2025二輪復習專項訓練15

等差數列、等比數列

［考情分析］高考必考內容，主要考查等差數列與等比數列的通項公式與前W項和公式以及

性質的應用，等差數列、等比數列的判斷與證明，常以選擇題、填空題或綜合的解答題形式

考查，屬于中檔題目.

【練前疑難講解】

一、等差數列、等比數列的基本運算

1.等差數列

(1)通項公式:an=ai+(n—l)d；

(2)求木口公式：Sn—2—nai+?a.

2.等比數列

(1)通項公式：斯=。應廠i(qWO)；

(2)求和公式:q=l,Sn=nai；

m(l—q")口一。,河

S"=1—q=1—q，

二、等差數列、等比數列的性質

1.等差數列常用性質：

(1)若加，n,p,qGN*,J!Lm+n=p+q,貝!J斯,+斯=他+的；

(2)an=am-\-(n—m)d^

(3)S“，S2m-S,?,S3ffl—S2,“，…成等差數列.

2.等比數列常用性質：

⑴若機，n,p,qGN*,且7〃+"=p+q,則?的；

(2)a”=a?rq”

三、等差數列、等比數列的判斷與證明

證明數列｛〃,｝是等差(比)數列的方法：

(1)證明數列｛斯｝是等差數列的兩種基本方法：

①利用定義，證明斯+i—oGGN*)為一常數；

②利用等差中項，即證明2ai+a”+i(“22,wGN*).

(2)證明數列｛斯｝是等比數列的兩種基本方法：

①利用定義，證明誓(a,H0,wGN*)為一常數；

②利用等比中項，證明若=斯-1斯+1(斯W0,加22,〃￡N*).

一、單選題

3

1.（2024?河南信陽?模擬預測）已知數列｛4｝的前幾項和為S“，H=l,邑=3,且:。用是

白i509

〃〃+2（）

2an,的等差中項，則使得Z—成立的最小的〃的值為

z=i%128

A.8B.9C.10D.11

2.（2024?河南鄭州?二模）已知數列｛%｝為等比數列，且％=1,“9=16,設等差數列出｝

的前w項和為S“，若么=%,則5=（）

A.—36或36B.-36C.36D.18

二、多選題

3.（23-24高三上?河南南陽?期中）已知等差數列｛%｝的前”項和為S"，｛%｝的公差為d,

則（）

A.S13=13S7B.S5=4a2+a7

c.若5。“｝為等差數列，則d=-1D.若｛#；｝為等差數列，貝Ud=2q

4.（2024?廣東梅州?二模）已知數列｛%｝的通項公式為g=3〃，〃?N*,在｛%｝中依次選

取若干項（至少3項）氣，aki,”，…，a^,???,使｛”,｝成為一個等比數列，則下列

說法正確的是（）

A.若取勺=1,左2=3,則k3二9

B.滿足題意的｛勾｝也必是一個等比數列

C.在｛%｝的前100項中，｛%｝的可能項數最多是6

D.如果把｛%｝中滿足等比的項一直取下去，｛%｝總是無窮數列

三、填空題

2

5.（23-24高三上?江蘇?期末）若數列｛““｝滿足4=%=1,an+an+1+an+2=n

則％oo=.

6.（2024?湖北一模）設等比數列｛叫的前”項和為%若3邑>56>0,則公比4的取值范

圍為?

四、解答題

7.（2024?云南昆明?三模）正項數列｛q｝的前〃項和為S“，等比數列｛2｝的前"項和為T.，

4S“=a；+2a“+l,4T/b：+2b“+l

（1）求數列｛4｝,｛2｝的通項公式；

（2）已知數列｛c“｝滿足I=如巴止,求數列｛g｝的前n項和Hn.

8.（2024?黑龍江二模）己知等比數列｛%｝的前幾項和為5“，且S用=3S“+1,其中〃?N*.

（1）求數列｛%｝的通項公式；

（2）在％與。向之間插入“個數，使這〃+2個數組成一個公差為4“的等差數列，在數列｛4｝

中是否存在不同三項以，dk,d.（其中加人,P成等差數列）成等比數列？若存在，求出這

樣的三項；若不存在，請說明理由.

