休對故人思故國，且將新火試新茶。詩酒趁年華。休對故人思故國，且將新火試新茶。詩酒趁年華。—北宋·蘇軾《望江南·超然臺作》2024年小升初數學典型例題系列難點02：總集篇·十六種陰影部分面積法【十六大考點】【第一篇】專題解讀篇本專題是難點02：總集篇·十六種陰影部分面積法。本部分內容包括十六種求不規則或組合平面圖形及陰影部分圖形面積的方法，考點劃分較多，其中大部分考點以思維拓展題型為主，難度極大，綜合性極強，建議作為小升初復習難點內容，并根據學生實際情況和總體水平選擇部分進行講解，一共劃分為十六個考點，歡迎使用。【第二篇】目錄導航篇TOC\o"1-1"\h\u【考點一】面積法其一：相加法 3【考點二】面積法其二：相減法 6【考點三】面積法其三：加減混合法 9【考點四】面積法其四：平移法 12【考點五】面積法其五：拼接法 14【考點六】面積法其六：旋轉法（翻轉法） 16【考點七】面積法其七：割補法 19【考點八】面積法其八：重組法 22【考點九】面積法其九：整體代換法 26【考點十】面積法其十：輔助線法 28【考點十一】面積法其十一：容斥原理 32【考點十二】面積法其十二：差不變原理（差不變思想） 37【考點十三】面積法其十三：等積變形 41【考點十四】面積法其十四：圖示法 43【考點十五】面積法其十五：平移運動問題＊ 47【考點十六】面積法其十六：旋轉運動問題＊ 50【第三篇】知識總覽篇【第四篇】典型例題篇【考點一】面積法其一：相加法。【方法點撥】相加法，即加法分割思路，把所求陰影部分面積分割成幾塊能用公式計算的規則圖形（三角形、正方形、長方形、平行四邊形、梯形、圓、扇形），分別計算出面積，并相加得出陰影部分的面積。【典型例題】1．求組合圖形的面積。（單位：厘米）【答案】260平方厘米【分析】圖中組合圖形的面積等于平行四邊形面積加三角形面積，平行四邊形面積＝底×高，三角形面積＝底×高÷2，代入數據計算即可。【詳解】（平方厘米）2．計算下面圖形的周長和面積。（單位：cm）【答案】周長是388.4cm，面積是8826。【分析】觀察圖形可知，此圖形可以分成一個長方形和一個圓形的組合。根據圓的周長公式：，算出來之后再加上兩條長方形的長即為圖形的周長；根據圓的面積公式：，長方形的面積公式：長×寬，分別算出來之后再加起來即為圖形的面積。【詳解】周長：3.14×60＋100×2＝188.4＋200＝388.4（cm）面積：3.14×＋100×60＝3.14×302＋6000＝3.14×900＋6000＝2826＋6000＝8826（）【對應練習1】計算出這個圖形的周長和面積。【答案】周長：195.36m；面積：1892.16m2【分析】觀察圖形發現，這個圖形的周長是兩條60m長的線段和直徑是24m的圓周長的和；這個圖形的面積是直徑是24m的圓的面積，再加上長和寬分別是60m和24m長方形的面積；據此解題。【詳解】60×2＋3.14×24＝120＋75.36＝195.36（m）3.14×（24÷2）2＋60×24＝3.14×122＋1440＝452.16＋1440＝1892.16（m2）所以，這個圖形的周長是195.36m，面積是1892.16m2。【對應練習2】計算如圖圖形的周長和面積。【答案】35.7厘米；89.25平方厘米【分析】通過觀察可知本題的圖形可以分成一個半圓形和一個長方形，計算周長時，計算出半徑為5厘米的一個圓周長的一半，再加上長方形的一個長和兩個寬，計算面積時，計算出一個半圓的面積再加上一個長方形的面積即可。【詳解】周長：3.14×2×5÷2＋5×4＝15.7＋20＝35.7（厘米）面積：3.14×52÷2＋2×5×5＝3.14×25÷2＋2×5×5＝39.25＋50＝89.25（平方厘米）圖形的周長為35.7厘米；面積為89.25平方厘米。【對應練習3】計算下列各圖形的面積。（單位：cm）【答案】2150cm2；1530cm2【分析】（1）三角形面積＝底×高÷2，梯形面積＝（上底＋下底）×高÷2，據此先分別求出三角形和梯形的面積，再相加求出組合圖形的面積；（2）平行四邊形面積＝底×高，由此求出上下兩個平行四邊形的面積，再相加求出組合圖形的面積。【詳解】40×40÷2＋（40＋50）×30÷2＝800＋90×30÷2＝800＋1350＝2150（cm2）45×16＋45×18＝720＋810＝1530（cm2）【考點二】面積法其二：相減法。【方法點撥】相減法，即減法拓展思路，是把不規則圖形陰影部分面積拓展到包含陰影部分的規則圖形中進行分析，通過計算這個規則圖形的面積和規則圖形中除陰影部分面積之外多余的面積，運用“總的”減去“部分的”方法解得答案。【典型例題】求陰影部分的面積（單位：厘米）【答案】135平方厘米【分析】觀察圖形可知，陰影部分的面積＝梯形的面積－空白三角形的面積；根據梯形的面積＝（上底＋下底）×高÷2，三角形的面積＝底×高÷2，代入數據計算求解。【詳解】（18＋32）×15÷2－32×15÷2＝50×15÷2－32×15÷2＝375－240＝135（平方厘米）陰影部分的面積是135平方厘米。【對應練習1】求下面圖形中陰影部分的面積。（單位︰厘米）【答案】3.44平方厘米【分析】觀察圖形可知，陰影部分的面積＝正方形的面積－圓的面積，根據正方形的面積公式S＝a2，圓的面積公式S＝πr2，代入數據計算求解。