專題14函數模型及其應用（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】................................................................9

【考點1】利用函數圖象刻畫實際問題的變化過程................................9

【考點2】已知函數模型解決實際問題..........................................15

【考點3】構造函數模型解決實際問題..........................................22

【分層檢測】...............................................................27

【基礎篇】.................................................................27

【能力篇】.................................................................36

【培優篇】.................................................................40

考試要求：

1.了解指數函數、對數函數與一次函數增長速度的差異，理解“指數爆炸”“對數增長”“直

1

線上升”等術語的含義.

2.通過收集、閱讀一些現實生活、生產實際等數學模型，會選擇合適的函數模型刻畫現實問題

的變化規律，了解函數模型在社會生活中的廣泛應用.

?知識梳理

1.指數、對數'幕函數模型性質比較

函數xn

y=ay=logaxy=x

性伍>1）（。>1）（〃>0）

在(0,+8)

單調遞增單調遞增單調遞增

上的增減性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩

隨〃值

圖象隨X的增大逐漸表隨X的增大逐漸表

變化而

的變化現為與y軸平行現為與X軸平行

各有不同

值的比較存在一個X0，當x>xo時，有log施

2.幾種常見的函數模型

函數模型函數解析式

一次函數模型J（x）=ax-\-b（a,6為常數，QWO）

二次函數模型fix）=ax1+bx+c（a,b,c為常數，QWO）

與指數函數相關的模型f（x）=bax-\-c（a,b,c為常數，a>0且aWl,6W0）

與對數函數相關的模型fix）—Z?log?x+c（a9b,c為常數，a>0且bWO）

與募函數相關的模型f（x）—axn+b（a,b,n為常數，〃W0）

常用結論

1.“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數增長”先慢后快，其增長量成倍增加,

常用“指數爆炸”來形容；“對數增長”先快后慢，其增長量越來越小.

2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數的圖象和性質是解題的關鍵.

3.易忽視實際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數的定義域，必須驗證數學結果對實際

問題的合理性.

真題自測

一、單選題

2

1.（2020?全國?高考真題）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網上銷售業務，每天能完成1200份訂單

的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市

某日積壓500份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過1600份的概率為0Q5,志愿者每人每天能完成50

份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95,則至少需要志愿者（）

A.10名B.18名C.24名D.32名

2.（2020?山東?高考真題）基本再生數與世代間隔7■是新冠肺炎的流行病學基本參數.基本再生數指一個

感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指

數模型：/（/）=」描述累計感染病例數/（t）隨時間t（單位:天）的變化規律，指數增長率r與R。，T近似滿足Ro

=1+”.有學者基于已有數據估計出R°=3.28,7=6.據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍

需要的時間約為（ln2=0.69）（）

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

二、多選題

3.（2023?全國?高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級

4=20xlg2，其中常數為（A>0）是聽覺下限閾值，？是實際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級：

聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB

燃油汽車1060?90

混合動力汽車1050?60

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為則（）.

A.Pi^P2B.。2>1見

D.p<100/7

C.。3=100。0x2

三、填空題

4.（2019?北京?高考真題）李明自主創業，在網上經營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、

桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷"一次

購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客網上支付成功后，李明會得到支付款的80%.

①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

3

②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則X的最大值

為.

四、解答題

5.（2019?江蘇?高考真題）如圖，一個湖的邊界是圓心為。的圓，湖的一側有一條直線型公路/,湖上有橋

ABC43是圓。的直徑）.規劃在公路/上選兩個點尸、Q,并修建兩段直線型道路網、QA.規劃要求:線段

PB、QA上的所有點到點。的距離均不小于阿O的半徑.已知點4B到直線I的距離分別為NC和BD（C、

。為垂足），測得/2=10,NC=6,BD=12（單位:百米）.

（1）若道路依與橋垂直，求道路尸2的長；

（2）在規劃要求下，P和。中能否有一個點選在。處？并說明理由；

（3）對規劃要求下，若道路網和Q4的長度均為d（單位：百米）.求當d最小時，P、。兩點間的距離.

參考答案：

1.B

【分析】算出第二天訂單數，除以志愿者每天能完成的訂單配貨數即可.

【詳解】由題意，第二天新增訂單數為500+1600-1200=900,

詈=18,故至少需要志愿者18名.

