第11講函數(shù)的圖像

知識梳理

一、掌握基本初等函數(shù)的圖像

(1)一次函數(shù)；(2)二次函數(shù)；(3)反比例函數(shù)；(4)指數(shù)函數(shù)；(5)對數(shù)函數(shù)；(6)

三角函數(shù).

二、函數(shù)圖像作法

1、直接畫

①確定定義域；②化簡解析式；③考察性質(zhì)：奇偶性(或其他對稱性)、單調(diào)性、周期

性、凹凸性；④特殊點、極值點、與橫/縱坐標交點；⑤特殊線(對稱軸、漸近線等).

2、圖像的變換

(1)平移變換

①函數(shù)y=/(x+a)(a>0)的圖像是把函數(shù)y=/(x)的圖像沿x軸向左平移。個單位得

到的；

②函數(shù)y=a)(a>0)的圖像是把函數(shù)丁=/(x)的圖像沿x軸向右平移。個單位得

到的；

③函數(shù)y=f(x)+a(a>0)的圖像是把函數(shù)、=/(x)的圖像沿)軸向上平移“個單位得

到的；

④函數(shù)y=f(x)+a(a>0)的圖像是把函數(shù)丫=/(x)的圖像沿)軸向下平移"個單位得

到的;

(2)對稱變換

①函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(-x)的圖像關(guān)于y軸對稱；

函數(shù)y=/(?與函數(shù)的圖像關(guān)于x軸對稱；

函數(shù)》=/(x)與函數(shù)y=-/(f)的圖像關(guān)于坐標原點(0,0)對稱；

②若函數(shù)/(尤)的圖像關(guān)于直線x=“對稱，則對定義域內(nèi)的任意X都有

于(a-x)=于(a+x)或/(x)=f(2a-x)(實質(zhì)上是圖像上關(guān)于直線x=a對稱的兩點連線

的中點橫坐標為即為常數(shù));

2

若函數(shù)/(X)的圖像關(guān)于點(〃/)對稱，則對定義域內(nèi)的任意％都有

/(x)=2b—f(2a—x)^f(a—x)=2b—f(a+x)

③y=|/(x)|的圖像是將函數(shù)/(X)的圖像保留x軸上方的部分不變，將x軸下方的部分關(guān)

于x軸對稱翻折上來得到的(如圖(。)和圖(b))所示

@y=f(\X\)的圖像是將函數(shù)f(x)的圖像只保留y軸右邊的部分不變,并將右邊的圖像關(guān)

于》軸對稱得到函數(shù)、=〃國)左邊的圖像即函數(shù)y=/(國)是一個偶函數(shù)(如圖(C)所示).

注：/(x)|的圖像先保留/(X)原來在x軸上方的圖像，做出x軸下方的圖像關(guān)于x軸對稱

圖形，然后擦去X軸下方的圖像得到；而/'(國)的圖像是先保留/(X)在y軸右方的圖像，擦

去y軸左方的圖像，然后做出y軸右方的圖像關(guān)于y軸的對稱圖形得到.這兩變換又叫翻折

變換.

⑤函數(shù)、=廣1(x)與、=/(x)的圖像關(guān)于y=x對稱.

(3)伸縮變換

①y=4f(x)(A>0)的圖像，可將_y=/(x)的圖像上的每一點的縱坐標伸長(A>1)或縮

短(0vAv1)到原來的A倍得到.

②y=/3x)(o>0)的圖像，可將y=/(x)的圖像上的每一點的橫坐標伸長

或縮短(。>1)到原來的-倍得到.

CD

【解題方法總結(jié)】

(1)若/(%+兀)=/(利-%)恒成立，則'=/(%)的圖像關(guān)于直線*=相對稱.

(2)設(shè)函數(shù)y=/(x)定義在實數(shù)集上，則函數(shù)y=/(尤-切)與y=/("-x)(相>o)的圖

象關(guān)于直線x=m對稱.

