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文檔簡介
綜合測試卷(二)
時間:120分鐘分值:150分
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是
符合題目要求的.
1.(2024湖北黃岡中學三模,3)已知復數z滿意/+4i=0,貝Hz|=()
A.4B.2C.A/2D.1
222222
答案B設z=a+bi(a,beR),貝Ijz+4i=(a+bi)+4i=a-b+(2ab+4)i=0,所以a-b=0且
2ab+4=0,解得a=V2,b=-直或a=-點,b=V2,貝U|z|一屋2.故選B.
2.(2024海淀一模,1)已知集合人={1},即{x|x》a}.若AUB=B,則實數a的取值范圍是()
A.(-°°,1)B.(-°O,1]
C.(1,+8)D.[1,+8)
答案B由AUB=B,得ACB,從而有aWl,所以實數a的取值范圍是(-8,1],故選B.
3.(2024湖南衡陽一模)我國古代有著輝煌的數學探討成果,《周髀算經》《九章算術》《海
島算經》《孫子算經》《緝古算經》等10部專著是了解我國古代數學的重要文獻,這10部
專著中5部產生于魏晉南北朝時期,某中學擬從這10部專著中選擇2部作為“數學文化”課
外閱讀教材,則所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時期專著的概率為()
A.-B.-C.-D.-
9999
答案A設所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時期的專著為事務A,所以P(-)=字^
C109
因此P(A)=1-P(―)=1彳=:.故選A.
22
4.(2024屆廣州10月調研,5)雙曲線C:——工=1的一條漸近線方程為x+2y=0,則C的離心率
為()
A.yB.V3C.2D.V5
答案A由題意得,=—,即a=2b,Xb2=c2-a2,/.5a2=4c2,.*.e=—=y,故選A.
5.(2024廣州模擬,5)某學校組織學生參與數學測試,某班成果的頻率分布直方圖如圖,數據
的分組依次為[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若不低于60分的人數是35,則該班的學
生人數是()
頻率
WE
0.02--------——
0.015-----------------
0.01-----I——
0.005——
020406080100成績/分
A.45B.50C.55D.60
答案B由頻率分布直方圖得不低于60分的頻率為(0.02+0.015)X20=0.70,二,不低于60
分的人數是35,.?.該班的學生人數是舒50.故選B.
6.(2024百校大聯考(六),9)已知向量a=(3,100),若入a=(3入,2口)(A,PdR),則
-=()
A.50B.3C.lD.1
答案C依據題意得"=(3入,10。入)=(3入,2口),所以2『100入,所以一念故選0
7.(2024屆江蘇省天一中學月考,6)若函數f(x)=sin(4x-#(0W3或在區間",上單
調遞增,則實數6的取值范圍是()
A七/B.["]
C-[TJT]D-[i'T]
答案D當xe[o昌時,-<t)W4x-@wqL@.
因為函數丫=$加在昌,5]上單調遞增,且函數f(x)=sin(4x-<H(0W在區間[0,9]
上單調遞增,
->,
所以得注一;解得看w。嗎,所以實數小的取值范圍是[看,y].
8.(2024屆重慶巴蜀中學11月月考,8)在棱長為2的正方體ABCD-ABCD中,點E,F,G,H分
別為棱AB,BC,CD,AD的中點,若平面a〃平面EFGH,且平面a與棱AB,BC,B】B分別交于
點P,Q,S,其中點Q是棱BC的中點,則三棱錐B「PQS的體積為()
答案D
如圖所示,取AAi,CQ的中點N,M,連接NH,NE,MG,MF,
由正方體的性質可知,NE〃GM,HG〃EF,HN〃MF,
所以H,G,M,F,E,N六點共面,又因為平面a〃平面EFGH,所以平面PQS//平面HGMFEN,又平面
BBCCA平面PQS=QS,平面BBCCn平面HGMFEN=MF,所以QS〃MF,由M,F,Q為所在棱中點可知
S為BBi的中點,同理可知,P為AB的中點,所以BF=BiQ=BiS=l,且BiP,BQBiS兩兩垂直,所以
三棱錐B-PQS的體積為v4xix|xixi=1,故選D.