故選：B

【點晴】本題主要考查函數模型的簡單應用，屬于基礎題.

2.B

【分析】根據題意可得/（t）=e"=e°3、設在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間

為"天，根據＞=2*3必，解得4即可得結果.

【詳解】因為&=3.28,T=6,R°=l+rT,所以廠==0.38,所以/（。=e”=，

6

設在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間為％天，

則0。軟，+4）=2e“w,所以e"3M=2,所以0.3甑=In2,

4

In20.691門十

所以％=——?——el.8天.

10.380.38

故選：B.

【點睛】本題考查了指數型函數模型的應用，考查了指數式化對數式，屬于基礎題.

3.ACD

【分析】根據題意可知4e[60,90],J450,60]=40,結合對數運算逐項分析判斷.

【詳解】由題意可知：7；A6[60,90],Zfte[50,60],ZA=40,

對于選項A：可得4-￡加=20、/且-20*啥也=20xlg■旦，

PoPoPi

因為紜“典，則4-4=20xlg且20,即1g互利，

PlP2

所以包21且0也>0,可得月上2，故A正確；

Pi

對于選項B：可得J一人=2°xlg三一20xlgR=20xlg巨，

PoPoPi

因為4一4=4一40之10,則20/吟.10,即吟4，

所以其》而且外>0,可得必上而°3，

23

當且僅當=50時，等號成立，故B錯誤；

對于選項C：因為4=2°xlg乙=40,即映星=2,

PoPo

可得乙=100,即用=100。。，故C正確；

Po

對于選項D：由選項A可知：41-=20xlg包，

Pi

-LD<90-50=40,則20xlg包440,

12

*P2

即lg且V2,可得包V100,且p1,0>O,所以回WIOO2,故D正確;

PlPl

故選：ACD.

4.130.15.

【分析】由題意可得顧客需要支付的費用，然后分類討論，將原問題轉化為不等式恒成立的問題可得x的最

大值.

【詳解】⑴x=10,顧客一次購買草莓和西瓜各一盒，需要支付(60+80)-10=130元.

(2)設顧客一次購買水果的促銷前總價為〉元,

5

y<120元時，李明得到的金額為7X80%，符合要求.

玲120元時，有（y-x）x80%?x70%恒成立，即8（k即xV佶1=15元.

所以x的最大值為15.

【點睛】本題主要考查不等式的概念與性質、數學的應用意識、數學式子變形與運算求解能力,以實際生活為

背景，創設問題情境，考查學生身邊的數學，考查學生的數學建模素養.

5.（1）15（百米）；

（2）見解析;

（3）17+3近1（百米）.

【分析】解：解法一:

（1）過工作/ELBA,垂足為E.利用幾何關系即可求得道路P3的長；

（2）分類討論尸和。中能否有一個點選在。處即可.

（3）先討論點P的位置，然后再討論點。的位置即可確定當I最小時，P、0兩點間的距離.

解法二：

（1）建立空間直角坐標系，分別確定點尸和點8的坐標，然后利用兩點之間距離公式可得道路尸8的長；

（2）分類討論尸和0中能否有一個點選在。處即可.

（3）先討論點尸的位置，然后再討論點。的位置即可確定當d最小時，尸、。兩點間的距離.

【詳解】解法一：

（1）過/作垂足為E.

由已知條件得，四邊形NCL應為矩形，DE=BE=AC=6,AE=CD=8.

因為P2_L4B,

84

所以cosZPBD=sinZABE

105

所以PB=c——osZ—PB——D=—4=1i5J.

5

因此道路網的長為15（百米）.

（2）①若P在。處，由（1）可得E在圓上，則線段上的點（除3,E）到點。的距離均小于圓。的

6

半徑，所以尸選在。處不滿足規劃要求.

②若。在。處，連結40,由（1）知/￡>=J/爐+ED?=I。,

從而cosABAD=3+初一=二>0,所以/BAD為銳角.

2AD-AB25

所以線段上存在點到點。的距離小于圓。的半徑.

因此，。選在。處也不滿足規劃要求.

綜上，P和。均不能選在。處.

（3）先討論點尸的位置.