【基礎保分訓練】

一、單選題

1.（2024?浙江?模擬預測）已知數列｛%｝滿足：％=。9=40,且數列｛〃《,｝為等差數列，

則。100=（）

A.10B.40C.100D.103

2.（2024?河南?三模）已知等比數列｛。”｝的公比為4,若4+4=12,且％,%+6,%成等差

數列，則4=（）

33

A.—B.—C.3D.—3

22

3.（2023?陜西寶雞,一模）已知等差數歹!]｛%｝滿足。4+%=。，%+%=一4,則下列命題：①

｛4｝是遞減數列；②使J>0成立的”的最大值是9；③當〃=5時，S”取得最大值；④

。6=。,其中正確的是（）

A.①②B.①③

C.①④D.①②③

4.（2024?廣東深圳,模擬預測）已知等差數列｛%｝和也｝的前〃項和分別為S“、T?,若

S”3M+42a,

T=-T,貝（）

T?〃+2瓦+瓦。

5.（23-24高三下?重慶渝中?階段練習）中國載人航天工程發射的第十八艘飛船，簡稱"神十

八”，于2024年4月執行載人航天飛行任務.運送"神十八"的長征二號F運載火箭，在點

火第一秒鐘通過的路程為2km,以后每秒鐘通過的路程都增加3km,在達到離地面222km

的高度時，火箭開始進入轉彎程序.則從點火到進入轉彎程序大約需要的時間是（）

秒.

A.10B.11C.12D.13

6.（2024?河南洛陽?模擬預測）折紙是一種用紙張折成各種不同形狀的藝術活動，起源于中

國，其歷史可追溯到公元583年，民間傳統折紙是一項利用不同顏色、不同硬度、不同質

地的紙張進行創作的手工藝.其以紙張為主材，剪刀、刻刀、畫筆為輔助工具，經多次折

疊造型后再以剪、亥h畫手法為輔助手段，創作出或簡練、或復雜的動物、花卉、人物、

鳥獸等內容的立體幾何造型作品.隨著一代代折紙藝人的傳承和發展，現代折紙技術已發

展至一個前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其復雜而又栩栩如生的折紙

作品是由一張完全未經裁剪的正方形紙張所創作出來的，是我們中華民族的傳統文化，歷

史悠久，內涵博大精深，世代傳承.在一次數學實踐課上某同學將一張腰長為I的等腰直

角三角形紙對折，每次對折后仍成等腰直角三角形，則對折6次后得到的等腰直角三角形

斜邊長為（）

A夜1c垃n1

A.DR.C..U.

8844

7.（23-24高三下?江西?階段練習）已知S.是正項等比數列｛4｝的前〃項和，且

。］+=82,=81,則S5=（）

A.212B.168C.121D.163

8.（2023?上海浦東新?三模）設等比數列｛%｝的前〃項和為S",設甲：ax<a2<a3,乙:

｛S“｝是嚴格增數列，則甲是乙的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既

非充分又非必要條件

9.（23-24高二上?安徽宣城?期末）設S“是等比數列｛%｝的前"項和，若

S3=4,〃4+。5+4=8,貝（）不二（）

10.（21-22高二上?全國?課后作業）如圖，雪花形狀圖形的作法是:從一個正三角形開始,

把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊.反

復進行這一過程，就得到一條“雪花"狀的曲線.設原正三角形（圖①）的邊長為1,把圖①，

圖②，圖③，圖④中圖形的周長依次記為C2,G，c4,則c4=（）

二、多選題

11.（23-24高二上?河北石家莊?階段練習）關于等差數列｛4｝和等比數列也,｝,下列四個選

項中正確的有（）

A.等差數列｛%｝,若根+"=p+q,貝1］。,“+%=%,+%

B.等比數歹!］也｝,若。小4=44，^\m+n=p+q

c.若s”為數列｛風｝前〃項和，則S'M.-S.N.-S?”，仍為等差數列

D.若S“為數列圾｝前〃項和，則臬名「臬名-邑,，仍為等比數列

12.（22-23高二上?廣東廣州,期末）記S”為數列｛°“｝的前w項和，下列說法正確的是

（）

A.若對〃eN*,有24=。“_+。用，則數列｛4｝一定是等差數列

B.若對〃eN*,有吊/3%,則數列｛《｝一定是等比數列

C.已知S"=w?2+qMp,qeR）,則｛%｝一?定是等差數列

D.已知S〃=a"-1（°中0）,則｛4｝一定是等比數列

三、填空題

13.（23-24高三下?湖南?開學考試）若數列｛鞏｝滿足％=8,an+l=an+n,則率的最小值

是.

