2024-2025學年上海市寶山區高三上學期9月月考數學教學檢測試卷一.填空題(本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分)1.若（其中i表示虛數單位），則______．2.在等差數列中，前7項和，則___________.3.已知，則曲線處的切線方程是___________.4.在的展開式中，的系數為______．5.已知直線與直線相互平行，則實數的值是________．6.已知雙曲線(a＞0，b0)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為__________．7.已知平面向量，滿足且向量，夾角為則在方向上的投影數量為_____.8.已知且，則的最小值是_________．9.在中，角所對的邊分別為．已知，則的面積為____．10.已知，函數若該函數存在最小值，則實數的取值范圍是________11.已知曲線由拋物線及拋物線組成，若，，，是曲線上關于軸對稱的兩點，，，，四點不共線，其中點在第一象限，則四邊形周長的最小值為__．12.設an與bn是兩個不同無窮數列，且都不是常數列.記集合，給出下列4個結論：①若an與bn均為等差數列，則M中最多有②若an與bn均為等比數列，則M中最多有③若an為等差數列，bn為等比數列，則M中最多有④若an為遞增數列，bn為遞減數列，則M中最多有1其中正確結論的序號是______.二.選擇題(本大題共4題，13-14每題4分，15-16每題5分，共18分)13.已知，則“”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要14.設、為兩個平面，、為兩條直線，且.下述四個①若，則或②若，則或③若且，則④若與、所成的角相等，則，其中所有真命題的編號是（）A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④15.設函數圖像的一條對稱軸方程為，若是該函數的兩個不同的零點，則不可能取下述選項中的（）.A. B. C. D.16.已知函數是定義在上的奇函數，當時，，若關于的方程恰有4個不相等的實數根，則實數的值是（）A. B. C.0 D.三.簡答題(本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分)17.已知,（1）求函數的單調遞減區間;（2）若,求函數值域.18.如圖，已知平面，，直線與平面所成角為，且.（1）求三棱錐的體積；（2）設為的中點，求異面直線與所成角的大小.（結果用反三角函數值表示）19.2024年上海書展于8月16日至22日在上海展覽中心舉辦.展會上隨機抽取了500名觀眾，調查他們每個月用在閱讀上的時長，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求x的值，并估計這500名觀眾每個月閱讀時長的平均數和中位數；（2）用分層抽樣的方法從這兩組觀眾中隨機抽取12名觀眾，再若從這12名觀眾中隨機抽取4人參加抽獎活動，求所抽取的4人中兩組均有的概率.20.已知橢圓的左、右焦點分別為為橢圓的一個頂點，且右焦點F?到雙曲線.漸近線的距離為（1）求橢圓C的標準方程；（2）設直線與橢圓C交于A、B兩點.①若直線過橢圓右焦點F?，且△AF?B的面積為求實數k的值；②若直線過定點P(0,2)，且k>0，在x軸上是否存在點T(t,0)使得以TA、TB為鄰邊的平行四邊形為菱形?若存在，則求出實數t的取值范圍；若不存在，請說明理由.21.設函數，其中a為常數．對于給定的一組有序實數，若對任意、，都有，則稱為的“和諧數組”．（1）若，判斷數組是否為的“和諧數組”，并說明理由；（2）若，求函數的極值點；（3）證明：若為的“和諧數組”，則對任意，都有．2024-2025學年上海市寶山區高三上學期9月月考數學教學檢測試卷一.填空題(本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分)1.若（其中i表示虛數單位），則______．【正確答案】1【分析】計算，即可得到虛部.【詳解】因為，根據復數的概念可知，虛部為1.故1.2.在等差數列中，前7項的和，則___________.【正確答案】【分析】根據等差數列前n項的和公式，結合等差數列下標的性質進行求解即可.【詳解】因，所以有，故3.已知，則曲線處的切線方程是___________.【正確答案】【分析】利用導數的幾何意義求出導數值，再由點斜式方程可得答案.【詳解】易知，可得；又，所以切點坐標為；因此切線方程為，即.故4.在的展開式中，的系數為______．【正確答案】【分析】根據二項式定理展開式的通項公式即可求解.【詳解】的二項展開式為，令，解得，故所求即為．故答案為.5.已知直線與直線相互平行，則實數的值是________．