當/。瓦290。時，線段PB上存在點到點。的距離小于圓O的半徑，點P不符合規劃要求；

當NOAP290。時，對線段網上任意一點F,OF>OB,即線段網上所有點到點。的距離均不小于圓。的半

徑，點P符合規劃要求.

設耳為/上一點，且耳由（1）知，￡3=15,

3

止匕時月。=42$山/42。=4335/￡24=15、）=9；

當/。8尸>90°時，在48中，PB>RB=15.

由上可知,於15.

再討論點。的位置.

由（2）知，要使得。/“5,點0只有位于點C的右側，才能符合規劃要求.當Q4=15時，

CQ=^QA2-AC2=V152-62=301.此時，線段QA上所有點到點。的距離均不小于圓。的半徑.

綜上，當尸點。位于點C右側，且。。=3歷時，］最小，此時尸，。兩點間的距離

PQ=PD+CD+CQ=17+3721.

因此，d最小時，P,0兩點間的距離為17+3行1（百米）.

解法二：

（1）如圖，過。作。8_L/,垂足為〃

以。為坐標原點，直線。”為y軸，建立平面直角坐標系.

7

因為8￡＞=12,AC=6,所以。〃=9,直線/的方程為y=9,點/,8的縱坐標分別為3,-3.

因為48為圓。的直徑，48=10,所以圓。的方程為/+產=25.

3

從而/(4,3),B(-4,-3),直線48的斜率為一.

4

4

因為網，/瓦所以直線的斜率為-1,

直線網的方程為y=4-三25.

所以尸(-13,9),PB=^(-13+4)2+(9+3)2=15.

因此道路尸8的長為15(百米).

(2)①若P在。處，取線段3。上一點E(-4,0),則￡。=4＜5,所以尸選在。處不滿足規劃要求.

②若。在。處，連結由(1)知。(-4,9),又A(4,3),

3

所以線段40：y=一一x+6(-4?x?4).

4

在線段工。上取點“(3,，)，因為OM=＜出,+不=5,

所以線段4D上存在點到點。的距離小于圓。的半徑.

因此。選在。處也不滿足規劃要求.

綜上，P和0均不能選在。處.

(3)先討論點尸的位置.

當NO8尸＜90。時，線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑，點P不符合規劃要求；

當/。8尸290。時，對線段P8上任意一點凡OF＞OB,即線段P3上所有點到點。的距離均不小于圓。的半

徑，點尸符合規劃要求.

設月為/上一點，且4由(1)知，＜8=15,此時6(-13,9)；

當/。2尸＞90。時，在△尸耳8中，PB＞RB=15.

由上可知，於15.

再討論點。的位置.

由(2)知，要使得°/絲5,點。只有位于點。的右側，才能符合規劃要求.

當。/=15時，設0(°,9),由NQ=癡-4)2+(9-3)2=15(。＞4),

得。=4+3后，所以0(4+3后，9),此時，線段。/上所有點到點。的距離均不小于圓。的半徑.

綜上，當P(-13,9),Q(4+3?，9)時，d最小，此時P,。兩點間的距離

P0=4+3A/H-(-13)=17+3VH,

8

因此，d最小時，尸，。兩點間的距離為17+3亞（百米）.

【點睛】本題主要考查三角函數的應用、解方程、直線與圓等基礎知識，考查直觀想象和數學建模及運用

數學知識分析和解決實際問題的能力.

■考點突破

【考點1】利用函數圖象刻畫實際問題的變化過程

一、單選題

L（2024?內蒙古赤峰?一模）在下列四個圖形中，點P從點。出發，按逆時針方向沿周長為/的圖形運動一

周，。、尸兩點連線的距離J與點尸走過的路程x的函數關系如圖，那么點尸所走的圖形是（）

必

2.（2022?甘肅酒泉?模擬預測）如圖，在矩形/BCD中，AB=2,BC=1,。是48的中點，點尸沿著邊BC、

CD與。/運動，記=將的面積表示為關于x的函數/（x）,則八尤）=（）

當x噓人幺F37r時，

B.f(x)=-tanx

37ri

C.當xe子目時,/(x)=-tanx

當x￡—，乃j時,

D./(x)=tanx

二、多選題

9

3.（2021?福建廈門?一模）某醫藥研究機構開發了一種新藥，據監測，如果患者每次按規定的劑量注射該藥

物，注射后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間f（小時）之間的關系近似滿足如圖所示的曲線.據進

