2.4曲線與方程TOC\o"13"\h\u題型1曲線方程的概念 2題型2由方程研究曲線的性質 8題型3曲線與交點問題 16◆類型1交點個數問題 16◆類型2取值范圍相關問題 21題型4軌跡方程問題 26知識點一.曲線的方程與方程的曲線的定義一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線C與方程F(x，y）=0之間具有如下關系：1.曲線C上的點的坐標都是方程F（x，y）=0的解;2.以方程F（x，y）=0的解為坐標的點都在曲線C上.則稱曲線C為方程F（x，y）=0的曲線，方程F（x，y）=0為曲線C的方程.知識點二.兩曲線的交點己知兩條曲線C1和C2的方程分別為F（x，y）=0，G（x，y）=0，求兩條曲線C1和C2的交點坐標，只要聯立兩個方程得方程組F(x,y)=0G(x,y)=0，求方程組的實數解就可以得到知識點三.點的軌跡方程曲線一般都可以看成動點依某種條件運動的軌跡,曲線的方程也常稱為滿足某種條件的點的軌跡方程.知識點四.求動點M軌跡方程的一般步驟設動點M的坐標為（x，y）（如果沒有平面直角坐標系，需先建立）；寫出M要滿足的幾何條件，并將該幾何條件用M的坐標表示出來；3.化簡并檢驗所得方程是否為M的軌跡方程.題型1曲線方程的概念【方法總結】曲線與方程概念的理解（1）建立平面直角坐標系后，由于平面內的點與作為它的坐標的有序實數對建立了一一對應的關系，曲線上的點所滿足的關系反映在點的橫坐標x與縱坐標y之間有一定關系，這個關系通常用關于x，y的方程F（x，y）=0表示出來.也就是說，曲線的幾何條件在曲線和方程的概念中被轉化成方程了.因此，曲線和方程的概念有它的純粹性和完備性."曲線上的點的坐標都是這個方程的解"，這闡明了曲線上的點的坐標沒有不滿足方程的（純粹性）；"以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點"，這闡明了適合條件的所有點都在曲線上（完備性）．只有同時具備了上述兩個條件才能稱方程F（x，y）=0為曲線C的方程，同時稱曲線C為方程F（x，y）=0的曲線.它們都是“曲線的方程”和“方程的曲線”的必要條件，兩者都滿足，“曲線的方程"和"方程的曲線"才具備充分性.（2）從集合的意義上來理解曲線和方程的概念如果把直角坐標平面內曲線上的點所組成的集合記作A，方程F（x，y）=0的解所對應的集合記作B，那么曲線和方程之間的兩個關系：①曲線上的點的坐標都是這個方程的解；②以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點，反映在集合A和B之間的關系上，就是A?B且B?A，即A=B.從集合相等的意義上來理解上述兩條規定的必要性，有助于掌握曲線和方程的概念.【例題1】（2022秋·貴州遵義·高二習水縣第五中學校聯考期末）設方程x+2A．一個圓和一條直線 B．一個圓和一條射線C．一個圓 D．一條直線【答案】D【分析】先化簡題給方程，即可得到其表示的曲線為一條直線.【詳解】由x?12+則由x+2y?1則方程x+2故選：D【變式11】1.（2023春·四川南充·高二校考階段練習）下列各組方程中，表示相同曲線的一組方程是（

）A．y=x與y2=xC．y2?x2=0與y【答案】C【分析】根據x,【詳解】A選項，y=x中y≥0，yB選項，y=x中y∈R，xC選項，y=D選項，y=lgx2中x≠0，故選：C【變式11】2.（2023·高二課時練習）方程x?1=A．—個圓 B．兩個圓C．一個半圓 D．兩個半圓【答案】D【分析】方程可化為(|x|?1)2+(【詳解】方程可化為(|x因為|x所以x≤?1或x若x≤?1時，則方程為(若x≥1時，則方程為(故選：D【變式11】3.（2020秋·上海徐匯·高二位育中學校考期中）如果曲線C上的任意一點的坐標都是方程F(A．