平方根與立方根

知識梳理

1.平方根

(1)定義：一般地，如果一個數的平方等于a,那么這個數叫作a的平方根，也叫作a的二次方根，記為“土〃

,讀作“正負根號a”.如下：

b2=a=>±Va=b

其中把a稱之為被開方數.

⑵特性：正數有兩個平方根，且互為相反數；負數沒有平方根；0的平方根還是0.

2.算術平方根

⑴定義：非負數的非負平方根稱為算術平方根.一個數a(aNO)的算術平方根記作迎，讀作“根號a”.O的算術平方

根為0.

⑵算術平方根的雙重非負性：被開方數a是一個非負數,其結果“仿”t也是一個非負數.

3.平方根與算術平方根的聯系與區別

1)聯系：

⑴算術平方根是平方根中的一部分，是取了一個數a的平方根±迎中的非負部分；

(2)平方根和算術平方根的被開方數必須是非負數，負數沒有平方根和算術平方根；

(3)0的平方根和算術平方根都是0.

2)區別:

(1)個數上：正數的平方根有兩個，且互為相反數，必有一正一負.而算術平方根只有一個，取它的正平方根.

(2)表示方法:士Ya表示平方根，前面的“士”表示其值有正負；迎表示算術平方根.特別注意的是：士迎力傘.

4.立方根

(1)定義：一般地,一個數的立方等于a,這個數就叫作a的立方根，也叫作a的三次方根，記為“〃”，讀作

“三次根號a”.即可以表示如下

b3—a=>y/a.—b

其中，a是被開方數，3是根指數.

(2)特性：每個數都有一個立方根，且正數有且僅有一個正的立方根，負數有且僅有一個負的立方根，。的立

方根是0.

推廣：一個數的奇次方根有且只有一個.

(3)與平方根的主要區別：表示方法的不同；負數也有立方根，但是沒有平方根.

5.幾個關于平方根、立方根的記憶點

⑴一個數的平方根是本身，這個數是0；

⑵一個數的算術平方根是本身，這個數是0,1；

⑶一個數的立方根是本身，這個數是-I,0,1.

(4)幾個常見平方根的近似值：V2=1,414,73=1.732,V5=2.236.

6.實數

⑴實數的定義：無理數和有理數統稱為實數.

其中無理數是無限不循環小數，不能寫成分數包P的形式(這里P,q是互質的整數，且討0),其主要形式有：

①所有開不盡的方根都是無理數，如VI百等(注意，不是所有帶根號的數都是無理數，如V4);

②圓周率兀及一些含有兀的數都是無理數，如兀/2等；

③無限不循環小數，如0.1010010001...(每兩個1中依次多一個0).

⑵實數的分類：

,［正有理數,

有理數，零有限小數和無限循環小數

實數［負有理數.

,TF無理數、

無理數無限不循環小數

［負尢理數］

典型例題

例1

下列各數有沒有平方根?如果有，求出它的平方根和算術平方根；如果沒有，請說明理由.

(1)16;(2)(-2產;⑶一32;(4)23(5)V25.

分析要判斷一個數有沒有平方根，就要判斷被開方數是不是負數.如果是負數的話，就沒有平方根，其余的都

有.特別需要留意的是后的平方根，其實是求25的平方根的平方根，即土后,所以其平方根應該為士遍.

解⑴有,±4,4;⑵有,±2,2;⑶無平方根;⑷有,±|,|;(5)W,±V5,V5.

例2

利用如圖4-1所示的5x5方格，每個小方格的邊長均為1個單位長度，請在方格中作出面積為10平方單位的

正方形，然后在數軸上表示實數g與-舊(如圖4-2所示).

-5-4-3-2-I012345x

圖4-2

分析考查在數軸上精確地表示個別無理數是經常出現的一種題型，而且也是學生覺得比較難的.這種題目主要

首先使用面積法獲得該無理數的長度，進而將其表現在數軸上.這里列舉了幾種常見的由面積法求無理數的長度.