【詳解】4×4－3.14×42×＝16－3.14×16×＝16－12.56＝3.44（平方厘米）陰影部分的面積是3.44平方厘米。【對應練習2】求下圖陰影部分的面積。（單位：分米）【答案】13.74平方分米【分析】根據題意得：陰影部分面積＝直角梯形面積－圓心角90°的扇形面積，扇形的半徑為6分米，直角梯形的上底是6分米，下底是8分米，高是6分米。根據梯形面積＝（上底+下底）高2，扇形面積＝，其中a表示圓心角度數。據此計算得出答案。【詳解】陰影部分面積：（平方分米）【對應練習3】求下列圖形陰影部分的面積。（單位：厘米，π取3.14。）【答案】43.52平方厘米；26.75平方厘米【分析】圖一，陰影部分面積分兩部分：①正方形面積－半徑6厘米圓的面積；②半徑2厘米圓面積。由圖片信息可知，正方形邊長為6×2＝12（厘米），求陰影部分面積可列式為：12×12－π×62＋π×22。圖二，半圓的直徑是10厘米，它的半徑則為5厘米，陰影部分面積＝半圓面積－三角形面積。可列式為：×π×52－×5×5。【詳解】圖一陰影面積：12×12－π×62＋π×22＝12×12－3.14×62＋3.14×22＝144－113.04＋12.56＝30.96＋12.56＝43.52（平方厘米）圖二陰影面積：×π×52－×5×5＝×3.14×25－×5×5＝×（3.14×25－5×5）＝×（78.5－25）＝×53.5＝26.75（平方厘米）【考點三】面積法其三：加減混合法。【方法點撥】混合型圖形處理起來非常困難，可以首先觀察圖形，然后合理分解成部分可求的圖形，最后再相加減。【典型例題】如圖，兩個正方形拼在一起，求陰影部分的面積。（單位：cm）【答案】53cm2【分析】觀察圖形可知，陰影部分面積＝邊長是9cm的正方形面積＋邊長是5cm的正方形面積＋底是（9－5）cm，高是5cm的三角形面積－底是9cm，高是（9＋5）cm的三角形面積；根據正方形面積公式：面積＝邊長×邊長；三角形面積公式：面積＝底×高÷2，代入數據，即可解答。【詳解】9×9＋5×5＋（9－5）×5÷2－9×（9＋5）÷2＝9×9＋5×5＋4×5÷2－9×14÷2＝81＋25＋10－63＝53（cm2）陰影部分的面積是53cm2。【對應練習1】求出涂色部分的面積。（單位：cm）【答案】3.14cm2【分析】觀察圖形可知，涂色部分的面積＝左邊正方形的面積＋圓的面積－空白三角形的面積；其中正方形的面積公式S＝a2，圓的面積公式S＝πr2，三角形的面積公式S＝ah÷2，代入數據計算求解。【詳解】正方形的面積：2×2＝4（cm2）圓的面積：×3.14×22＝×3.14×4＝3.14（cm2）三角形的面積：4×2÷2＝4（cm2）涂色部分的面積：4＋3.14－4＝3.14（cm2）涂色部分的面積是3.14cm2。【對應練習2】求陰影部分的面積。（單位：cm）

【答案】24.5cm2【分析】陰影部分的面積＝兩個正方形面積和－兩個三角形面積，正方形面積＝邊長×邊長，三角形面積＝底×高÷2，據此列式計算。【詳解】8×8＋5×5－8×8÷2－（8＋5）×5÷2＝64＋25－32－13×5÷2＝57－32.5＝24.5（cm2）【對應練習3】如圖所示，求圖中陰影部分的面積。（取3.14）【答案】21.68cm2【分析】如圖所示，陰影面積＝直徑是8cm的半圓面積－紅色陰影面積。長方形內部有兩個半徑是2cm的扇形和半徑是2cm的半圓，這兩個扇形和半圓的半徑相等，能夠組成一個圓。所以紅色陰影面積等于長方形面積減去半徑是2cm的圓的面積。據此解答。【詳解】（cm2）陰影部分的面積是21.68cm2。【考點四】面積法其四：平移法。【方法點撥】平移法，即通過把部分圖形平行移動可以把不規則圖形轉變為已學的規則圖形，進而求出圖形的面積。【典型例題】求陰影部分的周長和面積。（π取3.14）【答案】49.12m；96m2【分析】陰影的周長是長方形的兩個長的和再加圓的周長，圓周長＝，d表示直徑；通過平移半圓，陰影的面積等于長方形的面積，根據長方形面積＝長×寬，計算得出答案。【詳解】陰影部分周長為：3.14×8＋12×2＝25.12＋24＝49.12（m）陰影部分面積為：12×8＝96（m2）【對應練習1】求涂色部分的面積。（單位：cm。）【答案】6cm2【分析】如下圖，把右邊的涂色部分向左平移到空白部分，這樣陰影部分組成一個長（2＋1）cm、寬2cm的長方形；根據長方形的面積＝長×寬，代入數據計算，即可求出涂色部分的面積。如圖：【詳解】（2＋1）×2＝3×2＝6（cm2）涂色部分的面積是6cm2。【對應練習2】求陰影部分的面積。

【答案】64cm2【分析】通過平移可知，陰影部分的面積等于邊長為8cm的正方形的面積，正方形的面積＝邊長×邊長，依此計算即可。

【詳解】8×8＝64（cm2）即陰影部分的面積是64cm2。【對應練習3】先量出必要的數據，再計算涂色部分的面積。