(3)若/(a+x)=f(Jb-x),對任意xeA恒成立，則v=/(x)的圖象關(guān)于直線兀=里|^

對稱.

(4)函數(shù)y=/(a+x)與函數(shù)y=x)的圖象關(guān)于直線元對稱.

（5）函數(shù)..y=/（x）..與函數(shù)y=/（2a-x）的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

（6）函數(shù)y=/（》）與函數(shù)y=26-/（2a-x）的圖象關(guān)于點（a,6）中心對稱.

（7）函數(shù)平移遵循自變量“左加右減”，函數(shù)值“上加下減”.

必考題型全歸納

題型一：由解析式選圖（識圖）

【例1】（2024?山東煙臺?統(tǒng)考二模）函數(shù)y=x（sinx-sin2x）的部分圖象大致為（）

【對點訓練1】（2024?重慶?統(tǒng)考模擬預測）函數(shù)＞=：（犬-2）%/的圖像是（）

【對點訓練2】（2024.安徽安慶.安慶市第二中學校考二模）函數(shù)/（力=心匕+5抽2%的部

分圖象大致是（）

【對點訓練3】（2024?全國?模擬預測）函數(shù)〃x）="%>””的大致圖像為（）

【解題方法總結(jié)】

利用函數(shù)的性質(zhì)（如定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、特殊點等）排除錯誤選

項，從而篩選出正確答案

題型二：由圖象選表達式

【例2】（2024.四川遂寧.統(tǒng)考二模）數(shù)學與音樂有著緊密的關(guān)聯(lián)，我們平時聽到的樂音一

般來說并不是純音，而是由多種波疊加而成的復合音.如圖為某段樂音的圖像，則該段樂

音對應(yīng)的函數(shù)解析式可以為（）

A.y=sinx+—sin2x+-sin3xB.y=sin%--sin2x--sin3x

2323

1cle

C.y=sinx+—cos2x+-cos3xD.y=cosx+—cos2x+—cos3x

2323

【對點訓練4】（2024.全國?校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)了㈤在［-2,2］上的圖像如圖所示,

B.f(x)=x2-\x\-2

D./(x)=ln(x2-2|x|+2)-l

【對點訓練5】（2024?河北?統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)/'（X）的部分圖象如圖所示，則/'（X）

的解析式可能為（）

A.y(x)=XCOS71(X4-1)B.f(.^)=(x—1)cosTUC

C./(%)=(%—l)sinmD.y(x)=x3—2x2+x—1

【對點訓練6】（2024?貴州遵義?校考模擬預測）已知函數(shù)/'（x）在［Y,4］上的大致圖象如下

B-〃x)=

10

C.7(x)=|x|.(4-|x|)D.〃x)=|斗si吟

【解題方法總結(jié)】

1、從定義域值域判斷圖像位置;

2、從奇偶性判斷對稱性;

3、從周期性判斷循環(huán)往復;

4、從單調(diào)性判斷變化趨勢;

5、從特征點排除錯誤選項.

題型三：表達式含參數(shù)的圖象問題

【例3】（2024?全國?高三專題練習）在同一直角坐標系中，函數(shù)y=log.（-x）,

6Z—1

。＞0）,且awl的圖象可能是（）

y二—

X

【對點訓練7】（2024?山東濱州.統(tǒng)考二模）函數(shù)〃x）=，+：°sx的圖象如圖所示,則

ax-bx+c

B.a<0,0=0,c<0

C.a<0,/?<0,c=0D.a〉0,b=6,c>0

【對點訓練8】（2024.全國?高三專題練習）已知函數(shù)丁=1。&（%+6）（〃，b為常數(shù),其中

〃>0且GW1）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（)