一步測定，當每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時，治療該病有效，則（）

B.注射一次治療該病的有效時間長度為6小時

C.注射該藥物:小時后每毫升血液中的含藥量為0.4微克

O

31

D.注射一次治療該病的有效時間長度為5二時

4.（22-23高一上新疆烏魯木齊?期末）設/（無）=尤2,8（同=2*叫％）=10§2%,當xe（4,+8）時，對這三個函

數的增長速度進行比較，下列結論中，錯誤的是（）

A./（x）的增長速度最快,力⑴的增長速度最慢

B.g（x）的增長速度最快,“X）的增長速度最慢

C.g（x）的增長速度最快,/（X）的增長速度最慢

D./（x）的增長速度最快,g（無）的增長速度最慢

三、填空題

5.（21-22高二下?江蘇南通?期中）根據疫情防控要求，學校教室內每日需要進行噴灑藥物消毒.若從噴灑

0.1%,09t*10

藥物開始，教室內空氣中的藥物濃度了（毫克/立方米）與時間，（分鐘）的關系為：J=0.1/-1

II/>10

根據相關部門規定該藥物濃度達到不超過0.25毫克/立方米時，學生可以進入教室，則從開始消毒至少

分鐘后，學生可進教室正常學習；研究表明當空氣中該藥物濃度超過0.5毫克/立方米持續8分鐘以上時，才

能起到消毒效果，則本次消毒效果（填：有或沒有）.

6.（2020,江西南昌?三模）如圖，有一塊半徑為R的半圓形廣場，M為筋的中點.現要在該廣場內以為

中軸線劃出一塊扇形區域。尸。，并在扇形區域內建兩個圓形花圃（圓N和圓S）,使得圓N內切于扇形0也，

10

圓S與扇形。尸。的兩條半徑相切，且與圓N外切.記NPO"=e[o<8<W],則圓S的半徑y可表示成e的

函數式為，圓s的半徑j的最大值為.

參考答案：

1.D

【分析】

由點尸在第二條邊上運動時，y的單調性可排除A,由圖象的對稱性可排除B,由一開始了與X是線性的可

排除C,對于D,當圖形是正方形時，可以驗證它滿足題意.

【詳解】對于A,點尸在第一條邊上時，了=》，

但點尸在第二條邊上運動時，V是隨X的增大先減小（減到最小時V即為三角形的第二條邊上的高的長度）,

然后再增大，

對比圖象可知，A錯誤；

對于B,y與x的函數圖形一定不是對稱的，B錯誤；

對于C,一開始V與x的關系不是線性的，C錯誤；

對于D,因為函數圖象對稱，所以D選項應為正方形，不妨設邊長為。，

點尸在第一條邊上時（即0V無V。時），>=x,

22

點P在第二條邊上運動時（即aWxW2a時），y=^a+（x-a）,依然單調遞增，

點P在第三條邊上運動時（即2aVxV3a時），y=^a2+（3a-x）2，單調遞減，

點尸在第四條邊上運動時（即時），y=4a-x,單調遞減，

且已知V與'的圖象關于x=2a=g（其中/=4q）對稱，D正確.

2

故選：D.

2.C

（jr（TT3乃37r）

【分析】分工￡Oq、xel-,—、XG彳三種情況討論，求出△尸的邊上的高，結合三角形

的面積公式可得出/（X）的表達式.

JT______

【詳解】：OB=OC=1,則NBOC=I，易得OC=OZ）=JF+Y=板,：,OC2+OD2=CD2，

11

所以,"七'則43%/手

IJI

當時，點尸在線段5。上（不包括點5）,貝iJPB=O5tanx=tanx,

此時,/(x)=—ABtanx=tanx；

2

此時/（x）=〈/、BC=l；

3〃i

當xe彳目時，點尸在線段D4上（不包括點A）,

=0/tan-x)=-tanx,則/(尤)=-PZ=-tanx.

故選：C.

3.AD

【分析】利用圖象分別求出兩段函數解析式，再進行逐個分析，即可解決.