【答案】正方形的邊長為3厘米；面積是9平方厘米【分析】圖中涂色部分有兩塊，左邊涂色部分向右平移，兩塊涂色部分組成正方形，測量得到邊長是3厘米，據此解答。【詳解】測得正方形邊長是3厘米3×3＝9（平方厘米）【考點五】面積法其五：拼接法。【方法點撥】拼接法，即在部分扇形半徑相等的情況下，可以通過移動扇形，把扇形拼接成一個整體。【典型例題】下圖中陰影部分面積之和是多少平方厘米？【答案】6.28平方厘米【分析】三個扇形可以拼成一個半徑為2厘米的半圓，那么陰影部分的面積＝半圓的面積，然后根據圓的面積公式S＝πr2把數據代入公式解答即可。【詳解】3.14×22÷2＝3.14×4÷2＝12.56÷2＝6.28（平方厘米）所以，圖中陰影部分的面積之和是6.28平方厘米。【對應練習1】計算下圖中陰影部分的面積。【答案】39.25【詳解】3.14×÷2＝78.5÷2＝39.25【對應練習2】計算陰影部分面積。（取3.14）【答案】12.56平方厘米【分析】根據三角形內角和180度以及扇形的特點，兩個圓的半徑相等，圖中兩個扇形加起來正好是一個圓心角是90度的扇形，即一個圓的。據此計算。【詳解】3.14×42×＝3.14×16×＝12.56（平方厘米）【對應練習3】求涂色部分的面積。【答案】14.13cm2；13.76cm2【分析】通過圖可知，由于三角形的內角和是180°，所以第一個圖形的三個扇形拼接在一起正好能夠構成一個半徑是3厘米的半圓，根據半圓的面積公式：S＝πr2÷2，把數代入即可求解；通過圖可知，兩個半徑構成一個正方形邊長，即圓的半徑：8÷2＝4厘米，正方形里面相當于4個的圓，那拼在一起相當于一個半徑是4厘米的圓，用正方形的面積－4個圓的面積＝涂色部分面積；根據正方形的面積公式：邊長×邊長，圓的面積公式：S＝πr2，把數代入即可求解。【詳解】第一個圖形：3.14×32÷2＝3.14×9÷2＝28.26÷2＝14.13（cm2）第二個圖形：8×8－3.14×（8÷2）2＝64－3.14×42＝64－3.14×16＝64－50.24＝13.76（cm2）【考點六】面積法其六：旋轉法（翻轉法）。【方法點撥】旋轉法（翻轉法），即根據圖形的特征，將原圖的某一部分進行翻轉或旋轉，最后得到便于求解的新圖形。【典型例題】如圖，面積為64的四邊形ABCD滿足AD＝AB，∠BAD＝90°，∠C＝90°，AE垂直于CD，AE的長為多少？【答案】8【分析】觀測圖形可知，三角形AED以A為旋轉中心，通過順時針旋轉90度，旋轉到三角形ABF，因為AD＝AB，∠C＝90°，∠AEC＝90°，由此可知四邊形AFCE是一個正方形，則四邊形ABCD的面積＝四邊形AFCE＝64；根據正方形面積公式：面積＝邊長×邊長，由此求出AE的長。【詳解】旋轉三角形AED使四邊形ABCD轉化成一個四邊形AFCE∠C＝90°，∠AEC＝90°AF＝AE四邊形AFCE為正方形四邊形ABCD的面積＝正方形AFCE＝648×8＝64AE＝8答：AE的長為8。【點睛】解答本題的關鍵是根據旋轉的特征，利用旋轉把四邊形轉化為正方形，再根據正方形的面積公式，進行解答。【對應練習1】求如圖陰影部分的面積。（單位：厘米）【答案】38.465平方厘米【分析】把左上角扇形陰影部分移動到右下角，和圓環陰影部分組合在一起，兩塊陰影部分的面積整體可以看成是一個半徑為5＋2＝7（厘米）的圓的面積的，根據圓的面積S＝πr2，把數據代入求解即可。【詳解】（平方厘米）【對應練習2】如圖，求圖中陰影部分面積。（單位：厘米）（小圓半徑為1厘米）【答案】3.14平方厘米【分析】將陰影部分拼在一起可知，陰影部分的面積是一個半徑為（1＋1）厘米的圓面積的，根據圓的面積公式求解即可。【詳解】1＋1＝2（厘米）3.14×22×＝3.14×4×＝12.56×＝3.14（平方厘米）陰影部分的面積是3.14平方厘米。【對應練習3】如圖，點P是正方形ABCD內部的一點，連接PA、PB、PC。將繞著點B順時針旋轉90°到的位置。設，，，求旋轉到的過程中邊PA所掃過的區域（圖中陰影部分）的面積。【答案】π（m2－n2）【分析】因為將繞點B順時針旋轉90°到，所以和形狀大小均相等，所以的面積＝的面積，則陰影部分的面積等于以AB為半徑的圓的面積減去以PB為半徑的圓的面積。據此即可求解。【詳解】以AB為半徑的圓的面積：×π×m×m＝πm2；以PB為半徑的圓的面積：×π×n×n＝πn2；陰影部分面積＝πm2－πn2＝π（m2－n2）。答：旋轉到的過程中邊PA所掃過的區域（圖中陰影部分）的面積是π（m2－n2）。【點睛】利用旋轉后圖形的大小和形狀都不改變這個關鍵。再根據面積之間的關系求出陰影部分面積。【考點七】面積法其七：割補法。【方法點撥】割補法，即分割拼補的思路，是把不規則的陰影面積通過分割和拼補，使之變為一個面積大小不變且能實施計算成面積相同的規則圖形。【典型例題】求下列陰影部分的面積。（單位：cm）【答案】16cm2【分析】通過對稱，陰影部分可以拼成一個梯形，根據梯形面積＝（上底＋下底）×高÷2，列式計算即可。【詳解】8÷2＝4（cm）（6－4＋6）×4÷2＝8×4÷2＝16（cm2）【對應練習1】求陰影部分的面積（圖中的三角形都是等腰直角三角形）。（單位：分米）

【答案】12.5平方分米【分析】根據圖形的特點，可以通過“旋轉”把陰影部分拼在一起，陰影部分的面積等于大三角形的面積減去正方形的面積，根據三角形的面積公式：S＝ah÷2，大三角形的高就是圓的直徑，根據直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半可知，大三角形的高為10÷2＝5分米，則正方形的面積等于兩個底為5分米，高為（5÷2）分米的三角形的面積；據此解答即可。【詳解】如圖所示：

