2024-2025學年九年級上學期期末考試百校聯(lián)考卷

數(shù)學

考試時間：120分鐘滿分：120分

題號一二三四五六總分

得分

n|r

卦

一、選擇題（每題3分，共36分）

1.（3分）以下選取了四屆冬奧會會標圖案的一部分，其中是中心對稱圖形

的是（）

較

D.

2.（3分）下列事件中，屬于必然事件的是（）

A.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上一面的點數(shù)一定是3.

忠

B.任意一個六邊形的外角和等于360。

C.打開電視任選一頻道，正在播放瀘州新聞

線

D.隨意地翻到一本書的某頁，這一頁的頁碼為奇數(shù)

彝3.（3分）如圖，點4、B、。是。。上三點，ZC=20°,則

料

ZAOB的度數(shù)是（）

A.10°B.20°C.40°D.60°

4.（3分）將拋物線y=X2平移得到拋物線丁=%2+3,則下列平移過程正確的

是（）

A.向上平移3個單位B.向下平移3個單位

C.向左平移3個單位D.向右平移3個單位

5.（3分）下列一元二次方程中，有兩個不相等的實數(shù)根的是（）

A.X2+2=QB.x2-2x-3=0C.x2-4x+4=0D.x2-2x+2=0

6.（3分）不透明袋子中有1個紅球和2個綠球，這些球除顏色外無其他差別.從

袋子中隨機取出1個球，恰好是綠球的概率為（）

11_2

A.豆B.5C.5D.1

7.（3分）如圖，已知△人臺。中，AB=AC,ZABC=7Q°,點/是△A5C的內(nèi)心，

則/即。的度數(shù)為（）1

A.40°B.70°C.110°D.140°/\

（分）用配方法解方程％時，配方結果正確的是（）

8.32+4%+1=0DC

A.（%-2）2=5B.（X-2）2=3C.（%+2）2=5D.（x+2）2=3

9.（3分）截面半徑為1米的圓柱形排水管，如圖所示.若管內(nèi)有積水（陰影部分），

水面寬45為1.6米，則積水的最大深度。。為（）

A.0.5米B.0.4米C.0.3米D.0.2米

10.（3分）如圖，扇形折扇完全打開后，如果張開的角度（NBAC）為120。，骨

柄AB的長為18CM,扇面的寬度的長為12CM,那么這把折扇的扇面面積為

A.90TleB.9611cm2C.lOOncm2D.108TTC/W2

11.（3分）某商品現(xiàn)在的售價為每件50元，每星期可賣出200件.市場調(diào)查反映,

如果調(diào)整商品售價，每降價1元，每星期可多賣出20件.設每件商品降價匯元后,

每星期售出商品的總銷售額為y元，則y與％的關系式為（）

A.y=50(200+20%)B.>=200(50-20%)

C.y=(50-C(200+20%)D.y=(50-x)(200-2Ox)

12.（3分）已知二次函數(shù)y=（%-a+1）（x-a-1）-2a-3（a為常數(shù)）的圖象

與％軸有交點，且當%>3時，y隨％的增大而增大，則a的取值范圍是（）

A.-2B.a<3C.-2<a<3D.-2二〃二3

二、填空題（每題3分，共12分）

13.（3分）平面直角坐標系內(nèi)與點尸（4,5）關于原點對稱的點的坐標

是.

22

14.（3分）已知%1、%2是一元二次方程42-3%-2=0的兩個實數(shù)根，則X1+X2的

值為.

15.（3分）歷史上，有些人曾做過成千上萬次拋擲硬幣的試驗，其中一些試驗結

果如表：

拋擲次數(shù)20484040100001200024000

“正面朝上”的頻率0.51810.50690.49790.50160.5005

由此估計重復拋擲一枚硬幣時，“正面向上”的概率是.（結

果保留小數(shù)點后一位）.

16.（3分）如圖，點M坐標為（0,1）,點A坐標為（1,0）,以點又為圓心，

為半徑作0",與入軸的另一個交點為5,點。是。〃上的一個動點，連接

AC,點。是AC的中點，連接則線段0。的最大值為.

三、解答題（每小題6分，共18分）

17.（6分）解方程：x2+/2x-4=0.

18.（6分）已知關于%的方程%2-2%+2左-3=0有兩個相等的實數(shù)根，求上的值.

19.（6分）已知：如圖，A5是。O的弦，半徑0。、0。分別交A5于點E、F,

MAE=BF.求證：OE=OF.