【正確答案】【分析】根據兩直線平行可得出關于實數的等式與不等式，解之即可.【詳解】因為直線與直線相互平行，則，即，解得.故答案為.6.已知雙曲線(a＞0，b0)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為__________．【正確答案】【分析】根據離心率求得，即可求得漸近線方程.【詳解】因為雙曲線的離心率為2，則，解得，故雙曲線的漸近線方程為.故答案為.7.已知平面向量，滿足且向量，的夾角為則在方向上的投影數量為_____.【正確答案】【分析】利用數量積來計算投影數量即可.【詳解】因為且向量，的夾角為所以，則在方向上的投影數量為：，故答案為.8.已知且，則最小值是_________．【正確答案】4【分析】根據絕對值三角不等式，即可容易求得結果.【詳解】因為，當且僅當時取得等號；又當時，；當時，，故，當且僅當時取得等號；則，當且僅當或時取得等號.故答案為.9.在中，角所對的邊分別為．已知，則的面積為____．【正確答案】；【詳解】∵△ABC中，a＝3，b＝5，c＝7，∴由余弦定理，得cosA，∵A∈（0，π），∴sinA，∴由正弦定理的面積公式，得：△ABC的面積為SbcsinA5×7．故答案為．10.已知，函數若該函數存在最小值，則實數的取值范圍是________【正確答案】【分析】就分段函數的每一段判斷其單調性，求出值域，根據題意得到關于的不等式，解之即得.【詳解】當時，因，為減函數，故；當時，因，為減函數，故.依題意，該函數存在最小值，需使，解得.故實數取值范圍是.故答案為.11.已知曲線由拋物線及拋物線組成，若，，，是曲線上關于軸對稱的兩點，，，，四點不共線，其中點在第一象限，則四邊形周長的最小值為__．【正確答案】【分析】設拋物線的焦點為，則利用拋物線的定義得到，從而求出其最小值.【詳解】設拋物線的焦點為，則，所以，根據對稱可知四邊形為等腰梯形，四邊形周長，當且僅當，，三點共線時，等號成立，又，四邊形周長的最小值為.故12.設an與bn是兩個不同的無窮數列，且都不是常數列.記集合①若an與bn均為等差數列，則②若an與bn均為等比數列，則③若an為等差數列，bn為等比數列，則④若an為遞增數列，bn為遞減數列，則其中正確結論的序號是______.【正確答案】①③④【分析】利用兩類數列的散點圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結合通項公式的特征及反證法可判斷③的正誤.【詳解】對于①，因為均為等差數列，故它們的散點圖分布在直線上，而兩條直線至多有一個公共點，故中至多一個元素，故①正確.對于②，取則均為等比數列，但當為偶數時，有，此時中有無窮多個元素，故②錯誤.對于③，設，，若中至少四個元素，則關于的方程至少有4個不同的正數解，若，則由和的散點圖可得關于的方程至多有兩個不同的解，矛盾；若，考慮關于的方程奇數解的個數和偶數解的個數，當有偶數解，此方程即為，方程至多有兩個偶數解，且有兩個偶數解時，否則，因單調性相反，方程至多一個偶數解，當有奇數解，此方程即為，方程至多有兩個奇數解，且有兩個奇數解時即否則，因單調性相反，方程至多一個奇數解，因為，不可能同時成立，故不可能有4個不同的整數解，即M中最多有3個元素，故③正確.對于④，因為為遞增數列，為遞減數列，前者散點圖呈上升趨勢，后者的散點圖呈下降趨勢，兩者至多一個交點，故④正確.故①③④.思路點睛：對于等差數列和等比數列的性質的討論，可以利用兩者散點圖的特征來分析，注意討論兩者性質關系時，等比數列的公比可能為負，此時要注意合理轉化.二.選擇題(本大題共4題，13-14每題4分，15-16每題5分，共18分)13.已知，則“”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【正確答案】C【分析】由充分條件，必要條件定義，結合即可判定.【詳解】，若，則，又，所以，若，，故，即，所以“”是“”的充要條件.故選：C14.設、為兩個平面，、為兩條直線，且.下述四個①若，則或②若，則或③若且，則④若與、所成的角相等，則，其中所有真命題的編號是（）A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④【正確答案】A【分析】對于①，根據線面平行的判定定理可證明；對于②，借助正方體可知與、不一定垂直；對于③，由線面平行的判定定理及性質定理，即可證明；對于④，借助③的結論，即可說明.【詳解】對于①，由題意，當，因為，，，故；當，因為，，，故；當且，因為，，，則且，故①正確；對于②，正方體中，，則與、不垂直，故②錯誤；對于③，如圖，過直線分別作兩平面與、分別交于直線、，因為，，，則，同理可證，則，因為，，故，又，則，又，故，故③正確；對于④，若且，此時與、所成的角相等，由③知，故④錯誤.故選：A15.