綜合測試卷(二)

時間：120分鐘分值：150分

一、選擇題:本題共12小題,每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.(2024湖北黃岡中學三模,3)已知復數(shù)z滿意/+4i=0,貝Hz|=()

A.4B.2C.A/2D.1

222222

答案B設(shè)z=a+bi(a,beR),貝Ijz+4i=(a+bi)+4i=a-b+(2ab+4)i=0,所以a-b=0且

2ab+4=0,解得a=V2,b=-直或a=-點,b=V2,貝U|z|一屋2.故選B.

2.(2024海淀一模,1)已知集合人={1},即{x|x》a}.若AUB=B,則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(-°°,1)B.(-°O,1]

C.(1,+8)D.[1,+8)

答案B由AUB=B，得ACB,從而有aWl,所以實數(shù)a的取值范圍是(-8,1],故選B.

3.(2024湖南衡陽一模)我國古代有著輝煌的數(shù)學探討成果，《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海

島算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》《緝古算經(jīng)》等10部專著是了解我國古代數(shù)學的重要文獻,這10部

專著中5部產(chǎn)生于魏晉南北朝時期,某中學擬從這10部專著中選擇2部作為“數(shù)學文化”課

外閱讀教材,則所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時期專著的概率為()

A.-B.-C.-D.-

9999

答案A設(shè)所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時期的專著為事務(wù)A,所以P(-)=字^

C109

因此P(A)=1-P(―)=1彳=：.故選A.

22

4.(2024屆廣州10月調(diào)研,5)雙曲線C:——工=1的一條漸近線方程為x+2y=0,則C的離心率

為()

A.yB.V3C.2D.V5

答案A由題意得，=—,即a=2b,Xb2=c2-a2,/.5a2=4c2,.*.e=—=y,故選A.

5.(2024廣州模擬,5)某學校組織學生參與數(shù)學測試,某班成果的頻率分布直方圖如圖,數(shù)據(jù)

的分組依次為[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若不低于60分的人數(shù)是35,則該班的學

生人數(shù)是()

頻率

WE

0.02--------——

0.015-----------------

0.01-----I——

0.005——

020406080100成績/分

A.45B.50C.55D.60

答案B由頻率分布直方圖得不低于60分的頻率為（0.02+0.015）X20=0.70,二,不低于60

分的人數(shù)是35,.?.該班的學生人數(shù)是舒50.故選B.

6.（2024百校大聯(lián)考（六），9）已知向量a=（3,100）,若入a=（3入，2口）（A,PdR）,則

-=()

A.50B.3C.lD.1

答案C依據(jù)題意得"=（3入，10。入）=（3入，2口），所以2『100入，所以一念故選0

7.（2024屆江蘇省天一中學月考,6）若函數(shù)f（x）=sin（4x-#（0W3或在區(qū)間",上單

調(diào)遞增，則實數(shù)6的取值范圍是（）

A七/B.["]

C-[TJT]D-[i'T]

答案D當xe[o昌時,-<t）W4x-@wqL@.

因為函數(shù)丫=$加在昌，5]上單調(diào)遞增，且函數(shù)f（x）=sin（4x-<H（0W在區(qū)間[0,9]

上單調(diào)遞增，

->,

所以得注一；解得看w。嗎,所以實數(shù)小的取值范圍是[看，y].

8.（2024屆重慶巴蜀中學11月月考,8）在棱長為2的正方體ABCD-ABCD中，點E,F,G,H分

別為棱AB,BC,CD,AD的中點，若平面a〃平面EFGH,且平面a與棱AB,BC,B】B分別交于

點P,Q,S,其中點Q是棱BC的中點，則三棱錐B「PQS的體積為（）

答案D

如圖所示,取AAi,CQ的中點N,M,連接NH,NE,MG,MF,

由正方體的性質(zhì)可知,NE〃GM,HG〃EF,HN〃MF,

所以H,G,M,F,E,N六點共面,又因為平面a〃平面EFGH,所以平面PQS//平面HGMFEN,又平面

BBCCA平面PQS=QS,平面BBCCn平面HGMFEN=MF,所以QS〃MF,由M,F,Q為所在棱中點可知

S為BBi的中點，同理可知,P為AB的中點,所以BF=BiQ=BiS=l,且BiP,BQBiS兩兩垂直,所以

三棱錐B-PQS的體積為v4xix|xixi=1,故選D.