B.〃二2,b=2

C.a—0.5,b=0.5D.〃二2,b=0.5

2

【對點訓練9】（2024.全國?高三專題練習）若函數(shù)=-的部分圖象如圖所

ax+bx+c

示，則/⑸=（）

【對點訓練10］（2024?全國?高三專題練習）在同一直角坐標系中，函數(shù)

y=，r,y=log［x+￡j（a>0且awl）的圖象可能是

【對點訓練1。（多選題）（2024?全國?高三專題練習）函數(shù)〃x）="巫（小0）在［-2兀,

sinx

2m上的大致圖像可能為（）

【解題方法總結(jié)】

根據(jù)函數(shù)的解析式識別函數(shù)的圖象，其中解答中熟記指數(shù)幕的運算性質(zhì)，二次函數(shù)的

圖象與性質(zhì)，以及復合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查分析問題和解答

問題的能力，以及分類討論思想的應(yīng)用.

題型四：函數(shù)圖象應(yīng)用題

【例4】（2024?北京.高三專題練習）高為衣、滿缸水量為V的魚缸的軸截面如圖所示，現(xiàn)

底部有一個小洞，滿缸水從洞中流出，若魚缸水深為/i時水的體積為"，則函數(shù)

的大致圖像是

【對點訓練12】（2024?四川成都?高三四川省成都市玉林中學校考階段練習）如圖為某無人

機飛行時，從某時刻開始15分鐘內(nèi)的速度丫（%）（單位：米/分鐘）與時間x（單位：分

鐘）的關(guān)系.若定義“速度差函數(shù)”Mx）為無人機在時間段［。，刃內(nèi)的最大速度與最小速度的

【對點訓練13】（2024?湖南長沙?高三長沙一中校考階段練習）青花瓷，又稱白地青花瓷，

常簡稱青花，是中國瓷器的主流品種之一.如圖，這是景德鎮(zhèn)青花瓷，現(xiàn)往該青花瓷中勻速

注水，則水的高度）與時間x的函數(shù)圖像大致是（）

【對點訓練14］（2024.全國?高三專題練習）列車從A地出發(fā)直達500km外的B地，途中要

經(jīng)過離A地300km的C地，假設(shè)列車勻速前進，5h后從A地到達B地，則列車與C地距離y

（單位：km）與行駛時間/（單位：h）的函數(shù)圖象為（）

【對點訓練15］（2024?全國?高三專題練習）如圖，正△ABC的邊長為2,點。為邊A8的

中點，點尸沿著邊AC,CB運動到點8,記函數(shù)/（x）=|PB|2-IW-貝U

（x）的圖象大致為（）

c

【對點訓練16］（2024?全國?高三專題練習）勻速地向一底面朝上的圓錐形容器注水，則該

容器盛水的高度人關(guān)于注水時間f的函數(shù)圖象大致是（）

【解題方法總結(jié)】

（1）從函數(shù)的定義域,判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.

（2）從函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢;

（3）從函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對稱性;

（4）從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.

題型五：函數(shù)圖象的變換

【例5】（2024?廣西玉林?統(tǒng)考模擬預測）已知圖1對應(yīng)的函數(shù)為y=/（x）,則圖2對應(yīng)的

函數(shù)是（）

C.y=〃|x|)D.y=~f(~x)

【對點訓練17］（2024?全國?高三專題練習）已知函數(shù)/（*）的圖象的一部分如下左圖，則

如下右圖的函數(shù)圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式（）

C.y=/d-2%)

,則下列圖

y=/(x-1)的圖象y=M）的圖象

9=［/）］的圖象片川x|）的圖象

【對點訓練19］（2024.全國?高三專題練習）函數(shù)/（x）=ln（l-x）向右平移1個單位，再向上

平移2個單位的大致圖像為（）

【解題方法總結(jié)】

熟悉函數(shù)三種變換：（1）平移變換：（2）對稱變換；（3）伸縮變換.

題型六：函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用

【例6】（2024.上海浦東新.華師大二附中校考模擬預測）若關(guān)于x