PAGEPAGE11．1．3圓柱、圓錐、圓臺和球1．了解柱體、錐體、臺體之間的關系．2．理解圓柱、圓錐、圓臺和球的定義．3．駕馭圓柱、圓錐、圓臺和球的結構特征．1．幾種簡潔旋轉體的比較名稱定義相關概念圖形表示圓柱以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，將矩形旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱高：在軸上的這條邊(或它的長度)；底面：垂直于軸的邊旋轉而成的圓面；圓錐以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉軸，將直角三角形旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐側面：不垂直于軸的邊旋轉而成的曲面；母線：無論旋轉到什么位置，這條邊都叫做側面的母線圓臺以直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉軸，將直角梯形旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓臺球一個球面可以看作一個半圓圍著它的直徑所在的直線旋轉一周所形成的曲面，球面圍成的幾何體叫做球球心：形成球的半圓的圓心．球的半徑：連接球心和球面上一點的線段．球的直徑：連接球面上兩點并且通過球心的線段．球的大圓：球面被經過球心的平面截得的圓．球的小圓：球面被不經過球心的平面截得的圓．兩點的球面距離：在球面上，兩點之間的最短距離，就是經過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度，把這個弧長叫做兩點的球面距離2．組合體(1)概念：由柱、錐、臺、球等基本幾何體組合而成的幾何體叫做組合體．(2)基本形式：有兩種，一種是由簡潔幾何體拼接而成的簡潔組合體；另一種是由簡潔幾何體截去或挖去一部分而成的簡潔組合體．1．下列圖形為圓柱的是()解析：選C．圓柱的上、下兩個底面是相互平行并且完全相同的．2．指出圖中的幾何體是由哪些簡潔幾何體構成的．解：①是由一個圓錐和一個圓柱組合而成的；②是由一個圓柱和兩個圓臺組合而成的；③是由一個三棱柱和一個四棱柱組合而成的．3．體育中用到的球與數學中提到的球一樣嗎？解：不一樣．體育用到的足球、籃球、乒乓球，它們都是中空的，所以它們不是數學中提到的球，但是鉛球是數學中提到的球，數學中提到的球是旋轉體，是實心的．圓柱、圓錐、圓臺及球的有關概念有以下命題：①以直角三角形一邊所在直線為旋轉軸，旋轉所得的旋轉體是圓錐；②以直角梯形的一條腰所在直線為旋轉軸，旋轉所得的幾何體是圓臺；③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；④分別以矩形兩條不同的邊所在直線為旋轉軸，將矩形旋轉，所得的兩個圓柱可能是兩個不同的圓柱．其中正確的個數是()A．1 B．2C．3 D．4【解析】圓錐是以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸的，假如以斜邊所在直線為旋轉軸旋轉，那就變成一個組合體了，故①錯誤；圓臺是以直角梯形與底邊垂直的腰所在直線為旋轉軸的，故②錯誤；圓柱、圓錐、圓臺的底面都為圓面，故③錯誤；依據圓柱的定義可知，無論以矩形的哪條邊所在直線為旋轉軸，旋轉所得的曲面圍成的幾何體都是圓柱，但它們并不肯定是相同的圓柱，故④正確，因此正確的命題有1個．【答案】Aeq\a\vs4\al()本題是考查圓柱、圓錐、圓臺概念的理解問題．對幾何體的概念理解要到位，稍有疏忽都會造成錯誤的推斷，做題時要留意以哪條邊所在直線為旋轉軸，必需清晰地相識到：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸旋轉得圓錐，以斜邊為旋轉軸旋轉就是兩個圓錐的組合體；以直角梯形垂直于底的腰所在直線為旋轉軸旋轉得圓臺，以斜腰所在直線為旋轉軸把直角梯形旋轉一周得兩個圓錐和一個圓臺的組合體．1．下列推斷正確的是()A．平行于圓錐某一母線的截面是等腰三角形B．平行于圓臺某一母線的截面是等腰梯形C．過圓錐頂點的截面是等腰三角形D．過圓臺上底面中心的截面是等腰梯形答案：C2．給出以下說法：①球的半徑是球面上隨意一點與球心所連線段的長；②球的直徑是球面上隨意兩點間所連線段的長；③用一個平面截一個球，得到的截面可以是一個正方形；④過圓柱軸的平面截圓柱所得截面形態是矩形．其中正確說法的序號是________．