專題突破練（分值：85分）

?學生用書P151

主干知識達標練

1.（2024江蘇揚州模擬）與函數y=tan[2x+1）的圖象不相交的一條直線是（）

A.X=5

C.x二號D.x二：

答案B

解析由2%+]W]+E:,Z￡Z,解得歸晉+當左二0時,后去所以與函數y二tan（2x+5的圖象不相交

的一條直線是

6

2.（2024山東臨沂模擬）為了得到函數y=cos（2無+或的圖象，只需將函數y=sin（2x+^j的圖象（）

A.向左平移與個單位長度

B.向左平移個單位長度

C.向右平移與個單位長度

D.向右平移]個單位長度

答案A

解析因為y=cos（2x+]j=cos（2x+由弓=sin^2x+y，所以將函數y=sin（2%+合j的圖象向左平移三

個單位長度，得到y=sin21x+^jJ=sin2x+凈的圖象，故選A.

3.（2024湖北武漢模擬）函數加尸tan（s+p）[。＞0,|夕|君i的圖象如圖所示，圖中陰影部分的面積為6兀,

則/學1=（）

A.-yB.-V3

C.yD.V3

答案A

解析如圖，①和②面積相等,故陰影部分的面積即為矩形A8CD的面積，可得A8=3,設函數式龍）的最小

IT1/1、.

正周期為T,則AD=T,由題意得3T=6兀，解得T=2兀，故出=2兀，得口二,即/(x)=tani：/+9)「.?/(x)的圖象過

點(J-l),Atan(|X")=tan("+9)=-1,又叩(弓身,則1+昨(-(6)《制),?喘+夕午解

得夕=-全r./CMtan?..'./i若%I=tan|"箸-三j=tan"|^=tan*咚故選A.

JLot\3163fo03

4.（2024湖南長沙模擬）已知函數加尸cos]?在[0,工（內單調遞減，且其最小正周期為兀,則函數

7U）的一個零點為（）

A.yB咨C.9D.]

答案D

解析因為函數危）=cos（j的最小正周期為兀，所以T=g=兀懈得①=2或①=-2.當co=-2

時於尸cos|'-2x+￡i=cos|2x-j1,由xe\0,與，可得2x-^e\，顯然產cosx在ii內單調

遞增，則處0在10*1內單調遞增,不符合題意.

當0=2時於）=cos（2%+分,由尤G（0,幼，可得2彳+工,

\\1Z'4141Z'

顯然產cosx在|：：,瑞j內單調遞減，則於）在|：0*|內單調遞減，符合題意.

所以於）=cos（2x+；i.令2x+；=弓+%兀,左￡2,解得％=3+”,%￡2,即危）的零點為[+”,左￡2,當k=l

4，4Z8282

時，為挈.故選D.

O

5.（2024天津南開一模）關于函數y=3cos（2x+1，則下列結論中：

①次為該函數的一個周期；

②該函數的圖象關于直線x甘對稱；

③將該函數的圖象向左平移5個單位長度，得到y=3cos2x的圖象；

④該函數在區間-q,5內單調遞減.

所有正確結論的序號是()

A.①②B.③④

C.①②④D.①③④

答案C

解析對于①，由周期公式可得7=當=兀，所以函數y=3cos(2x+?的最小正周期為兀，所以kn(kGZ,厚0),

均是其周期，故①正確；

對于②，當x=T時,y=3cos(2xg+方j=3cos兀=-3,所以直線尤q是其對稱軸，故②正確；

對于③，將函數y=3cos(2x+^j的圖象向左平移泠單位長度，得到y=3cos2(尤+和+]]=3cos(2x+g

I的圖象，故③錯誤；

對于④，因為xe二，?,所以2x+le0,g],由余弦函數的單調性可知，函數y=3cos(2尤+1)在一個弓

一內單調遞減，故④正確.綜上，正確的有①②④.故選C.

