幾何綜合壓軸題分類專題

第一部分【考點目錄】

【考點1]特殊平行四邊形與相似綜合

【考點1】矩形性質與判定與圖形相似綜合.......................................1

【考點2】菱形性質與判定與圖形相似綜合.......................................7

【考點3】正方形性質與判定與圖形相似綜合....................................10

【考點2】特殊四邊形幾何變換中的相似

【考點4】圖形相似中的平行四邊形幾何變換....................................14

【考點5】圖形相似中的矩形幾何變換..........................................19

【考點6】圖形相似中的菱形幾何變換.........................................27

【考點7】圖形相似中的正方形幾何變換........................................33

第二部分【考點展示與方法點撥】

【考點11矩形性質與判定與圖形相似綜合

[1-1](24-25九年級上?陜西渭南?期中)【問題探究】

(1)如圖1,在矩形中，點￡、尸分別是/反2c邊的中點，連接2DEF,求證:

△BCDsAFBE；

【問題拓展】

(2)如圖2,在四邊形4BCD中，AD//BC,NBCD=90°,點E是48的中點，點、F是BC邊上一點,

連接￡尸，班交于點G,AD=2CF.

①試說明G8=GF；

②若2AD=3CD,EF±AB,求空的值.

1

【分析】問題探究：根據矩形的性質可得48=CD,NEBF=NC=90°,根據點E,尸分別是48,3C的

RFRF1

中點，可得爺=g=；，即可求證；

ABBC2

問題拓展：①取BD的中點連接￡"、HC,得E”是的中位線，根據已知條件可得E77平行且

等于FC,進而可得石尸。7是平行四邊形，得EF〃HC,則NG尸3=根據直角三角形中斜邊上的

中線等于斜邊的一半得出郎=〃C,進而可得=等量代換可得/GAF=/GE8,等角對等邊,

即可得證；

②過點尸作萬NL4D,則四邊形是矩形，連接/G、/F,^：CD=MF=4x,則4D=6x,

CF=MD=3x,可得/M=3x,AF=5x,又可得￡F垂直平分AB,得至Ij/G=8G,AF=BF,即可證明

尸G空尸G(SSS),得到/G/E=/G3/，NGFA=NGFB,進而由①3G=FG,可得

ZGAF=NGBF=ZGFB=AGFA,設NGAF=NGBF=NGFB=AGFA=a,則ZBGE=2a,

ZAFB=2a,即可由4D〃BC得到乙BGE=NM4/=2a,即可證明ABEGSA^A表1,得至|」空=也，即

AMFA

/口GEAM3x3

GBFA5x5

解：問題探究：四邊形/BCD是矩形，

AB=CD,NEBF=NC=9Q0,

■■E,尸分別是/ABC的中點，

BEBF\

"AS-SC-2)

BEBF1

即----=-----=—,

CDBC2

△BCDsAFBE；

問題拓展：如圖所示，取BO的中點X,連接E/八HC,

又?.?AD=2CF,

；,EH=CF,

AD//BC,

2

.-.EH//FC,

???四邊形EHCF是平行四邊形，

??.EF〃CH,

??.ZGFB=ZHCB,

又???/BCD=90。,〃是8。的中點，

：.HC=-BD=BH,

2

4HBe=/HCB,

；"GBF=/GFB,

??.GB=GF；

②如圖所示，連接4G、AF,過點尸作尸則四邊形，CD是矩形，/FMA=90。,

I)

HFC

VAD=2CF,2AD=3CD,

CD=MF=4x,貝ij4D=6x,CF=MD=3x,

??.AM=AD-MD=6x-3x=3xf

??AF=yjMF2+AM2=J(4X『+(3X)2=5x,

??.ZBEF=9Q°,

???EFLAB,

又???E是43的中點，

???￡F垂直平分48,

AG=BG,AF=BF,

vFG=FG,

.?.△4G/也A5G尸(SSS),

ZGAF=ZGBF,AGFA=ZGFB,

由①，BG=FG,

:"GBF=ZGFB,

???NGAF=ZGBF=ZGFB=AGFA,

3

設NGAF=NGBF=NGFB=NGFA=a,貝lJ/BG￡=2a,NAFB=2a,

AD//BC,

ZMAF=ZAFB=la,

:"BGE=ZMAF,

又；ZBEG=ZFMA=90°,

ABEGSAFMA,

EGBG

GEAM3x3

【點撥】本題考查了矩形的性質，相似三角形的性質與判定，平行四邊形的性質與判定，三角形中位線的

性質，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，全等三角形的性質與判定，線段垂直平分線的性質,

平行線的性質，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關鍵.