×10×5－2××（5÷2）×5＝25－2××2.5×5＝25－1×2.5×5＝25－12.5＝12.5（平方分米）【對應練習2】求下面圖中涂色部分的面積。【答案】8平方厘米【分析】用“割補法”將右上角陰影部分移到左上角，那么此時陰影部分的面積為左上角三角形的面積，即大長方形面積的，長方形的長為8厘米，長為半圓的直徑，寬為半圓的半徑，所以寬為：8÷2＝4（厘米），“長×寬÷4”即可求出陰影部分面積。【詳解】由分析可知：8÷2＝4（厘米）8×4÷4＝32÷4＝8（平方厘米）所以圖中涂色部分的面積為8平方厘米。【對應練習3】求圖中陰影部分的面積。

【答案】114cm2【分析】把左下角的陰影平均分成兩部分，分別移動到左上角和右上角，如圖所示：，通過圖可知，這個陰影部分的面積正好是圓面積的，再減去一個直角邊是20cm的等腰直角三角形，根據圓的面積公式：S＝πr2，三角形的面積公式：底×高÷2，把數代入即可求解。【詳解】如下圖所示：3.14×20×20÷4－20×20÷2＝314－200＝114（cm2）陰影部分的面積是114cm2。【考點八】面積法其八：重組法。【方法點撥】重組法，即根據具體情況和計算上的需要把原來圖形拆開，并加以重新組合，使之變為一個面積大小不變且能實施計算成面積相同的規則圖形，然后結合相減法求出陰影面積。【典型例題】如圖，大圓半徑R=8厘米，小圓的半徑r=4厘米．求陰影部分的面積。【答案】37.68平方厘米【詳解】試題分析：如圖所示，陰影①和空白①的面積相等，陰影②和空白②的面積相等，陰影③和空白③的面積相等，陰影④和空白④的面積相等，于是將4個陰影部分移到與其面積相等的空白部分，于是可以得出圖中所有的陰影的面積和就等于大圓面積的減去小圓面積的，大小圓的半徑已知，利用圓的面積公式即可求解．解：×3.14×（82﹣42）=0.785×（64﹣16）=0.785×48=37.68（平方厘米）答：陰影部分的面積是37.68平方厘米。點評：解答此題的關鍵是利用“動態”的眼光，將陰影部分移到與之面積相等的空白部分，從而容易求出陰影部分的總面積。【對應練習1】求陰影部分的面積。（單位：厘米）【答案】4.28平方厘米【分析】通過對稱和平移，如圖，陰影部分的面積＝半圓面積－三角形面積，據此列式計算。【詳解】4÷2＝2（厘米）3.14×22÷2－2×1÷2×2＝6.28－2＝4.28（平方厘米）【對應練習2】看圖計算。（單位：cm）（1）求圖1陰影部分的面積。（2）如圖2，計算下列圖形的體積。【答案】（1）6.25cm2；（2）94200cm3【分析】（1）觀察圖形可知，圖中陰影部分可以組合成一個三角形，組合成的三角形的面積正好是這個大正方形面積的，所以直接用正方形的面積除以4就可以求出陰影部分的面積。（2）此題中圓柱的底是一個圓環，根據圓環的面積＝π（－），可以求出這個空心圓柱的底面積，再根據圓柱的體積＝底面積×高，可以求出這個空心圓柱的體積。【詳解】（1）5×5＝25（cm2）25÷4＝6.25（cm2）（2）40÷2＝20（cm）20÷2＝10（cm）＝π（－）＝3.14×（－）＝3.14×300＝942（cm2）＝×H＝942×100＝94200（cm3）故答案為：（1）6.25cm2；（2）94200cm3【點睛】此題重點掌握組合圖形求面積和求體積的方法，求面積可通過移動部分圖形，形成一個容易求得的圖形來實現；求體積可先分解成獨立圖形，再相加減重疊部分的體積。牢記圓、圓環的面積公式和圓柱的體積公式。【對應練習3】如圖，正方形ABCD的面積是36平方厘米，求陰影部分的面積．【答案】14.13平方厘米【詳解】解本題的關鍵是利用拼補法，得到陰影部分的面積是半個大圓的面積﹣半個小圓的面積．正方形的面積是36平方厘米，所以正方形的邊長是6厘米，正方形的對角線是圓的直徑，大圓的直徑的平方是：62+62=72，半徑的平方是72÷4=18，小圓的半徑是正方形邊長的一半，也就是3厘米．陰影部分的面積為：陰影部分的面積等=半個大圓的面積﹣半個小圓的面積．解：正方形的面積是36平方厘米，所以正方形的邊長是6厘米，大圓的直徑的平方是：62+62=72，半徑的平方是72÷4=18，3.14×18÷2﹣3.14×32÷2=3.14×18÷2﹣3.14×9÷2=56.52÷2﹣28.26÷2=28.26﹣14.13=14.13（平方厘米）答：陰影部分的面積是14.13平方厘米．【考點九】面積法其九：整體代換法。【方法點撥】整體代換法，即通過平面圖形之間的等量關系，將圖形面積整體代換，再根據相應面積公式求出面積。【典型例題1】如圖，三角形AOB是直角三角形，其中O為圓心。已知三角形AOB面積是10cm2，求圓形面積。【答案】62.8cm2【分析】觀察圖形可知，三角形AOB是直角三角形，兩條直角邊等于圓的半徑，即三角形的底＝三角形的高＝圓的半徑；根據三角形面積公式：三角形面積＝底×高÷2，底×高＝三角形面積×2，即半徑2＝三角形面積×2，再根據圓的面積公式：π×半徑2；即圓的面積＝π×（三角形面積×2），代入數據，即可解答。【詳解】3.14×（10×2）＝3.14×20＝62.8（cm2）答：圓的面積是62.8cm2。【點睛】本題考查三角形面積公式、圓的面積公式的應用，關鍵明確三角形的底和高都與圓的半徑相等。【典型例題2】如圖所示的正方形面積是20平方分米，這個圓的面積是多少平方分米？【答案】62.8平方分米【分析】觀察題意可知，正方形的邊長相當于圓的半徑，已知正方形面積是20平方分米，根據正方形的面積公式，可知r2＝20平方分米，根據圓面積公式：S＝πr2，用3.14×20即可求出這個圓面積是多少平方分米。【詳解】3.14×20＝62.8（平方分米）答：這個圓的面積是62.8平方分米。【對應練習1】下圖中圓的面積是62.8平方厘米，三角形的面積是多少平方厘米？