6.(多選題X2024廣東廣州二模)已知函數?X)=2COS(OX+9)((o>0,\(p\<^j的部分圖象如圖所示，則下列

說法正確的是()

------

—―—f~V

/3\/IT\

A./(x)的最小正周期為71

B川)在「空若一上單調遞增

C.?x)的圖象可由g(x)=2sin2%的圖象向左平移1個單位長度得到

D.函數F(x)=f(X)+A匿)的最小值為]

答案ABD

解析由題圖可得A=2,又號=答一為>0,二7=兀,又T=—,。=2.

41233

.?.y=2cos(2x+9).4號(詈,2j代入y=2cos(2x+s),得cos(等+3j=1,

即平+e=2E,Z￡Z,即(p=—^-+2kn,k￡Z，又|夕|<],cp=-也

/?X^)=2cos(2%吊).

對于A,最小正周期T=彳二兀,故A正確；

對于B,令2Z兀-忘2%-幺2配,女￡2,解得我兀-1=貶%兀+白,%￡2,

61212

可得/(%)的單調遞增區間為E等,航+印Z,當k=Q時，單調遞增區間為一穹，白，故B正確;

1，-L乙1，1，

對于C,函數y=2sin2x的圖象向左平移1個單位長度，所得到的函數解析式為y=2sin2|?=2sin

(2%+等=2cosi2x+^)句⑴，故C不正確；

對于D,F(x)=f\||-F/I)=2cos(x-：j+2sin2x=V2(cosx+sinx)+4sinxcos演令t=cosx+sin

x=V2sin(j￡［-V2,金］,所以F(x)=V2(cosx+sinx)+4sinxcosx可化為h(t)=y/2t+2(t1-1)=2t2+V2

2=2Q+馬2_2,故當/=_建時,〃⑺的最小值為之即尸⑴的最小值為:，故D正確.故選ABD.

7.(多選題X2024湖南衡陽三模)已知函數yU)=Atan(ox+°)(0>0,|研法|的部分圖象如圖所示，則下列

說法正確的是()

A.函數/(x)的最小正周期為］

?.V2

B.sin9=萬

C.函數危)在(宗兀|內單調遞增

D.方程於)=sin(2x+；i(0<x<7t)的根為小與

答案ABD

解析對于A,由題圖可知,函數於)的最小正周期為T=2XIY-^|三,故A正確;

1-88，

對于B,由(0=亍=:'=2,所以/(x)=Atan(2x+0),因為^?=Atam'，+夕)=0,貝||r+9=E(%￡Z),貝I(p=kn-

?(%￡Z),因為|9|<§,則夕=3,所以sin夕=也，故B正確；

4N42

對于C於)=4tan2尤+；)，由尤<兀,得弓<2x+：<?，

而2x+：=?即龍卷時/(yi=Ata若沒有意義，故C錯誤；

對于D<0)=Atan：=A=l,

貝L=tan12x+：?,

方程兀x)=sin(2X+7I，得tan|2x+J)=sini2x+；j,

即sm；：："sin[2x+：i=0,2元+：#兀+/,左￡2,即+右左金Z.則有sini*2x+：i1-cosi'2x+：i=0,

所以sin|2x+?j=0或cos(2x+?|=1,因為03爛兀幺21+：<瞿所以21+；=兀或2x+；=2兀，解得x=萼或

X=M，經檢驗，這兩個根符合題意，故D正確.故選ABD.

8

8.(多選題)(2024山東荷澤模擬)已知函數g(x)=sin(G%+9X0〈Gv4,0<0<兀)為偶函數，將g(x)圖象上的

所有點向左平移[個單位長度，再把圖象上所有點的橫坐標變為原來的2長度，得到函數八犬)的圖象，若

汽幻的圖象過點(0與：|,則下列說法正確的是()

A.函數/(x)的最小正周期為1

B.函數段)圖象的一條對稱軸為直線x=^

C.函數加)在(1g)內單調遞減

D.函數於)在(0,n)上恰有5個零點

答案AC

解析由函數g(x)為偶函數，得9=]+E：,Z￡Z，而0<9<兀,則夕苫，

因此?r)=sin(2s+)+/)=cos(2s+?)J(0)=cos^=孚

由0<G<4,得0<?<j,于是？=也解得①二兀,則危尸cos(2TIX+^).