[1-2]（24-25九年級上,山西運城?階段練習）如圖，矩形中，AB=6,3c=3.點E在邊AS上,

點尸在邊CD上，點G、〃在對角線/C上.若四邊形是菱形，則4E的長是（）

【答案】C

【分析】本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，熟練運用定理是

解題的關鍵.連接即交4C于。，由四邊形EG五段是菱形，得到即C,OE=OF,由于四邊形ABC。

是矩形，得到NB=ND=90。，AB//CD,通過△。「。之△/后。，得到NO=C。，求出4。=，/。=』君,

22

根據即可得到結果.

解；連接ER交/C于O,

4

???四邊形EGFH是菱形,

:.EF1AC,OE=OF,

???四邊形/5CZ）是矩形,

AB=AD=90°,AB//CD,

ZACD=NCAB,

在尸O與中,

ZFCO=ZOAB

ZFOC=ZAOE,

OF=OE

/.△CFO之△/EO(AAS),

...AO=CO,

AC=y/AB2+BC2=762+32=375，

13

:.AO=-AC=-

22

?1/CAB=/CAB,ZAOE=ZB=90°,

:.AAOESAABC,

AO_AE

~AB~~AC

.-.i￡

636

AE=—

4

故選：c

[1-3]（24-25九年級上?山東濟南?階段練習）如圖，在矩形/5CD中，DE平分NADC,交BC于點E,

EFVAE,交CD于點、F,以ZE,斯為邊，作矩形ZE尸G,尸G與。4相交于點〃.若CE=3,AH=4,則

AE=

【答案】2G

5

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定和性質、矩形的性質和正方形的判定與

性質，首先證明RMEC尸也RtA/8E(ASA),推導出/￡=砂，結合矩形NE尸G,推導出四邊形NEFG為正

方形，然后利用ZG=ZC,推導出AGNWACEF,=進而得至U/G在=N〃-CE,

AHEF

代入數據得到4萬2=4x3=12,進而即可得出答案.

解：???四邊形力是矩形，

AD||BC,CD=AB,ZB=ZC=90°,

；,/AEB+/EAB=90。,

-EFLAE,

??.NAEF=9Q。,ZAEB+ZCEF=90°,

/.ZEAB=ZCEF,

???QE平分N4OC,

??.ZCDE=-ZADC=45°,

2

在中，CE=CD=AB,

在RLECF和Rt^ABE中，

ZB=ZC

<CE=AB,

EAB=ZCEF

RMEC尸物ASA),

???AE=EF,

在矩形4EFG中，AG=EF=AE,

???四邊形ZEFG為正方形，

??.NG=90。，

???AGIIEF,

???NGAH=ZFEC,

又?.?NG=NC,

小GAHs^CEF,

AGCE

,?質―茄’

.??AGEF=AHCE,

???AE2=4x3=12,

6

故答案為：2vL

【考點2】菱形性質與判定與圖形相似綜合

[2-1](24-25九年級上?四川成都?階段練習)如圖，在菱形中，點G在邊CD上，連線/G并延

長交2C的延長線于點尸，連結3。交居于點￡,連結CE.

(2)若48=6,—=3,求CF的長.

EG

【答案】⑴見解析⑵12

【分析】本題主要考查菱形的性質以及相似三角形的判定和性質，

(1)由菱形的性質可證明N"E=NDCE=N尸，即可證明AFECSACEG,可得出結論；

PCFFCG

(2)由AFECSACEG可得一=—=—=3,設GC=x,則C/=3x,DG=6-x,證明

EGECCF

AADGS/CG,得出方程求解即可.

(1)證明：???四邊形是菱形，

ZADE=ZCDE,AD=CD,AD//BC,

DE=DE,

,-.AADE=ACDE(SAS)f

/./DAE=ZDCE.