14.（23-24高三上?云南昆明?開學考試）設｛%｝是等比數列，且弓+%=7,%+&=21,則

%+%0~.

四、解答題

15.(2024?四川成都?二模)已知數列｛q｝的前〃項和為5.=嗎”.

(1)求數列｛凡｝的通項公式。”；

(2)記4=-----,求數列｛〃｝的前〃項和.

16.(2024?山東?二模)已知數列｛%｝,q=13,%+]=。0-4.求：

(1)數列｛《｝的通項公式；

(2)數列｛《｝的前”項和S“的最大值.

17.(2024?陜西安康?模擬預測)設等比數列｛%｝的前〃項和為S,，己知

°2°405~0306'S?=2S]—1,

(1)求數列｛4｝的通項公式.

(2)求數歹!]｛叫'｝的前〃項和小

18.(2023?吉林?模擬預測)已知等比數列｛即｝的前〃項和Sn=---m.

2

⑴求相的值，并求出數列｛〃〃｝的通項公式；

(2)令2=(T)"log3〃〃，設乃1為數列｛加｝的前幾項和，求令兒

【能力提升訓練】

一、單選題

1.(2024?北京東城,一模)設等差數列也｝的公差為d,則"。＜6＜八是"｛2｝為遞增數列"

n

的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2.(23-24高二上?黑龍江牡丹江?期末)己知等差數列｛%｝,｛〃｝的前”項和分別為S”,

...Sn2n^^2I^ZQ

)

有7；3幾+1“3+”5

9109

A.C.D.

TT111314

3.(2024?黑龍江?二模)在公差不為。的等差數列｛風｝中，％，%，金是公比為2的等比

數列，則機=()

A.11B.13C.15D.17

4.（2022?江西上饒?二模）已知各項均為正數的等比數列｛q｝中，若。5=9,則

（）

log36Z4+log3?6=

A.2B.3C.4D.9

5.（2024?北京順義?二模）已知各項均為正數的數列｛4｝的前〃項和為S“，q=1,

貝1怎=（）

lga?+lga?+1=lg2",neN*,J

A.511B.61C.41D.9

6.（2024?湖北襄陽,模擬預測）已知等比數列｛%｝的前〃項和為S“，若$8+$24=140,且

$24=1358,則與=（）

A.40B.-30C.30D.-30或40

7.（2024?陜西商洛?模擬預測）已知等比數列｛風｝的前"項和5“=32田+機，則加=（）

A.3B.9C.-9D.-3

8.（2024?安徽合肥?三模）某銀行大額存款的年利率為3%,小張于2024年初存入大額存

款10萬元，按照復利計算8年后他能得到的本利和約為（）（單位：萬元，結果保留一

位小數）

A.12.6B.12.7C.12.8D.12.9

二、多選題

9.（23-24高二上?湖北武漢,期末）已知等差數列｛%｝的前〃項和為S“，公差為d,且

>Hooo>則下列說法正確的是（）

51001,

ai<0當”=時，“取得最小值

A.S2002<0B.100C.1001SD.d<0

10.（2023?安徽蕪湖?模擬預測）下面是關于公差d>0的等差數列｛4｝的四個命題，其中正

確的有（）

A.數列｛%-｝是等差數列B.數列｛2%-1｝是等差數列

C.數列是遞增數列D.數列｛。.+3加/｝是遞增數列

11.（2024?湖南長沙?一模）小郡玩一種跳棋游戲，一個箱子中裝有大小質地均相同的且標

有1?10的10個小球，每次隨機抽取一個小球并放回，規定：若每次抽取號碼小于或等于

5的小球，則前進1步，若每次抽取號碼大于5的小球，則前進2步.每次抽取小球互不影

響，記小郡一共前進”步的概率為P“，則下列說法正確的是（）

1

A.P2=W

11/

B.P?

C.p,=1一：01（心2）

D.小華一共前進3步的概率最大

三、填空題

12.（2024?山東日照?模擬預測）若函數/（x）=|ln|x-a的四個零點成等差數列，貝IJ

a=.

13.（2023?全國?模擬預測）已知數列｛叫滿足券+方■+券+-+拿=〃，〃eN*,且數

列｛4-切｝的前〃項和為S”.若的最大值為邑儂，則實數上的最大值是.