對于A,函數危)的最小正周期為T=§=1,A正確；

對于B/（W|二c°s]='±1,函數#x）的圖象不關于直線對稱,B錯誤；

對于C,當l<x<g時，等<2也+￡V等，而余弦函數y二cosx在[等，等內單調遞減，因此函數?r）在|：

喙內單調遞減,C正確；

對于D,由危）=0,得2口+?=左兀+黑￡Z,解得

62L6

由0<號+卜兀滴GZ,解得kJ{0』,2,3,4,5},因此函數於）在（0,兀）上恰有6個零點,D錯誤.故選AC.

9.（5分X2024江蘇南京模擬）把函數y=sin2尤+或圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的2

倍，得到函數式犬）的圖象;再將/U）圖象上所有點向右平移與個單位長度，得到函數g（x）的圖象，則

g（無尸-

合秦sinx

解析尸sin[2x+]?圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的2倍，函數解析式變為危尸sin[

j，將段）圖象上所有點向右平移1個單位長度，可得g（x）=f\%?）=sin（2+?=sinx.

10.（5分）（2024河南平頂山模擬）寫出一個同時滿足下列三個條件的函數段）的解析式:.

①zw=；/（x+2）；②③/）的導數為八元）且/a）=r（-。

答案/（x）=sin（%）（答案不唯一）

解析由①得#x+4）力（x）,所以函數?x）的周期為4.

由②得?x）的圖象關于直線x=l對稱.由③得外）的圖象關于點（0,c）對稱，。為常數.

則同時滿足上述三個條件的一個函數可以為y（x）=sin%1（答案不唯一）.

關鍵能力提升練

11.（2024陜西西安二模）正弦波是頻率成分非常單一的信號，其波形是數學上的正弦曲線，任何復雜信

號,如光譜信號、聲音信號等,都可由多個不同的正弦波復合而成.現已知某復合信號/（x）由三個振

幅、頻率相同的正弦波?x）,g（%）,〃⑴疊加而成即/a）=/（x）+g（x）+〃（x）,設

fix）=Asin（a）x+（/））,g（x）=Asin（cox+d）,h（x）=Asm（cox+^\A>0,co>0,\（/）\<^,a,/3E（0,7i）}若圖中所示為危）的

部分圖象，則下列描述正確的是（）

A.(A+①>9苦

B./(x)的最小正周期是2兀

C.若廁/(x)=(l+V2+V3)-sin(2%+3

D.若/(%)=0恒成立，則cos((p-a)cos(a-8)cos(fi-(p)=-W

o

答案D

解析對于A,由題圖可知,A=2,且等一普=m=工,所以co=2,

1Z1ZZCD

又10)=1,所以sin9=；,因為|夕|與所以9=也

所以(A+G>9=(2+2)X5=g，故A錯誤；

對于B,因為69=2,所以加),g(%),/l(x)的最小正周期均為71,

所以/(x)寸⑴+g(x)+/z(x)的最小正周期為兀，故B錯誤；

對于C,因為所以/(x)=2sin[2x+]i+2sini2x+^|+2sin|2x+；),

因為/(0)=2siW+2siW+2sin；=l+V^+逐而(1+或+V3)-sim2x0+：)=學1+加+遍)，故C錯誤；

對于D,因為/(x)=0,所以2sin(2x+9)+2sin(2x+a)+2sin(2x+Q)=0,

展開得sin2x(cosoc+cos夕+cosg)+cos2Msina+sin夕+sin9)=0,等式恒成立，則

(cosa+cos,+cos(p=0,

(sina+sin6+sing=0,

則Ct：：：常二:二:平方求和得2+2cos(a/)=l,所以cos(a/)=g同理,cos(9-a)=T，cos8-p)=T，

所以cos”-a)cos(a/)cos0-9)=-《，故D正確.故選D.

