專題17二次函數(shù)與公共點(diǎn)及交點(diǎn)綜合問(wèn)題

典例剖析.

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【例1】.(2022?大慶)已知二次函數(shù)y=/+6x+%圖象的對(duì)稱軸為直線x=2,將二次函

數(shù)y=x2+6x+加圖象中y軸左側(cè)部分沿x軸翻折，保留其他部分得到新的圖象C.

(1)求6的值；

(2)①當(dāng)加<0時(shí)，圖C與x軸交于點(diǎn)M,在N的左側(cè))，與了軸交于點(diǎn)P.當(dāng)

△MVP為直角三角形時(shí)，求加的值；

②在①的條件下，當(dāng)圖象C中-4Wy<0時(shí)，結(jié)合圖象求x的取值范圍；

(3)已知兩點(diǎn)/(-I,-1),2(5,-1),當(dāng)線段與圖象C恰有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，

直接寫出比的取值范圍.

3咻

--------------------------?----------------------

OxO

備用圖

【例2】.(2022?湖北)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=/-2x-3的頂點(diǎn)為/,

與y軸交于點(diǎn)C,線段C2〃x軸，交該拋物線于另一點(diǎn)2.

(1)求點(diǎn)2的坐標(biāo)及直線/C的解析式；

(2)當(dāng)二次函數(shù)y=/-2x-3的自變量x滿足機(jī)WxW加+2時(shí)，此函數(shù)的最大值為°,

最小值為4，且〃-g=2,求機(jī)的值；

(3)平移拋物線y=/-2x-3,使其頂點(diǎn)始終在直線NC上移動(dòng)，當(dāng)平移后的拋物線與

射線8/只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，設(shè)此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為"，請(qǐng)直接寫出〃的取值范

圍.

備用圖

【例3】.(2022?張家界)如圖，已知拋物線＞="2+1+3(aWO)與x軸交于N(1,0),B

(4,0)兩點(diǎn)，與〉軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。為拋物線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)若四邊形2C所為矩形，CE=3.點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)C沿CE向點(diǎn)E

運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)E沿斯向點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)，一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一

點(diǎn)隨之停止.當(dāng)以〃、E.N為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間f的值；

(3)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)P,點(diǎn)G是點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)。是x軸下

方拋物線上的動(dòng)點(diǎn).若過(guò)點(diǎn)。的直線/：＞=履+加(因＜9)與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),

【例4】.(2022?沈陽(yáng))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線＞=a/+6x-3經(jīng)過(guò)點(diǎn)2(6,0)

和點(diǎn)。(4,-3),與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為/,與y軸交于點(diǎn)C,作直線ND

(1)①求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

②直接寫出直線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)￡是直線4D下方的拋物線上一點(diǎn)，連接交AD于點(diǎn)凡連接3D,DE,△

2。廠的面積記為Si，△。斯的面積記為S2，當(dāng)必=2$2時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)G為拋物線的頂點(diǎn)，將拋物線圖象中x軸下方的部分沿x軸向上翻折，與拋物線

剩下的部分組成新的曲線記為C1，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為。，點(diǎn)G的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G’，將曲線

Q沿y軸向下平移〃個(gè)單位長(zhǎng)度（0<n<6）.曲線Ci與直線8c的公共點(diǎn)中，選兩個(gè)公

共點(diǎn)記作點(diǎn)P和點(diǎn)。，若四邊形C'G'0尸是平行四邊形，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

滿分訓(xùn)練.

一.解答題（共20小題）

1.（2022?鐘樓區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知二次函數(shù)y=」丫2+"a+加+_1的圖象與x軸交于點(diǎn)

22

A.B（點(diǎn)/在點(diǎn)8的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0,-?）,P是拋物線在直線/C上方圖

2

象上一動(dòng)點(diǎn).

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求△尸/C面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，拋物線在點(diǎn)/、2之間的部分（含點(diǎn)/、B）沿x軸向下翻折，

得到圖象G.現(xiàn)將圖象G沿直線/C平移，得到新的圖象〃與線段尸C只有一個(gè)公共點(diǎn),

請(qǐng)直接寫出圖象M的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)〃的取值范圍.

2.（2022?保定一模）如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)了=/-2%+於+2「5的圖象記為2,點(diǎn)P是L

上對(duì)稱軸右側(cè)的一點(diǎn)，作尸。，>軸，與工在對(duì)稱軸左側(cè)交于點(diǎn)。；點(diǎn)8的坐標(biāo)分別

為(1,0),(1,1),連接

(1)若，=1,設(shè)點(diǎn)P,0的橫坐標(biāo)分別為"2,",求"關(guān)于"2的關(guān)系式;

(2)若乙與線段有公共點(diǎn)，求才的取值范圍；

(3)當(dāng)2f-3<x<2—1時(shí)，了的最小值為-2L,直接寫出/的值.

4

3.(2022?廣陵區(qū)校級(jí)二模)在平面直角坐標(biāo)系中，已知函數(shù)為=2x和函數(shù)以=-x+6,不

論x取何值，為都取為與乃二者之中的較小值.