3[1

14.（21-22|WJ二,全國,課后作業）在等比數列｛4｝中，q+〃2+。3+“4+。5，。3=—，

四、解答題

15.（2024?浙江?一模）已知數列｛為｝滿足及+多■+.??+/?=3-與口（"eN*）,記數列

｛%｝的前〃項和為S”.

⑴求s.；

⑵已知心eN*且匕=1&=2,若數列｛”｝是等比數列，記優｝的前〃項和為（，求使得

5“27；成立的”的取值范圍.

16.（2024?陜西西安?一模）已知數列｛4｝的前w項和為S“，q=l,且滿足

（?+l）S?=MS?+1-1n（M+l）.

⑴求數列｛4｝的通項公式；

（2）設2=（d+3"”）-cosmi,求數列｛%｝的前”項和人

17.（2024?浙江?二模）歐拉函數夕（M（〃eN*）的函數值等于所有不超過正整數"且與"互素

的正整數的個數，例如：°。)=1,°(4)=2,e⑻=4,數列｛q｝滿足%=e(2")(〃eN,

(1)求q,a2,a3,并求數列｛%｝的通項公式；

(2)記2,=(-1)"地”,求數列也｝的前”和S”.

a2n

a-3,w為奇數,

18.(2024?河北石家莊?二模)己知數列｛q｝滿足q=7,q,Mn

2an,"為偶數.

⑴寫出%,〃3，。4；

(2)證明:數列｛%T-6｝為等比數列；

⑶若bn=a2?,求數列\n.(bn-3))的前n項和S,.

2025二輪復習專項訓練15

等差數列、等比數列

［考情分析］高考必考內容，主要考查等差數列與等比數列的通項公式與前W項和公式以及

性質的應用，等差數列、等比數列的判斷與證明，常以選擇題、填空題或綜合的解答題形式

考查，屬于中檔題目.

【練前疑難講解】

一、等差數列、等比數列的基本運算

1.等差數列

(1)通項公式:an=ai+(n—l)d；

(2)求木口公式：Sn—2—nai+?a.

2.等比數列

(1)通項公式：斯=。應廠i(qWO)；

(2)求和公式:q=l,Sn=nai；

m(l—q")口一。,河

S"=1—q=1—q，

二、等差數列、等比數列的性質

1.等差數列常用性質：

(1)若加，n,p,qGN*,J!Lm+n=p+q,貝!J斯,+斯=他+的；

(2)an=am-\-(n—m)d^

(3)S“，S2m-S,?,S3ffl—S2,“，…成等差數列.

2.等比數列常用性質：

⑴若機，n,p,qGN*,且7〃+"=p+q,則?的；

(2)a”=a?rq”

三、等差數列、等比數列的判斷與證明

證明數列｛〃,｝是等差(比)數列的方法：

(1)證明數列｛斯｝是等差數列的兩種基本方法：

①利用定義，證明斯+i—oGGN*)為一常數；

②利用等差中項，即證明2ai+a”+i(“22,wGN*).

(2)證明數列｛斯｝是等比數列的兩種基本方法：

①利用定義，證明誓(a,H0,wGN*)為一常數；

②利用等比中項，證明若=斯-1斯+1(斯W0,加22,〃￡N*).

一、單選題

3

1.（2024?河南信陽?模擬預測）已知數列｛4｝的前〃項和為S.,H=l,邑=3,且3a.M是

?i509

2%，氏+2的等差中項，則使得—成立的最小的孔的值為（）

M%128

A.8B.9C.10D.11

2.（2024?河南鄭州?二模）已知數列｛%｝為等比數列，且q=l,?,=16,設等差數列也,｝

的前n項和為S“,若仇=為，則$9=（）

A.—36或36B.-36C.36D.18

二、多選題

3.（23-24高三上?河南南陽?期中）已知等差數列｛〃.｝的前〃項和為S“，｛4｝的公差為d,

則（）

A.S13=13S7B.§5=4%+%

C.若｛%｝為等差數列，則d=-lD.若｛￡｝為等差數列，則d=2q

4.（2024?廣東梅州,二模）已知數列｛q,｝的通項公式為a“=3w,〃eN*,在｛4｝中依次選

取若干項（至少3項）氣，血，鬼，…，”，…，使,J成為一個等比數列，則下列

說法正確的是（）

A.若取用=1,k?=3,則上3=9

B.滿足題意的卜〃｝也必是一個等比數列

C.在｛%｝的前100項中，｛%｝的可能項數最多是6

D.如果把｛%｝中滿足等比的項一直取下去，｛鬼｝總是無窮數列

三、填空題

a+q+2="2（〃￡N）

5.（23-24高三上?江蘇?期末）若數列｛4｝滿足q=4=l,an+n+\，

貝U4100=-

6.（2024?湖北?一模）設等比數列｛q,｝的前〃項和為S,，若3s2>$6>。，則公比4的取值范

圍為.