???AD//BC,

:.ZDAE=NF,

??.ZDAE=/DCE=NF,

ZFEC=ZCEG,

???小FECs小CEG,

.ECEF

一商一衣,

EC?=EF?EG；

7

（2）解：,??四邊形/5CQ是菱形，AB=6,

;.AB=AD=CD=BC=6,

由（1）可知△FECS^CEG,

EC_EFCG

,?拓一法―

CE「

,**=3,

EG

EC_EFCG

'^G~^C~~CF~'

設GC=x,貝!JC尸=3x,DG=DC-CG=6-x,

XvZDAE=ZF,ZDGA=ZCGF,

???AADGS*CG,

.ADDG

'lr~~CG，

.66—x

3xx'

解得％=4,

經檢驗，x=4是分式方程的解，

CF=3x=12.

[2-2]（24-25九年級上,黑龍江哈爾濱,階段練習）如圖，點￡、尸分別在菱形4BCD的邊48、40上,

S.AE=DF,BF交DE于點、G,延長即交CO的延長線于點//,若AF=2DF,則當的值為（）

【答案】D

［分析】本題考查菱形性質，相似三角形判定及性質等.根據題意設。尸=x，則/E=。尸=x,/尸=3E=2x,

AB=3x,證明,△HDG—ABEG,繼而得到本題答案.

解：???四邊形是菱形，

AB=BC=CD=AD,

-：AF=2DF,AE=DF,

?,?設。方=X,則/E=DF=x,AF=BE=2x,AB=3x,

8

-HD//AB,

.?.ZH=/GBE,ADGH=/BGE,ZHFD=ZAFB,

AHFD^/\BFA,AHDGsABEG,

HD_DFHF

,AB~AF~FB~2"

：.HD=1.5x,

HD_DG_1.5x_3

故選：D.

[2-3]（24-25九年級上廣東中山?階段練習）如圖，菱形的對角線NC與a）分別為8,6,過點。

作0E〃AD交AB于點E,連接交/C于點尸，過點尸作產G〃4D交48于點G,則GE=.

【答案】|

【分析】本題考查菱形的性質，勾股定理，三角形中位線定理，相似三角形的判定與性質等知識，解題的

關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題.利用菱形的性質以及勾股定理求出8C=5,再證明

AG:GE=AF:0F=AD:0E=2,可得結論.

解：；四邊形/BCD是菱形，

AC±BD,。/=。。=口。=4,OB=OD=：BC=3,AD=BC=AB,

BC=4OB2+OC~=A/32+42=5，

/.AB=BC=5,

???OE11BC,

.AO_AE

,~OC~~EB"

AO=OC,

AE=EB,

:.OE=-BC=~,

22

OE口BC,BC//AD,

/.OE//AD,

9

:.AAFDS^OFE

?OFOE_\

'AF~AD~2"

-FG//OE,

.4G_4F“

GEFO

:.GE=-AB=-.

33

故答案為：—.

【考點3】正方形性質與判定與圖形相似綜合

[3-1](2024?湖北武漢?模擬預測)如圖1,在正方形48。中，E是對角線。延長線上的一點，線段

BE統同B順時針旋轉90°至BG,連接CG.

(1)求證：AE=CG；

⑵如圖2,連接EG交出于點尸，并延長與8C的延長線相交于點H,若FD=CG,

①求證：FD2=AD-AF;

②直接寫出工的值.

【答案】⑴見解析(2)①見解析；②二=士且

BE2

【分析】(1)利用SAS證明△EA4名△G8C,即可得出結論；

AR4FRF

(2)①根據正方形的性質，證明△3/ES^E//，得==

AEAFEF

BPAE2=AB-AF,由(1)證得2E=CG=FD,即可得到ED?=4尸；

②設陽=無，AD=m(x>Q,m>Q),則/尸=根據ED?尸，列出方程，解得土=二1及

m2

進而解決問題.

(1)證明：如圖1,由旋轉的性質，得BE=BG,NEBG=90°,

ZEBA+ZABG=90°,

???四邊形4BCD是正方形,

10

AB=BC=AD,ZABC=90°,

:.ZABG+ZGBC=90°,

ZEBA=AGBC,

在LEBA和AGBC中，

BE=BG

<NEBA=ZGBC,

AB=BC

:.AEBA知GBC(SAS),

/.AE=CG；

(2)解：①由旋轉的性質可得N石5G=90。，BE=BG,

.?.△EBG是等腰直角三角形，

NBEF=45。,

ZBEA+ZAEF=45°f

在正方形488中，vZDAC=ZBAC=45%

，/EAB=/EAF=135。,/AFE+/AEF=45。,

:.ZBEA=ZAFE,

：ABAES八EAF,

.AB_AE_BE

''AE~AF~EF'

即AE2=AB-AF，

由(1)證得/E=CG,

又?：FD=CG,

AE=FD,

:.FD2=AD-AF,

②設FZ)=x,AD=m(x>0,m>0),貝！］4F=?j-x,

x2=m(m-x),

整理得x2+mx—m2=0，

f—+--1=0,

解得上=上6(負值舍去)，

m2

11

即空=T+0

AB2

,AE-1+V5

?.-=-------,

AB2

,EFAE-1+V5

BE~AB2'

【點撥】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質，正方形的性質，一元二次方程，全

等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵.綜合性較強，屬于中考

壓軸題.