O

12.(多選題)(2024湖南邵陽模擬)已知函數/(x)=cos(2x?卜則()

A./(x)的最小正周期為2兀

B./U)在(-泓上單調遞增

C7U）的圖象關于直線x=/對稱

D.若xe?0,-），則段）的最大值為1

答案BCD

解析對于A,由函數#x）=cos（,得其最小正周期丁=竽二兀,故A錯誤;對于B,由*<x<0,則-兀<2x-

2<弓因為函數y=cos/在［-兀,0］上單調遞增,所以/（%）在|-|^,0?內單調遞增，故B正確;對于C,由x=^,

則2苫1=%,因為函數y=cos/圖象的對稱軸為直線f=E（^eR）,故C正確;對于D,由0<x</則？<2尤-

I</令2點=0,解得尤=工,因為函數y=cosf在［-兀,0］上單調遞增，在。兀］上單調遞減，所以函數小）在1

0*）內單調遞增，在（工布內單調遞減，故y（x）max力I=COS（2Xy1一=1,故D正確.故選BCD.

13.（多選題X2024河北秦皇島三模）已知函數期）=2酬*爾*,則（）

A./Cx）是偶函數

B.兀V）是周期為兀的周期函數

C<x）在一喏-上單調遞增

D市）的最小值為三

答案AD

解析顯然段）的定義域是R.因為八-X）=2lsin（*）gs（㈤=2向水。say尤）,所以於）是偶函數，故A正確;

易知式無+兀）=2熱（*+初8sa+K）=2<sinxgsx新x）,故B錯誤;

當Xd7C,—時y(_X)=2lsinM8Sx=2-si%cos%=22sin2%

_4_5

因為2xG2私乎，所以y=-：sin2尤在兀，手上單調遞減，

又y=2*單調遞增，所以八尤）在兀與「上單調遞減，故C錯誤；

易知“r+27r）=y（x）,所以無）是周期為2%的周期函數，

f25sin2x,xE［0,-rt］,

當XG［0,2TI］時次尤）=2lsmx|cosx='1

（2司已短6,2見

11

1-11-1

顯然當［0,兀|時,］Sin2x￡卜當工￡（兀,2兀］時,-尹112工￡2一2-

1、萬

則兀0的最小值為25=旨，故D正確.故選AD.

14.（5分X2024福建福州模擬）已知函數危尸sini：8*0）,且於）在區間I：］用1上單調遞增，則CD

的取值范圍為.

答案9,1］，弓

解析因為①>0,所以當9vx時，聲—V~7~—?，因為函數於尸sin<①%-；」（G>0）在區間（:嚴

2424444424

,,廣3n>2kn-

?內單調遞增，則。-*華2嗚,2配+針（40,所以（J—"2’其中仁z,解得

4上拉0岑+1/GZ）,因為。>0,且左GZ,所以左=0或4=1.當％=0時,0<處1;當k=\時,白口號

綜上所述,O的取值范圍是（0,1］U.（日.

15.（5分）（2024河南南陽模擬）已知函數段）=Asin（G%+9）（A>0⑷>0,0<夕<］）及其導函數八㈤的圖象如

下圖所示,若函數y=?x）-m在0,y上恰有3個不同的零點孫垃陽,則Xl+垃+迎的取值范圍

是.

4n3H.

解析因為在區間［0卷內，兩個函數圖象在X軸上方，所以原函數在區間［0日］內單調遞增，所以最大值

為g的函數圖象為原函數圖象.

?/危)=Asin(s+9),

.*./(%)=coAco