4（0〃<1）

【詳解】由函數圖象可知歹二口小丁、（E.,

當/=1時，y=4,即（；）~=4,解得a=3,

12

4%（0?/〈I）

3

，歹二rz八，故A正確,

1gi)

2

藥物剛好起效的時間，當4f=0.125,即仁5，

藥物剛好失效的時間(1r=0.125,解得f=6,

131

故藥物有效時長為6-二二5二小時，

3232

藥物的有效時間不到6個小時，故3錯誤，。正確；

注射該藥物2小時后每毫升血液含藥量為4x：=0.5微克，故C錯誤,

8o

故選：AD.

4.ACD

【分析】

做出三個函數〃x)=f,g(x)=2，，Mx)=lo&x的圖象，結合圖象，即可求解

【詳解】藏1函數/(0=/在(》)=才,〃(力=104%的圖象,如圖所示,

結合圖象，可得三個函數=2*,叫?=10&x中，

當xe(4,+⑹時，函數g(x)=2*增長速度最快，〃(x)=log2X增長速度最慢.

所以選項B正確；選項ACD不正確.

故選：ACD.

【分析】由已知只需(；)°g4；即可確定幾分鐘之后學生可進教室，計算出藥物濃度超過0.5毫克/立方米的

時間段，即可判斷是否有效果.

【詳解】由題設，只需即0」”122,可得此30分鐘，

13

所以30分鐘后藥物濃度不超過0.25毫克/立方米，故30分鐘后學生可進教室正常學習,

當O.ltzg,則此5,當（；嚴”心（，則0.17-141,可得IW20,

即第5分鐘到第20分鐘之間藥物濃度超過0.5毫克/立方米，故20-5>8分鐘,

所以本次消毒有效果.

故答案為：30,有.

Asin8(1-sin。)R_

(l+sin0)27

(R-q)sin6=a

【分析】設圓N的半徑為。，有幾何關系可得消去。即可得到圓s的半徑y與。的函

(^R-2a-y^sin0=y

數關系；令l+sine=Ml</<2）,則”《-1+：-3,再由二次函數求出最大值，即可求出結果.

【詳解】設圓N的半徑為。，過N作STLOP,垂足分別為K、T,如下圖所示：

即（E-Q）sin。=a；

在用VOTS中，可得——=sin6?BP^R-2a-y)sin0=y；

R-2a-y

(R-a)sin6=a_7?sin9(1-sin9)

(R_2q_y)sing=j/人"(1+sin^)2

Ml)")

令l+sin6=(l</<2),

貝ijy=,2

134

當1=-,即r=2時,R

t43

D

故圓s的半徑y的最大值為

o

7?sin0（1-sin0）R_

故答案為：尸（l+si?7

【點睛】本題主要考查了函數的應用，同時考查了利用換元法和二次函數求最值，是中檔題.

反思提升：

判斷函數圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法

（1）構建函數模型法：當根據題意易構建函數模型時，先建立函數模型，再結合模型選圖象.

（2）驗證法：根據實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合,

14

從中排除不符合實際的情況，選出符合實際的情況.

【考點2］已知函數模型解決實際問題

一、單選題

1.（2024?北京通州?二模）某池塘里原有一塊浮萍，浮萍蔓延后的面積S（單位：平方米）與時間，（單位:

