重慶市2024年5月高中數學聯賽初賽試題

考試時間:80分鐘

一、填空題:本大題共8小題，每小題8分，滿分64分.

4

z---.

1.已知復數Z使得z為純虛數，則最小值為.（其中i為虛數單位）

2,設函數/3=2工-2-工的反函數為y=L（x）,則不等式I廣（I）卜1的解集為.

心當22

3.若點（2關于直線丁=區對稱點在圓（九-2）+y=1上，則左=________.

4.在，RC中，已知A3-AC=23C?雨=3C4—C3,則一/WC最大角正弦值為.

,Iq=1,4+1_4=4+2_a，，+i（“eN*）__

a,Ja,,+2

5.數列滿足,若qq+a2a3++a6a7=3,則。2024=

6.由1,2，，9這九個正整數構成的所有圓排列中，任意相鄰兩數之積均不超過60的圓排列的個數為

7.已知四面體ABCD滿足AB,BC,80,8,48=8C=CD=1,且異面直線與gc所成角為

60°,則四面體ABCD的外接球的體積為.

1-P

8.一珍稀物種出現在地球，對每個珍稀生物，每天有如下事件發生:有"KD概率消失，有3

1-p1~P

的概率保持不變，有3的概率分裂成兩個，有3的概率分裂成三個.對所有新產生的生物每天也會

發生上述事件.假設開始只有一個這樣的珍稀生物，若希望最終這種生物滅絕的概率不超過萬，則0至多為

二、解答題:本大題共3小題，滿分56分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

9.已知函數/（?Tnx-sinx,若兩不相等的實數和々e（0,兀）滿足曲線y=/（x）在點（不，〃％））和點

（%工⑸）處的切線斜率相等,求證:/&）+〃/）>-2

10.已知拋物線O：>=一,動線段A3在直線y二底一3上（B在A右側），且|A8|=26.過A作。

的切線，取左邊的切點為/.過8作。的切線，取右邊的切點為N.當〃48時，求點A的橫坐標.

11.設石=3,X“+]=，X“+14-?+2（〃GN）,求仿+々++%]的值,（其中印表示不超過實數x

的最大整數.）

重慶市2024年5月高中數學聯賽初賽試題

考試時間:80分鐘

一、填空題:本大題共8小題，每小題8分，滿分64分.

4

z——,

1.已知復數Z使得Z為純虛數，則lz-1-il的最小值為.（其中i為虛數單位）

【答案】2-A/2##-A/2+2

【解析】

4

【分析】設Z=x+yi，根據復數的除法運算求出Z--，再根據純虛數的定義求出復數z對應的點z的軌

Z

跡方程，進而可得出答案.

【詳解】設Z=x+yi（X,y不同時。且x,yeR）,

4

因為z為純虛數,

Z

4%

X-=0"0

x2+y7"0

所以＜,所以《…或xw0

4)

V+w0x2+y2=4

x2+y2

當，;=0時，|z-1-i|=Jl+(y-1)2,

則當丁=1時，|z-l-必=1，

y^O

當｛xwO時，復數z對應的點Z是以（0,0）為圓心，2為半徑的圓,

x2+y2=4

而|z-1-i|=7（x-l）2+（y-l）2表示點Z（x,y）與點（1,1）的距離,

因為仔+12=2<4,所以點。,1）在圓內，

所以—1mm=2-J(1_0)2+(1_O)2=2-正<L

綜上所述，|z-1-i|的最小值為2-拒.

故答案為：2-JL

2.設函數/5)=2*-2-*的反函數為y=/T(x),則不等式|/T(x—1)|<1的解集為.

【答案】

【解析】

【分析】先判斷出了(x)為R上單調遞增函數的奇函數，則可得y=/T(x)也為R上單調遞增的奇函數，又

/(1)=|,則不等式—q<x—1<|,即可得解.

【詳解】由/(—x)=2，—2T=2一工一2'=—/(x),7⑺為R上的奇函數，

又y=2'在R上單調遞增，)=2一”在R上單調遞減，所以/(元)為R上單調遞增函數，

又/(*)的值域為R,所以/T(X)也為R上單調遞增的奇函數，

因為7?⑴=3,故尸<]=_?<%_]<?=」<x<』.

故答案為，(-P&

3.若點關于直線y=Ax對稱的點在圓(x—2)2+丁=1上，則上=.