四、解答題（每小題7分，共14分）

20.（7分）某學習平臺去年十月新注冊用戶為200萬，十二月新注冊用戶為288

萬，求該學習平臺去年十月至十二月新注冊用戶月平均增長率為多少？

21.（7分）如圖，在平面直角坐標系中，點A（4,1）,點5（1,0）,點。（2,

-2）.

（1）請作出△A5C繞點5逆時針旋轉90。得到△Q5E,其中點A,點。的對應點

分別為點。，點E.分別寫出點。，點E的坐標.

（2）請直接寫出（1）中點A在旋轉過程中經(jīng)過的弧長為.

五、解答題（每小題8分，共16分）

22.（8分）2018元旦聯(lián)歡會上，小剛設計了一個游戲，其規(guī)則是：分別轉動如圖

所示的兩個可以自由轉動的轉盤各一次，每次指針落在每一字母區(qū)域的機會均等

（若指針恰好落在分界線上重轉），當兩個轉盤的指針所指字母相同時，該同學

即可獲獎.

（1）用樹狀圖或列表的方法（只選其中一種）表示出游戲可能出現(xiàn)的所有結果；

（2）若小亮參加一次游戲，則他獲獎的概率是多少？

轉盤1轉盤2

23.（8分）如圖，在等邊△人臺。中，點。是邊AC上一點，連接5。，將線段

繞點5按逆時針方向旋轉60°后得到BE,連接4E.求證：

（1）△ABEWACBD.

(2)AE//BC.

EA

D

BC

六、解答題(每小題12分，共24分)

24.(12分)如圖，R3A5C中，ZACB=90°，點。在邊5。上，以。。為直徑

的00與直線A5相切于點E,連接04,且04=0左連接CE交0A于點尸.

(1)求證：AB=2AC.

(2)若4。=y，求線段0。。尸的長.

25.(12分)已知拋物線＞=辦2+"+6與％軸交于A(-1,0),5(3,0)兩點，

與y軸交于點。，點。關于該拋物線對稱軸的對稱點為點。.

(1)求該拋物線的解析式.

(2)是否存在一點E,使得以點4,C,D,E為頂點的四邊形是平行四邊形？若

存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)若點尸是直線4。上方的拋物線上一動點，當點尸運動到什么位置時，四邊

形ABDF的面積S最大？請求出此時S的最大值和點F的坐標.

備用圖

答案與解析

一、選擇題（每題3分，共36分）

1.（3分）“共圓冰雪夢，一起向未來.”2022年2月4日至20日，第24屆冬奧

會將在中國北京和張家口舉行，以下選取了四屆冬奧會會標圖案的一部分，其中

是中心對稱圖形的是（）

【分析】中心對稱圖形是指一個圖形繞著一個點旋轉180°之后恰好與之前重合.

【解答】解：A圖形圍繞著一個點旋轉180。始終無法重合，故A不符合題意，

5圖形圍繞著一個點旋轉180。始終無法重合，故5不符合題意，

。圖形圍繞著圖形中點旋轉180。與圖形完全重合，故。符合題意，

。圖形圍繞著一個點旋轉180。始終無法重合，故。不符合題意，

故選：C.

【點評】本題考查了中心對稱圖形，關鍵是掌握中心對稱圖形的性質(zhì).

2.（3分）下列事件中，屬于必然事件的是（）

A.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上一面的點數(shù)一定是3.

B.任意一個六邊形的外角和等于360。

C.打開電視任選一頻道，正在播放瀘州新聞

D.隨意地翻到一本書的某頁，這一頁的頁碼為奇數(shù)

【分析】根據(jù)隨機事件的概念進行解題即可.

【解答】解：A、拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上一面的點數(shù)一定是3,是隨機事

件，不符合題意；

從任意一個六邊形的外角和等于360。，是必然事件，符合題意；

。、打開電視任選一頻道，正在播放瀘州新聞，是隨機事件，不符合題意；

。、隨意地翻到一本書的某頁，這一頁的頁碼為奇數(shù)，是隨機事件，不符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在

一定條件下，一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事

件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.

3.（3分）如圖，點A、5、。是00上三點，ZC=20°,則NAOB的度數(shù)是（）

A.10°B.20°C.40°D.60°

【分析】根據(jù)圓周角定理即可推出NAOB=40°,

【解答】W：VZC=20°,

ZAOB=40°故選：C.