四、解答題

7.（2024?云南昆明?三模）正項數列｛%｝的前〃項和為加等比數列圾｝的前〃項和為I，

4s“=%+2。,+1,4<=髭+22+1

（1）求數歹!]｛%｝,｛〃｝的通項公式；

⑵已知數列｛&｝滿足cn=2,求數列｛%｝的前n項和Hn.

anan+\

8.（2024?黑龍江?二模）已知等比數列｛4｝的前〃項和為5“，且S用=3S“+1,其中〃eN*.

（1）求數列｛a,｝的通項公式；

（2）在。“與。用之間插入w個數，使這九+2個數組成一個公差為力的等差數列，在數列｛4｝

中是否存在不同三項或，dk,%（其中〃，水,P成等差數列）成等比數列？若存在，求出這

樣的三項；若不存在，請說明理由.

參考答案:

題號1234

答案DCBDAB

1.D

【分析】由題意得到｛。用是等比數列，進而得到a“=2",利用錯位相減法求出

￡'=4-*,構造函數“尤）=巖">0）,并利用導數判斷函數外”的單調性，即

可求出符合條件的〃的最小值.

【詳解】用是2%,。“+2的等差中項，

…。〃+2=3。〃+1—,故。九+2—。計1=2（a〃+i—風），

而%=§2-2S1=1w0,/.—~~=2,

an+l-an

故數列｛--4｝是首項為L公比為2的等比數列，則%-%=2）

nl

1_2~

「?+++%=2〃-2+2〃T+?..+2°+1=—j—―+l=2n~l,

記貝u1=￡+京+.-+券，

i=l%zzz

2k4弄L+言，

111T1n/2+〃

兩式相減可得,一干+夢+及++手支-2〃-----=4---------

2“-2"T

2

Si.2+n人A2+〃5092+n3

即一產25hFR即n萬l茂

a

i=li乙

2-—（2+x）-2、i/n2_l-（2+x）-ln2

設〃尤）=券（%>0），則r（，）=

?.?x>0,，_f（x）<0,，〃x）在（0,+s）單調遞減,

是遞減數列,

2+n2+103

?.?當"=10時,

21'-'~2g"128,

,Vi509

.?.當什1。時，自丁示,

?;509

???使得］廠森成立的最小的〃的值為“

故選：D.

2.C

【分析】根據等比數列的通項公式求得/=4,繼而求得々=%的值，利用等差數列前〃項

和公式進行計算即可.

【詳解】數列｛%｝為等比數列，設公比為q,且q=l,佝=16,

貝［］%=q8=i6,則爐=4,

ax

則”5="5=Qi/=4,

貝2肛*=9…，

故選：C.

3.BD

【分析】A選項，根據等差數列性質得到岳3=13%,A錯誤；B選項，由等差數列性質得

到S5=4%+%=5%；C選項，計算出（〃+1）%+1-儂〃=2加+4,要想+q為常數，貝IJ

d=o,故C不正確；D選項，根據等差數列通項公式的函數特征得到卬-：=0,D正確.

【詳解】A選項，1=13”%3)=且產=13%,而S7,出不一定相等，A不正確；

B選項，因為羽="q；%)=54,4%+%=4(%-d)+q+4d=5%,

所以1=4%+%，故B正確；

C選項，因為％=〃[%+(n-l)6?]=n26?+(^-d^n,

2

若｛〃4｝為等差數歹U,貝！+q+i_=(〃+1)21+(弓-6?)(?+l)-n6Z-(?1-d)n

=2nd+%,

要想2〃/+%為常數，則。=0,故C不正確；

2

D選項，由題可知S〃=叫H---—=—n+^a]——n,

若｛四｝為等差數列，則￡=小弓/+,廠弓1為關于"的一次函數，

所以q-'=0,即1=24,故D正確.