【答案】10平方厘米【分析】根據題意可知，三角形的兩條直角邊等于圓的半徑，三角形面積公式＝底×高÷2，即三角形面積＝圓的半徑2÷2；根據圓的面積公式：面積＝π×半徑2，半徑2＝圓的面積÷π，代入數據，求出圓的半徑2，進而求出三角形面積。【詳解】62.8÷3.14÷2＝20÷2＝10（平方厘米）答：三角形的面積是10平方厘米。【點睛】明確三角形的兩條邊與圓的半徑之間的關系是解答本題的關鍵。【對應練習2】下圖中正方形部分是一個水池，其余部分是草坪。已知正方形的面積是225m2，草坪的面積是多少平方米？【答案】529.875平方米【分析】求與圓有關的面積，關鍵是知道半徑的長度；依據題意，正方形的面積是225平方米，結合圖示可知正方形的邊長相當于圓的半徑，也就是說半徑的平方是225；這樣圓的面積可求，草坪部分占圓面積的，再將圓的面積乘，就是草坪的面積。【詳解】（m2）答：草坪的面積是529.875平方米。【點睛】本題解答思路十分巧妙，將正方形的面積轉化為半徑的平方，從而具備了計算圓面積的條件。【考點十】面積法其十：輔助線法。【方法點撥】輔助線法，即在通常手段無法求出陰影部分面積時，需要嘗試使用添加輔助線的方法解決。【典型例題】如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，點D是半圓周的中點，BC是半圓的直徑，陰影部分的面積是多少？（單位：厘米）解析：先作輔助線，如圖所示。即可得出：陰影部分的面積＝（直徑為10厘米的半圓的面積＋邊長為10厘米的正方形的面積－等腰三角形AED的面積）÷2。圓的面積＝πr2，正方形的面積＝邊長×邊長，三角形的面積＝底×高÷2。代入數值計算。10÷2＝5（厘米）3.14×5×5÷2＝39.25（平方厘米）10×10＝100（平方厘米）10＋5＝15（厘米）10×15÷2＝75（平方厘米）39.25＋100－75＝64.25（平方厘米）64.25÷2＝32.125（平方厘米）答：陰影部分的面積是32.125平方厘米。【對應練習1】求圖中陰影部分的周長和面積。（π取3.14）解析：加兩條輔助線，如圖：陰影部分的周長為：3.14×（4÷2）×2＋3.14×4÷2＝3.14×2×2＋3.14×4÷2＝12.56＋6.28＝18.84（厘米）陰影部分的面積為：[3.14×（4÷2）2÷4－（4÷2）×（4÷2）÷2]×2＝[3.14×4÷4－2×2÷2]×2＝[3.14－2]×2＝1.14×2＝2.28（平方厘米）【對應練習2】計算下圖中陰影部分的面積。（單位：cm)

【答案】22.26平方厘米【分析】連接正方形的對角線，則陰影部分的面積等于半徑為6厘米的圓的面積的減去底和高都為6厘米的三角形的面積，再加上底為4厘米，高為6厘米的三角形的面積即可，根據圓的面積公式：S＝πr2，三角形的面積公式：S＝ah÷2，據此進行計算即可。【詳解】如圖：3.14×62×－6×6÷2＋4×6÷2＝3.14×62×－36÷2＋24÷2＝3.14×36×－36÷2＋24÷2＝28.26－18＋12＝10.26＋12＝22.26（平方厘米）【對應練習3】數學思考。如圖是一個正方形和半圓所組成的圖形，其中P為半圓周的中點，Q為正方形BC邊上的中點，求空白部分的面積。（單位：平方厘米）【答案】87.5平方厘米【分析】如下圖所示；連接PB，P點為半圓周的中點，作三角形PAB的高PG，則G是AB的中點，所以PG的長度為正方形的邊長加半圓的半徑，正方形的邊長是10厘米，半圓的直徑是10厘米，所以PG的長度是10＋10÷2＝15厘米，所以三角形PAB的面積是10×15÷2＝75平方厘米；Q點為正方形一邊的中點，所以三角形PBQ的面積是5×5÷2＝12.5平方厘米，據此列式解答即可。【詳解】10×15÷2＝150÷2＝75（平方厘米）5×5÷2＝25÷2＝12.5（平方厘米）75＋12.5＝87.5（平方厘米）答：空白部分的面積是87.5平方厘米。【點睛】此題考查了三角形、正方形和圓的面積公式的綜合應用，連接BP，找出這兩個白色三角形的高是解決本題的關鍵。【考點十一】面積法其十一：容斥原理。【方法點撥】容斥原理，即重疊、分層思路，把圖形中不規則的陰影部分看作幾個規則圖形用不同的方法重疊的結果，利用分層把重疊部分分出來，組成重疊圖形各個規則圖形的面積總和減去分掉的那面積，就是剩下所求那部分面積。【典型例題1】其一。如圖是兩個相同的直角梯形疊在一起，陰影部分是一個不規則的圖形。（1）利用“轉化思想”你知道陰影部分面積和圖中哪部分圖形的面積相等嗎？請將它涂色。（2）請求出陰影部分的面積。（單位：厘米）解析：（1）陰影部分的面積和BFGI的面積相等。如圖：（2）（13－3＋13）×4÷2＝23×4÷2＝46（平方厘米）答：陰影部分的面積是46平方厘米。【對應練習1】兩個完全一樣的直角三角形如下圖疊放，求陰影部分的面積。（單位：厘米）解析：（8－2＋8）×4÷2＝14×4÷2＝56÷2＝28（平方厘米）答：陰影部分的面積是28平方厘米。