[3-2]（23-24九年級上?江蘇無錫?期中）如圖，在正方形480中，48=5,點E是。邊上一點，且

2

一=刀，點/是8D上一點，若NF4E=45°,則肝的長為（)

CA3

9

D.

2

【答案】B

【分析】本題主要考查了正方形的性質，勾股定理，相似三角形的性質與判定，由正方形的性質得到

CD=AB=AD=5,NBAC=NACD=NABD=45。,ZABC=ZADE=90°,則由勾股定理得到/°=5板，

________AF5AF

求出。石=2,則原=〃￡）2+。屈=揚,再證明△ZB尸得到=,即=即可

ACAE572729

得到4尸=返.

2

解：如圖所示，連接

???四邊形是正方形,

CD=AB=AD=5,ABAC=AACD=ZABD=45°,ZABC=ZADE=90°,

??AC=YIAB2+BC2=5V2，

DE_2

3

：.CE=-CD=3,

?*-DE=2,

???AE=dAD?+DE?=V29

12

??,/FAE=NBAC=45。,

.?.ZBAF=/CAE,

又???/ABF=ZACE=45。,

??.△ABFs/\ACE,

AB_AF5二AF

■■^C"AE''572-V29

故選：B.

/

BC

[3-3]（24-25九年級上?四川成都,階段練習）如圖，正方形4BCZ）中，P為AD上一點、,PELBP交BC

的延長線于點￡,交CD于點尸，若4B=4,AP=3,則即的長為.

【答案】部3

【分析】此題考查了正方形的性質，相似三角形的性質和判定，勾股定理等知識，解題的關鍵是掌握以上

知識點.

_4P20

首先根據勾股定理求出BP=^AB2+AP2=5，然后證明出ABAPSAEPB,得到—,代數求出PE=',

然后證明出A氏尸。尸，得至汁黑二空，代數求出尸尸=3,進而利用線段的和差求解即可.

PDPF4

解：???四邊形是正方形，

???NZ=/ABC=ZD=90°,

vAB=4,AP=3,

?*-BP=dAB?+AD?=5，

-BE//AP,

13

/EBP=/APB,

?；PE1BP,

.,./A=NBPE=90。,

；."APs八EPB,

AB_AP日口4_3

,~PE~~BP'、。港―S'

：.PE=—,

3

???4D=4B=4,AP=3f

；.PD=AD—AP=\,

???ZABP+/APB=ZFPD+/APB=90°,

ZABP=ZFPD,

又???ZA=ZD=90°,

ABAPS^PDF,

ABBP45

---=---,即R一二---,

PDPF1PF

：.PF=-,

4

：.EF=PE-PF=—.

12

故答案為：—.

12

【考點4】圖形相似中的平行四邊形幾何變換

[4-1]（2023?陜西西安?模擬預測）數學活動課上，老師讓同學們根據下面情境提出問題并解答.問題

情境：在平行四邊形ABCD中，點尸是邊4D上一點，將△PDC沿直線尸C折疊，點。的對應點為E.

數學思考：

E

圖1圖2圖3

（1廣興趣小組”提出的問題是：如圖1,若點尸與點N重合，過點￡作E尸〃4D,與尸。交于點尸，連接

DF,則四邊形NEFD是菱形.請你證明“興趣小組"提出的問題；

拓展探究：

14

(2)"智慧小組"提出的問題是：如圖2,當點尸為40的中點時，延長CE交48于點尸，連接P尸.試判斷尸尸

與PC的位置關系，并說明理由；

問題解決：

⑶"創新小組”在前兩個小組的啟發下，提出的問題是：如圖3,當點E恰好落在邊上時，

AP=6,PD=8,DC=20,求的長.