9.(2024八省聯考,8)已知a<5且ae5=5ea,b<4且be=4eb,c<3且ce=3ec,貝!J()
A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c
答案D因為aeJ5e&,a<5,所以a>0,同理b〉0,c>0,
令f(x)=J,x〉0,則f'
當0<x〈l時,f'(x)<0,當x>l時,f5(x)>0,
故f(x)在(0,1)上為減函數,在(1,+8)上為增函數,
因為ae=5ea,故,J即f(5)=f(a),X0<a<5,
故同理可得f(4)=f(b),f(3)=f(c),則0<b<l,0<c<l,
因為f(5)>f⑷>f(3),所以f(a)>f(b)>f(c),
所以0<a<b<c<l,故選D.
10.(2024屆寧夏期末,7)“a24”是“二次函數f(x)=x?-ax+a有零點”的()
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
答案A若a\4,則A=a2-4a=a(a-4)20,故方程x^-ax+aR有解,即二次函數f(x)=x?-ax+a
有零點.若二次函數f(xhY-ax+a有零點,則方程x-ax+a=0有解,則A=a2-4a^0,解得a24
或aWO.故“a,4”是“二次函數f(x)=/-ax+a有零點”的充分不必要條件,故選A.
11.(2024屆黑龍江模擬,11)關于函數f(x)=cos2x-2%sinxcosx,有下列命題:①對隨意
Xi,X2GR,當X1-X2=Jt時,f(Xi)=f(X2)成立;②f(x)在區間卜,引上單調遞增;③函數f(x)的
y=2sin2x的圖象重合.其中正確的命題是()
A.①②③B.②
C.①③D.①②④
答案Cf(x)=cos2x-2V3sinxcosx=cos2x-V3sin2x=2cos^2+孑).因為x「xz=",所以
f(xi)=2cos(21+y^=2cos[2(2+11)+引=2COS(22+g)=f⑸),故①正確;當
XG[-1,9時,2x+彳60,n],所以函數f(x)在區間卜看,9上單調遞減,故②錯
誤;f償)=2cos(2x5+v)=2cos^=0,故③正確;將函數f(x)的圖象向左平移等個單位長度
后得到y=2cos[2(+?+力=-2cos(2+:)的圖象,易知該圖象與函數y=2sin2x的圖
象不重合,故④錯誤.故選C.
12.(2024屆北京四中10月月考,10)對于函數y=f(x),若存在x。,使得f(x0)=-f(-x0),則稱點
(如£&。))與點(』,£(』))是函數£々)的一對“隱對稱點”.若函數
f(x)=[之+:;建:匕的圖象存在“隱對稱點”,則實數m的取值范圍是()
I十乙,三u
A.[2-2V2,0)B.(-°o,2-2V2]
C.(-8,2+2V2]D.(0,2+2V2]
答案B由“隱對稱點”的定義可知,f(x)=[的圖象上存在關于原點對稱
I十乙,U
的點,設函數g(x)的圖象與函數y=x2+2x,x<0的圖象關于原點對稱.
令x>0,貝卜x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)=X2-2X,
所以g(x)=-X2+2X(X>0),
故原問題等價于關于x的方程mx+2=-x2+2x有正根,
故m=-x—+2,
而-x-二+2=-(+二)+2W-2J?—+2=2—2V2,
當且僅當x=方時,取得等號,所以mW2-20,
故實數m的取值范圍是(-8,2-2遮],故選B.
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.(2024海淀一模,11)已知函數海x)=x'+ax.若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率
為2,則實數a的值是.
答案T
解析由題意得(x)=3x2+a,所以f(l)=3+a=2,從而得a=-l.
14.(2024屆廣西北海模擬,15)函數f(x)=(1+V3tanx)cosx的最小值為.
答案-2
解析f(x)=(1+V3tanx)cosx=cosx+V3sinx=2sin^+看)(#=—+
kJI,Vsin^[-1,1],(x)=2sin(+/)e[-2,2],.,.函數
f(x)=(1+V3tanx)cosx的最小值為-2.
15.(2024北京文,14,5分)若4ABC的面積為手(a,cZ-b?),且/C為鈍角,則/B=
的取值范圍是.
