外接（內(nèi)切）球中的十大解題模型一．基本原理1．三角形的外心:.注：等邊三角形的外心，直角三角形的外心，正方形，長(zhǎng)方形的外心.三．正方體，長(zhǎng)方體的外接球.正長(zhǎng)體或長(zhǎng)方體的外接球的球心是其體對(duì)角線的中點(diǎn)二．典例分析一．四面體模型1.1正四面體：由四個(gè)全等\t"/item/%E6%AD%A3%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93/_blank"正三角形圍成的空間\t"/item/%E6%AD%A3%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93/_blank"封閉圖形，所有\(zhòng)t"/item/%E6%AD%A3%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93/_blank"棱長(zhǎng)都相等.1.2正四面體的外接球和內(nèi)切球.假設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為,其外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，則.例1．一個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，則這個(gè)正四面體的外接球的體積為（

）A． B． C． D．解析：如圖，四面體是正四面體，棱長(zhǎng)，將其補(bǔ)形成正方體，則正方體的棱長(zhǎng)，此正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，正四面體與正方體有相同的外接球，則正四面體的外接球半徑，所以正四面體的外接球體積為．故選：A二．等腰四面體（正棱錐）例2．（2022·全國(guó)·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上．若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．解析：∵球的體積為，所以球的半徑，設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，則，，所以，所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時(shí)，，時(shí)，，所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是．故選：C．三．棱臺(tái)模型例3．（2022·全國(guó)·高考真題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．解析：設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A．四．對(duì)棱相等：補(bǔ)成長(zhǎng)方體例4．在四面體中，若，，，則四面體的外接球的表面積為A． B． C． D．解：如下圖所示，將四面體放在長(zhǎng)方體內(nèi)，設(shè)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為、、，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)即為長(zhǎng)方體的外接球直徑，設(shè)該長(zhǎng)方體的外接球半徑為，由勾股定理得，上述三個(gè)等式全加得，所以，該四面體的外接球直徑為，因此，四面體的外接球的表面積為，故選：．五．直棱柱1.基本定義：棱柱：上下底面平行且全等，側(cè)棱平行且相等的封閉幾何體叫棱柱.直棱柱：側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱.正棱柱：底面是正多邊形的直\t"/item/%E6%AD%A3%E6%A3%B1%E6%9F%B1/_blank"棱柱叫做正棱柱.正棱柱是\t"/item/%E6%AD%A3%E6%A3%B1%E6%9F%B1/_blank"側(cè)棱都垂直于底面，且底面是正多邊形的棱柱.2.外接球球心：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心連線的中點(diǎn).正棱柱外接球的球心是上下底面中心連線的中點(diǎn)。3.計(jì)算公式：設(shè)底面小圓的半徑為，棱柱高為，則.例5．在直三棱柱中，且，已知該三棱柱的體積為2，則此三棱柱外接球表面積的最小值為______．解析：設(shè)BC的中點(diǎn)為D，的中點(diǎn)為，，由題，得三棱柱外接球的球心在線段的中點(diǎn)O處，由三棱柱的體積為2，得，即，由題，得，所以，外接球表面積．故答案為：六．墻角模型 墻角模型（三條線兩個(gè)垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式，即，求出例6．已知是球面上的四個(gè)點(diǎn)，平面，，，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．解：因?yàn)槠矫妫裕郑裕郑云矫妫煌砥矫妫瑒t兩兩互相垂直，將三棱錐補(bǔ)形成以為長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)方體，如下圖所示，又是球面上的四個(gè)點(diǎn)，所以球的直徑為該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，又，，所以該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，即球的直徑，其中是球的半徑；所以球的表面積為.故選:B.七．最值問題例7．（眉山三模）已知是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，三棱錐全部頂點(diǎn)都在表面積為的球O的球面上，則三棱錐的體積的最大值為（

）．A． B． C． D．解：球O的半徑為R，則，解得：，由已知可得：，其中，球心O到平面ABC的距離為，故三棱錐的高的最大值為3，體積最大值為．故選：C．例8．三棱錐的頂點(diǎn)都在以PC為直徑的球M的球面上，．若球M的表面積為，，則三棱錐的體積的最大值為（

）A．24 B． C．27 D．解析：因?yàn)槿忮F的頂點(diǎn)都在以PC為直徑的球M的球面上，所以，又，，故面，又，故面，又面，故.球M的表面積為，設(shè)球的半徑為，則，解得，即，所以，，三棱錐的體積為，要使體積最大，即最大，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故體積的最大值為.故選：A.外接球綜合模型例9．是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，、分別為、的中點(diǎn)，，沿把折起，使點(diǎn)翻折到點(diǎn)的位置，連接、，當(dāng)四棱錐的外接球的表面積最小時(shí)，四棱錐的體積為A． B． C． D．解析：由題,取中點(diǎn),連接,因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形,故均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形.連接交于.易得為中點(diǎn),且..又四棱錐的外接球的表面積最小時(shí)球半徑最小,且球心到的距離相等.故球心在過且與平面垂直的直線上.故當(dāng)球心為時(shí),球半徑取得最小值.此時(shí)有.在中由余弦定理可得.因?yàn)?故平面.故到平面的距離.又底面.故選：D九.等體積法解決內(nèi)切球即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等第1步：先畫出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；第2步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為，建立等式：第3步：解出2.軸截面法：做出軸截面利用相似三角形求解.例10.已知正三棱錐的高為，底面邊長(zhǎng)為，內(nèi)有一個(gè)球與四個(gè)面都相切，則棱錐的內(nèi)切球的半徑為________．解析：如圖，球是正三棱錐的內(nèi)切球，到正三棱錐四個(gè)面的距離都是球的半徑．是正三棱錐的高，即．是邊中點(diǎn)，在上，的邊長(zhǎng)為，∴，∴，所