【答案】⑴見解析(2)尸尸J_PC,見解析(3)5

【分析】(1)由折疊的性質可知，AD=AE,DF=EF,NDAF=NEAF,再根據平行線的性質推出

ZEFA=ZEAF,則胡=E尸，進而推出40=DR=ER=/￡,即可證明四邊形NE五D是菱形；

(2)連接由折疊的性質可知，PD=PE,APEC=ZPDC,ZDPC=ZEPC,由

NADC+/D4B=180。,ZPEC+ZPEF=180°,得到/D43=/P￡戶；由點P是4D的中點，得到

PA=PD=PE,貝U,進一步證明,得到/尸=￡7"證明尸絲/XPEF,

得到ZAPF=ZEPF,再根據平角的定義得到NFPC=90°,則PFLPC-,

(3)延長C尸交"的延長線于點T.設/E=x.由折疊的性質可知，NPCD=NPCE,CD=CE=20,再

證明NT=NPCE,得到EC=ET=20,AT=20-x,證明,得到9=絲二二，即可求出

820

AE=5.

(1)證明：由折疊的性質可知，AD=AE,DF=EF,ZDAF=ZEAF,

-EF//AD,

：.ZDAF=ZEFA,

：.AEFA=AEAF,

：.EA=EF,

；?AD=DF=EF=AE,

二四邊形/￡2口是菱形；

(2)解：結論：PF1PC.

理由：連接故.由折疊的性質可知，PD=PE,NPEC=NPDC,ZDPC=ZEPC,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

15

??.ZADC+ZDAB=m0,

:/PEC+/PEF=180。,

???ZDAB=ZPEF,

??,點尸是3的中點，

：.PA=PD=PE,

：./PAE=ZPEA,

???ZDAB-ZPAE=ZPEF-/PEA,

：.ZAEF=ZEAF,

：.AF=EF,

;PF=PF,

AAPAF^APEF(SSS),

???ZAPF=/EPF,

「ZDPC+ZCPE+/EPF+ZAPF=180。，

2ZCPE+2ZFPE=180°,

???ZFPC=90°,

：.PF1PC；

(3)解：延長。尸交R4的延長線于點T.設=

由折疊的性質可知，/PCD=/PCE,CD=CE=20,

丁CD//BT,

NT=ZDCP,

???NT=ZPCE,

EC=ET=20,AT=20-x,

?:AT//CD,

：.APDCsMAT,

16

?AP-AT

??訪一而‘

.620-x

..一=----,

820

??x=5,

AE=5.

【點撥】本題主要考查了平行四邊形的性質，折疊的性質，等腰三角形的性質與判定，相似三角形的性質

與判定，菱形的判定，全等三角形的性質與判定等等，正確作出輔助線是解題的關鍵.

[4-2]（23-24九年級上?陜西西安?開學考試）已知：如圖1,在平行四邊形N8CD中，^5=3cm,

BC=5cm,A/C。沿4c的方向以速度為lcm/s勻速平移得到APMN；同時，點。從點C出發,

沿方向勻速運動速度為lcm/s,當APMN停止平移時，點。也停止運動，如圖2,設運動時間為

心）（0</<4）,貝卜的值為（）s時，S&QMC-S四邊必吵=1:3.

A.f=1B.t=4C.t=5D.t不存在

【答案】D

【分析】作PE，2c于點凡相，8c于點E,利用面積法求ZE的長，利用勾股定理計算CE的長，證明

△CPFSACAE,列式可表示P尸的長，根據面積公式計算△0CM是面積；根據同底等高的兩個三角形面積

相等得：S&PQC~S&MQC，由已知得：SAM0C：S“8C=14,然后得到關于/一元二次方程求解即可.

解：作尸尸，5c于點RAE上BC于點、E,

AB=3cm,BC=5cm,AC±AB,

AC=V52—32=4，

?:S4A.I?5cL=2-ABxAC2^-AExBC,

17

.\—x3x4=—x5AE,

22

則由勾股定理得：CE=^AC2-AE2=16

5

???作Pb_LBC,AEVBC,

???AE〃PF,

/.KPFs&CAE,

CPCFPF

''~CA~~CE~^E'

4—tCFPF

即丁=叵=叵，

TT

解得：小=乜丁，CF=164￡

由平移的性質得，PM//BC,

12-3

到5C的距離〃=尸產二二一，

是面積=Lc0x〃」x/x^^=—』*+3；

225105

-PM//BC,

S^PQC=S^MQC,

.,.^SZ\QMC二1：3,

.v-v—i-4

?,DAMQC2AABC—5,

則41-〃+2453，

整理得，3f2-12/+15=0,

???A=(-12)2-4X3X15<0,

該方程無實數根，

二不存在某一時刻t,^￡\QMC:S四邊形尸=1：3.