【點評】本題主要考查圓周角定理，關鍵在于熟練掌握圓周角定理.

4.（3分）將拋物線y=%2平移得到拋物線＞=—+3,則下列平移過程正確的是

（）

A.向上平移3個單位B.向下平移3個單位

C.向左平移3個單位D.向右平移3個單位

【分析】根據(jù)“上加下減”的原則直接進行解答即可.

【解答】解：由“上加下減”的原則可知，將拋物線y=X2向上平移得到拋物線y

=X2+3.

故選：A.

【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減”的原則是

解答此題的關鍵.

5.（3分）下列一元二次方程中，有兩個不相等的實數(shù)根的是（)

A.x2+2=0B.x2-2x-3=0

C.x2-4x+4=0D.x2-2x+2=Q

【分析】一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根則判別式大于零，由此即可求解.

【解答】解：A、x2+2=0,A=Z?2-4ac=02-4XlX2=-8<0,不符合題意；

B、x2-2x-3=0,A=b2-4ac=（-2）2-4XIX（-3）=16>0,符合題意；

C、x2-4%+4=0,A=Z?2-4QC=（-4）2-4XlX4=0,不符合題意；

D、x2-2x+2=0,A=b2-4QC=（-2）2-4X1X2=-4<0,不符合題意.

故選：B.

【點評】本題主要考查一元二次方程中根的判別式判定根的情況，掌握一元二次

方程判別式與方程的根的關系是解題的關鍵.

6.（3分）不透明袋子中有1個紅球和2個綠球，這些球除顏色外無其他差別.從

袋子中隨機取出1個球，恰好是綠球的概率為（）

11_2

A.5B.萬C.亙D.1

【分析】讓綠球的個數(shù)除以球的總數(shù)即為摸到綠球的概率.

【解答】解：共有球1+2=3個，綠球有1個，

2

因此摸出的球是綠球的概率為：石.

故選：C.

【點評】本題考查了概率公式：隨機事件4的概率尸（4）=事件4可能出現(xiàn)的

結果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結果數(shù).

7.（3分）如圖，已知△人臺。中，AB=AC,ZABC=7Q°，點/是△A5C的內(nèi)心，

則/即。的度數(shù)為（)

A

BC

A.40°B.70°C.110°D.140°

【分析】根據(jù)內(nèi)心的定義即可求得NZBC+N/C5,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即

可求解.

【解答】解：'：AB=AC,ZABC=70°,

?.?點/是△ABC的內(nèi)心，

：.ZIBC=2ZABC=35°,ZICB=2ZACB=35°,

：.ZIBC+ZICB=7Q°,

：.ZBIC=180°-CZIBC+ZICB)=110°.

【點評】此題主要考查了三角形的內(nèi)心的計算，正確理解N/5C=5NABC=35

ZICB=2ZACB=35°是關鍵.

8.(3分)用配方法解方程％2+4%+1=0時，配方結果正確的是()

A.(x-2)2=5B.(%-2)2=3

C.(%+2)2=5D.(%+2)2=3

【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到結果，即可作出判斷.

【解答】解：方程％2+以+1=0,

整理得：x2+4x=-1,

配方得：（x+2）2=3.

故選：D.

【點評】此題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題

的關鍵.

9.（3分）截面半徑為1米的圓柱形排水管，如圖所示.若管內(nèi)有積水（陰影部分）,

水面寬為1.6米，則積水的最大深度CO為（）

0.4米C.0.3米D.0.2米

【分析】根據(jù)垂徑定理得出AC=O.8米，根據(jù)勾股定理求得0C,進而即可求解.

【解答】解：如圖，連接04,

依題意，ODVAB,

：,AC=2AB=^）.8（米），

點半徑為1米，

：.A0=D0=l（米），

在RtZXAOC中，0C=VOA2-AC2=Vl2-0-82=0.6（米），

：.CD=1-0.6=0.4（米），

故選：B.

【點評】本題考查了垂徑定理的應用，勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關鍵.

10.(3分)如圖，扇形折扇完全打開后，如果張開的角度(N5AC)為120。，骨

柄AB的長為18c7徵，扇面的寬度5。的長為12cw,那么這把折扇的扇面面積為

)

C.lOOircm2D.108iicm2

【分析】折扇扇面的面積=扇形BAC的面積-扇形DAE的面積.