(1)求函數(shù)為和乃圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，并直接寫出為關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)現(xiàn)有二次函數(shù)y=x2-8x+c,若函數(shù)為和y都隨著x的增大而減小，求自變量x的

取值范圍；

(3)在(2)的結(jié)論下，若函數(shù)則和y的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求c的取值范圍.

4.(2022?金華模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)-2%x+6加(xW2”,加為常數(shù))

的圖象記作G,圖象G上點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2m.

(1)當(dāng)加=1,求圖象G的最低點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)平面內(nèi)有點(diǎn)C(-2,2).當(dāng)/C不與坐標(biāo)軸平行時(shí)，以/C為對(duì)角線構(gòu)造矩形

ABCD,與x軸平行，2c與/軸平行.

①若矩形/BCD為正方形時(shí)，求點(diǎn)/坐標(biāo)；

②圖象G與矩形/2CD的邊有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求心的取值范圍.

5.(2022?清鎮(zhèn)市模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>=辦2-2*x+l(.WO)與y軸交于

點(diǎn)/,過(guò)點(diǎn)/作x軸的平行線與拋物線交于點(diǎn)及

(1)拋物線的對(duì)稱軸為直線尤=;(用含字母a的代數(shù)式表示)

(2)若/3=2,求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(3)已知點(diǎn)P(a+4,1),Q(0,2),如果拋物線與線段P。恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的

取值范圍.

6.（2022?五華區(qū)三模）已知拋物線＞="2-zwx+2加-3經(jīng)過(guò)點(diǎn)N（2,-4）.

（1）求a的值；

（2）若拋物線與y軸的公共點(diǎn)為（0,-1）,拋物線與x軸是否有公共點(diǎn)，若有，求出

公共點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)24W4時(shí)，設(shè)二次函數(shù)y=ax2-mx+2m-3的最大值為M,最小值為N,若旦=

N

工，求加的值.

8

7.（2022?秦淮區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2,1）,

與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0,5）.

（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在同一平面直角坐標(biāo)系中，若該二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y=x+〃（〃為常數(shù)）的

圖象有2個(gè)公共點(diǎn)，求”的取值范圍.

8.（2022?鹽城二模）若二次函數(shù)y=a/+Zw+a+2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)/（1,0）,其中a、6為常

數(shù).

（1）用含有字母a的代數(shù)式表示拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)3（-工，1）、C（2,1）為坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)，連接3、C兩點(diǎn).

2

①若拋物線的頂點(diǎn)在線段8C上，求。的值；

②若拋物線與線段2c有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍.

Ay

BC

-----------?--------------------?

OAx

9.（2022?滑縣模擬）如圖，已知二次函數(shù)y=x2+2x+c與x軸正半軸交于點(diǎn)8（另一個(gè)交點(diǎn)

為/）,與了軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,且OC=3O3.

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)直線NC的解析式為＞=辰+6,求點(diǎn)N的坐標(biāo)，并結(jié)合圖象寫出不等式/+2x+c》

kx+b的解集；

（3）已知點(diǎn)尸（-3,1）,Q（2,2汁1）,且線段尸0與拋物線y=/+2x+c有且只有一個(gè)

公共點(diǎn)，直接寫出/的取值范圍.

10.（2022春?龍鳳區(qū)期中）如圖，二次函數(shù)了=-/-2》+4-/的圖象與一次函數(shù)＞,=-2%

的圖象交于點(diǎn)/、8（點(diǎn)8在右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)/的橫坐標(biāo)恰好為a,動(dòng)點(diǎn)P、

Q同時(shí)從原點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OB分別以每秒灰和2代個(gè)單位長(zhǎng)度運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)/秒后,

以PQ為對(duì)角線作矩形PMQN,且矩形四邊與坐標(biāo)軸平行.

（1）求。的值及f=l秒時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)矩形PMQN與拋物線有公共點(diǎn)時(shí)，求時(shí)間t的取值范圍；

（3）在位于x軸上方的拋物線圖象上任取一點(diǎn)R,作關(guān)于原點(diǎn)（0,0）的對(duì)稱點(diǎn)為R',

當(dāng)點(diǎn)M恰在拋物線上時(shí)，求必〃長(zhǎng)度的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)R的坐標(biāo).

11.（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系了帆中，已知拋物線y=a/-2Q+1）

X+Q+2（aW0）.

（1）當(dāng)。=-工時(shí)，求拋物線的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

8

（2）請(qǐng)直接寫出二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線（用含。的代數(shù)式表示）及二次函數(shù)圖象

經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是.

（3）若當(dāng)1WXW5時(shí)，函數(shù)值有最大值為8,求二次函數(shù)的解析式；

（4）已知點(diǎn)/（0,-3）、B（5,-3）,若拋物線與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫

出a的取值范圍.

12.（2022?綏江縣二模）已知二次函數(shù)-3a（a<0）的圖象經(jīng)過(guò)（3,0）.