故選D.

【點撥】本題考查了平移，勾股定理、相似三角形的性質和判定，一元二次方程根的判別式，熟練掌握平

移的性質和相似三角形的判定與性質是解答本題的關鍵.

18

[4-3]（20-21九年級上?全國?單元測試）如圖，將平行四邊形ABCD繞點D旋轉，點C落在BC上的點H

處，點B恰好落在點A處，得平行四邊形DHAE,若BH=2,CH=3,貝|DC=.

【答案】而

【分析】由題意可求AD=BC=5,NC=NDHC=NADH=NAHD,BPRfffiAADH-ADCH,可得絲=里，即可求

DCHC

DC的長.

解：vBH=2,CH=3,

.-.BC=5,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

.-.AD=BC=5,AD||CB,

???4ADH;Z.DHC,

,?,將平行四邊形ABCD繞點D旋轉，

.'.DH=DC,ZC=ZAHD,

???DH=DC,

.-.ZC=ZDHC,且NADH=Z.DHC,ZC=ZAHD,

.?ZC=NDHC=NADH=NAHD,

,?,△ADH-ADCH,

AD_DH

,?京―京，

.-.DC2=15,

.?.DC=V15,

故答案為：后

【點撥】本題考查了旋轉的性質，平行四邊形的性質，相似三角形的判定和性質，熟練運用這些性質，判

定進行推理是本題的關鍵.

【考點5】圖形相似中的矩形幾何變換

19

[5-1](2020?四川眉山?模擬預測)如圖，矩形/3C0中，點C在x軸上，點/在y軸上，點2的坐標

是(-12,16),矩形/3CO沿直線8。折疊，使得點N落在對角線02上的點￡處，折痕與O/、x軸分別交

于點。、F.

⑴直接寫出線段08的長；

(2)求直線AD解析式；

⑶若點N在直線5D上，在x軸上是否存在點使以M、N、￡、。為頂點的四邊形是平行四邊形？若

存在，請求出一個滿足條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)20(2)y=-1x+10(3)存在，M(8,0)

【分析】(1)由點的坐標的特點可得CO=12,3C=16,由矩形的性質可得/8CO=90。，再利用勾股定理

即可求出02的長；

(2)設0D=x,由矩形的性質得出/D=16-x,由折疊的性質得出根據全等三角形的性

質得出48=52=12,4。=。5=16-》，NBAD=90。=/BED,再結合勾股定理求出。點坐標，最后利用

待定系數法求解即可；

(3)過點E作軸與點G,過點E作交x軸于點過點〃■作〃m，交直線瓦)

于點N,此時，四邊形AWDE是平行四邊形，EM//DE,通過證明AEOG*80。，利用相似三角形的性

質可求出點E的坐標，再利用待定系數法求出直線EN解析式即可求解.

解:(1)?.?在矩形/8C0中，點2的坐標是(T2,16),

：.CO=n,BC=\6,ZBCO=90°,

:.OB=^CO2+BC2=20；

(2)?.?四邊形48co是矩形，

/.AB=OC=12,AO=BC=16,Z.BAO=90°,

設OD=x,

AD=16-x,

20

???矩形ABCO沿直線5。折疊，使得點A落在對角線05上的點E處,

:ABDA=ABDE,

/.AB=EB=12,AD=DE=16-x,ABAD=90°=ABED,

/./DEO=90°,

：.DE2+OE2=OD2,

???OB=20,

：.OE=OB—EB=8,

.-.(16-X)2+82=/,

解得x=10,

.-.D(0,10),

設直線班解析式為丁=h+6,

把5(—12,16),0(0,10)代入，得60人，

k=--

解得2,

6=10

二直線8D解析式為y=-；x+10；

(3)過點E作軸與點G,過點、E作EM〃BD,交x軸于點過點M作〃N〃m，交直線BD

于點N,

VZEOG=NBOC

...△石OGfBOC

EOEG_OG

~BO~^C~~OC

21

EO=8,5。=20,BC=16,OC=12

8EGOG

20

3224

...EG=——,0G=——

55

???直線8D解析式為y=-；x+10,

.?.設直線窗/解析式為y=-^x+t,

把點代入，得方32二一31義24

+t

52

解得f=4,

直線血解析式為了=-夫+4,

當＞=0時，x=8,

【點撥】本題主要考查了四邊形綜合問題，求一次函數的解析式，相似三角形的判定和性質，平行四邊形

的性質，矩形的性質，勾股定理，解題的關鍵是熟知矩形的性質，折疊的問題利用勾股定理構造直角三角

形進行求解，分情況討論平行四邊形的邊及對角線的情況.