故選：BD

4.AB

【分析】根據等比數列的性質判斷A、B、D,利用反例說明C.

【詳解】因為數列｛4｝的通項公式為%=3",

對于A,取左=1,%=3,則縱=%=3,aki=a3=9,

由于｛”｝為等比數列，則%=27,則有弘3=27,即勺=9,故A正確；

對于B,數列｛??｝的通項公式為4=3n,則”=3(,

若｛%｝為等比數列，即M，3kz，3k3,…，3k?,…是等比數列，

則《，k2,k3,kn,…，是等比數列，

故滿足題意的｛勺｝也必是一個等比數列，故B正確；

對于C,在｛%｝的前100項中，可以取尤=1,&=2,%=4,8=8,k5=16,&=32,

(=64,

可以使｛%｝成為一個等比數列，此時｛%,｝為7項，故C錯誤；

對于D,取Ai=4,%2=6,貝!j%=12,以2=18,貝|%=27,44=萬，

氣吟Q1不是數列｛%｝的項，

所以把｛〃“｝中滿足等比的項一直取下去，｛為J不總是無窮數列，故D錯誤.

故選：AB.

5.3268

【分析】由數列遞推式可得到%+%+2+%+3=(〃+1)2,和已知等式作差得

43-。=2〃+1,利用累加法即可求得答案.

a+a+a

nn+\n+2=^

【詳解】由題意可得,作差得%+3-。“=2〃+1,

4+1+為+2+為+3=(〃+1)

故"100=%+(%一%)+(%一。4)"1-----H(0100—。97)

=o1+(2xl+l)+(2x4+l)+---+(2x97+l)

=2x0+4+…+97)+34=2x^1^+34=3268,

故答案為：3268

6.(-l,0)U(0,l)

【分析】

由3s2>$6>。可得%+q(q-l)<0,討論4>0或q<0,即可得出答案.

［詳解］由S產0—4(1一7)(1+/)q(l—G(q+q2+(0+q3)

6\—q1-q1-q

=4(g+q?+1)(1+,3),

因為q+/+l=［q+g)+|>0,所以由'AO,

可得q(l+/)>0,

由3s2>$6可得3q+3〃q>q+/+1)(1+/),

即3q(l+g)>q(l+q乂g?+夕+刊(/-q+1),

即3q(l+q)>q(l+q乂/+/+1),

即(1+4乂/-1乂/+2)>0,即一4(1+療._])(/+2)>0,

則q(q-l)<0,因為qw。

若4>0,貝“1+?解得：”(TO)"。」),

匕一1<0

若用<0,則卜+!二°,解得：蚱0,

匕一1〉0

所以公比4的取值范圍為：(-1,0)50,1).

故答案為：(-l,O)u(O,l).

7.(l)a?=2n-l;2=(-1廣

1

，〃為偶數

」2n+l

⑵”“=JI

1

1+，“為奇數

i2〃+1

【分析】(1)由。“與S”的關系，結合等差數列和等比數列的定義、通項公式，可得所求;

(2)求得g后，討論w為奇數或偶數，由數列的裂項相消求和，即可得到所求.

【詳解】(1)當〃=1時，4sl=a；+2%+1,即4%=a；+2%+1,(4—1)2=0,

所以q=1,同理/=i.

當心2時，%=S“一S“_i=；(d-03)+；伍“一%),化簡得：

?(??+an-l)(??-an-l-2)=0,因為%>。，所以%

即凡一。“一1=2,故4=2,又q=1,所以％=2〃-1.

同理，2+6"T=。或2一么T=2,

因為也｝是等比數列，所以2+鼠產0,即4=-1,所以2=(-1)"\

⑵由⑴『十廠②鵬丁學11

-----1-----

2n-l2〃+1

H

所以當〃為奇數時，?=cl+c2+---+cn

1

+

2n—3

同理當"為偶數時,4J「荒

1

，"為偶數

2n+l

所以％=

1+1

M，〃為奇數

2n+l

8.⑴4及=3〃1

⑵不存在，理由見解析

【分析】（1）根據遞推關系可得%+1=3%（"22）,從而可得公比，故可求首項從而得到通

項公式；

（2）先求出｛4｝的通項，再利用反證法結合等比中項的性質可得矛盾，從而得到數列

｛4｝中不存在不同三項4“，dk,B（其中〃尸成等差數列）成等比數列.