【答案】唐

【解析】

【分析】點A在圓爐+產=1上，由題意分析可知對稱點必是圓x2+y2=i與圓(%—2)2+丁=1的公共

點，由此可求出NAO3=120。，即可得出答案.

【詳解】注意點A在圓f+V=1上，且A關于直線y=kx對稱的點必然在圓好+/=1上，

X=1

因聯立兩圓方程解得：\八，

U=。

圓f+V=1與圓(%—2)2+丁=i僅有唯一公共點8(1,0),

因此對稱點只能是8.因為A0=30=l,AB=J+[+；]=6，

由余弦定理可得：COSZA<9B=1+1~3=--,

2x1x12

所以NAC?=120。，因止匕々=tan60°=6-

故答案為：73.

4.在中，已知A3.AC=23C-B4=3C4-C3，貝UABC最大角的正弦值為.

【答案】嚕

【解析】

【分析】根據條件，先確定三邊的數量關系，得到最大的邊，再用余弦定理求出最大邊所對的角的余弦，根

據同角三角函數的關系，可求最大角的正弦.

【詳解】設,A3C的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,由條件知:

becosA=2accosB=3abcosC,

,b2+c2-a2a+c2-b1a+b2-c2

由余弦定理，得ZBbe--------------=2ac----------------=3ab---------------

2bclaclab

即^+。2一后=/+。2.從=3（"/-。2）,解得/=,

2255

故最大角為角C,由余弦定理得cosC="一+"一廠=巫nsinC=之叵.

2ab1010

故答案為：之叵

10

5.數列｛4｝滿足％=L"用冊=""+2%+1（九eN"）,若為4+。2。3++。6。7=3,則%024=

anan+2

6

【答案】

2029

【解析】

112

【分析】由已知遞推關系化簡可得一+——==，由等差中項判斷數列為等差數列，再由裂項相

anan+2an+l

消法求出01a2+4%++4%的和進而得到公差，最后由等差數列的性質求出結果即可.

a,,—aa—a,,112

【詳解】由3~—~~見可得一+——=——

a?4+2anan+2an+l

則數列］1,

等差數列，首項為一=1,設公差為d,

111

貝ij+a2a3++a6a7=-------1-----------------------------------FH----------------------------

1+<7(1+<7)(1+2d)(l+5d)(l+6d)

111

1-白+

~d1+d1+2dl+6d6

1,20232029

故——=1+------=-------="2。24=與藥

0202466

6

故答案為:

2029

6.由1,2,,9這九個正整數構成的所有圓排列中，任意相鄰兩數之積均不超過60的圓排列的個數為

【答案】21600

【解析】

【分析】由所有的圓排列數，減去8,9或7,9這兩對數相鄰的圓排列數.

【詳解】由1,2,,9這九個正整數構成的所有圓排列，有黑=下=8!個,

任意相鄰兩數之積均不超過60,當且僅當該排列中8,9與7,9這兩對數均不能相鄰.

設滿足8,9相鄰的圓排列有N1個，滿足7,9相鄰的圓排列有4個，滿足8,9相鄰且7,9相鄰的圓排列

有、個,

A2A7

則M=乂=&^=A；.7!,N3=-=A<6!,

87

從而由容斥原理，滿足要求的排列的個數為N=N°—(N+M—M)=8!—(2x7!+2x7!—2x6!)=21600.

故答案為：21600.

7.已知四面體ABC。滿足=且異面直線A。與8c所成的角為

60°,則四面體ABCD的外接球的體積為.

【答案】逃E

6

【解析】

【分析】將四面體補成直三棱柱A3,-4CD,進而可求出外接圓的半徑，再根據球的體積公式即可得解.

【詳解】由題設條件，可將四面體補成直三棱柱A3。-4。，如圖所示，

則AA.HBC,所以Z^AD即為異面直線AD與BC所成的角的平面角，

故NAAD=60°,AAj=1,

于是4。=他=6,又43=3〃=1,則/"2=120°,

設四面體ABC。的外接球球心為0,

則0在平面AB。1的投影Q為ABD1的外心，且。?=；,

由正弦定理知，?A=1,從而外接球半徑7?=。4=好，

2

于是體積丫=芻成3=也￡.