[5-2]（2022?四川綿陽,二模）如圖，在平面直角坐標系中，直線》=-；x-2與x軸，y軸分別交于點

M,點、N,矩形的頂點4。分別在x軸，V軸上，對角線80〃x軸，已知4（2,0）,。（0,4）.現將

直線"N向上平移加個單位長度，使平移后的直線恰好平分矩形N8CO的面積，則加的值為（）

22

【答案】A

【分析】作軸于E,連接/C,交班）于點尸，則尸是助的中點，根據矩形的中心對稱性可知當經

過點尸時，平移后的直線恰好平分矩形/夕。的面積，求出點N的坐標和平移后的直線解析式，再求出平

22

移后的直線解析式與歹軸的交點縱坐標，從而得到冽的值.

解：作軸于E,連接NC,交BD于點、P,則尸是3。的中點,

???對角線8。〃x軸，^（2,0）,￡>（0,4）,

.,.OA=2,BE=OD=4,

???ZBAD=ZAOD=90°f

/ADO+/DAO=/DAO+/BAE=90°,

；,/ADO=/BAE,

?；/AOD=/BEA=90。,

\ADO-ABAE,

AEBE口口AE4

???——=——，即——=一,

ODOA42

/.AE-8,

OE=8+2=10,

???5（10,4）,

；.尸（5,4）,

當x=0時，,=_萬％_2=—2,

???N（0,-2）,

設平移后的直線為歹=-；龍+左，

???當經過點P時，平移后的直線恰好平分矩形N3CD的面積,

4=—x5+左，

2

13

解得左=彳，

2

113

???平移后的直線為>=-y+

當x=o時，了=-9+蜉=蜉，

222

13（八17

2v72

???加的值為1藍7，

故選：A.

23

【點撥】本題考查了一次函數的圖象與幾何變換，坐標與圖形性質，一次函數圖象上點的坐標特征，相似

三角形的判定和性質，中心對稱的性質等知識，明確直線經過矩形對角線的交點時平分矩形的面積是解題

的關鍵.

[5-3]（2022?四川綿陽?二模）如圖，在平面直角坐標系中，直線尸-夫-2與x軸，V軸分別交于點

M,懸N,矩形/BCD的頂點4。分別在x軸，V軸上，對角線80〃x軸，已知/（2,0）,。（0,4）.現將

直線向上平移機個單位長度，使平移后的直線恰好平分矩形的面積，則機的值為（）

A.—B.8C.9D.—

22

【答案】A

【分析】作軸于E,連接NC,交BD于點P,則尸是助的中點，根據矩形的中心對稱性可知當經

過點尸時，平移后的直線恰好平分矩形/8CO的面積，求出點N的坐標和平移后的直線解析式，再求出平

移后的直線解析式與y軸的交點縱坐標，從而得到m的值.

解：作BE,無軸于E,連接/C,交BD于點、P,則P是3D的中點，

?.?對角線8O〃x軸，/（2,0）,。（0,4）,

,-.OA=2,BE=OD=4,

"BAD=ZAOD=90°,

ZADO+NDAO=ZDAO+NBAE=90°,

ZADO=ZBAE,

???ZAOD=NBEA=90°,

24

KADO-ABAE,

AEBERnAE4

——二——，即一T=K

ODOA42

AE=8,

OE=8+2=10,

???5（10,4）,

/（5,4）,

當x=0時，y=_；x_2=_2,

???N（0,-2）,

設平移后的直線為y=-3x+3

???當經過點尸時，平移后的直線恰好平分矩形N8CZ）的面積,

,10,

.,.4=—x5+左,

2

13

解得左二萬，

???平移后的直線為蚱-京1+]13,

……11313

當X=°時，y=--X+-.=-.i

-2（）2，

加的值為17:，

【點撥】本題考查了一次函數的圖象與幾何變換，坐標與圖形性質，一次函數圖象上點的坐標特征，相似

三角形的判定和性質，中心對稱的性質等知識，明確直線經過矩形對角線的交點時平分矩形的面積是解題

的關鍵.