答案g;(2,+8)
解析依題意有gacsinBuRd+c2-b?)=曰X2accosB,貝!JtanB=a,ZB=y.
sinsin缺-A)」+禽cos1+禽.1
sinsin22sin22tan'
,?*NC為鈍角,,彳一NA),
又NA>0,???0<NA<3則0<tanA<-,
63
-—故—>;+*><V5=2.
tan22
故一的取值范圍為⑵+°°).
16.(2024四川南充二模,16)設函數f的最大值為M,最小值為N,下述四個結
論:①M+N=4;②M-N±③MN=1C;④一」.其中全部正確結論的序號是.
ee"e+1-----------
答案②③
解析f(x)=l+—設g(x)=—可知g(x)為奇函數,其最大值和最小值互為相反數,
當x>0時,g(x)=—,g(x)
ee
當0<x<l時,g(x)單調遞增,當x>l時,g(x)單調遞減,
可知x=l時,g(x)取得極大值士也為最大值,由g(x)為奇函數可知,當x〈0時,g(x)的最小值
e
為」,則M=1AN=l-i則M-N=-,M+N=2,.故答案為②③.
eeeeeze-1
三、解答題:共70分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
(一)必做題
17.(2024湘豫名校聯盟4月聯考,17)在4ABC中,已知內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且
bsinA=acos
⑴求B;
⑵若c=5,b=7,求AABC的周長.
解析⑴由bsinA=acos(一高及正弦定理,得sinBsinA=sinAcos(一孑),
因為sinAWO,所以sinB=cos(-
BPsinB=-ycosB+|sinB,即sin(-y^=0,
由于0<B<兀,所以-獷-9津,所以B-2所以B4.
(2)在△ABC中,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB及已知,得a2-5a-24=0,解得a=8或a=-3(舍),
故4ABC的周長為a+b+c=8+7+5=20.
18.(2014北京文,17,14分)如圖,在三棱柱ABC-AiBiCi中,側棱垂直于底
面,AB±BC,AAi=AC=2,BC=1,E,F分別是AC,BC的中點.
(1)求證:平面ABE_L平面BiBCCi;
⑵求證:CF〃平面ABE;
⑶求三棱錐E-ABC的體積.
R
解析⑴證明:在三棱柱ABC-AiBiCi中,BB」底面ABC.所以BBi±AB.
又因為AB_LBC,BBmBC=B,
所以AB_L平面BiBCCi.又因為ABc平面ABE,
所以平面ABE_L平面BBC。.
⑵證明:取AB的中點G,連接EG,FG.
因為G,F分別是AB,BC的中點,
所以FG〃AC,且FG=|AC.
因為AC/7A1C1,AC=AiCi,且E為AC的中點,
所以FG〃E3,且FG=EG.
所以四邊形FGE3為平行四邊形.
所以CF〃EG.
又因為EGu平面ABE,平面ABE,
所以CF〃平面ABE.
(3)因為AAi=AC=2,BC=1,AB±BC,
所以AB=V2-B2=V3.
所以三棱錐E-ABC的體積
V=^SAABC,AAi=§XgXV5X1義2=苧.
19.(2024屆山東濟寧一中開學考,18)為提高教化教學質量,越來越多的中學學校采納寄宿
制的封閉管理模式.某校對高一新生是否適應寄宿生活非常關注,從高一新生中隨機抽取了
100人,其中男生占總人數的40%,且只有20%的男生表示自己不適應寄宿生活,女生中不適應
寄宿生活的人數占高一新生抽取總人數的32%,學校為了調查學生對寄宿生活適應與否是否
與性別有關,構建了如下2X2列聯表:
不適應寄宿生活適應寄宿生活合計
男生
女生
合計
(1)請將2X2列聯表補充完整,并推斷能否有99%的把握認為“適應寄宿生活與否”與性別
有關;
(2)從男生中以“是否適應寄宿生活”為標準采納分層隨機抽樣的方法隨機抽取10人,再從
這10人中隨機抽取2人.若所選2名學生中的“不適應寄宿生活”的人數為X,求隨機變量X
的分布列及數學期望.