9.(2024八省聯(lián)考,8)已知a<5且ae5=5ea,b<4且be=4eb,c<3且ce=3ec,貝!J()

A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c

答案D因為aeJ5e&,a<5,所以a>0,同理b〉0,c>0,

令f(x)=J,x〉0,則f'

當0<x〈l時,f'(x)<0,當x>l時,f5(x)>0,

故f(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+8)上為增函數(shù)，

因為ae=5ea,故，J即f(5)=f(a),X0<a<5,

故同理可得f(4)=f(b),f(3)=f(c),則0<b<l,0<c<l,

因為f(5)>f⑷>f(3),所以f(a)>f(b)>f(c),

所以0<a<b<c<l,故選D.

10.(2024屆寧夏期末,7)“a24”是“二次函數(shù)f(x)=x?-ax+a有零點”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A若a\4,則A=a2-4a=a(a-4)20,故方程x^-ax+aR有解，即二次函數(shù)f(x)=x?-ax+a

有零點.若二次函數(shù)f(xhY-ax+a有零點，則方程x-ax+a=0有解,則A=a2-4a^0,解得a24

或aWO.故“a,4”是“二次函數(shù)f(x)=/-ax+a有零點”的充分不必要條件，故選A.

11.(2024屆黑龍江模擬，11)關(guān)于函數(shù)f(x)=cos2x-2%sinxcosx,有下列命題:①對隨意

Xi,X2GR,當X1-X2=Jt時,f(Xi)=f(X2)成立;②f(x)在區(qū)間卜，引上單調(diào)遞增;③函數(shù)f(x)的

y=2sin2x的圖象重合.其中正確的命題是()

A.①②③B.②

C.①③D.①②④

答案Cf(x)=cos2x-2V3sinxcosx=cos2x-V3sin2x=2cos^2+孑).因為x「xz="，所以

f(xi)=2cos(21+y^=2cos[2(2+11)+引=2COS(22+g)=f⑸)，故①正確；當

XG[-1,9時,2x+彳60,n],所以函數(shù)f(x)在區(qū)間卜看，9上單調(diào)遞減,故②錯

誤;f償)=2cos(2x5+v)=2cos^=0,故③正確;將函數(shù)f(x)的圖象向左平移等個單位長度

后得到y(tǒng)=2cos[2(+?+力=-2cos(2+：)的圖象，易知該圖象與函數(shù)y=2sin2x的圖

象不重合,故④錯誤.故選C.

12.(2024屆北京四中10月月考,10)對于函數(shù)y=f(x),若存在x。,使得f(x0)=-f(-x0),則稱點

(如￡&。))與點(』,￡(』))是函數(shù)￡々)的一對“隱對稱點”.若函數(shù)

f(x)=[之+:;建:匕的圖象存在“隱對稱點”，則實數(shù)m的取值范圍是()

I十乙,三u

A.[2-2V2,0)B.(-°o,2-2V2]

C.(-8,2+2V2]D.(0,2+2V2]

答案B由“隱對稱點”的定義可知,f(x)=[的圖象上存在關(guān)于原點對稱

I十乙，U

的點，設(shè)函數(shù)g(x)的圖象與函數(shù)y=x2+2x,x<0的圖象關(guān)于原點對稱.

令x>0,貝卜x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)=X2-2X,

所以g(x)=-X2+2X(X>0),

故原問題等價于關(guān)于x的方程mx+2=-x2+2x有正根，

故m=-x—+2,

而-x-二+2=-(+二)+2W-2J?—+2=2—2V2,

當且僅當x=方時,取得等號,所以mW2-20,

故實數(shù)m的取值范圍是(-8,2-2遮]，故選B.

二、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.(2024海淀一模,11)已知函數(shù)海x)=x'+ax.若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率

為2,則實數(shù)a的值是.

答案T

解析由題意得(x)=3x2+a,所以f(l)=3+a=2,從而得a=-l.

14.(2024屆廣西北海模擬，15)函數(shù)f(x)=(1+V3tanx)cosx的最小值為.

答案-2

解析f(x)=(1+V3tanx)cosx=cosx+V3sinx=2sin^+看)(#=—+

kJI,Vsin^[-1,1],(x)=2sin(+/)e[-2,2],.,.函數(shù)

f(x)=(1+V3tanx)cosx的最小值為-2.

15.(2024北京文，14,5分)若4ABC的面積為手(a,cZ-b?),且/C為鈍角，則/B=

的取值范圍是.