【對應練習2】如圖，有兩個邊長是8cm的正方形卡片疊在一起，求重疊部分的面積。解析：（8－4）×（8－4）＝4×4＝16（cm2）答：重疊部分面積是16cm2【對應練習3】兩個完全一樣的直角三角形重合部分是三角形HEC（如圖）。已知：AB＝10cm，HE＝5cm，CF＝6cm，圖中陰影部分面積是多少？解析：S陰影＝S三角形DEF－S三角形HEC＝S三角形ABC－S三角形HEC＝S梯形ABEH因為BE＋EC＝CF＋EC，所以BE＝CF（5＋10）×6÷2＝15×6÷2＝45（平方厘米）答：陰影部分的面積是45平方厘米。【典型例題2】如圖（單位：厘米），四邊形ABCD是長方形，其中弧AE以點B為圓心，AB的長為半徑，弧AF的點D為圓心，AD的長為半徑。計算陰影部分的面積。【答案】16.82平方厘米【分析】陰影部分的面積等于兩個扇形的面積和減去長方形的面積；據此解答即可。【詳解】3.14×62÷4＋3.14×42÷4－6×4＝28.26＋12.56－24＝16.82（平方厘米）【對應練習1】如圖所示，求圖中陰影部分的面積（單位：厘米）【答案】16.82平方厘米【分析】陰影部分的面積＝半徑為6厘米的圓的面積－左下角空白部分的面積；其中左下角空白部分的面積＝長方形的面積－半徑為4厘米的圓的面積；根據長方形的面積公式S＝ab，圓的面積公式S＝πr2，代入數據計算即可。【詳解】左下角空白部分的面積：6×4－×3.14×42＝24－12.56＝11.44（平方厘米）陰影部分的面積：×3.14×62－11.44＝28.26－11.44＝16.82（平方厘米）【對應練習2】如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，，弧AD是以CA為半徑的圓的一部分，，求圖中陰影部分的面積。【答案】18.24平方厘米【分析】觀察可知，陰影部分的面積有一部分是重合的，陰影部分的面積＝直徑8厘米的半圓面積＋弧AD半徑CA的扇形面積－三角形面積。【詳解】3.14×（8÷2）2÷2＋3.14×82×－8×8÷2＝3.14×16÷2＋3.14×64×－32＝25.12＋25.12－32＝18.24（平方厘米）【對應練習3】等腰直角三角形ABC的面積是8平方厘米，求陰影部分的面積．【答案】4.56平方厘米【詳解】試題分析：要求陰影部分的面積，可用半圓面積減去里面的空白面積，求空白面積可用三角形面積減去扇形面積，解：設等腰直角三角形ABC的直角邊為r，=8，r2=16；扇形ABD的面積：=2π=6.28（平方厘米），空白面積BCD的面積：8﹣6.28=1.72（平方厘米），半圓面積：πr2×=×3.14×16=6.28（平方厘米），陰影面積：6.28﹣1.72=4.56（平方厘米）；答：陰影部分面積是4.56平方厘米．點評：此題主要考查求陰影部分的面積，可以按一般思路去解答，就是用半圓面積減去里面的空白面積，而空白面積可用三角形面積減去扇形面積．【考點十二】面積法其十二：差不變原理（差不變思想）。【方法點撥】差不變思想，即利用等式的性質來求面積，如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可。【典型例題1】其一。如下圖，正方形ABFD的邊長為6cm，FC＝7.5cm，涂色部分甲的面積比涂色部分乙的面積大多少？（單位：厘米）解析：6×（6＋7.5）÷2－6×6＝6×13.5÷2－36＝40.5－36＝4.5（平方厘米）答：涂色部分甲的面積比涂色部分乙的面積大4.5平方厘米。【對應練習】看圖計算。如下圖，ABCD是邊長為10厘米的正方形，三角形ABF比三角形CEF的面積大20平方厘米，陰影部分的面積是多少平方厘米？解析：10×10÷2－20＝50－20＝30（平方厘米）答：陰影部分的面積是30平方厘米。【典型例題2】如圖，三角形ABC是直角三角形，圓的直徑是4厘米，陰影甲－陰影乙＝2.5平方厘米，則三角形中BC邊長是多少厘米？（π取值為3）【答案】4.75厘米【分析】陰影甲的面積＝半圓的面積－空白部分的面積，陰影乙的面積＝三角形ABC的面積－空白部分的面積，再根據陰影甲－陰影乙＝2.5平方厘米，所以半圓的面積－空白部分的面積－（三角形ABC的面積－空白部分的面積）＝2.5平方厘米，即半圓的面積－三角形ABC的面積＝2.5平方厘米，利用圓和三角形的面積公式，代入數據求解即可。【詳解】3×（4÷2）2－4×BC÷2＝2.53×4－2BC＝2.512－2BC＝2.52BC＝12－2.52BC＝9.5BC＝4.75答：三角形中BC邊長是4.75厘米。【點睛】本題主要考查了組合圖形的面積，解題的關鍵是把不規則圖形轉化為規則圖形。【對應練習1】三角形ABC為直角三角形，AB是圓的直徑，并且AB＝20厘米，如果陰影（I）的面積比陰影（II）的面積大17平方厘米，那么BC的長度是多少厘米？【答案】14厘米【分析】陰影（I）的面積比陰影（II）的面積大17平方厘米，也就是半圓的面積比三角形ABC的面積大17平方厘米，據此可知本題的數量的關系：半圓面積﹣三角形ABC面積＝17，據此數量關系可列方程解答。【詳解】解：設BC長x厘米，根據題意得：3.14×（20÷2）2÷2﹣20x÷2＝173.14×100÷2﹣10x＝17157﹣10x＝17157﹣17＝10x10x＝140x＝14答：BC的長度是14厘米。