36

故答案為：也E

6

1—n

8.一珍稀物種出現在地球，對每個珍稀生物，每天有如下事件發生:有，的概率消失，有方^

的概率保持不變，有匕"的概率分裂成兩個，有匕"的概率分裂成三個.對所有新產生的生物每天也會

33

發生上述事件.假設開始只有一個這樣的珍稀生物，若希望最終這種生物滅絕的概率不超過則P至多為

【答案】亮

【解析】

【分析】若開始有〃個珍稀生物、最終滅絕的概率則為/(〃)=/,由題知，

/(I)=/(I)+/(2)+/(3),由于qvg，則

°=+24+3)—1?\^T，得PW'

【詳解】設開始有一個珍稀生物、最終滅絕的概率為/(l)=4<g,

那么若開始有〃個珍稀生物、最終滅絕的概率則為/(〃)=/'.

由題知‘AD=P+一川)+一八2)+一八3),

從而有q=P+-—^~(l+—^-Q2+1；cf,即+2q+3)一1]=0,

由于qW；,貝|0=上丁(才+2q+3)—1〈三???—1,得p<、.故P至多為

故答案為：—

17

二、解答題:本大題共3小題，滿分56分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

9.已知函數f(x)=Inx-sinx,若兩不相等的實數為,々?(°，兀)滿足曲線V=/⑺在點(占，/(%))和點

伍,/(%2))處的切線斜率相等，求證：/(%)+/(%)>-2.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】構造函數夕(x)=sinx—x,利用導數證明對x>0,有sinx<x.由/'(石)=/'(々)變形，結合引

理和和差化積可得罰馬>1，然后可證.

【詳解】先證一個引理：對％>0,W*sinx<x.

引理的證明:令0(%)=sinx-x,^(%)=cosx-1<0,故夕(九)為減函數，

所以當x>0時，0(x)<°(O)=O,引理得證.

回到原題:尸(x)=g-cosx,由題知/'(七)=/'(%).

不妨設西〉％2,則號迤e|o,卷)，于是由/'(%)=/'(%)并結合引理可得：

：1-X,X+x?

------=cosx2-cos再=cos-------

石％2I2

c.x+x.x-M

=2sin------9sin------

22

/c.X-XcX-X

<2sin———-2<2x」——2z

22

%一x

即；X2<3_/，則石入2>1，所以1口再入2>0?

所以/(玉)+/(w)=]n%]%2—sin%-sinx2>-sinxj-sinx2>-2.

10.已知拋物線O：y=%2,動線段AB在直線y=—3上(B在A右側)，且|AB|=2百.過A作。

的切線，取左邊的切點為“.過8作。的切線，取右邊的切點為N.當時，求點A的橫坐標.

【答案】點A的橫坐標為0.

【解析】

【分析】設出N坐標，利用導數求出過M,N的切線方程，由/表示出A,B兩點的坐標，把A,

8代入切線方程，可得“，N的坐標，由過直線跖V的斜率為A，即可求解.

注意kMN=&~~%-=x1+x2,

X2-%!

從而當上W〃AB時，左蛆=勉=6,所以須+%=g，

因為y'=2x,所以&1M=2x「

可得切線AM的方程為>一%2=2石(x—玉)，

即>同理可得切線BN的方程為丁=2工2%一君，

由題設中A,B要求，可設—3),3"+后、碼,

將A(t,舊-3)代入切線AM的方程，得回-3=2優—工；，

即X；—2fxi+—3=0,

可求得為=t—《廣—垂it+3,

這里取較小的根是因為M為左邊的切點，

同理可求得X[=t+6+〃+而+3，

于是石+x2=A/3,

所以1—J/.而+3+f+石+J產+石+3=君,

整理得/1+/_/一=0,所以/=0,

、J廠一y/3t+3++y/3t+3,

故點A的橫坐標為0.

11.設％=3,x“+]=+14—+2(〃wN*),求[%+*2++%]的值.(其中國表示不超過實數了

的最大整數.)

【答案】答案見解析

【解析】

12

【分析】設/'(%)=Jx+14—y/x+2=由單調性得到0<%/<2,>2,再構造

函數g(x)=x+/(x),求導后得到g(x)單調遞增，然后分〃為偶數和奇數時結合數列新定義求和即可.

________12

【詳解】設/(x)=Jx+14-4x+l=/_.