答案g；(2,+8)

解析依題意有g(shù)acsinBuRd+c2-b?)=曰X2accosB,貝!JtanB=a,ZB=y.

sinsin缺-A)」+禽cos1+禽.1

sinsin22sin22tan'

,?*NC為鈍角，，彳一NA),

又NA>0,???0<NA<3則0<tanA<-,

63

-—故—>；+*><V5=2.

tan22

故一的取值范圍為⑵+°°）.

16.（2024四川南充二模,16）設(shè)函數(shù)f的最大值為M,最小值為N,下述四個結(jié)

論:①M+N=4;②M-N±③MN=1C；④一」.其中全部正確結(jié)論的序號是.

ee"e+1-----------

答案②③

解析f(x)=l+—設(shè)g(x)=—可知g(x)為奇函數(shù),其最大值和最小值互為相反數(shù),

當x>0時，g(x)=—,g(x)

ee

當0<x<l時,g(x)單調(diào)遞增，當x>l時,g(x)單調(diào)遞減,

可知x=l時,g(x)取得極大值士也為最大值，由g(x)為奇函數(shù)可知，當x〈0時,g(x)的最小值

e

為」,則M=1AN=l-i則M-N=-,M+N=2,.故答案為②③.

eeeeeze-1

三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

(一)必做題

17.(2024湘豫名校聯(lián)盟4月聯(lián)考,17)在4ABC中，已知內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且

bsinA=acos

⑴求B;

⑵若c=5,b=7,求AABC的周長.

解析⑴由bsinA=acos(一高及正弦定理,得sinBsinA=sinAcos(一孑)，

因為sinAWO,所以sinB=cos(-

BPsinB=-ycosB+|sinB,即sin(-y^=0,

由于0<B<兀，所以-獷-9津,所以B-2所以B4.

(2)在△ABC中，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB及已知,得a2-5a-24=0,解得a=8或a=-3(舍),

故4ABC的周長為a+b+c=8+7+5=20.

18.(2014北京文,17,14分)如圖,在三棱柱ABC-AiBiCi中，側(cè)棱垂直于底

面,AB±BC,AAi=AC=2,BC=1,E,F分別是AC,BC的中點.

(1)求證:平面ABE_L平面BiBCCi;

⑵求證:CF〃平面ABE;

⑶求三棱錐E-ABC的體積.

R

解析⑴證明：在三棱柱ABC-AiBiCi中，BB」底面ABC.所以BBi±AB.

又因為AB_LBC,BBmBC=B,

所以AB_L平面BiBCCi.又因為ABc平面ABE,

所以平面ABE_L平面BBC。.

⑵證明:取AB的中點G,連接EG,FG.

因為G,F分別是AB,BC的中點，

所以FG〃AC,且FG=|AC.

因為AC/7A1C1,AC=AiCi,且E為AC的中點，

所以FG〃E3,且FG=EG.

所以四邊形FGE3為平行四邊形.

所以CF〃EG.

又因為EGu平面ABE,平面ABE,

所以CF〃平面ABE.

(3)因為AAi=AC=2,BC=1,AB±BC,

所以AB=V2-B2=V3.

所以三棱錐E-ABC的體積

V=^SAABC,AAi=§XgXV5X1義2=苧.

19.(2024屆山東濟寧一中開學考,18)為提高教化教學質(zhì)量，越來越多的中學學校采納寄宿

制的封閉管理模式.某校對高一新生是否適應(yīng)寄宿生活非常關(guān)注,從高一新生中隨機抽取了

100人,其中男生占總?cè)藬?shù)的40%,且只有20%的男生表示自己不適應(yīng)寄宿生活,女生中不適應(yīng)

寄宿生活的人數(shù)占高一新生抽取總?cè)藬?shù)的32%,學校為了調(diào)查學生對寄宿生活適應(yīng)與否是否

與性別有關(guān),構(gòu)建了如下2X2列聯(lián)表：

不適應(yīng)寄宿生活適應(yīng)寄宿生活合計

男生

女生

合計

(1)請將2X2列聯(lián)表補充完整,并推斷能否有99%的把握認為“適應(yīng)寄宿生活與否”與性別

有關(guān)；

(2)從男生中以“是否適應(yīng)寄宿生活”為標準采納分層隨機抽樣的方法隨機抽取10人，再從

這10人中隨機抽取2人.若所選2名學生中的“不適應(yīng)寄宿生活”的人數(shù)為X,求隨機變量X

的分布列及數(shù)學期望.

