2024-2025學年上學期九年級11月數學試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列方程中是一元二次方程的是(

)A.x2+2x+3=x2 B.y2+x+1=02.用配方法解一元二次方程x2?4x+2=0，配方后得到的方程，正確的是(

)A.(x+4)2=4 B.(x?4)2=43.下列四組線段中，是成比例線段的是(

)A.5cm，15cm，2cm，6cm B.4cm，6cm，3cm，5cm

C.1cm，2cm，3cm，4cm D.3cm，4cm，2cm，5cm4.已知⊙O的直徑為10cm，若線段OA的長為6cm，則點A與⊙O的位置關系是(

)A.點在圓上 B.點在圓外 C.點在圓內 D.無法確定5.如圖，若AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠CDB=68°，則∠ABC度數為(

)A.22°

B.30°

C.32°6.下列說法正確的是(

)A.直徑所對的角是直角 B.同弧所對的圓心角是圓周角的2倍

C.三點確定一個圓 D.相等的圓心角所對的弧相等7.如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為(2,3)，點B的坐標為(3,0).以點O為位似中心，在第一象限內把△AOB按相似比2：1放大，得到△A'OB'，則A'，B'的坐標是(

)A.(1,32)，(32,0) B.(4,5)，(5,0) C.(4,6)，8.如圖，等邊△ABC沿DE折疊，點A的對應點A'恰好落在BC上(端點除外).下列結論，一定成立的是(

)A.AD=BD

B.△BDA'∽△A'ED

C.A'CBD=CE9.如圖，AB，CD相交于點E，點A，B，C，D都在格點上，則AEBE的值為(

)A.43

B.54

C.6510.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，點D為BC的中點，連接AD，過點C作CE⊥AD，垂足為點E，線段CE的延長線交AB于點F，連接BE，DF.如下結論：①DB2=DE?DA；②BE平分∠DEF；③BF=132

A.①③ B.②③ C.①②④ D.①②③二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。11.在比例尺為1：36000的無錫旅游地圖上，某條道路的長為10cm，則這條道路的實際長度為______km.12.如果α、β是關于x的一元二次方程x2?4x+n=0的兩個實數根，那么α+β=______.13.某藥品經過兩次降價，每瓶零售價由100元降為81元．已知兩次降價的百分率相同，則這個百分率為______.14.學校報告廳舞臺的寬AB為10m，小明作為新選任的主持人，想利用學過的黃金分割知識選持合適的位置站立，則他選擇的位置離A點______m.(寫出所有可能，精確到0.1m)15.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∠AOC=150°，則∠B=______.

16.在△ABC中，∠C=90°，AB=6，點O為△ABC的重心，連接OC，則OC=______.17.如圖，△ABC中，AB=7，AC=4，BC上的高AD=3.則△ABC外接圓的半徑長為______.

18.如圖，在四邊形ABCD中，AB=3，AD=4，連接AC，BD，若∠CBD=2∠CDB=60°，則AC長度的最大值為______.

三、解答題：本題共10小題，共96分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19.(本小題8分)

解方程：

(1)x2?3x?2=0；

20.(本小題8分)

已知關于x的一元二次方程x2?(k+2)x+2k?1=0(k為常數).

(1)求證：不論k為何值，該方程總有兩個不相等的實數根；

(2)若方程的一個根為3，求k的值和方程的另一個根21.(本小題10分)

如圖，D是△ABC的邊AC上的一點，連接BD，已知∠ABD=∠C.

(1)求證：△ABD∽△ACB；

(2)若AB=5，CD=4，求AD的長.22.(本小題10分)

如圖，已知AB.

(1)在AB上求作點C，使AC與BC的長度比為1：3；(用直尺和圓規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)連接AB，若AB=8，AB上的點到AB的大距離為2，求AB所在圓的半徑長.(如果需要圖形，請使用備用圖)

23.(本小題10分)

如圖，在△ABC中，∠C=90°，以點C為圓心，CA為半徑的圓交AB于點D，交BC于點E.

(1)若∠B=28°，求DE的度數；

(2)若BE=EC=4，求24.(本小題10分)

某服裝大賣場以每件60元的價格購進一種服裝，由試銷知，每天的銷量m(件)與每件的銷售價x(元)之間的函數關系為m=300?3x.

(1)當每天的銷售量為45件時，求銷售這種服裝的毛利潤；

(2)如果商場想銷售這種服裝每天獲得900元的毛利潤，同時又考慮薄利多銷，那么每件服裝的銷售價應定為多少元？25.(本小題10分)

如圖，平直的公路旁有一燈桿AB，在燈光下，小明在D處測得自己的影長DH=2m，在F處測得自己的影長FG=3m.小明身高1.5m.

(1)若測出BD=am，求燈桿AB的長；(用含a的代數式表示)

(2)若測出FH=1m，求燈桿AB的長.26.(本小題10分)

先閱讀下列例題，再按要求解答問題：

例題：求代數式x2+4x+5的最小值.

解：x2+4x+5=(x2+4x+4)+1=(x+2)2+1.

∵(x+2)2≥0，∴(x+2)2+1≥1.

∴x2+4x+5的最小值是1.

(1)求代數式?2x2+12x+15的最大值；27.(本小題10分)

【探究活動】如圖，BE是△ABC的中線，點D在BC上，BE交AD于點F.