25

[5-3]（2023?河南信陽?二模）如圖，瓦＞為矩形/5C。的對角線，AB=5,BC=—,把8繞點。旋

轉，點。的對應為點E,當。石〃AD時，的長為.

【答案】廂或3廂

【分析】分兩種情況討論，通過證明△瓦CS45S,由三角形的性質可求CE,斯的長，由勾股定理即

可求解.

解：如圖，當繞點。順時針旋轉，過點E作跖于尸，如圖所示:

:"EFC=/BCD=90。,CE=CD=5,

BD//CE,

/.ZFCE=ZBDC,

.?△EFCs/\BCD,

15

.EF_BC_3,

*CF-cF-T-4

:CE=5,

EF=3,CF=4,

:.DF=CD-CF=1,

DE=^EF2+DF2=A/32+12=VlO.

當CD繞點C逆時針旋轉，過點。作D尸，直線CE'于廣,

26

?「CD=CE,

:.S=-xDC-EF^-xCE-DF',

AZnJC/SF22

DF'=EF=3,

DF=EF'=\,

E'F=10-l=9,

DE'=yjF'D2+E'F'2=3而，

故答案為：3瓦或

【點撥】本題考查了旋轉的性質，矩形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理等知識，靈活運用這

些性質解決問題是解題的關鍵.

【考點6】圖形相似中的菱形幾何變換

[6-1](24-25九年級上?山西運城?階段練習)綜合與探究

問題情境

在課外小組活動中，創新小組以"菱形紙片中的圖形變換"為主題開展數學活動.如圖1,邊長為12cm的菱

形紙片Z8CD(/BAD>9Q°),對角線NC=8cm.

實踐探究

(1)成員甲：將圖1中的a/BC折疊，使點8落在線段2c的延長線上的點G處，得到折痕/〃，如圖2,

求折痕4/的長；

(2)成員乙：將圖1中菱形紙片ABCD(ABAD>90°),沿對角線AC剪開，得到△4SC和"CD.再將“ACD

以點/為旋轉中心，按逆時針方向旋轉角使a=2/8/C,得到如圖3所示的AZE尸，點C、D的對應

點分別為點E、F,連接EB、EC,得到四邊形3CEF,請判斷四邊形3CE尸的形狀，并證明；

⑶小組組長根據圖3,在成員乙發現結論的基礎上，提出一個平移問題：將A/E尸沿著射線￡8方向平移

acm,得到連接89，CE',使四邊形BCE'F恰好為正方形，直接寫出a的值.

圖1圖2圖3

【答案】(1)/〃=個四加；⑵四邊形BCE尸是矩形，見解析；⑶亞T2)cm或后+12]cm.

27

【分析】(1)過點5作交/C于川，根據菱形的性質可知/W=CM=；/C=4cm,根據勾股定

理，利用等面積法求解即可；

(2)利用旋轉的性質結合菱形的性質得出，四邊形5CE尸是平行四邊形，進而得出四邊形2CE尸是矩形；

(3)首先求出CC的長，分別利用①點中在邊EC上，②點/在EC的延長線上，求出a的值.

解：(工)解：過點5作3M'1/C,交/C于/,

AD

由題意可知，48=BC=12cm,

■：BMVAC,

AM=CM=^AC=4cm,由勾股定理可得：BM=-CE2=8后cm，

由折疊可知，AHIBC,

,:SAABC=^ACBM=^BC-AH,

ACBM8x8啦16nr

???AH=-------------=-----------=——A/2cm；

BC123

(2)證明：如圖，

作石于點N,

???四邊形是菱形，

；,BA=BC,

/.ZBCA=ABAC,

/CAN=/BCA,

/.AN//BC,同理可得：AN\\EF,

：.BC//EF.

28

又「BC=EF,

.??四邊形BCEF是平行四邊形.

■.■AN//BC,ZCNA=90°,

???NBCE=180°-Z.CNA=90°,

.??四邊形3CE尸是矩形；

(3)如圖，過點3作垂足為

由(1)可知，BM=8V2cm,

在和ACBM中，

???ZCAN=ZBCM,ZCNA=ZBMC=90°,

“CNS&CBM,

CNAC-8

/.---=----,BQ尸'一,

BMBC8V212

解得：CN=I，'cm，

3

?:AC=AE,ANICE