【解答】解:'：AB=18cm,BD=12cm/

??AD--6cm,

120°-X逆

扇形R4C的面積=360°=108TT(cm2),

120°―X

扇形D4E的面積=360°=12TT(cm2),

?,?折扇扇面的面積=108TT-12IT=96TT(cm2),

故選：B.

【點評】本題考查了扇形面積，關鍵是掌握扇形面積公式.

11.(3分)某商品現(xiàn)在的售價為每件50元，每星期可賣出200件.市場調(diào)查反映,

如果調(diào)整商品售價，每降價1元，每星期可多賣出20件.設每件商品降價％元

后，每星期售出商品的總銷售額為y元，則y與％的關系式為()

A.y=50(200+20%)

B.>=200(50-2Ox)

C.y=(50-x)(200+20%)

D.y=(950-x)(200-20%)

【分析】根據(jù)降價％元，則售價為(50-%)元，銷售量為(200+20%)件，由題

意可得等量關系：總銷售額為丁=銷量X售價，根據(jù)等量關系列出函數(shù)解析式即

可.

【解答】解：降價％元，則售價為(50-%)元，銷售量為(200+20%)件，

由題意可得y=(50-x)(200+20%),

故選：C.

【點評】此題主要考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)解析式，關鍵是正確理解題意,

找出題目中的等量關系，再列函數(shù)解析式.

12.(3分)已知二次函數(shù)y=(%-a+1)Cx-a-1)-2a-3(a為常數(shù))的圖象

與％軸有交點，且當%>3時，y隨％的增大而增大，則a的取值范圍是()

A.a>-2B.a<3C.-2<a<3D.-2<a<3

【分析】根據(jù)圖象與％軸有交點，得出判別式△》()，解得aN-2；再求出拋物線

的對稱軸，結合拋物線開口向上，且當%>3時，y隨％的增大而增大，可得無3,

從而得出答案.

［解答］解：二,二次函數(shù)y=(%-a+l)Cx-a-1)-2a-3=x2-2ax+a2-2a

-4(。為常數(shù))的圖象與％軸有交點，

,*.A=(-2a)2-4X1X(a2-2a-4)20,

解得：?>-2；

???拋物線的對稱軸為直線％=-1=。，拋物線開口向上，且當%>3時，y隨工

的增大而增大，

a<3,

，實數(shù)。的取值范圍是-2<?<3.

故選：D.

【點評】本題考查了拋物線與X軸的交點和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握拋物線

與％軸的交點個數(shù)與判別式的關系及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵.

二、填空題（每題3分，共12分）

13.（3分）平面直角坐標系內(nèi)與點尸（4,5）關于原點對稱的點的坐標是（-4,

-5）.

【分析】利用關于原點對稱點的性質(zhì)即可得出答案.

【解答】解：平面直角坐標系內(nèi)與點尸（4,5）關于原點對稱的點的坐標是（-4,

-5）.

故答案為：（-4,-5）.

【點評】本題考查了關于原點對稱的點的坐標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點

的坐標規(guī)律：關于入軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；關于y軸對

稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)；關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標

都互為相反數(shù).

14.（3分）已知%1、%2是一元二次方程3%-2=0的兩個實數(shù)根，則口+口的值

為13.

【分析】先利用根與系數(shù)的關系得到％1+%2=3,X1X2=-2,則根據(jù)完全平方公式

---i.a--

得到（X1+X2）2-2X1X2,然后利用整體代入的方法計算.

【解答】解：根據(jù)根與系數(shù)的關系得；n+%2=3,X1X2=-2,

所以—+1—1=（xi+%2）2-2xiX2=32-2X（-2）=13.

故答案為：13.

【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若即,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0Ca^0）

的兩根，Xl+X2=~1,X1X2=O.

15.（3分）歷史上，有些人曾做過成千上萬次拋擲硬幣的試驗，其中一些試驗結

果如表:

拋擲次數(shù)20484040100001200024000

“正面朝上”的頻率0.51810.50690.49790.50160.5005

由此估計重復拋擲一枚硬幣時，“正面向上”的概率是0.5.（結果保留

小數(shù)點后一位）.

【分析】用頻率來估計概率，頻率都在0.5左右擺動，所以估計概率為0.5,這

是概率與頻率之間的關系，即用頻率值來估計概率值.

【解答】解：由于正面朝上的頻率都在0.5左右擺動，故估計拋擲一枚硬幣正面

朝上的概率為0.5.

故答案為:0.5.

【點評】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在

某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理,

可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率.