月）的關系式為S=（。＞0,且。/1）,圖象如圖所示.則下列結論正確的個數為（）

①浮萍每個月增長的面積都相等；

②浮萍蔓延4個月后，面積超過30平方米；

③浮萍面積每個月的增長率均為50%；

④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所經過的時間分別是％,&，4,貝此+，2=小

2.（2022?黑龍江哈爾濱?三模）如圖為某小區七人足球場的平面示意圖，N8為球門，在某次小區居民友誼

比賽中，隊員甲在中線上距離邊線5米的尸點處接球，此時tan//尸8=捺，假設甲沿著平行邊線的方向向

前帶球，并準備在點。處射門，為獲得最佳的射門角度（即最大），則射門時甲離上方端線的距離為

二、多選題

3.（2023?河南?模擬預測）若物體原來的溫度為%（單位:。C）,環境溫度為4（單位:。C）,物體的溫度冷卻

15

iQ_Q

到e（e>q,單位:。c）與需用時間/（單位:分鐘）滿足r=/（o）=71ngz才收為正常數.現有一杯開水（io（yc）

放在室溫為20℃的房間里，根據函數關系研究這杯開水冷卻的情況（eB2.7,ln2w0.7）,則（）

A.當左='時，經過10分鐘，這杯水的溫度大約為40°C

B.當左=」時，這杯開水冷卻到60°C大約需要14分鐘

20

C.若〃60）=10*則/（40）=20

D.這杯水從100°C冷卻至IJ80°C所需時間比從80°C冷卻到60°C所需時間短

4.（2024?重慶?模擬預測）放射性物質在衰變中產生輻射污染逐步引起了人們的關注，已知放射性物質數量

隨時間/的衰變公式=既表示物質的初始數量，7是一個具有時間量綱的數，研究放射性物質

常用到半衰期，半衰期T指的是放射性物質數量從初始數量到衰變成一半所需的時間，已知ln2=0.7,右表

給出了鈾的三種同位素t的取值：若鈾234、鈾235和鈾238的半衰期分別為工，與，月，貝！|（）

物質t的量綱單位T的值

鈾234萬年35.58

鈾235億年10.2

鈾238億年64.75

A.r=Tln0.5B.T與7成正比例關系

C.工馮D.7；>100007；

三、填空題

5.（2023?上海長寧?一模）在有聲世界，聲強級是表示聲強度相對大小的指標.其值V（單位：dB）定義為

2122

y=101g；其中/為聲場中某點的聲強度，其單位為W/mJ0=10-W/m為基準值.若/=10W/n?,則其相

70

應的聲強級為dB.

6.（2007?湖北?高考真題）為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒.已知藥物釋放過程中，室

內每立方米空氣中的含藥量了（毫克）與時間/（小時）成正比；藥物釋放完畢后，y與/的函數關系式為

t-a

7（。為常數）.根據圖所提供的信息，回答下列問題:

16

（1）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量v（毫克）與時間，（小時）之間的函數關系式為；

（2）據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室，那么藥物釋放開始，

至少需要經過小時后，學生才能回到教室.

參考答案：

1.B

【分析】由已知可得出5=2"\計算出萍蔓延1月至2月份增長的面積和2月至3月份增長的面積，可判

斷①的正誤；計算出浮萍蔓延4個月后的面積，可判斷②的正誤；計算出浮萍蔓延每個月增長率，可判斷

③的正誤；利用指數運算可判斷④的正誤.

【詳解】由已知可得=2,則S=2"L

對于①，浮萍蔓延1月至2月份增長的面積為23-2?=4（平方米），

浮萍蔓延2月至3月份增長的面積為24-23=8（平方米），①錯；

對于②，浮萍蔓延4個月后的面積為25=32（平方米），②對；

對于③，浮萍蔓延第〃至〃+1個月的增長率為22二;=1，所以，浮萍蔓延每個月增長率相同，都是100%，

③錯；

對于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所經過的時間分別是JL，4，

則2田=3,2"+1=4，2'#=12=3x4=2"i?2'川=2"+"+2,所以％+4+1，④錯.

故選：B.

2.B

【分析】先根據題意解出48長度，設QH=h,得到cos乙，-+匕。，再分析求值域，判

325/+22500

斷取等條件即可求解.

【詳解】設/8=x,并根據題意作如下示意圖，由圖和題意得：PH=25,BH=10,

^VXtanZBPH=—=—=-,且tan//P3=2，

HP25531

17

52

所以tanZAPH=tan（NAPB+ZBPH）=3153

315

中AHAB+BHx+10，所以三^二^，解得》=即

又tan乙4PH=——5,/B=5,

PHPH25

設”=〃，0,25］,則40==，明+小？，

BQ=yjQH2+BH2=V/z2+102,所以在△4。8中,

4Q2+BQ2_AB?1+150

有cosZAQB=

2AQxBQV/?4+325A2+22500

令/=/+150(1504775),所以〃？二加一匕。，

一cosZAQB=］=］

所以，（加-150『+325（加-150）+22500衛5￡+”十］，

\m2m

因為150V/HW775,所以二W’W工，則要使最大，

775m150

即廠可要取得最小值’即尸尹取得最大值'

Vmm

即一W3750+迫25+1在1441上41士取得最大值,

mm775m150

令/=-1-e—,/⑺=一3750產+25/+1,

m1775150」')

所以/⑺的對稱軸為：/=工，所以/⑺在［上,工］單調遞增，在［工,單調遞減,

所以當'=工時，/⑺取得最大值，即最大，此時,=工，即機=300,

300m300

所以/=150,所以"=5幾，即為獲得最佳的射門角度(即最大),

則射門時甲離上方端線的距離為：576.