曲線C的方程是F(x,y)=0 C．方程F(x,y)=0的曲線是C 【答案】B【分析】由曲線方程的定義，結合集合的包含關系進行邏輯判斷即可.【詳解】設所有在曲線C上的點構成集合A，所有以方程F(x,y)=0A選項等價于A=B選項等價于A?C選項等價于A=D選項等價于A?故選：B.【變式11】4.（2022春·北京·高三中關村中學校考開學考試）曲線C：x+1①曲線C關于x軸對稱；②曲線C關于y軸對稱；③曲線C上的點的橫坐標的取值范圍是?2,2；④若A?1,0，B1,0，則存在點P，使△PAB其中，所有正確結論的序號是____________．【答案】①②③【分析】①根據對稱性的特點，用?y代替y，代入曲線C中，若等式依然成立，則關于x②根據對稱性的特點，用?x代替x，代入曲線C中，若等式依然成立，則關于y③列出不等式，3=(④采用分析法，S△PAB=12?|AB|?|yP|=|yP【詳解】①用?y代替y(x即①正確；②用?x代替x，有(?即②正確；③∵y∴3=(故(x2?1)2?9，即?3?④S△PAB=12?|AB則|yP|>∵3=(∴y2?2<故答案為：①②③．【變式11】5.（多選）（2022秋·江蘇·高三校聯考階段練習）已知曲線C:A．曲線C關于坐標原點對稱 B．曲線C關于y軸對稱C．x≤?255或【答案】ACD【分析】A選項，利用對稱性質判斷即可，取特殊點驗證即可B選項；將方程轉化為關于y的二次方程，由方程有解即可判斷C選項；換元法，令t=x?解之即可得D選項.【詳解】因為點P(x,所以點P1(?x所以A正確；若P(2,1)，因為點P所以B錯誤；因為x2所以y2所以x2所以x≤?25設t=x?所以(y所以y2所以t2所以t2所以x2所以D正確．故選：ACD【變式11】6.（2022春·上海奉賢·高二上海市奉賢中學校考階段練習）已知曲線C:①曲線C是中心對稱圖形；②曲線C是軸對稱圖形；③曲線C恰好經過6個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）；④設O為坐標原點，則曲線C上存在點P，使得|OP其中，所有正確結論的序號是________．【答案】①②③④【分析】對①，設曲線C上任意點坐標為x,y，則其關于原點對稱點為?x,?y，再代入曲線C即可判斷①正確.對②，根據曲線C關于y=x對稱即可判斷②正確，對③，根據題意得到x2≤163【詳解】對①，設曲線C上任意點坐標為x,y，則其關于原點對稱點為將?x,?y代入曲線C故?x,?y對②，設曲線C上任意點坐標為x,y，則其關于y=將點y,x代入曲線C得：所以曲線C關于y=對③，y2+xy+x即x可以取的整數為0,±1,±2.當x=0時，y=±2，過點0,2當x=1時，y2+當x=?1時，y2?當x=2時，y2+2y=0，解得y=0當x=?2時，y2?2y=0，解得y=0所以曲線C恰好經過6個整點0,2，0,?2，2,0，?2,0，2,?2，?2,2，故③正確.對④，設Px,y，因為|因為4=x2+又因為x2+y2+故曲線C上存在點P，滿足OP=故答案為：①②③④題型2由方程研究曲線的性質【方法總結】求曲線方程的步驟1.建系：建立適當的坐標系.用有序實數對（x，y）表示曲線上任意一點M的坐標2.寫集合：寫出適合條件p的點M的集合：P={M|p(M)}3.列方程:用坐標表示條件p（M），列出方程f（x，y）=04.化簡:化方程f（x，y）=0為最簡形式5.證明:說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上【例題2】（2023·江西新余·統考二模）如果把一個平面區域內兩點間的距離的最大值稱為此區域的直徑，那么曲線x4A．32 B．22 C．