【點睛】本題的關鍵是根據半圓的面積比三角形ABC的面積大17平方厘米，找出數量關系，再列方程解答。【對應練習2】下圖中陰影②比陰影①的面積大10.8平方厘米。BC長多少厘米？（取3.14）【答案】11.22厘米【分析】根據題意，可假設空白部分的面積為S；S△ABC－S＝S②；S半圓－S＝S①；故S②－S①＝S△ABC－S－（S半圓－S）＝S△ABC－S半圓＝10.8；代入數值即可解答出BC的長度。【詳解】根據題意，可假設空白部分的面積為S；S△ABC－S＝S②；S半圓－S＝S①；故S②－S①＝S△ABC－S－（S半圓－S）＝S△ABC－S半圓＝10.8；S△ABC＝＝＝6×BC；S半圓＝[π×（）2]÷2＝[3.14×（）2]÷2＝3.14×62÷2＝3.14×36÷2＝113.04÷2＝56.52（平方厘米）代入式子：S△ABC－S半圓＝6×BC－56.52＝10.8（平方厘米）由此可得BC為（10.8＋56.52）÷6＝67.32÷6＝11.22（厘米）答：BC長11.22厘米。【點睛】解題關鍵利用已知的條件，列出關系式。根據三角形面積公式和圓的面積公式計算解答即可。【對應練習3】直角三角形ABC中，陰影甲比乙的面積大28平方厘米，厘米，AB有多長？【答案】32.8厘米【分析】甲是三角形ABC的一部分，乙是半圓的一部分，甲乙分別加上空白部分，差不變。陰影甲比乙的面積大28平方厘米，所以三角形ABC比半圓面積多28平方厘米。求出三角形ABC面積，利用三角形面積公式倒推AB邊長度即可。【詳解】3.14×（）2＝1256（平方厘米）1256÷2＝628（平方厘米）628＋28＝656（平方厘米）656×2＝1312（平方厘米）1312÷40＝32.8（厘米）答：AB有32.8厘米長。【點睛】本題的關鍵是結合同加同減差不變的規律找出規則圖形的面積差，把不規則轉換成規則。【考點十三】面積法其十三：等積變形。【方法點撥】等積變形，即利用等底等高，面積相等的特性，將不能求出的圖形轉化為面積與之相等的圖形。【典型例題】如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，B、C、E在同一條直線上，且正方形ABCD的面積為8平方厘米，則陰影部分的面積為多少平方厘米？解析：連結CF，那么CF平行BD，所以，陰影面積=三角形BCD的面積=8（平方厘米），因為正方形ABCD面積為8平方厘米.那么圖中三角形的面積是4平方厘米。【對應練習1】正方形ABCD和正方形CEFG，已知正方形ABCD的面積是100平方厘米，正方形CEFG的面積是66平方厘米，則圖中陰影部分面積為多少平方厘米？解析：連接CF，可知BD平行于CF，由平行線間的等積變形，知三角形BDF的面積等于三角形BCD的面積，即正方形面積ABCD的一半=100÷2=50平方厘米。【對應練習2】右圖是由大、小兩個正方形組成的，小正方形的邊長是厘米，求三角形的面積．【答案】8【詳解】這道題似乎缺少大正方形的邊長這個條件，實際上本題的結果與大正方形的邊長沒關系．連接(見右上圖)，可以看出，三角形與三角形的底都等于小正方形的邊長，高都等于大正方形的邊長，所以面積相等．因為三角形是三角形與三角形的公共部分，所以去掉這個公共部分，根據差不變性質，剩下的兩個部分，即三角形與三角形面積仍然相等．根據等量代換，求三角形的面積等于求三角形的面積，等于．【考點十四】面積法其十四：圖示法。【方法點撥】圖示法，即先根據題意，畫出圖形的軌跡，再求面積。【典型例題】在等腰直角三角形中，角C是直角，厘米，以C點為中心逆時針旋轉90°。求線段掃過的面積。【答案】67.75平方厘米【分析】根據題意可以畫出圖形。三角形ABC以C為中心逆時針旋轉90°得到三角形，A和重合。掃過的面積就是陰影部分的面積＝是個以CB為半徑的半圓－兩個小三角形的面積－圓的面積。半圓的面積＝所在圓的面積÷2＝÷2。這個圓的半徑是兩個小三角形組成的正方形的邊長，則圓的面積＝××正方形的邊長的平方，正方形邊長的平方等于正方形面積，圓的面積＝××正方形的面積。這兩個小正方形的組成的正方形的面積是三角形ABC和三角形面積和的一半即為50平方厘米。而兩個小三角形的面積也是三角形ABC和三角形面積和的一半。【詳解】半圓的面積：3.14×102÷2＝3.14×100÷2＝314÷2＝157（平方厘米）兩個三角形的面積：10×10÷2×2＝100（平方厘米）正方形的面積：100÷2＝50（平方厘米）也是兩個小三角形的面積圓的面積：×3.14×50＝39.25（平方厘米）157－50－39.25＝67.75（平方厘米）答：線段掃過的面積是67.75平方厘米。【對應練習1】如圖，一枚半徑是1厘米的游戲幣沿著邊長是4厘米的等邊三角形的邊繞一圈，它掃過的面積是多少平方厘米？【答案】36.56平方厘米【分析】如圖，它掃過的面積是3個邊長4厘米，寬1×2厘米的長方形和一個圓的面積，長方形面積＝長×寬，圓的面積＝πr2，據此列式解答。【詳解】1×2＝2（厘米）2×4×3＋3.14×22＝24＋3.14×4＝24＋12.56＝36.56（平方厘米）答：它掃過的面積是36.56平方厘米。【點睛】關鍵是具有一定的空間想象能力，掌握并靈活運用長方形和圓的面積公式。