多邊形與平行四邊形

知識梳理

1.多邊形

邊數(shù)為n的多邊形叫n邊形（n為大于或等于3的正整數(shù)）.

多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于8-2”80。（其中G3）.

多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°.

n邊形的對角線條數(shù)為磅衿.

2.正多邊形

各邊相等、各內(nèi)角也相等的多邊形叫作正多邊形.邊數(shù)為幾的正多邊形就叫作正幾邊形.

正n邊形的各內(nèi)角相等,且每個內(nèi)角為曰詈2；正n邊形的各外角也相等，且每個外角為

正多邊形都是軸對稱圖形，正n邊形有n條對稱軸.

3.平行四邊形的定義

AB

平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫作平行四邊形（如圖14-1所示），記作“口ABCD”.

平行四邊形的表示：一般按一定的方向依次表示各頂點(diǎn)，如圖14-1所示的平行四邊形不能表示成口ACBD,也

不能表示成口ADBC.

4.平行四邊形的性質(zhì)

平行四邊形的性質(zhì)如表14-1所示

表14-1

AD

U四邊形ABCD為平行四邊形oAB，CD,AD〃

平行四邊形的對邊平行且相等

BC

BC

AD

u四邊形ABCD為平行四邊形0乙A=NC,NB二

平行四邊形的對角相等

ZD

BC

AD

四邊形ABCD為平行四邊形=X)A=OC,OB=O

平行四邊形的對角線互相平分

D

BC

平行四邊形是中心對稱圖形，對稱

中心就是兩條對角線的交點(diǎn);連接四邊AED

四邊形ABCD為平行四邊形,E,F在AD,BC

上任意一點(diǎn)和平行四邊形的對稱中心，

區(qū)/上,且線段EF過點(diǎn)0TDE=0F

與另一條邊相交于一點(diǎn),則這兩個點(diǎn)關(guān)BFC

于平行四邊形的對稱中心對稱

SAAOB=SABOC=SADOC=SADOA

AD

△AOB^ACOD

平行四邊形中重要結(jié)論區(qū)AAOD^ACOB

BCAABC^ACDA

ABCD^ADAB

典型例題

例1

已知口ABCD的周長為60厘米,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,A的周長比.△的周長多8厘米，則AB的

長度為一厘米.

分析由已知可得到BC比AB長5厘米，根據(jù)平行四邊形的周長可得到AB與BC的和，從而不難求得AB與

BC的長.

解如圖14-2所示，因?yàn)椤鰾OC的周長比△力。8的周長長8厘米，

所以O(shè)C+OB+BC-OB-OA-AB=8厘米，4p

因?yàn)锳BCD是平行四邊形，

所以O(shè)A=OC.AD=BC,/

所以BC-AB=8厘米，—-------Q

因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD的周長60厘米，

圖14-2

所以AB+BC=30厘米

所以AB=11厘米,BC=19厘米，

即平行四邊形ABCD的邊長是11厘米，19厘米，11厘米，19厘米.

例2

如圖14-3所示，在口ABCD中,AD=8厘米,CD=6厘米,/BAD的平分線與BC邊相交于點(diǎn)E,則EC等于厘米.

分析根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD=BC=8厘米,DC=AB=6厘米AD〃:BC,推出NDAE=NBEA根據(jù)AE平分/B

AD,能證出/BAE=/BEA,根據(jù)等腰三角形的判定得到AB=BE=6厘米，根據(jù)EC=BC-BE,代入即可.

解因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平彳丁四邊形，4---------------

所以AD=BC=8,DC=AB=6,AD〃BC,/\/

所以/DAE=/BEA,---------~~/

因?yàn)锳E平分NBAD,圖14.3

所以/DAE=/BAE,

所以/BAE=NBEA,

所以AB=BE=6,

所以EC=BC-BE=8-6=2.

例3

如圖14-4所示,在平行四邊形ABCD中,AB=4,/BAD的平分線與BC的延長線交于點(diǎn)E,與DC交于點(diǎn)F,且

點(diǎn)F為邊DC的中點(diǎn),DGLAE,垂足為G,若DG=1,則AE的邊長為().

X.2V3B.4V3

C.4D.8

圖14-4

分析利用角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出AD=FD,進(jìn)而得出AG的長，再利用全等三角形的判定得出

AADF=AECF,進(jìn)而得出答案.

解因?yàn)锳E為/BAD的平分線，

所以NDAE=/BAE,

因?yàn)镈C〃AB,

所以/BAE=NDFA,

所以^DAE=/.DFA,

所以AD=FD,

又因?yàn)镕為DC的中點(diǎn)，

所以DF=CF,

所以2D=DF=^DC=^AB=2,

在RtAADG中，根據(jù)勾股定理得AG

貝!IAF=2AG=2V3

因?yàn)椤鰽DF絲△ECF(AAS),

所以AF=EF,

貝！IAE=2AF=4V3.