3【答案】C【分析】利用曲線的對稱性，求解曲線上的點Px,y【詳解】由曲線x4+y2=2的方程可知：若點PPx,y到坐標原點0，0由于0≤x2≤2，故當根據對稱性可知：該曲線上兩點間的距離的最大值為2d故選：C【變式21】1.（2023春·四川宜賓·高二宜賓市敘州區第一中學校校考期末）若曲線C的方程為：x3A．曲線C關于y軸對稱B．曲線C的頂點坐標為(0,±2)C．曲線C位于直線x=2D．曲線過坐標原點【答案】C【分析】根據方程的性質，方程的轉化，求導探究單調性，即可逐一進行判斷.【詳解】因x3則2y2=8?x3又8?x3≥0將0,0代入不成立，故D錯誤；又y=±若y=y'則y在?∞,2上單調遞減，當x=2時，y=0，則若y=?y'則y在?∞,2上單調遞增，又x→?∞時，y故此時y≤0因此y的頂點只有一個，且為2,0，B錯.故選：C【變式21】2.（多選）（2023·全國·高三專題練習）橢圓曲線y2+ayA．曲線W關于直線x=-1B．曲線W關于直線y=?1C．曲線W上的點的橫坐標的取值范圍為1,+∞D．曲線W上的點的橫坐標的取值范圍為1【答案】BD【分析】由特殊值結合對稱性判斷A；設點x0,y0在曲線W上，證明點【詳解】由y2+2y對于A：因為x?2?12x對于B：設點x0,y?2?y所以點x0,?2?y對于CD：由y+12≥0，得x?12故選：BD.【變式21】3.（2023·上海黃浦·上海市大同中學校考三模）曲線Ck：x命題甲：當k=命題乙：當k=2n，n∈下面說法正確的是（

）A．甲是真命題，乙是真命題 B．甲是真命題，乙是假命題C．甲是假命題，乙是真命題 D．甲是假命題，乙是假命題【答案】A【分析】把k=12代入，變形等式并確定圖形在直線x+y=16的下方（除點【詳解】命題甲：當k=12時，曲線C12由x12+y1而(16?x)?(x+16?8x即有16?x≥x+16?8x因此曲線C12除端點(16,0),(0,16)外，在直線直線x+y=16交x,y所以當k=

命題乙：當k=2n，n∈N?時，曲線C2n即曲線C2n關于x軸對稱，也關于y軸對稱，且在平行直線x=±曲線C2n是封閉曲線，其面積是曲線與x軸的非負半軸、y軸的非負半軸所圍面積顯然12n+12n<4曲線C2n上的點因此S>1，所以曲線圍成的面積4故選：A【點睛】結論點睛：曲線C的方程為F(x,y)=0，(1)如果F【變式21】4.（多選）（2023秋·浙江嘉興·高二統考期末）已知曲線C：x?1A．C上兩點間距離的最大值為2B．若點Pa,a在C．若C與直線y=xD．若C與圓x2+【答案】BC【分析】根據題意，作出曲線C的圖象，再數形結合逐一判斷選項即可.【詳解】曲線C的圖象是由半圓x?12+y?1

對于A，曲線C上兩點間距離的最大值為d=故A錯誤；對于B，由x?12+由x+12+所以當點Pa,a在C對于C，由曲線C的圖象可知，當直線y=x+m與半圓則由?1?1+m2=2得當直線y=x+m與半圓則由1+1+m2=2得所以若C與直線y=x+對于D，曲線C：x?12+y?1當圓x2+y2=r2當圓x2+y2=r2所以若C與圓x2+y故選：BC【變式21】5.（2023春·四川成都·高二成都市錦江區嘉祥外國語高級中學校考期中）作為平面直角坐標系的發明者，法國數學家笛卡爾也研究了不少優美的曲線，如笛卡爾葉形線，其在平面直角坐標系xOy下的一般方程為x3+y3－3axy=0.某同學對a=1情形下的笛卡爾葉形線的性質進行了探究，得到了下列結論，其中錯誤的是（