解析：依據球的定義知，①正確；②不正確，因為球的直徑必過球心；③不正確，因為球的任何截面都是圓面；④正確．答案：①④與球有關的計算問題棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖所示，求圖中三角形(正四面體的截面)的面積．【解】如圖，△ABE為題中三角形，由已知得AB＝2，BE＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，BF＝eq\f(2,3)BE＝eq\f(2\r(3),3)，所以AF＝eq\r(AB2－BF2)＝eq\r(4－\f(4,3))＝eq\r(\f(8,3))，所以△ABE的面積為S＝eq\f(1,2)×BE×AF＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(\f(8,3))＝eq\r(2)．eq\a\vs4\al()在解答過程中易出現計算錯誤，導致錯誤的緣由是認為截面圖是一個圓內接三角形．用一個平面截半徑為5cm的球，球心到截面距離為4cm，求截面圓的面積．解：如圖，設AK為截面圓的半徑，則OK⊥AK．在Rt△OAK中，OA＝5cm，OK＝4cm，所以AK＝eq\r(OA2－OK2)＝eq\r(52－42)＝3(cm)，所以截面圓的面積為π·AK2＝9π(cm2)．圓錐、圓臺中基本量的計算已知一個圓臺的上、下底面半徑分別是1cm，2cm，截得圓臺的圓錐的母線長為12cm，求圓臺的母線長．【解】如圖是圓臺的軸截面，由題意知AO＝2cm，A′O′＝1cm，SA＝12cm．由eq\f(A′O′,AO)＝eq\f(SA′,SA)，得SA′＝eq\f(A′O′,AO)·SA＝eq\f(1,2)×12＝6(cm)．所以AA′＝SA－SA′＝12－6＝6(cm)．所以圓臺的母線長為6cm．eq\a\vs4\al()解決旋轉體中計算問題的方法用平行于底面的平面去截柱、錐、臺等幾何體，留意抓住截面的性質(與底面全等或相像)，同時結合旋轉體中的軸截面(經過旋轉軸的截面)的幾何性質，利用相像三角形中的相像比，列出相關幾何變量的方程(組)而解得．[留意]在探討與截面有關的問題時，要留意截面與物體的相對位置的變更．由于相對位置的變更，截面的形態也會隨之發生變更．圓臺上底面面積為π，下底面面積為16π，用一個平行于底面的平面去截圓臺，該平面自上而下分圓臺的高的比為2∶1，求這個截面的面積．解：圓臺的軸截面如圖所示，O1，O2，O3分別為上底面、下底面、截面圓心，過D作DF⊥AB于點F，交GH于點E．由題意知DO1＝1，AO2＝4，所以AF＝3．因為DE＝2EF，所以DF＝3EF，所以eq\f(GE,AF)＝eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,3)，所以GE＝2．所以圓O3的半徑為3，所以這個截面的面積為9π．1．對于圓柱的性質，要留意以下兩點：一是連心線垂直于底面；二是三個截面的性質——平行于底面的截面與底面全等，軸截面是一個由上、下底面圓的直徑和母線所組成的矩形，平行于軸線的截面是一個以上、下底面圓的弦和母線組成的矩形．2．對于圓錐的性質，要留意以下兩點：一是兩類截面——平行于底面的截面是與底面相像的圓面，圓錐的過頂點且與底面相交的截面是一個由兩條母線和底面圓的弦組成的等腰三角形；二是圓錐的母線l、高h和底面圓的半徑R組成一個直角三角形，圓錐的有關計算一般歸結為解這個直角三角形，特殊是關系式l2＝h2＋R2．3．對于圓臺的性質，須要留意以下兩點：一是圓臺的母線共點，所以隨意兩條母線確定的截面為一等腰梯形，但是與上、下底面都相交的截面不肯定是梯形，更不肯定是等腰梯形；二是圓臺的母線l、高h和上、下兩底面圓的半徑r、R組成一個直角梯形，且有l2＝h2＋(R－r)2成立，圓臺的有關計算問題，常歸結為解這個直角梯形．“還臺為錐”也是解決圓臺問題的主要方法．4．對于球的有關問題：(1)用一個平面去截一個球，截面是圓面，球心與截面圓心的連線垂直于截面．(2)球的截面的性質r為截面圓半徑，R為球的半徑，d為球心O到截面圓的距離，即O到截面圓心O′的距離(如圖)．則r、R、d之間的關系為R2＝d2＋r2．推斷幾何體的形態時，要考慮周全，不能只依據概念的某一結論去推斷，必需滿意幾何體的全部特征．1．如圖是由下列哪個平面圖形旋轉得到的()解析：選B．由題圖可以看出組合體是由上面的圓錐和下面的圓臺構成．所以應由上面是三角形和下面是梯形的圖形旋轉而成．2．給出下列命題：①直線繞直線旋轉形成柱面；②曲線平移肯定形成曲面；③直角梯形繞一邊旋轉形成圓臺；④半圓圍著它的直徑旋轉一周形成球．