例4

如圖14-5所示，口ABCD中,P是四邊形內(nèi)任意一點(diǎn),△ABP,ABCP.ACDP,AADP的面積分別為St,S2,S3,S4,

則一定成立的是().

A.S±+S2>S3+S4B.S±+S2=S3+S4

C.S]+S2VS3+S4D.S±+S3=S2+S4

分析由四邊形ABCD是平行四邊形，可設(shè)=SABC=2sM“n=S,

由條件:△APB和APDC等底、共高

所以SAPSB+SpruDeC=：2S_可ABCD

[R]H：SADp+SPBC=-SABCD

所以S1+S3Ms2+S4

解D.

雙基訓(xùn)練

1.平行四邊形的長邊是短邊的2倍，一條對角線與短邊垂直，則這個平行四邊形各角的度數(shù)分別為—.

2.從平行四邊形的一個銳角頂點(diǎn)作兩條高線，如果這兩條高線夾角為135。,，則這個平行四邊形的各內(nèi)角的度

數(shù)為一.

3.在口ABCD中,BC=2AB,若E為BC的中點(diǎn)，貝！N4ED=.

4.在口ABCD中，如果一邊長為8厘米，一條對角線為6厘米，則另一條對角線x的取值范圍是__.

5.QABCD中,對角線AC,BD交于O,且AB=AC=2厘米若/ABC=6(T^!UOAB的周長為_厘米.

6.如圖14-6所示，在口ABCD中,M是BC的中點(diǎn)，且AM=9,BD=12,AD=10,則平行四邊形ABCD的面積為

_圖14-6

17.已知如圖14-11所示,AEFC中人是￡尸邊上一點(diǎn),48|出0叫尸&若乙EAD=Z.FAB.AB=a,AD=b

(1)求證:△EFC是等腰三角形;

(2)求EC+FC.

18.已知:如圖14-12所示,△4BC中,NABC=90°,1ACC于D,AE平分.NB4C,EF〃DC,交BC于F.求證:BE=

FC.

B

圖14-12

19.已知:如圖14-13所示，在口ABCD中,E為AD的中點(diǎn),CE,BA的延長線交于點(diǎn)F.若BC=2CD,求證:NF=NBCF.

圖14-13

20.已知:如圖14-14所示，在。ABCD中,/A=6（T,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)且AB=2AD.求證:BF:BD=V3:3.

能力提升

21.如圖14-15所示,0為平行四邊形ABCD的型角線交點(diǎn),E為AB的中點(diǎn),DE交AC于點(diǎn)F,若S^ABCD=12,則

SADOEE的值為（）.

3

A.lB.-

2

9

C.2D.-

4

22.從等腰三角形底邊上任一點(diǎn)分別引兩條腰的平行線，那么所組成的平行四邊形的骨技符這個三角形的(

).

A.周長B.周長的一半C.腰長D.腰長2倍

23在口ABCD中,AB=2,BC=3,/B,/C的平分線分別交AD于點(diǎn)E,F,則EF的長是.

24.如圖14-16所示,四邊形ABCD是平行四邊形,E,F分別是邊AD,CD的中點(diǎn)，口ABCD的面積為1,則圖中以A,

B,C,D,E,F為頂點(diǎn)且面積為羊勺三角形有個.

圖14-16

25.已知:如圖14-17所示,△ABC中,D是AC的中點(diǎn),E是線段BC延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作BE的平行線與線段

ED的延長線交于點(diǎn)F,連接AE,CF.求證:CF〃AE.

A

圖14-17

26.已知:如圖14-18所示,在等邊△4BC中,D,F分別為CB,BA上的點(diǎn)，且CD=BF以AD為邊作等邊三角形ADE.

求證：

(1)△ACD^ACBF;

(2)四邊形CDEF為平行四邊形.

圖14-18

27.已知:如圖14-19所示,四邊形ABCD中,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH是平行

四邊形.

B

圖14-19

28.已知:如圖14-20所示,AABC的中線BD,CE交于點(diǎn)O,F,G分別是OB,OC的中點(diǎn).求證：四邊形DEFG是平

行四邊形.

圖14-20

29.如圖14-21所示,在平行四邊形28CD中，點(diǎn)E,F分別在邊DC,AB上,DE=BR.把平行四邊形沿直線EF折

疊，使得點(diǎn)B,C分別落在點(diǎn)B',L處，線段EC，與線段AF交于點(diǎn)G,

求證：(1)/1=/2.

⑵DG=B'G.

圖14-21

30.已知:如圖14-22所示，在nABCD中，點(diǎn)F在AB的延長線上，且BF=AB,,連接FD,交BC于點(diǎn)E.

(1)說明△DCEgZXFBE的理由.