如圖4-3(a)(b)(c)所示，其中每一個小正方形的邊長均為1.

(b)陰影部分面積為5,

邊長為夜■邊長為西邊長為/瓦

圖4-3

由圖4-3可知:加是邊長為1的正方形的對角邊長；；后是長為2,寬為1的長方形的對角邊長；"U是長為

3,寬為1的長方形的對角邊長.

解面積為10平方單位的正方形如圖4-3(c)所示，VTU和-VTU如圖4-4所示

圖4-4

例3

已知|x+2|+Jy-3+(z+I)2=0,求x+y+z的平方根.

分析在我們初中數學學習里面，主要有三個典型的非負數，分別是絕對值、平方(偶次方),算術平方根.我們

知道這些非負數如果相加為0,那么只能每一個都為0.由此，我們可以得到關于x,y,z的方程，從而求得x+y+z的平

方根

解

因為|x+2|+Jy-3+(z+I)2=0,

所以x+2=0,y—3=0,z+l=0,

所以、x=-2,y=3,z=-1,

所以x+y+z=O,

所以x+y+z的平方根為0.

例4

求下列各數的相反數和絕對值：

—Tt,A/10,—A/5,A/3—2

分析本題考查的是實數的相反數和絕對值的求法.在實數中，有關于相反數、絕對值和數與數之間的大小比較

的內容都是適用的.一個實數的相反數，就是在其前面添加“一”.正實數的絕對值是它本身，負實數的絕對值是它的

相反數，0的絕對值是0.

解-兀的相反數是兀,絕對值是兀.國的相反數是-同,，絕對值是V10

-4的相反數是逐，絕對值是V5,V3-2的相反數是2-百，絕對值是2-V3.

雙基訓練

1.下列說法正確的是（）.

A.4的平方根是2B.8的立方根為±2

C.-64沒有立方根D.4是64立方根

2.下列各式沒有意義的是（）.

4,-V2B.（-l）2013C.VOD.^3

3.下列說法正確的是（）.

A.無限小數都是無理數B.無理數都是無限小數

C.帶根號的數都是無理數D.無理數都是帶根號的數

4.下列說法正確的是（）.

A.W下等于15

B.-11的立方根可以表示為V^TT

C.負數沒有立方根

D.任何一個整數都有兩個立方根，它們互為相反數

5.一個自然數的算術平方根是x，則它后面一個數的算術平方根是（）.

A.x+1B.x2+1C.-\/x+1D.slx2+1

6.下面3個結論：

（1）存在兩個不同的無理數，它們的差是整數；

（2）存在兩個不同的無理數，它們的積是整數；

（3）存在兩個不同的非整數的有理數，它們的和與商都是整數.

其中，正確的結論有（）個.

A.OB.lC.2D.3

7.若2m—4與3m—1是同一個數的兩個不同平方根，則m的值是（）.

A.-3B.lC.-3或1D.-1

8.已知x,y是實數，且V3x+4+（y-3/=0,則xy的值是（）.

9Q

A.4B.-4C.-D.--

44

9.估計國+1的值是（）.

A.在2和3之間B.在3和4之間

C.在4和5之間D.在5和6之間

10.(1)±通表示_的_根,_夕表ZR的一根；_

(2)眄表示_的_根，_-；的立方根是」

11.一個整數的立方為a,則這個數的相鄰整數為

12.在實數-4,y,0,V2-1,V64,V—27,,號1,余■是無理數的是」

13.VI石的平方根是.

14.(1)—5的相反數是___倒數是―；

⑵絕對值為舊的數為一；—

(3)-位的絕對值是____；

(4)75-3的相反數是絕對值是―；

⑸比較大小:-國_-3;

(6)比-夜小的最大整數是一，比-俄大的最小整數是一.

15.求下列各數的平方根與算術平方根.

(1)12100(2)0.25(3)781(4)(-7)2

16.求下列各數的立方根.

(1)0.216⑵(-I?(3)1-g

17.請將下列各數填入相應的集合內.