其中，正確命題的個數為()A．1 B．2C．3 D．0解析：選A．①錯誤．當兩直線相交時，形不成柱面；②錯誤．也可能形成平面；③錯誤．若繞底邊旋轉，則形成組合體；④正確．據球的定義知，④正確．3．一個圓柱的母線長為15cm，底面半徑為12cm，則圓柱的軸截面面積是________．答案：360cm24．如圖，AB為圓弧eq\o(BC,\s\up8(︵))所在圓的直徑，∠BAC＝45°，將這個平面圖形繞直線AB旋轉一周，得到一個組合體，試說明這個組合體的結構特征．解：如圖所示，這個組合體是由一個圓錐和一個半球體拼接而成的．,[學生用書P81(單獨成冊)])[A基礎達標]1．下列說法正確的是()A．圓臺是直角梯形繞其一邊旋轉而成的B．圓錐是直角三角形繞其一邊旋轉而成的C．圓柱不是旋轉體D．圓臺可以看成是用平行于底面的平面截一個圓錐而得到的解析：選D．A錯誤，這里需指明繞直角梯形與底邊垂直的一腰旋轉．B錯誤，圓錐是直角三角形繞一條直角邊旋轉而成．C錯誤，圓柱是旋轉體．2．已知一個正方體內接于一個球，過球心作一截面，則截面不行能是()解析：選D．過球心的任何截面都不行能是圓的內接正方形．3．一個圓錐的母線長為20cm，母線與軸的夾角為30°，則圓錐的高為()A．10eq\r(3)cm B．20eq\r(3)cmC．20cm D．10cm解析：選A．圓錐的高即為軸截面等腰三角形的高，腰為20cm，頂角的一半為30°．所以h＝20cos30°＝10eq\r(3)(cm)．4．如圖，將陰影部分圖形繞圖示直線l旋轉一周所得的幾何體是()A．圓錐B．圓錐和球組成的簡潔幾何體C．球D．一個圓錐內部挖去一個球后組成的簡潔組合體答案：D5．用平行于圓錐底面的平面截圓錐，所得截面面積與底面面積的比是1∶3，這截面把圓錐母線分為兩段的比是()A．1∶3 B．1∶9C．1∶(eq\r(3)－1) D．eq\r(3)∶2解析：選C．由圓錐的截面性質可知，截面仍是圓，設r1、r2分別表示截面與底面圓的半徑，l1與l2表示母線被截得的線段，則eq\f(r1,r2)＝eq\f(l1,l1＋l2)＝eq\r(\f(1,3))＝eq\f(1,\r(3))，所以l1∶l2＝1∶(eq\r(3)－1)．6．如圖是一個幾何體的表面綻開圖形，則這個幾何體是________．答案：圓柱7．一圓錐的軸截面的頂角為120°，母線長為1，過頂點作圓錐的截面中，最大截面的面積為________．解析：當截面頂角為90°時，截面面積最大，為eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)．答案：eq\f(1,2)8．已知一個圓柱的軸截面是一個正方形且其面積是Q，則此圓的半徑為________．解析：設圓柱底面半徑為r，母線為l，則由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2r＝l，,2r·l＝Q))，解得r＝eq\f(\r(Q),2)．答案：eq\f(\r(Q),2)9．如圖，在△ABC中，∠ABC＝120°，它繞AB邊所在直線旋轉一周后形成的幾何體結構如何？解：旋轉后的幾何體是一個大圓錐挖去了一個同底面的小圓錐．10．一個圓臺的母線長為12cm，兩底面面積分別為4πcm2和25πcm2．求：(1)圓臺的高；(2)截得此圓臺的圓錐的母線長．解：(1)如圖所示，圓臺的軸截面是等腰梯形ABCD，由已知，得上底半徑O1A＝2cm，下底半徑OB＝5cm，又腰長為12cm，所以高AM＝eq\r(122－(5－2)2)＝3eq\r(15)(cm)．(2)設截得此圓臺的圓錐的母線長為l．由△SAO1∽△SBO，得eq\f(l－12,l)＝eq\f(2,5)，所以l＝20(cm)，即截得此圓臺的圓錐的母線長為20cm．[B實力提升]11．過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的截面，則截面的面積與球的一個大圓面積之比為()A．1∶4 B．1∶2C．3∶4 D．2∶3解析：選C．如圖，設球的半徑為R，則O1A2＝OA2－OOeq\o\al(2,1)＝R2－eq\f(1,4)R2＝eq\f(3,4)R2．所以S⊙O1∶S⊙O＝eq\f(3,4)πR2∶πR2＝3∶4．12．若母線長是4的圓錐的軸截面的面積是8，則圓錐的高是________．解析：設底面半徑為r，高為h．因為圓錐的軸截面是等腰三角形，所以h＝eq\r(16－r2)．因為eq\f(1,2)·2r·h＝8，所以r＝2eq\r(2)，所以h＝eq\r(16－(2\r(2))2)＝2eq