）A．曲線不經過第三象限 B．曲線關于直線y=x對稱C．曲線與直線x+y=－1有公共點 D．曲線與直線x+y=－1沒有公共點【答案】C【分析】對于A：當x<0,y<0時，判斷x【詳解】當a=1，則方程為對于A：若x<0,y<0所以x3對于B：將點y,x代入方程得所以曲線關于直線y=x對稱，故B正確；對于C、D：聯立方程x+由x+y=?1將y=?x?1所以方程組x+故C錯誤，D正確；故選：C.【變式21】6.（多選）（2023·廣東廣州·廣州市從化區從化中學校考模擬預測）曲線C是平面內與兩個定點F10,1,F2A．曲線C關于坐標軸對稱；B．△F1PC．點P到y軸距離的最大值為2D．點P到原點距離的最小值為22【答案】ABD【分析】先根據題意求出曲線C的方程，對于A，由對稱的性質判斷，對于B，表示出三角形的周長后利用基本不等式可求出其最小值，對于C，將曲線C的方程化為y2的一元二次方程，然后由Δ≥0可求出x的范圍，從而可求出點P到y軸距離的最大值，對于D，將方程化為關于x2+1的一元二次方程，由Δ≥0【詳解】解：設Px,y得：4由于方程中x,y的次數均為偶數，故其圖象關于坐標軸對稱，故因為△F1P展開方程得：4x2+1Δ=64x2?12?64將方程化為關于x2+1的一元二次方程Δ=64y4?64因為4x2+所以x所以OP=x2+y故選：ABD【點睛】關鍵點點睛：此題考查曲線與方程的綜合應用，解題的關鍵是根據題意求出曲線C的方程，然后逐個分析判斷，考查數學計算能力，屬于較難題.題型3曲線與交點問題◆類型1交點個數問題【例題31】（·全國·高考真題）曲線2y2+3A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】聯立兩曲線方程，消去y，得到關于x的一元二次方程，結合根的判別式作出判斷.【詳解】2y2+3x+3=0整理得：x2其中Δ=?故選：C【變式31】1.（2022·高二課時練習）曲線y=1?xA．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【分析】作出曲線y=1?x【詳解】由y=1?x2可得x2如下圖所示：因為原點O到直線y=?x+所以，曲線y=1?x故選：C.【變式31】2.（2022·江蘇·高二專題練習）已知A（﹣1，0），B（1，1），若曲線C：x2?yA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據條件|PA|=2|PB|，運用兩點之間的距離公式，可得【詳解】解：設P(∵A(?1,0)，∴|PA|=(∵|PA∴(x+1)2∵x∴y當y=x時，①式化簡為2x即有兩個P點5+192,當y=?x時，①式化簡為2x綜上所述，符合條件的點P的個數為2個．故選：B．【變式31】3.（2021春·浙江·高二期末）直線y=x+3A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由于已知曲線函數中含有絕對值符號，將x以0為分界進行分類討論，當x≥0時，曲線為焦點在y軸上的雙曲線，當x<0時，曲線為焦點在y軸上的橢圓，進而在坐標系中作出直線與曲線的圖像，從而可得出交點個數.【詳解】當x≥0時，曲線y2當x<0時，曲線y29∴曲線y2在同一坐標系中作出直線y=可得直線與曲線交點個數為3個．故選：C【點晴】本題討論曲線類型再利用數形結合法求交點個數是解題的關鍵．【變式31】4.（2021春·浙江·高二期末）曲線C1:yA．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】對x，y的正負進行分類討論聯立求解.【詳解】當x≥0,y≥0時，將y2=6當x≥0,y<0時，C當x<0,y<0時，C2:當x<0,y≥0時，C2:綜上所述：兩個曲線交點個數為4.故選：D【變式31】5.（多選）（2021秋·湖南衡陽·高二衡陽市田家炳實驗中學校考期中）給定下列四條曲線中，與直線x+A．y2=?45x B．x22【答案】ABC【分析】分別將直線方程與曲線方程聯立方程組求解即可【詳解】對于A，由x+y?5=0對于B，將直線方程x+y?5=0對于C，將直線方程x+y?5=0代入x對于D，將直線方程x+y?5=0代入x故選：ABC【變式31】6.