16.（3分）如圖，點"坐標為（0,1）,點4坐標為（1,0）,以點M為圓心，

為半徑作0M,與％軸的另一個交點為5,點。是。"上的一個動點，連接

BC,AC,點。是AC的中點，連接O。，則線段0。的最大值為

【分析】根據(jù)垂徑定理得到04=05=1,然后根據(jù)三角形中位線定理得到

OD//BC,OD=2BC,即當5。取得最大值時，線段0。取得最大值，即當

是。加的直徑時，0。取得最大值，確定點。的坐標即可.

【解答】解：點A坐標為（1,0）,

：.OA=OB=1,

丁點。是4。的中點,

：.AD=CD,

：.OD//BC,0D=2BC,

，當是0"的直徑時，線段0。取得最大值，如圖,

?.?點M坐標為（0,1）,

OM=1,

在Rt△OBM中,BM=4OB240M2=Vl+i=V2

：.BC=2BM=242

.*.OD=_2BC=V2

即線段0。的最大值為6.

故答案為：V2.

【點評】本題考查了點和圓的位置關系，垂徑定理、圓周角定理以及三角形中位

線定理，明確當5。為直徑時，線段OO取得最大值是解題的關鍵.

三、解答題（每小題6分，共18分）

17.（6分）解方程：%?+匚」-4=0.

【分析】根據(jù)求根公式％=__________I解答.

【解答】解：％2+Z-4=0,

??x==

Vxi=-2二2=口.

【點評】本題考查了解一元二次方程的方法，當把方程通過移項把等式的右邊化

為0后方程的左邊能因式分解時，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用

積為0的特點解出方程的根.因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要

會靈活運用.當化簡后不能用分解因式的方法即可考慮求根公式法，此法適用于

任何一元二次方程.

18.（6分）已知關于%的方程%2-2%+2左-3=0有兩個相等的實數(shù)根，求上的值.

【分析】利用根的判別式的意義得到八=接-4砒=4-4（2左-3）=0,然后解關

于左的方程即可.

【解答】解：二?關于％的方程/-2%+2左-3=0有兩個相等的實數(shù)根，

.?.△=按-4ac=4-4（2k-3）=0,

解得k=2.

【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程辦2+法+c=o（存o）的根與△=

〃-4ac有如下關系：當A>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當A=0時，方

程有兩個相等的實數(shù)根；當八<0時，方程無實數(shù)根.

19.（6分）已知：如圖，A3是00的弦，半徑0。、0。分別交A6于點E、F,

KAE=BF.

求證：OE=OF.

【分析】連接。4,OB,可以利用S4S判定尸，根據(jù)全等三角形的

對應邊相等，可得至廠.

【解答】證明：連接。4,OB,

,：OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA.

在△OAE和△。呂尸中

'AE=BF

，Z0AB=Z0BA

OA=OB

.,.AOAE^AOBF(SAS).

OE=OF.

【點評】本題主要考查了圓的性質(zhì)，垂徑定理，全等三角形的判定等知識的綜合

應用及推理論證能力.

四、解答題（每小題7分，共14分）

20.（7分）某學習平臺去年十月新注冊用戶為200萬，十二月新注冊用戶為288

萬，求該學習平臺去年十月至十二月新注冊用戶月平均增長率為多少？

【分析】設新注冊用戶數(shù)的年平均增長率為％（%>0）,利用十月的新注冊用戶

數(shù)為200萬義（1+平均增長率）2=十二月的新注冊用戶數(shù)為288萬，即可得出關

于％的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論.

【解答】解：新注冊用戶數(shù)的年平均增長率為％（%>0）,

根據(jù)題意得200（l+x）2=288,

解得即=0.2=20%,%2=-2.2（舍），

答：去年十月至十二月新注冊用戶月平均增長率為20%.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方

程是解題的關鍵.

21.(7分)如圖，在平面直角坐標系中，點A(4,1),點5(1,0),點。(2,

-2).

(1)請作出△A5C繞點5逆時針旋轉90。得到△D5E,其中點A,點。的對應

點分別為點。，點E.分別寫出點。，點石的坐標.

回兀

(2)請直接寫出(1)中點A在旋轉過程中經(jīng)過的弧長為2

【分析】(1)根據(jù)旋轉的性質(zhì)作圖，即可得出答案.

(2)利用勾股定理求出的長，再利用弧長公式計算即可.

【解答】解：(1)如圖，△。臺石即為所求.