⑵若EC=3,求AD的氏

拓展資源

31.如圖14-23所示，在四邊形ABCD中,NB=4。=90°,AE,CF分別平分/BAD及/DCB,則.4E||FC嗎?

圖14-23

32.有一塊形狀如圖14-24所示的玻璃，不小心把DEF部分打碎了，現(xiàn)在只測得AB=60厘米,BC=80厘米,

=120。,48=60。/。=150。,，你能設(shè)計一個方案，根據(jù)測得的數(shù)據(jù)求出AD的長嗎?

33.如圖14-25所示在平行四邊形ABCD中豈f分別是邊AB,CD上的點(diǎn)，已知AE=CF,M,N是DE和FB的中點(diǎn),

求證:四邊形ENFM是平行四邊形.

圖14-25

34.已知:如圖14-26所示,E為平行四邊形ABCD中DC邊的延長線上的一點(diǎn)，且CE=DC,連接AE分別交BC,B

D于點(diǎn)F,G,連接AC交BD于O,連接OF.求證:AB=20F.

圖14-26

35.如圖14-27所示,在平行四邊形ABCD中,E是CD上一點(diǎn),F是AD上一點(diǎn),AE與CF交于點(diǎn)O,且AE=CF?

求證:0B平分Z.AOC.

AB

圖14-27

1.60°,120°,60°,120°2.45°,135°,45°,135°3.90°4.10厘米<x<22厘米5.3+V36.727.15百8.D9.D10.D

11.812.1013.D14.B15.4816.9

17.(1)提示:先證/E=/F;(2)EC+FC=2a+2b.

18.證明:過點(diǎn)E作EM〃BC,交DC于1\1,證4AEBgZ\AEM,所以BF=FC.

19.提示:由4DCE且ZkAFE得到CD=AF

因?yàn)锳B=CD,

所以BF=AF+AB=2CD.

因?yàn)锽C=2CD,

所以BF=BC.

所以NF=NBCF.

20.提示:連接DE,先證△ADE是等邊三角形,進(jìn)而證明/人口8=90。,/人：6口=30。.進(jìn)而證明BF:BD=V3:3.

21.B22.D23.124.6

25.在△ADF和4CDE中，

因?yàn)锳F〃BE,

所以NFAD=NECD.

又因?yàn)镈是AC的中點(diǎn)，

所以AD=CD.

因?yàn)?ADF=/CDE,

所以△ADF^ACDE.

所以AF=CE;

所以四邊形AFCE是平行四邊形

所以CF/7AE

26.(1)證明:因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以AC=CB,ZACD=ZCBF=60°,

因?yàn)樵凇鰽CD和4CBF中，

'AC=BC

/.ACD=4CBF

、CD=BF

所以△ACD^ACBF(SAS).

(2)證明:因?yàn)椤鰽CD^ACBF,

所以AD=CF,ZCAD=ZBCF.

因?yàn)锳AED為等邊三角形，

所以/ADE=60。,且AD=DE.

所以FC=DE.

因?yàn)?EDB+60°=NBDA=ZCAD+ZACD=ZBCF+60°,

所以/EDB=NBCF.

所以ED〃FC.

因?yàn)镋D±FC,

所以四邊形CDEF為平行四邊形.

27.連接AC

因?yàn)樵凇鰽CD中,G,H分別是CD,DA的中點(diǎn)

所以”GAC,"G=171C

同理，EFAC.EF=^AC

所以HG〃EF,HG=EF

所以四邊形EFGH是平行四邊形

28.因?yàn)锽D,CE是4ABC的兩條中線.

所以點(diǎn)D,E分別是邊AC,AB的中點(diǎn)，

DECB,DE=：CB;

又因?yàn)镕,G分別是OB,OC的中點(diǎn)，

所以GFCB,GF=$B;

所以DE〃GF,且DE=GF,

所以四邊形DEFG是平行四邊形(對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)

29.(1)因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜛BCD中,DC〃AB,所以/2=/FEC,

由折疊得：N1=/FEC,所以N1=/2;

⑵因?yàn)?1=/2,

所以EG=GF,

因?yàn)锳B/7DC,

所以NDEG=/EGF,

由折疊得:EC〃:BF,

所以乙B'FG=乙EGF,

因?yàn)镈E=BF=B'F,

所以DE=B'F,

所以△DEG0Z\BFG(SAS),所以DG=B'G.

30.⑴證明:因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AB=DC,AB〃DC.所以NCDE=NF.

又因?yàn)锽F=AB,所以DC=FB.

在小DCE和4FBE中，因?yàn)镹CDE=/F,/CED=NBEF,DC=FB,所以△DCE^AFBE(AAS).

(2)解:因?yàn)?DCE名△FBE,所以EB=EC.

因?yàn)镋C=3,所以BC=2EB=6.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形.所以AD=BC.所