PAGE1-課時分層作業(二)量詞(建議用時：40分鐘)[基礎達標練]1．下列命題中為全稱命題的是()A．過直線外一點有一條直線和已知直線平行B．矩形都有外接圓C．存在一個實數與它的相反數的和為0D．0沒有倒數B[命題“矩形都有外接圓”可改寫為“每一個矩形都有外接圓”，是全稱命題．故選B.]2．下列命題中為存在性命題的是()A．全部的整數都是有理數B．三角形的內角和都是180°C．有些三角形是等腰三角形D．正方形都是菱形C[A，B，D為全稱命題，而C含有存在量詞“有些”，故為存在性命題．]3．下列命題中，是全稱命題且是真命題的是()A．對隨意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．菱形的兩條對角線相等C．?x∈R，eq\r(x2)＝xD．對數函數在定義域上是單調函數D[A中的命題是全稱命題，但a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命題；B中的命題是全稱命題，但是假命題；C中的命題是全稱命題，但eq\r(x2)＝|x|，故是假命題；很明顯D中的命題是全稱命題且是真命題，故選D.]4．下列存在性命題中，假命題的個數是()①存在x∈R，使x2<x；②有些三角函數的周期是π；③存在x∈R，使函數y＝eq\r(x2＋2)＋eq\f(1,\r(x2＋2))的最小值為2.A．0B．1C．2D．3B[由x2<x得0<x<1，故①“存在x∈R，使x2<x”是真命題；三角函數f(x)＝sin2x的周期為π，故②為真命題；eq\r(x2＋2)＝eq\f(1,\r(x2＋2))，得x2＋2＝1，即x2＝－1，此方程無實數解，所以y＝eq\r(x2＋2)＋eq\f(1,\r(x2＋2))＞2，故③是假命題．所以假命題的個數為1.]5．下列命題中為假命題的是()A．?x∈R，lgx＝0 B．?x∈R，tanx＝1C．?x∈R，x3＞0 D．?x∈R,2x＞0C[選項A，lgx＝0?x＝1；選項B，tanx＝1?x＝eq\f(π,4)＋kπ(k∈Z)；選項C，x3＞0?x＞0；選項D,2x＞0?x∈R.]6．命題“有些負數滿意不等式(1＋x)(1－9x)2＞0”用“?”寫成存在性命題為________．?x＜0，(1＋x)(1－9x)2＞0[依據存在性命題的定義改寫．]7．下列命題中為全稱命題的是________(填全部正確的序號)．①三角形兩邊之和大于第三邊②全部的x∈R，x3＋1>0③有些函數為奇函數④平行四邊形對角相等①②④[③為存在性命題，①、④為省略了全稱量詞的全稱命題，②為全稱命題．]8．下列語句中，全稱命題有________，存在性命題有________．(填序號)①有一個實數a，a不能取對數；②全部不等式的解集A都滿意A?R；③三角函數都是周期函數嗎？④有的向量方向不定；⑤自然數的平方是正數．②⑤①④[因為①④中含有存在量詞，所以命題①④為存在性命題；因為“自然數的平方是正數”的實質是“隨意一個自然數的平方都是正數”，所以含有全稱量詞，故為全稱命題；③不是命題．綜上所述，①④為存在性命題，②⑤為全稱命題，③不是命題．]9．推斷下列命題是否為全稱命題或存在性命題，若是，用符號表示，并推斷其真假．(1)存在一條直線，其斜率不存在；(2)對全部的實數a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；(3)存在實數x，使得eq\f(1,x2－x＋1)＝2.[解](1)是存在性命題，用符號表示為“?直線l，l的斜率不存在”，是真命題．(2)是全稱命題，用符號表示為“?a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命題．(3)是存在性命題，用符號表示為“?x∈R，eq\f(1,x2－x＋1)＝2”，是假命題．10．已知命題p：?x∈[1,2]，x2－a≥0，命題q：?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命題“p和q”都是真命題，求實數a的取值范圍．[解]?x∈[1,2]，x2－a≥0，即a≤x2，當x∈[1,2]時恒成立，∴a≤1.?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有實根，∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0.∴a≤－2或a≥1.又p和q都為真，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤1，,a≤－2或a≥1，))∴a≤－2或a＝1.[實力提升練]1．下列命題中，是假命題的是()A．?m∈R，使f(x)＝(m－1)xeq\s\up8(m2－4m＋3)是冪函數，且在(0，＋∞)上單調遞減B．?a＞0，函數f(x)＝(lnx)2＋lnx－a有零點C．?α，β∈R，使cos(α＋β)＝cosα＋sinβD．?φ∈R，函數f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函數D[∵f(x)為冪函數，∴m－1＝1，∴m＝2，∴f(x)＝x－1，∴f(x)在(0，＋∞)上單調遞減，故A中的命題為真命題；∵y＝(lnx)2＋lnx的值域為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞))，∴?a＞0，方程(lnx)2＋lnx－a＝0有解，即函數f(x)有零點，故B中的命題為真命題；當α＝eq\f(π,6)，β＝2π時，cos(α＋β)＝cosα＋sinβ成立，故C中的命題為真命題；當φ＝eq\f(π,2)時，f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝cos2x為偶函數，故D中的命題為假命題．]2．已知對?x>0，a≤x＋eq\f(1,x)恒成立，則a的取值范圍為________．(－∞，2][?