(2)由勾股定理得，AB=V32+12=VTO

90-X板V10

???點A在旋轉過程中經(jīng)過的弧長為-180-=T

故答案為:

【點評】本題考查作圖-旋轉變換、弧長公式，熟練掌握旋轉的性質(zhì)、勾股定理、

弧長公式是解答本題的關鍵.

五、解答題（每小題8分，共16分）

22.（8分）2018元旦聯(lián)歡會上，小剛設計了一個游戲，其規(guī)則是：分別轉動如圖

所示的兩個可以自由轉動的轉盤各一次，每次指針落在每一字母區(qū)域的機會均等

（若指針恰好落在分界線上重轉），當兩個轉盤的指針所指字母相同時，該同學

即可獲獎.

（1）用樹狀圖或列表的方法（只選其中一種）表示出游戲可能出現(xiàn)的所有結果；

（2）若小亮參加一次游戲，則他獲獎的概率是多少？

【分析】（1）根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等情況數(shù)即可;

（2）先找出他能獲獎的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案.

【解答】解：（1）畫樹狀圖得:

則共有6種等可能的結果;

（2）?.?小亮獲只有1種情況,

???他獲獎的概率是」

【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復不遺漏的

列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完

成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗.用到的知識點為：概

率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

23.(8分)如圖，在等邊△人臺。中，點。是邊AC上一點，連接50,將線段

繞點5按逆時針方向旋轉60°后得到BE,連接AE.求證：

(1)AABE^^CBD.

(2)AE//BC.

【分析】(1)由旋轉可得NE5O=60°,BE=BD,由等邊三角形的性質(zhì)可得N

ABC=ZDCB=6Q°,AB=BC,進而可得ND5C,根據(jù)全等三角形的判

定可得結論.

(2)由可得進而可得NEA5=N45C,結合平

行線的判定可得AE〃5C

【解答】證明：(1)由旋轉可知，/EBD=60°,BE=BD,

?.?△R4C是等邊三角形，

ZABC=ZDCB=6Q°,AB=BC,

'：ZEBD=ZABC=60°,

：.ZEBD-ZABD=ZABC-NABD,

:.△ABEQ^CBD(SAS).

(2)由(1)知，AABE^ACBD,

：./EAB=/DCB,

VZABC=ZDCB=60°,

:./EAB=/ABC,

C.AE//BC.

【點評】本題考查旋轉的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、

平行線的判定，熟練掌握旋轉的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的

性質(zhì)、平行線的判定是解答本題的關鍵.

六、解答題(每小題12分，共24分)

24.(12分)如圖，RSA5C中，ZACB=90°,點。在邊5。上，以CO為直徑

的00與直線A5相切于點E,連接04,且0A=05.連接CE交04于點尸.

(1)求證：A5=2AC

(2)若AC=口，求線段0C,。下的長.

【分析】(1)連接0E,由切線的性質(zhì)得NAEO=N5EO=90°,再證明AC與

00相切于點C,則AE=4C,由04=05,0E=0E,根據(jù)證明

RtAAEO^RtABEO,得AE=BE,則A5=2AE,所以A5=2AC；

(2)由AB=2AC=2口，得水?=11=3,則04=05=3-0。，由ClB-OE

=「O3?AC=&AOB,5.0E=OC,W3<2O0C=Q<C(3-OC),求得OC=1,

則OE=1,04=05=2,再證明04垂直平分CE,則UX2CE=UXDX1+HX匚］xl

=SmAcoE,求得。石=匚，則=」CE=

【解答】（1）證明：連接0E,

???A5與00相切于點E,

J.ABV0E,

：.ZAE0=ZBE0^9Q°,

VZACB=90°,

：.AC±0C,

?「OC是。。的半徑，AC-LOC,

.\AC與。。相切于點C,

：.AE=AC,

在RtAAEO和RtABEO中，

Z.RtAAEO^RtABEO(HL),

：.AE=BE,

：.AB^2AE,

：.AB=2AC.

(2)解：VAC=O

.*.AB=2AC=2E

：.BC==3,

：.0A=0B=3-OC,

'：［］AB?OE=1OB?AC=S^AOB,MOE=OC,

.*.0X2OOC=0XD(3-OC),

解得OC=1,

0E=1,OA=OB=BC-0C=2,

VAE=AC=V3=0C,

???點0、點A都在線段CE的垂直平分線上,

，04垂直平分CE,

'：2OA-CE=2A&OC+2AE>OE=S四邊形AC0E,