【詳解】（1）因為S“+|=3S“+1,故S,=3S“T+1,故見M=3見（“22）,

而｛鞏｝為等比數列，故其公比為3,

又S2=3S]+1,故3%+《=3%+1,故％=1,

故a“=lx3"T=3"T.

（2）由題設可得d,=、用一=把二,

"77+2-1M+1

若數列｛4｝中存在不同三項以，dk,dp（其中，“Ap成等差數列）成等比數列,

、2

2x3"]_2X3*\2X3?T

,因加，憶p為等差數列,

k+1）m+1p+1

m+p2

故（左+1）2=（機+1）乂（2+1）即k2=mp,故=mp，

2

故根=p即相=p=左，這樣租，憶P不同矛盾，

故數列｛4｝中不存在不同三項乙，dk,dp（其中根兒。成等差數列）成等比數列.

【基礎保分訓練】

一、單選題

L（2024,浙江?模擬預測）已知數列｛%｝滿足：4=%=40,且數列｛〃%｝為等差數列,

則〃100=（）

A.10B.40C.100D.103

2.（2024?河南?三模）已知等比數列的公比為4,若q+4=12,且％,%+6,〃3成等差

數列，貝!W=（）

33

A.-B.—C.3D.—3

22

3.（2023?陜西寶雞?一模）已知等差數列｛4｝滿足%+%=。，%+?8=-4,則下列命題：①

｛q｝是遞減數列；②使5>0成立的”的最大值是9；③當〃=5時，S“取得最大值；④

%=。，其中正確的是（）

A.①②B.①③

C.①④D.①②③

4.（2024?廣東深圳?模擬預測）已知等差數列也｝和也｝的前"項和分別為S“、Tn,若

S3〃+42a,

^n=—7,貝-（）

T?n+2b2+bl0

,1113711137

A.---B.—C.---D.—

13132626

5.（23-24高三下?重慶渝中?階段練習）中國載人航天工程發射的第十八艘飛船，簡稱"神十

八”，于2024年4月執行載人航天飛行任務.運送"神十八"的長征二號F運載火箭，在點

火第一秒鐘通過的路程為2km,以后每秒鐘通過的路程都增加3km,在達到離地面222km

的高度時，火箭開始進入轉彎程序.則從點火到進入轉彎程序大約需要的時間是（）

秒.

A.10B.11C.12D.13

6.（202牛河南洛陽,模擬預測）折紙是一種用紙張折成各種不同形狀的藝術活動，起源于中

國，其歷史可追溯到公元583年，民間傳統折紙是一項利用不同顏色、不同硬度、不同質

地的紙張進行創作的手工藝.其以紙張為主材，剪刀、刻刀、畫筆為輔助工具，經多次折

疊造型后再以剪、亥I、畫手法為輔助手段，創作出或簡練、或復雜的動物、花卉、人物、

鳥獸等內容的立體幾何造型作品.隨著一代代折紙藝人的傳承和發展，現代折紙技術已發

展至一個前所未有的境界，有些作品己超越一般人所能想象，其復雜而又栩栩如生的折紙

作品是由一張完全未經裁剪的正方形紙張所創作出來的，是我們中華民族的傳統文化，歷

史悠久，內涵博大精深，世代傳承.在一次數學實踐課上某同學將一張腰長為I的等腰直

角三角形紙對折，每次對折后仍成等腰直角三角形，則對折6次后得到的等腰直角三角形

斜邊長為（）

A夜R1rV2n1

8844

7.（23-24高三下?江西?階段練習）已知S,,是正項等比數列｛%｝的前"項和，且

%+=82,=81,則其=()

A.212B.168C.121D.163

8.（2023?上海浦東新?三模）設等比數列｛4｝的前"項和為S“，設甲：ai<a2<a3,乙：

｛SJ是嚴格增數列，則甲是乙的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既

非充分又非必要條件

9.（23-24高二上?安徽宣城?期末）設S“是等比數列｛%｝的前"項和，若

S.