【對應練習2】一塊長方形草地的一個角上有一根木樁，木樁上拴著一只羊，如果拴羊的繩子長4米，這只羊無法吃到的草地面積是多少平方米？【答案】47.44平方米【分析】如圖：觀察圖形可知，這只羊能吃到草的面積等于半徑為4米圓的的面積，那么這只羊無法吃到的草地面積＝長方形的面積－圓的面積；根據長方形的面積公式S＝ab，圓的面積公式S＝πr2，代入數據計算即可。【詳解】長方形草地的面積：10×6＝60（平方米）能吃到草的面積（圓的面積）：3.14×42×＝3.14×16×＝3.14×4＝12.56（平方米）無法吃到的草地面積：60－12.56＝47.44（平方米）答：這只羊無法吃到的草地面積是47.44平方米。【點睛】畫出圖形幫助理解題意，先分析出羊能吃到草的面積是一個圓的面積，進而得出羊無法吃到的草地面積是由哪些圖形面積相加或相減得到，再根據圖形的面積公式解答。【對應練習3】如圖，空地上有一座長方形羊圈。這座長方形羊圈的長是6米，寬是4米，在羊圈的墻角上栓著一只小羊。（1）栓羊的繩長是4米，小羊在空地上的活動范圍是多少平方米？（2）如果栓羊的繩長是6米，那么小羊的活動范圍增加了多少平方米？【答案】（1）37.68平方米（2）50.24平方米【分析】（1）栓羊的繩長是4米，那么羊在空地上的活動范圍是一個以4米為半徑的圓；根據圓的面積公式S＝πr2，代入數據計算即可。（2）栓羊的繩長是6米，那么羊在空地上的活動范圍是由兩部分組成，一個以6米為半徑的圓和一個以（6－4）米為半徑的圓，根據圓的面積公式S＝πr2，分別求出這兩部分的面積，再減去上一題的面積，即是小羊的活動范圍增加的面積。【詳解】（1）3.14×42×＝3.14×16×＝3.14×12＝37.68（平方米）答：小羊在空地上的活動范圍是37.68平方米。（2）3.14×62×＋3.14×（6－4）2×＝3.14×36×＋3.14×4×＝84.78＋3.14＝87.92（平方米）87.92－37.68＝50.24（平方米）答：小羊的活動范圍增加了50.24平方米。【點睛】本題考查圓的面積公式的運用，弄清羊的活動范圍是由哪幾部分組成的是解題的關鍵。【考點十五】面積法其十五：平移運動問題＊。【方法點撥】在平移運動過程中，圖形的形狀與面積都可能會發生變化，關鍵在于理解運動變換過程的規律，畫出不同的示意圖。【典型例題】如圖，三角形ABC中，底和高都是6厘米，點A和點C同時以0.5厘米/秒的速度向右平移，形成一個梯形，經過幾秒后，梯形的面積達到42平方厘米？【答案】8秒【分析】由圖可知，梯形的面積＝三角形的面積＋平行四邊形的面積，利用“三角形的面積＝底×高÷2”求出三角形ABC的面積，平行四邊形的面積＝梯形的面積－三角形的面積，平行四邊形的高等于三角形的高，利用“底＝平行四邊形的面積÷高”求出平行四邊形的底，即點A和點C平移的距離，最后根據“時間＝路程÷速度”求出點A和點C平移的時間，據此解答。【詳解】42－6×6÷2＝42－18＝24（平方厘米）24÷6＝4（厘米）4÷0.5＝8（秒）答：經過8秒后，梯形的面積達到42平方厘米。【點睛】把梯形的面積分割為三角形的面積與平行四邊形的面積之和，并求出平行四邊形的面積和平行四邊形的底是解答題目的關鍵。【對應練習1】如圖所示，正方形和圓相距30厘米，正方形的邊長和圓的直徑都是10厘米，正方形沿著直線向右做平移運動，圓沿著直線向左做平移運動。正方形每秒運動3厘米，比圓的速度慢。當圓和正方形完全重疊時，沒有重合部分的面積是多少？正方形與圓同時開始運動到最后完全分開經過的時間是多少秒？【答案】21.5平方厘米；6.25秒【分析】（1）當圓和正方形完全重疊時，此時是一個外方內圓的圖形，那么沒有重合部分的面積＝正方形的面積－圓的面積；根據正方形的面積公式S＝a2，圓的面積公式S＝πr2，代入數據計算即可求解。（2）已知正方形每秒運動3厘米，比圓的速度慢，把圓的速度看作單位“1”，則正方形的速度是圓的（1－），單位“1”未知，用正方形的速度除以（1－），即可求出圓的速度。正方形與圓同時開始運動到最后完全分開，總路程＝相距的30厘米＋正方形的邊長＋圓的直徑；根據時間＝路程÷速度，即可求出正方形與圓同時開始運動到最后完全分開經過的時間。【詳解】（1）10×10－3.14×（10÷2）2＝100－3.14×25＝100－78.5＝21.5（平方厘米）（2）圓每秒運動：3÷（1－）＝3÷＝3×＝5（厘米）經過的時間：（30＋10＋10）÷（3＋5）＝50÷8＝6.25（秒）答：當圓和正方形完全重疊時，沒有重合部分的面積是21.5平方厘米。正方形與圓同時開始運動到最后完全分開經過的時間是6.25秒。【點睛】（1）本題考查圓的面積、正方形的面積公式的運用，明白當圓和正方形完全重疊時是一個外方內圓的圖形是解題的關鍵。（2）本題考查分數除法的應用以及行程問題，先根據分數除法的意義求出圓的速度，再根據速度、時間、路程之間的關系解答。【對應練習2】如下圖，同一直線上的直角梯形和長方形相距10cm。直角梯形上底2cm，下底4cm，高6cm。長方形長26cm，寬6cm。現在直角梯形按每秒2cm勻速向右平移。（1）畫出直角梯形平移6秒鐘后的位置，并算一算這時它與長方形重疊部分的面積是多少平方厘米？（2）想一想，算一算，在直角梯形平移過程中，整個直角梯形與長方形完全重疊的時間維持了幾秒？【答案】（1）圖見詳解；6平方厘米（2）11秒【分析】（1）用梯形的移動速度乘