設函數圖像的一條對稱軸方程為，若是該函數的兩個不同的零點，則不可能取下述選項中的（）.A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用給定函數及其對稱軸求出，進而求出函數的周期，再利用正弦函數的性質列式求解即得.【詳解】依題意，，解得，而，則，于是原函數的周期，因為是該函數的兩個不同的零點，因此，顯然選項ACD分別是的1，2，4倍，而不是的整數倍.故選：B16.已知函數是定義在上的奇函數，當時，，若關于的方程恰有4個不相等的實數根，則實數的值是（）A. B. C.0 D.【正確答案】D【分析】將原方程根的問題轉化為函數圖像交點問題，結合函數性質求解答案即可.【詳解】由于函數是定義在上的奇函數，所以討論情況如下：作圖像如下圖所示，關于的方程，解得或，由于與圖像有一個公共點，則圖像與圖像有三個公共點，如圖所示，，同理，時，，所以實數的值是.故選：D方法點睛：已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖像，利用數形結合的方法求解.三.簡答題(本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分)17.已知,（1）求函數的單調遞減區間;（2）若,求函數的值域.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用降冪公式和輔助角公式化簡函數y=fx（2）先由求得整體角，結合正弦函數的圖象即可求其值域.【小問1詳解】,由，可得，即函數y=fx的單調遞減區間為.【小問2詳解】當，，則，故函數y=fx的值域為.18.如圖，已知平面，，直線與平面所成的角為，且.（1）求三棱錐的體積；（2）設為的中點，求異面直線與所成角的大小.（結果用反三角函數值表示）【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由題目條件可得BD，后可由三棱錐體積公式得答案；（2）取中點，連接，則，即為異面直線與所成角，后可由余弦定理得答案.【小問1詳解】因為平面，所以即為直線與平面所成的角，所以，所以，所以三棱錐的體積；【小問2詳解】取中點，連接，則，所以即為異面直線與所成角，又平面，平面，則，得..則在中，，所以，所以異面直線與所成角的大小為.19.2024年上海書展于8月16日至22日在上海展覽中心舉辦.展會上隨機抽取了500名觀眾，調查他們每個月用在閱讀上的時長，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求x的值，并估計這500名觀眾每個月閱讀時長的平均數和中位數；（2）用分層抽樣的方法從這兩組觀眾中隨機抽取12名觀眾，再若從這12名觀眾中隨機抽取4人參加抽獎活動，求所抽取的4人中兩組均有的概率.【正確答案】（1），平均數為，中位數為（2）【分析】（1）利用頻率分布直方圖各小矩形面積和為1求出，再求出閱讀時長的平均數，結合中位數的定義及求法，即可求解；（2）求出抽取的12名觀眾中，區間內的人數，再利用古典概型根據要求求概率即可.【小問1詳解】由頻率分布直方圖得：，解得，閱讀時長在區間內的頻率分別為，所以閱讀時長的平均數.其中前兩組頻率之和，前三組頻率之和，所以閱讀時長的中位數在這組內，設中位數為，則，解得，所以中位數為.【小問2詳解】用分層抽樣方法從這兩組觀眾中隨機抽取12名觀眾，由頻率分布直方圖，得數據在兩組內的頻率比為，則在內抽取人，在內抽取人，從這名觀眾中所抽取的人中兩組均有的概率為.20.已知橢圓的左、右焦點分別為為橢圓的一個頂點，且右焦點F?到雙曲線.漸近線的距離為（1）求橢圓C的標準方程；（2）設直線與橢圓C交于A、B兩點.①若直線過橢圓右焦點F?，且△AF?B的面積為求實數k的值；②若直線過定點P(0,2)，且k>0，在x軸上是否存在點T(t,0)使得以TA、TB為鄰邊的平行四邊形為菱形?若存在，則求出實數t的取值范圍；若不存在，請說明理由.【正確答案】（1）（2）①;②【分析】（1）利用點到直線的距離公式求解橢圓參數即可；（2）①把直線與橢圓聯立方程組，利用弦長公式和點到直線距離公式，即可求出面積等式，最后求解k的值；②把菱形問題轉化為對角線互相垂直問題，最后轉化為兩對角線的斜率之積為，通過這個等式轉化為的函數，即可求解取值范圍.【小問1詳解】由雙曲線.的漸近線方程為，再由橢圓的右焦點分別為到漸近線的距離為可得：，因為，所以解得，再由橢圓的一個頂點為，可得，所以由，即橢圓C的標準方程為；【小問2詳解】①直線過橢圓右焦點F?可得：，即，所以由直線與橢圓C的標準方程聯立方程組，消去得：，設兩交點Ax1所以，又橢圓左焦點F1?1,0到直線的距離為，所以，解得：或（舍去），即；②假設存在點使得以為鄰邊的平行四邊形為菱形，由于直線過定點，且，可知直線方程為，與橢圓聯立方程組，消去得：，由，且，解得，設兩交點Ax1,y1,B所以，即，整理得，又因