S3=4,4+。5+&=8,貝1!不二（）

.753

A.2B.—C.—D.一

337

10.（21-22高二上?全國?課后作業）如圖，雪花形狀圖形的作法是:從一個正三角形開始，

把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊.反

復進行這一過程，就得到一條“雪花"狀的曲線.設原正三角形（圖①）的邊長為1,把圖①，

圖②，圖③，圖④中圖形的周長依次記為C-G，C3,C4,則C4=（）

二、多選題

11.（23-24高二上?河北石家莊?階段練習）關于等差數列｛%｝和等比數列｛%｝,下列四個選

項中正確的有（）

A.等差數列｛%｝,^m+n=p+q,則（+4產％+%

B.等比數列也｝,若一%,^\m+n=p+q

C.若S”為數列｛%｝前w項和，則S'MR-SN.-S20，仍為等差數列

D.若S“為數列也｝前〃項和，則臬足,--S.仍為等比數列

12.（22-23高二上?廣東廣州?期末）記S”為數列｛a“｝的前w項和，下列說法正確的是

（）

A.若對〃eN*,有2。“=。”一+。用，則數列｛4｝一定是等差數列

B.若對V〃22,〃wN*,有向，則數列｛《｝一定是等比數列

C.已知S“=”2+02（p,qeR）,則｛4｝一定是等差數列

D.已知S”=a"-l（awO）,則｛4｝一定是等比數列

三、填空題

13.（23-24高三下?湖南?開學考試）若數列｛%｝滿足％=8,an+l=an+n,則子的最小值

是.

14.（23-24高三上?云南昆明?開學考試）設｛4｝是等比數列，且％+%=7,%+&=21,則

%+%0_.

四、解答題

15.（2024?四川成都?二模）已知數列｛為｝的前〃項和為S“=四了1.

（1）求數列｛4｝的通項公式；

⑵記2=-------，求數列出｝的前〃項和.

anan+l

16.（2024?山東,二模）已知數列｛q｝,%=13,。“+]一4.求：

⑴數列｛%｝的通項公式；

⑵數列｛%｝的前〃項和S,的最大值.

17.（2024?陜西安康?模擬預測）設等比數列｛q｝的前，項和為S“，己知

°2°4°5=03a6‘S?~2S]—1,

⑴求數列｛q｝的通項公式.

⑵求數歹U｛也/的前〃項和7；.

18.（2023?吉林?模擬預測）已知等比數列｛加｝的前〃項和一-m.

2

⑴求m的值，并求出數列｛。疥的通項公式；

⑵令仇=（T）"log3〃〃，設力1為數列｛加｝的前〃項和，求令兒

參考答案：

題號12345678910

答案DCDBCACDBA

題號1112

答案ACAC

1.D

【分析】設數歹11｛6的公差為d,借助等差數列的性質可計算出d,即可得lO/oo，即

可得解.

【詳解】設數列｛而“｝的公差為d,則〃=*血=曰=10,

故IO%。。=4+99d=1030,所以。I。。=103.

故選：D.

2.C

【分析】根據等差數列定義和等比數列通項公式可構造方程求得結果.

【詳解】???％,。2+6,〃3成等差數列，，2（%+6）=卬+4，又%+%=12,

「.2（12-6+6）=4+%,整理可得：3%+〃3=3q+4/=36,

4+%_1+9121

希=§，解得…=°（舍）或4=3.

3%+/3+/

故選：C.

3.D

【分析】設出公差為d,列出方程組，求出首項和公差，根據d<0判斷①正確,

寫出S“=10〃-〃2,解不等式求出S〃>o成立的〃的最大值是9,②正確；

根據%>0與%<0,得到當九=5時，s”取得最大值，③正確;

利用通項公式。“=-2”+11求出保的值，得到④錯誤.

【詳解】設等差數列｛%｝的公差為d,

+%=2%+9d=0刀//%=9

故<C11J?解得：Lc，

[%+〃8=2%+lid-—4yd=—2

由于d<0,故｛風｝是遞減數列，①正確；

S〃=9〃+"；1)x(—2)=IO,—/,令=10幾一〃2>0,

解得：0<n<10,且〃eN*,

故使S〃〉0成立的〃的最大值是9,②正確；

an=9+(〃一1)米(-2)=-2〃+11,

當1<〃<5時，an>0,當〃之6時，4<0,

故當〃=5時，S〃取得最大值，③正確；

%=-2x6+11=7,④錯誤.

故選：D

4.B

【分析】計算出小=￡由等差數列的性質得*=答，恚［=詈，從而得到答案?

幾13Tnb6b2+