—2,n,-i-|-3|,*—0.3,1.7,5匕0,1.1010010001...(每兩個1之間加一個0)

有理數：｛.??｝；

無理數：｛..?｝；

整數:｛-｝；

負分數：｛.?.｝；

正實數：｛.??｝；

實數:｛

18.若17-2|磯的值是最大的負整數,求a的值

19.如圖4-5所示的方格中，每一個小正方形的邊長都是1,求陰影部分正方形的面積和邊長.

圖4-5

20.(1)已知a,b為有理數,m,n分別表示5-V7的整數部分和小數部分，且滿足由皿+bn2=1,求a+b的值.

⑵設x為一實數,[x]表示不大于x的最大整數,求滿足[-77.66x]=[-77.66]x+l的整數x的值.

能力提升

21.若a<0,則下列結論不成立的是().

A.a2—(—a)2B.a3-(—a)3C.a2=\a2\D.a3——|a3|

22.已知a,b為兩個連續的整數，且a<V28<b,則a+b=.

23.設a=痘-?b=2-W,c=遮-2,則a,b,c的大小關系是」

24.如圖4-6所示，數軸上表示1,四的對應點分別為點A,B,點B關于點A的對稱點為點C,設點C所表示

的數為x,求x+|的值.

CAB

_____?_______?_____?______?.

0x\'/2

圖4-6

25.計算.

(1)-22--|2-2V2|+V8

⑵一32一(一I)3+G+|)+斤取

26.已知V%—1+71—x=y+6,求xy的值.

27.若一個正數a的兩個平方根分別為x+1和x+3,求(*15的值

28.已知k忑與褥二可互為相反數，求5的值

29.在沒有帶開方功能的計算器的情況下，我們可以用下面的方法得到傷（n為正整數）的近似值a"k為正整

數）,并通過迭代逐漸減/小\ak-迎|的值來提高ak的精確度，以求a回校的近似值為例，迭代過程如下：

⑴先估計V7的范圍并確定迭代的初始值a1：

因為〃<夕<眄所以2<V7<3,取a-2+”=2.5;

（2）通過計算mk=S?2f和a0+i=a!3-爪回得到精確度更高的近似值（說明V7N6458,此題中記V7?2.

6458,,以下結果都要求寫成小數形式）：

k=l時,nt=Sj：7=,a2=a1—m1=_,\a2—V7|=_;

k=l時,m2—E~,（精確至［I0.001,）a3===,|a_{2}-\sqrt{7}|=\underline（\quad\quad\quad};

30.（1）如圖4-7所示，直徑為1個單位長度的圓從原點O沿數軸向右滾動一周，圓上一點P（滾動時與點O重

合）由原點到達點則點O1的坐標是；

（2）已知2a-1的平方根是±3,3a+b-l的算術平方根是4,求后天的值.

拓展資源

31.已知實數a,b滿足=0,求實數曲的值.

yJCl+7

32.填寫下表并回答問題.

n1491625100

(1)當n(自然數的平方)逐漸增大時，傷,霽有什么變化？

⑵試比較血和噂的大小.

33.(1)i+M.

V2+1)(72-1)=.;(V3+V2)(V3-V2)=_

(2+V3)(2一的=_;(V5+2)(V5-2)=一.

⑵通過以上計算，發現了什么規律?請用含n(n為正整數)的等式表示出來.

34.設a為73+V5-J3-花的小數部分,b為也+3百-丁6-3百的小數部分，求［-工的值.

ba

35.若a滿足|2013-a\+Va-2014=a，求a-20142的值.

第四講

1.D2.D3.B4.B5.D6.D7.B8.B9.C;

10.65,平方,7,算數平方;⑵9,立方，甘

11.V?+1,Va-H2.y,V2-1,^,^-13.±2

~3

14.⑴兀/2,-%;⑵士V3;(3)V7;(4)3-V5,3-V5;(5)<;(6)-5,-4

15.(1)平方根:±1