(-)2

附：七+)(

+)(+)(+)'

PkPk。)0.150.100.050.0250.010.001

k02.0722.7063.8415.0246.63510.828

解析(1)依據(jù)題意填寫列聯(lián)表如下:

不適應(yīng)寄宿生活適應(yīng)寄宿生活合計

男生83240

女生322860

合計4060100

0

2100X(8X28-32X32)「「

KTZ=-------------^11.11,

40x60x40x60

因為11.11>6.635,

所以有99%的把握認為“適應(yīng)寄宿生活與否”與性別有關(guān).

(2)用分層隨機抽樣的方法隨機抽取10人，有2人不適應(yīng)寄宿生活,8人適應(yīng)寄宿生活,

所以隨機變量X的可能取值是0,1,2,

p(X=o)=全竺p(x=l)/卜以p(x=2)3」

3"C?o45'I"Ddo45'1久"C?o45'

所以隨機變量X的分布列為

X012

28161

P

454545

數(shù)學期望E(X)=。送+1X自

20.(2024河南尖子生診斷性考試,21)已知函數(shù)f(x)=e*-ax2(其中e為自然對數(shù)的底數(shù),a為

常數(shù)).

(1)若f(x)在(0,+8)上有微小值0,求實數(shù)a的值;

(2)若f(x)在(0,+co)上有極大值M,求證:M<a.

解析⑴f'(x)=e*-2ax.設(shè)f(xo)=O(x()e(0,+8)),則f，(xo)=O.

由『：尸解得x0=2,a=9

le0-2ao=O,4

22

經(jīng)檢驗,滿意f(x)在(0,+8)上有微小值,且微小值為0.故a之

⑵證明：設(shè)f(x)在(0,+8)上的極大值點為xi,則f'(xi)=0,即ei-2axi=0,則有a=^.

此時M=f(xi)=ei-af.

故M-a=e—af-a=e-a(：+l)=e」(加),，=e1-[1-^(1++)卜0(當且僅當

Xi=l時取等號).

而當xi=l時，a=]f'(x)=e'-ex,f"(x)=e*-e,xG(0,1)時，f"(x)〈0,XG(1,+8)

時,f"(x)〉0.

則f'(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+8)上單調(diào)遞增,且f'(1)=0.

則f*(x)*⑴=0,故f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,此時f(x)在(0,+8)上無極值.

與已知條件沖突，故XiWl,則M-a<0,即M<a.

22一

21.(2024湖南六校4月聯(lián)考,21)已知A,B分別為橢圓E:—+—=1(a>V3)的左，右頂點，Q為橢

43

圓E的上頂點,**-1.

⑴求橢圓E的方程；

⑵己知動點P在橢圓E上,定點M(-l,1),N(l,-J.

①求△PMN的面積的最大值；

②若直線MP與NP分別與直線x=3交于C,D兩點，問：是否存在點P,使得△PMN與4PCD的面

積相等?若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由.

解析(1)由題意得A(-a,0),B(a,0),Q(0,V3),則-(a,V3),>=(a,"\/3),由

22

―,?一=1,得a-3=l,解得a=2,所以橢圓E的方程為丁+三=1.

⑵①設(shè)P（2cos0,V3sin0）,易知直線MN:y=[x,即3x+2y=0,點P到直線MN的距離

16cos譽sin1=4閥si3+到避|MN|=VT3,

V13V1313*11）

則SAPMN--|MNI,dW2V即（SAPMN）max_2A/3?

②設(shè)P（x?,y?）,由①知IMN1=g,點P到直線MN的距離dj需”則

V13

3

SAPMN=|IMN|?13xo+2yo|.直線MP:y=f（x+1）+：,令x=3,可得C（3,f+|）;直線

ZJQ+1乙\o+l2/

3

PN:y=-^（x-l）-1,令x=3,可得D（3,y-J）,貝/CD|=。卡，。）（。-3）,又到直線的距

2\O-12/O-1PCD

離dz=|3-xo|,貝uSAPCD=||CD|-d=13。:2。.（3-xo）2,VAPMN^APCD的面積相

22幺O-1

2

等，13xo+2yo41TH,（3F）；故3x（＞+2yo=O（舍）或I2仁（3-x?）,解得代入橢

圓方程得丫。=±粵,故存在點P滿意題意，點P的坐標為6，等）或（，一等）

（-）選做題（從下面兩道題中選一題做答）

22.（2024鄭州一中周練（二），22）已知平面直角坐標系xOy,以0為極點,x軸的正半軸為極軸

建立極坐標系,P點的極坐標為（3,2）,曲線C