（1）求二次函數(shù)的對(duì)稱軸；

（2）點(diǎn)/的坐標(biāo)為（1,0）,將點(diǎn)/向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度

后得到點(diǎn)3,若二次函數(shù)的圖象與線段N8有公共點(diǎn)，求a的取值范圍.

13.（2022?南京一模）已知二次函數(shù)y=a（x-1）（x-1-a）（a為常數(shù)，且aWO）.

（1）求證：該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；

（2）若點(diǎn)（0,乃），（3,y2）在函數(shù)圖象上，比較為與”的大小；

（3）當(dāng)0<x<3時(shí)，y<2,直接寫出a的取值范圍.

14.（2022?余姚市一模）己知：一次函數(shù)為=2x-2,二次函數(shù)竺=-J+6x+c（6,c為常

數(shù)），

（1）如圖，兩函數(shù)圖象交于點(diǎn)（3,“），5,-6）.求二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出當(dāng)為

<為時(shí)X的取值范圍.

（2）請(qǐng)寫出一組b,c的值，使兩函數(shù)圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，并說(shuō)明理由.

15.（2022?花溪區(qū)模擬）已知二次函數(shù)>="2+及+。（aWO）的圖象經(jīng)過(guò)/（-2,1）,B

（2,-3）兩點(diǎn)

（1）求分別以/（-2,1）,B（2,-3）兩點(diǎn)為頂點(diǎn)的二次函數(shù)表達(dá)式；

（2）求6的值，判斷此二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況，并說(shuō)明理由；

（3）設(shè)（加，0）是該函數(shù)圖象與x軸的一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)-3<m<-1時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象,

寫出。的取值范圍.

?A

16.(2022?無(wú)錫模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0,-3),(0,4),

點(diǎn)、P(加，0)(加W0)是X軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)/作直線于點(diǎn)。，直線NC與X

軸交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)尸作尸￡〃》軸，交/C于點(diǎn)￡.

(1)當(dāng)點(diǎn)尸在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)P,使△08與△OAD相似？若存

在，請(qǐng)求出加的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)小明通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)尸在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E(x,y)也相應(yīng)的在二次函數(shù)y=

a^+bx+c(a#0)的圖象上運(yùn)動(dòng)，為了確定函數(shù)解析式小明選取了一些點(diǎn)尸的特殊的位

請(qǐng)?zhí)顚懕碇锌崭瘢⒏鶕?jù)表中數(shù)據(jù)求出二次函數(shù)的函數(shù)解析式；

(3)把(2)中所求的拋物線向左平移"個(gè)單位長(zhǎng)度，把直線y=-2x-4向下平移〃個(gè)

單位長(zhǎng)度，如果平移后的拋物線對(duì)稱軸右邊部分與平移后的直線有公共點(diǎn)，那么請(qǐng)直接

寫出〃的取值范圍.

17.(2022?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模)在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)＞=-/+2加x-6加(xW2m,

加為常數(shù))的圖象記作G,圖象G上點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為2根.平面內(nèi)有點(diǎn)C(-2,-2).當(dāng)

NC不與坐標(biāo)軸平行時(shí)，以NC為對(duì)角線構(gòu)造矩形4BCD,與x軸平行，3c與y軸平

行.

(1)當(dāng)"?=-2,求圖象G的最高點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)若圖象G過(guò)點(diǎn)(3,-9),求出加的取值范圍；

(3)若矩形/3CD為正方形時(shí)，求點(diǎn)/坐標(biāo)；

(4)圖象G與矩形/BCD的邊有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出加的取值范圍.

18.(2022?如東縣一模)定義:若兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于某一點(diǎn)尸中心對(duì)稱，則稱這兩個(gè)函

數(shù)關(guān)于點(diǎn)P互為“伴隨函數(shù)”.例如，函數(shù)＞=/與＞=-x2關(guān)于原點(diǎn)。互為“伴隨函

數(shù)”.

(1)函數(shù)y=x+l關(guān)于原點(diǎn)。的“伴隨函數(shù)”的函數(shù)解析式為,函數(shù)＞=(X-

2)2+1關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨函數(shù)”的函數(shù)解析式為；

(2)已知函數(shù)y=/-2x與函數(shù)G關(guān)于點(diǎn)P(加，3)互為“伴隨函數(shù)”.若當(dāng)機(jī)＜x＜7

時(shí)，函數(shù)y=，-2x與函數(shù)G的函數(shù)值y都隨自變量x的增大而增大，求加的取值范圍；

(3)已知點(diǎn)/(0,1),點(diǎn)B(4,1),點(diǎn)C(2,0),二次函數(shù)-2G-3a(a＞0)

與函數(shù)N關(guān)于點(diǎn)C互為“伴隨函數(shù)”，將二次函數(shù)y=ox2-2ax-3a(a＞0)與函數(shù)N的

圖象組成的圖形記為少，若圖形沙與線段恰有2個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出。的取值范

圍.

19.(2022?南京模擬)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系x0中的圖形N,給出如下定義：P為圖形

M