（多選）（2022·全國·高三專題練習）作為平面直角坐標系的發明者，法國數學家笛卡爾也研究了不少優美的曲線，如笛卡爾葉形線，其在平面直角坐標系xOy下的一般方程為x3+yA．曲線不經過第三象限B．曲線關于直線y=C．曲線與直線x+D．曲線與直線x+【答案】ABD【分析】A：當x,y<0B：將點(y，x)代入方程，判斷與原方程是否相同即可；C、D：聯立直線和曲線方程，判斷方程組是否有解即可.【詳解】當x,y<0將點y,x代入曲線有程得x3聯立x3+y將x+y=?1代入得?(x故選：ABD◆類型2取值范圍相關問題【例題32】（2021·全國·高三專題練習）若曲線C1:x2?4A．34,+∞ B．?43,?1 【答案】B【分析】曲線C1【詳解】曲線C1:x2曲線C2由?x2?2那么(y?1)2圓心為(?1,1)，半徑為1，作出圖象如下，通過圖象可知y=14那么ky+x?3ky+當直線ky+x?3k=0與曲線C2相切于B點時，可得當直線ky+x?3所以恰有三個不同的交點，則k的取值范圍為?故選：B【點睛】關鍵點點睛：原方程轉化為兩條曲線，作出C1【變式32】1.（2022·湖北宜昌·宜昌市夷陵中學校考模擬預測）已知橢圓E:x24+y2【答案】(?【分析】設圓方程為(x?t)2+y2=r2【詳解】設圓方程為(x?t)2因為圓與橢圓恰有兩個公共點，所以Δ=64t2此時方程（*）的解是x1,2=4t，由?2<4故答案為：?1【點睛】結論點睛：本題考查圓與橢圓的公共點問題，解題方法利用方程組的解的情況確定公共點的個數，圓心在x軸上的圓與橢圓只有兩個公共點，則兩方程聯立消去y得關于x的方程，此方程有兩個相等實根，且實根在區間(?a【變式32】2.（2023秋·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校聯考期末）方程4?x2+2【答案】0,5【分析】由2t?x2=2?4?x2，則曲線y=2【詳解】由4?x2+2所以，曲線y=2t?對于曲線y=2?4?x2，整理可得x2+y?22即曲線y=2?4?x由y=2t?x2聯立x2+y若方程3y2?16y+4此時方程4?x2+2所以，方程3y2?16因為二次函數fy=3y只需f0=4t故答案為：0,5.【變式32】3.（2022秋·北京海淀·高二校考階段練習）已知曲線C1:y?x【答案】(?1,+∞)【分析】先分析得出曲線C1，C2的圖像關于x軸對稱，則在其中一個交點在x軸上，在x軸上方恰好有一個交點，當y>0時，曲線C1的方程x=【詳解】曲線C1:y?x=2，用?y代替y曲線C2:x2+my2=4用?曲線C1與曲線C2恰好有三個不同的公共點，則在其中一個交點在x軸上，在曲線C1的方程為x=y?2=y?2,y當y>0時，曲線C1的方程x=y?2，則x1+my2?4所以y=41+故答案為：(?1,+∞)【變式32】4.（2023秋·北京·高三校考期末）曲線x24+ay2=1【答案】?【分析】由題意可得x24+【詳解】由題意可得x24+聯立y=xx易知14+a要x24+ay2=1故答案為:?1【變式32】5.（2023春·湖北孝感·高二統考開學考試）中國結是一種手工編織工藝品，因為其外觀對稱精致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中國傳統裝飾的習俗和審美觀念，故命名為中國結，中國結的意義在于它所顯示的情致與智慧正是漢族古老文明中的一個側面，也是數學奧秘的游戲呈現．它有著復雜曼妙的曲線，卻可以還原成最單純的二維線條，其中的八字結對應著數學曲線中的雙組線．曲線C:A．曲線C的圖象關于原點對稱B．曲線C經過5個整點（橫、縱坐標均為整數的點）C．曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過3D．