(1)當CDBD=12時，求AFFD的值；

(2)當CDBD=1n時，則AFFD=______；(用含n的代數式表示)

【解決問題】請利用探究活動的經驗或結論解決問題：Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE是△ABC的中線，點D在直線BC上，射線BE交AD于點28.(本小題10分)

如圖，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=3cm，動點P以1cm/s的速度沿著折線AB，BC運動到點C時停止.已知△PA'D與△PAD關于直線PD對稱，連接AA'.設運動時間為ts.

(1)當點A'落在對角線BD上時，t=______；

(2)當點P在BC上運動時，點A，P，A'能否在同一條直線上？如果能，請求出t的值；如果不能，請說明理由，并求出△APA'的面積的最小值；

(3)連接BA'，若△ABA'是直角三角形，請直接寫出t的值.

參考答案1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】C

10.【答案】D

11.【答案】3.6

12.【答案】4

13.【答案】10%

14.【答案】6.2或3.8

15.【答案】105°16.【答案】2

17.【答案】14318.【答案】319.解：(1)x2?3x?2=0，

∵a=1，b=?3，c=?2，

∴Δ=(?3)2?4×1×(?2)=9+8=17>0，

∴x=3±172×1=3±172，

∴x1=3+1720.(1)證明：∵Δ=[?(k+2)]2?4(2k?1)

=k2+4k+4?8k+4

=k2?4k+4+4

=(k?2)2+4，

∵(k?2)2≥0，

∴Δ>0，

∴該方程總有兩個不相等的實數根；

(2)解：∵方程的一個根為3，

∴9?3(k+2)+2k?1=0，

∴k=2，21.(1)證明：∵∠ABD=∠C，∠BAD=∠CAB，

∴△ABD∽△ACB；

(2)設AD=x，

∵AB=5，CD=4，

∴AC=AD+CD=x+4，

∵△ABD∽△ACB，

∴AB：AC=AD：AB，

∴AB2=AD?AC，

∴52=x(x+4)，

整理得：x2+4x?25=0，

22.解：(1)如圖1中，點C即為所求；

(2)如圖2中，設圓心為O，半徑OC⊥AB于點D，設OA=OC=r，

∵OC⊥AB，

∴AD=DB=4，

在Rt△ADO中，r2=42+(r?2)2，

解得23.解：(1)如圖，連接CD.

∵∠C=90°，∠B=28°，

∴∠A=90°?∠B=62°，

∵CA=CD，

∴∠ADC=∠A=62°，

∴∠BCD=∠ADC?∠B=62°?28°=34°，

∴DE的度數是34°.

(2)延長BC交圓C于點F.

∵BE=EC=4，

∴BC=BE+EC=8，CF=AC=EC=4，

∴BF=BC+CF=12，

在Rt△ABC中利用勾股定理，得AB=A24.解：(1)當m=45時，45=300?3x，

解得：x=85，

∴45×(85?60)=1125(元)，

答：當每天的銷售量為45件時，銷售這種服裝的毛利潤為1125元；

(2)設每件服裝的銷售價應定為x元，

由題意得：(x?60)(300?3x)=900，

整理得：x2?160x+6300=0，

解得：x1=70，x2=90，(不符合題意，舍去)25.解：(1)∵AB//CD，

∴△ABH∽△CDH，

∴ABCD=BHDH，

∵CD=1.5m，DH=2m，BD=am，

∴AB1.5=a+22，

∴AB=(34a+32)m；

(2)∵EF//AB，

∴△GEF∽△GAB，

∴GFGB=EFAB，

∵CD//AB，

∴△HCD∽△HAB，

26.解：(1)?2x2+12x+15=?2(x?3)2+33≤33，

即代數式?2x2+12x+15的最大值為33；

(2)設降低x元時，盈利w最大，

由題意得：w=(2500?200?x)(8+12527.解：(1)如圖，過點D作DG//AC交BE于點G，

則∠ADG=∠DAC，∠BGD=∠BEC，

∵∠AFE=∠DFG，

∴△AFE∽△DFG，

∴AFFD=AEGD，

∵∠DBG=∠CBE，

∴△BDG∽△BCD，

∴GDCE=BDBC，

∵CDBD=12，

∴BDBC=23，

∴GDCE=BDBC=23，

∵BE是中線，

∴AE=CE，

∴GDAE=GDCE=23，

∴AFFD=AEGD=32，

(2)如圖，過點D作DG//AC交BE于點G，

同(1)中方法可知AFFD=AEGD=CEGD=BCBD，

∵CDBD=1n，

∴BCCD=n+1n，

∴AFFD=n+1n，

故答案為：n+1n；

【解決問題】分兩種情況，

①當點D在線段BC上時，如圖所示，

∵BD=6，CD=2，

∴CDBD=13，

由前述結論可知AFFD=43，

∴DFAD=37，

過F作FH⊥BC于點H，則∠BHF=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠BHF，

∵∠FDH=∠ADC，

∴△FDH∽△ADC，

∴DHCD=FHAC=DFAD=37，

∴DH=67，FH=127，

∴BH=BD+DH=487，

在Rt△BFH中，BF=BH2+FH2=12177；

②當點D在線段BC延長線上時，如圖所示，

同(1)中方法，可求得AFFD=23，

∴FDAD=35，

過F作FH⊥BC于點H，則∠BHF=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠BHF，

∵∠FDH=∠ADC，

∴△FDH∽△ADC，

∴DHCD=FHAC=DFAD=35，

∴DH=65，FH=125，

∴BH=BD?DH=245，

在Rt△BFH中，BF=BH2+FH2=1255.

綜上，BF的值為12177或1255.

28.解：(1)如圖1，連接BD，