故選：B.

18

ABH

3.BCD

【分析】根據解析式/=/（夕）=；加烏二空中各量的意義，代入求解即可.

【詳解】，=/（。）=71口十二十，左為正常數.

對于A,左=工,4=100,4=20/=10,

一八100-2080,

由10=10ln----------,得ZHI1n---------=1,

0-200-20

ononon

所以言=e'解得°=2。+%“2。+而小。’故人錯誤；

對于B,k==100,0X—20,0=60,

t=201n1Q°-2°=201n—=201n2?20x0.7=14,故B正確;

60-2040

j"r上“小、szn1.100-201,80c

對于c,由〃6。）=1。，得臚茍』=泮石=泮2=10,BP^=—ln2,

10

則“砌嗡嚙竦小+=20,故C正確;

對于D,設這杯水從100℃冷卻到80°C所需時間為1分鐘,

1.100-201.4

則Z,=-In=-In—,

1k80-20k3

設這杯水從80°C冷卻到60°C所需時間為G分鐘,

則“Jin80-20

k60-20

l.'1八4?3、4x21.8八

泮廠,

rln3^3

所以乙<72，故D正確.

故選：BCD.

4.BD

19

【分析】A選項，根據半衰期的定義得到N?）=N°，從而得到方程，求出T=71n2；B選項，由A選

項得到結論；C選項，由B選項可得C錯誤；D選項，計算出",7],作商得到D正確.

【詳解】A選項，由題意得N（f）=Nop_y，

又N（t）=Noe-故e：，兩邊取對數得，-ln0.5=-

T=71n2,A錯誤；

B選項，由A可知，7與7成正比例關系，B正確；

C選項，由B可知，T與了成正比例關系，由于鈾234的了值小于鈾235的7值,

故C錯誤；

D選項，7；=rln2=6.475xl09ln2,

7；=rln2=3.558x10sln2,

故選：BD

5.130

【分析】

將題中數據直接代入公式，結合對數運算求解.

-122

【詳解】因為/=10W/m2,/0=10W/m,

所以其相應的聲強級為y=101g蒜=101gl0"=130dB.

故答案為：130.

10/,0</<—

103

”6

【分析】（1）當。工云奈時，可設卜=〃，把點代入直線方程求得左，得到直線方程；當時'

把點（上代入]“求得。，曲線方程可得.最后綜合可得答案.

20

「V

（2）分析可知只有當藥物釋放完畢，室內藥量減少到0.25毫克以下時學生方可進入教室，可出

1

t>—

10

解此不等式組即可得解.

【詳解】解：（］）依題意，當OV/wj時，設了=行，則士上=1，解得無=10,

1t-a

可，解得

將10代入y=I可得=1

5=151

10Z,0</<—

10

綜上所述，y=,

I,z>To

⑵由題意可得”。25j因為藥物釋放過程中室內藥量一直在增加,

即使藥量小于0.25毫克，學生也不能進入教室,

所以只有當藥物釋放完畢，室內藥量減少到0.25毫克以下時學生方可進入教室,

1

「歷<1

<4,解得/>[,

即，

1

t>——

10

3

由題意至少需要經過1小時后，學生才能回到教室.

10

；(2)|.

故答案為：（1）y=

f~io1

￡I,z>To

反思提升：

1.求解已知函數模型解決實際問題的關注點.

（1）認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數;

（2）根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數.

2.利用函數模型，借助函數的性質、導數等求解實際問題，并進行檢驗.

【考點3】構造函數模型解決實際問題

一、單選題

1.（2024?北京朝陽?二模）假設某飛行器在空中高速飛行時所受的阻力;■滿足公式f=^pCSv2,其中「是

空氣密度，S是該飛行器的迎風面積，v是該飛行器相對于空氣的速度，C是空氣阻力系數（其大小取決

21

于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率尸=加.當.5不變，v比原來提高

10%時，下列說法正確的是（）

A.若C不變，則