若直線y=kx【答案】B【分析】根據曲線關于點對稱的性質判斷選項A；根據已知得出曲線經過(0,0),(3,0),(?3,0)，再?3≤x≤3的范圍內再令x=±1將已知方程變化得出x2根據已知聯立方程，用方程解的多少判斷選項D.【詳解】把(?x,?y)代入令y=0解得x=0，或x=±3結合圖象，?3≤x令x=±1，得y2=?11+151因此結合圖象曲線C只能經過3個整點，(0,0),(3,0),(?3,0)，故B錯誤；x2+y所以曲線C上任意一點到坐標原點O的距離d=直線y=kx與曲線x2若直線y=所以x2+y則1?k2≤0故選：B．題型4軌跡方程問題【方法總結】對求動點M軌跡方程步驟的幾點說明（1）在第一步中，如果原題中沒有確定坐標系，要首先建立適當的坐標系，坐標系建立得當，可使運算過程簡單，所得的方程也較簡單.（2）第三步的說明可以省略不寫，如有特殊情況，可以適當說明，如某些點雖然其坐標滿足方程，但不在曲線上，可以通過限定方程中x（或）的取值予以剔除.（3）求動點的軌跡與求動點的軌跡方程既有聯系又有區別，軌跡通常指的是圖形（曲線的形狀），而軌跡方程則是一個方程.（1）直接法當動點直接與已知條件發生聯系時，在設出曲線上動點的坐標為（x，y）后，可根據題設條件將普通語言運用基本公式（如兩點間距離公式、點到直線的距離公式、斜率公式、面積公式等）變換成表示動點坐標（x，y）間的關系式（等式）的數學語言，從而得到軌跡方程．這種求軌跡方程的方法稱為直接法.直接法求軌跡方程經常要聯系平面圖形的性質.（2）定義法若動點運動的幾何條件滿足某種已知曲線的定義，可以設出其標準方程，然后用待定系數法求解，這種求軌跡方程的方法稱為定義法.利用定義法求軌跡方程要善于抓住曲線的定義特征.（3）代入法若所求軌跡上的動點P（x，y）與另一個已知曲線C：F（x，y）=0上的動點Q（x1，y1）存在著某種聯系，可把點Q的坐標用點P的坐標表示出來，然后代入已知曲線C的方程F（x，y）=0，化簡即得所求軌跡方程，這種求軌跡方程的方法稱為代入法（又稱相關點法）.（4）參數法如果所求軌跡的動點P（x，y）的坐標之間的關系不易找到，也沒有相關信息可用時，可先考慮將x，y用一個或幾個參數來表示，消去參數得軌跡方程，此法稱為參數法.參數法中常選變角、變斜率等為參數.注意：①參數的取值范圍影響著方程中x和y的取值范圍.②化簡方程前后要注意等價性.【例題4】（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，點M到點F(1,0)的距離比它到y軸的距離多1，記點M的軌跡為C，求軌跡為C【答案】y【分析】設點M(x,【詳解】設點M(因為點M到點F(1,0)的距離比它到y軸的距離多1，可得MF所以(x?1)2所以點M的軌跡C的方程為y2【變式41】1.（2022秋·廣東深圳·高二統考期末）已知A(?2,?1),B(2,1)，若動點P滿足直線PA與直線PBA．x26+C．x22?【答案】C【分析】設出動點P(x,y)(【詳解】設P(x,y)(又因為直線PA與直線PB的斜率之積為12，所以?1?整理得x2故選：C.【變式41】2.（2023·全國·高三專題練習）已知點F2,0，動點Mx,y到直線l:x=22的距離為d【答案】x【分析】根據已知條件可得出關于x、y的等式，化簡后可得出曲線C的方程；【詳解】動點Mx,y到直線l:x由題意知22?x所以曲線C的方程為x2【變式41】3.（2023·全國·高三專題練習）古希臘數學家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出圓的另一種定義：平面內，到兩個定點距離之比值為常數λ(λ>0,λ≠1)【答案】x?2【分析】設點Px,y【詳解】解：設點Px點P到A(?2,0)的距離是點P到B(1,0)的距離的2倍，可得即x+22+所以點P的軌跡方程為x?2【變式41】4.（2023春·福建莆田·高二