(-)2
附:七+)(
+)(+)(+)'
PkPk。)0.150.100.050.0250.010.001
k02.0722.7063.8415.0246.63510.828
解析(1)依據題意填寫列聯表如下:
不適應寄宿生活適應寄宿生活合計
男生83240
女生322860
合計4060100
0
2100X(8X28-32X32)「「
KTZ=-------------^11.11,
40x60x40x60
因為11.11>6.635,
所以有99%的把握認為“適應寄宿生活與否”與性別有關.
(2)用分層隨機抽樣的方法隨機抽取10人,有2人不適應寄宿生活,8人適應寄宿生活,
所以隨機變量X的可能取值是0,1,2,
p(X=o)=全竺p(x=l)/卜以p(x=2)3」
3"C?o45'I"Ddo45'1久"C?o45'
所以隨機變量X的分布列為
X012
28161
P
454545
數學期望E(X)=。送+1X自
20.(2024河南尖子生診斷性考試,21)已知函數f(x)=e*-ax2(其中e為自然對數的底數,a為
常數).
(1)若f(x)在(0,+8)上有微小值0,求實數a的值;
(2)若f(x)在(0,+co)上有極大值M,求證:M<a.
解析⑴f'(x)=e*-2ax.設f(xo)=O(x()e(0,+8)),則f,(xo)=O.
由『:尸解得x0=2,a=9
le0-2ao=O,4
22
經檢驗,滿意f(x)在(0,+8)上有微小值,且微小值為0.故a之
⑵證明:設f(x)在(0,+8)上的極大值點為xi,則f'(xi)=0,即ei-2axi=0,則有a=^.
此時M=f(xi)=ei-af.
故M-a=e—af-a=e-a(:+l)=e」(加),,=e1-[1-^(1++)卜0(當且僅當
Xi=l時取等號).
而當xi=l時,a=]f'(x)=e'-ex,f"(x)=e*-e,xG(0,1)時,f"(x)〈0,XG(1,+8)
時,f"(x)〉0.
則f'(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+8)上單調遞增,且f'(1)=0.
則f*(x)*⑴=0,故f(x)在(0,+8)上單調遞增,此時f(x)在(0,+8)上無極值.
與已知條件沖突,故XiWl,則M-a<0,即M<a.
22一
21.(2024湖南六校4月聯考,21)已知A,B分別為橢圓E:—+—=1(a>V3)的左,右頂點,Q為橢
43
圓E的上頂點,**-1.
⑴求橢圓E的方程;
⑵己知動點P在橢圓E上,定點M(-l,1),N(l,-J.
①求△PMN的面積的最大值;
②若直線MP與NP分別與直線x=3交于C,D兩點,問:是否存在點P,使得△PMN與4PCD的面
積相等?若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由.
解析(1)由題意得A(-a,0),B(a,0),Q(0,V3),則-(a,V3),>=(a,"\/3),由
22
―,?一=1,得a-3=l,解得a=2,所以橢圓E的方程為丁+三=1.
⑵①設P(2cos0,V3sin0),易知直線MN:y=[x,即3x+2y=0,點P到直線MN的距離
16cos譽sin1=4閥si3+到避|MN|=VT3,
V13V1313*11)
則SAPMN--|MNI,dW2V即(SAPMN)max_2A/3?
②設P(x?,y?),由①知IMN1=g,點P到直線MN的距離dj需”則
V13
3
SAPMN=|IMN|?13xo+2yo|.直線MP:y=f(x+1)+:,令x=3,可得C(3,f+|);直線
ZJQ+1乙\o+l2/
3
PN:y=-^(x-l)-1,令x=3,可得D(3,y-J),貝/CD|=。卡,。)(。-3),又到直線的距
2\O-12/O-1PCD
離dz=|3-xo|,貝uSAPCD=||CD|-d=13。:2。.(3-xo)2,VAPMN^APCD的面積相
22幺O-1
2
等,13xo+2yo41TH,(3F);故3x(>+2yo=O(舍)或I2仁(3-x?),解得代入橢
圓方程得丫。=±粵,故存在點P滿意題意,點P的坐標為6,等)或(,一等)
(-)選做題(從下面兩道題中選一題做答)
22.(2024鄭州一中周練(二),22)已知平面直角坐標系xOy,以0為極點,x軸的正半軸為極軸
建立極坐標系,P點的極坐標為(3,2),曲線C
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