上所述，.故選：B.【點睛】思路點睛：某些數或式大小關系問題，看似與函數的單調性無關，細心挖掘問題的內在聯系，抓住其本質，構造函數，分析并運用函數的單調性解題，它能起到化難為易、化繁為簡的作用.3．（22-23高三·江蘇常州·模擬）若且，設，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先將與常數進行比較，然后通過與比較大小，再通過基本不等式進行放縮，最后通過放縮【詳解】，可得：，，可得：且由基本不等式，可得：又，可得：，且，可得：，即故選：A4．（2022·全國·模擬預測）已知，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】對已知等式兩邊分別取對數求出a，b，c，然后通過換底公式并結合基本不等式比較a，b的大小，從而得到a，b，c的大小關系．【詳解】分別對，，兩邊取對數，得，，．．由基本不等式，得:，所以，即，所以．又，所以.故選：D．5．（23-24高三·浙江溫州·模擬）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先判斷出，，然后根據作差法結合基本不等式比較.【詳解】由題意，，，，由換底公式，，，由于，根據基本不等式，，故，即，于是.故選：A題型十六：利用均值不等式求恒成立參數型恒成立：恒成立：①若在上恒成立，則；②若在上恒成立，則；③若在上有解，則；④若在上有解，則；函數最值，符合均值不等式條件的，可以構造均值不等式放縮求最值1．（22-23高三·福建廈門·階段練習）已知不等式對滿足的所有正實數a，b都成立，則正數x的最小值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】先利用基本不等式證得（此公式也可背誦下來），從而由題設條件證得，結合題意得到，利用二次不等式的解法解之即可得到正數的最小值.【詳解】因為，當且僅當時，等號成立，所以，因為為正實數，所以由得，即，所以，當且僅當，且，即時，等號成立，所以，即，因為對滿足的所有正實數a，b都成立，所以，即，整理得，解得或，由為正數得，所以正數的最小值為.故選：B.2．（23-24高三·甘肅蘭州·期末）對任意實數，不等式恒成立，則實數的最大值（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】首先不等式變形為恒成立，再利用兩次基本不等式求的最小值，即可求解的取值.【詳解】不等式恒成立，可轉化為恒成立，其中，令，，，第二次使用基本不等式，等號成立的條件是且，得且，此時第一次使用基本不等式，說明兩次基本不等式能同時取得，所以的最小值為，即，則，所以實數的最大值為.故選：D【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是再求的最值時，需變形為，再通過兩次基本不等式求最值.3．（23-24高三上·河北邢臺·階段練習）不等式對所有的正實數,恒成立，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．1【答案】D【分析】由題意可得，令，則有，，結合基本不等式求得，于是有，從而得答案.【詳解】解：因為,為正數，所以，所以，則有，令，則，所以，當且僅當時，等號成立，所以，，又，所以，即，所以的最小值為1，所以，即的最大值為1.故選：D.【點睛】方法點睛：對于恒成立問題，常采用參變分離法，只需求出分離后的函數(代數式)的最值即可得解.4．（22-23高三上·河南鄭州·模擬）已知正數a，b滿足，若恒成立，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先參變分離得，再利用，與相乘，然后連續運用兩次基本不等式即可.【詳解】依題意，．又，而，當且僅當，即，時，前后兩個不等號中的等號同時成立，所以的取值范圍為故選：題型十七：因式分解型如果條件（或者結論）可以因式分解，則可以通過對分解后因式雙換元來轉化求解如果條件（或者結論）可以因式分解，則可以通過對分解后因式雙換元來轉化求解1.特征：條件式子復雜，一般有一次和二次（因式分解展開就是一次和二次），可能就符合因式分解原理2.最常見的因式分解：1.（2023·全國·高三專題練習）已知正數，滿足，則的最小值是．【答案】10【解析】將已知等式化為，所求式子化為，利用基本不等式即可