題型1任意角.....................................................6

題型2終邊相同的角...............................................7

題型3區域角.....................................................9

題型4角度制與弧度制............................................10

題型5扇形的弧長與面積..........................................11

題型6三角函數的概念............................................13

題型7三角函數值的正負..........................................14

題型8誘導公式一................................................15

?知識清單?

1.正角、負角、零角的概念

2.終邊相同的角的表示

3.象限角、區域角的表示

4.弧度制的概念

5.弧度制與角度制的相互轉化

6.特殊角的度數與弧度數的對應關系

7.弧度制下的扇形的弧長與面積

8.三角函數的定義及求法

9.三角函數值在各象限內的符號

10.誘導公式一

知識歸納

1.角的概念及其表示

（1）角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉所成的圖形.如圖.

（2）始邊：射線的起始位置

（3）終邊：射線的終止位置03.

（4）頂點：射線的端點。

（5）記法：圖中的角a可記為“角a”或“Na”或“NA03”.

2.任意角

（1）我們把角的概念推廣到了任意角，包括正角、負角和零角.

（2）正角：一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉形成的角.

（3）負角：一條射線繞其端點按順時針方向旋轉形成的角.

（4）零角：一條射線沒有做任何旋轉形成的角.

3.角相等

如果角a和角P的旋轉方向相同且旋轉量相等，那么就稱a=A

4.象限角

（1）使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的

終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角.

（2）如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限.

5.終邊相同的角

所有與角a終邊相同的角，連同角a在內，可構成一個集合S={.W=a+4-360。,

左?Z},即任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數個周角的和.

6.軸線角

(1)終邊落在x軸非負半軸上：{a|a=k360。,kGZ}.

(2)終邊落在x軸非正半軸上：{a|a=180°+k360°,MZ}.

(3)終邊落在y軸非負半軸上：{創。=90。+左S60。，左?Z}.

(4)終邊落在y軸非正半軸上：{?|ot=27O°+^36O°,左?Z}.

(5)終邊落在x軸上：{a|a=kl80。，左?Z}.

(6)終邊落在y軸上：{a|a=90°+kl80°,左GZ}.

(7)終邊落在坐標軸上：{a|a=A>90。,HZ}.

7.弧度制

(1)長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號

rad表示，讀作弧度.

(2)在半徑為廠的圓中，弧長為/的弧所對的圓心角為arad,那么|a|=5

(3)正角的弧度數是正數，負角的弧度數是負數，零角的弧度數是0.

8.特殊角的度數與弧度數的對應關系

度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

弧

匹兀兀兀2兀3兀5兀3兀

0兀2兀

度6432346

9.扇形的弧長與面積

(1)弧長公式：l=aR.

(2)扇形的面積公式：S=，?=1a相.

10.三角函數的定義

(1)設a是一個任意角，a?R,它的終邊OP與單位圓相交于點P(x,y).

(2)正弦：把點P的縱坐標y叫做a的正弦函數，記作sina,即丁=51110{.

(3)余弦：把點P的橫坐標x叫做a的余弦函數，記作cosa,即尤=cosa.

(4)正切：把點P的縱坐標與橫坐標的比值、叫做a的正切，記作tana,即

y

x=tanQC#O).

11.正弦、余弦、正切函數值在各象限內的符號

(1)圖示.

(2)口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

12.誘導公式一

(1)sin=sina.

(2)cos(c^-2/cn)=cosa.

技巧總結

____________________________J

1.角.

(1)銳角是第一象限角，鈍角是第二象限角，直角的終邊在坐標軸上，它

不屬于任何一個象限.

(2)每一個象限都有正角和負角.

2.終邊相同的角.

(1)與角a終邊相同的角都可以表示成a+%?360。(kGZ)的形式.

(2)終邊相同的角相差360。的整數倍.

(3)終邊在同一直線上的角之間相差180。的整數倍.

3.表示區域角的步驟

(1)先按逆時針的方向找到區域的起始和終止邊界.

(2)按由小到大分別標出起始和終止邊界對應的一360。?360。范圍內的角

a和6,寫出最簡區間{x[a<x<￡},其中才一a<360。.

（3）起始、終止邊界對應角a,4再加上360。的整數倍，得區域角的集合.

4.用弧度制表示終邊相同的角的兩個關注點.

（1）用弧度制表示終邊相同的角a+2E/?Z）時，其中2E是兀的偶數倍,

而不是整數倍.

（2）注意角度制與弧度制不能混用.

5.角度與弧度的互化技巧

（1）在進行角度與弧度的換算時，抓住關系式兀rad=180。是關鍵.

（2）度數><焉=弧度數，弧度數><與=度數.

（3）一般情況下，省略弧度單位rad.

6.扇形的弧長和面積的求解策略

（1）記公式：面積公式：S=^lR=^aR2,弧長公式：/=aR（其中I是扇形

的弧長，R是扇形的半徑，a是扇形圓心角的弧度數，00<2兀）.

（2）找關鍵：涉及扇形的半徑、周長、弧長、圓心角、面積等的計算問題,

關鍵是分析題目中已知哪些量、求哪些量，然后靈活運用弧長公式、扇形的

面積公式直接求解或列方程（組）求解.

7.由三角函數的定義求三角函數值

（1）若已知角，則只需確定出該角的終邊與單位圓的交點坐標，即可求出

各三角函數值.

（2）若已知角a終邊上一點P（x,y）（#0）是單位圓上一點，則sina=y,

—y

costanot=.

x

（3）若已知角a終邊上一點P（x,y）（/0）不是單位圓上一點，則先求r=

f+p再求sina=",cosa=~,tana=^.

丫rx

（4）若已知角a終邊上的點的坐標含參數，則需進行分類討論.

拓展修伸

誘導公式化簡求值的思路.

（1）“負化正”，運用公式三將任意負角的三角函數化為任意正角的三角函

數.

（2）“大化小”，利用公式一將大于360°的角的三角函數化為0。到360°

的三角函數，利用公式二將大于180°的角的三角函數化為0°到180°的三

角函數.

（3）“小化銳”，利用公式六將大于90°的角化為0。到90°的角的三角函

數.

（4）“銳求值”，得到0°到90°的三角函數后，若是特殊角直接求得，若

是非特殊角可由計算器求得.

題型1任意角

【典例1］（2024?輝縣市校級開學）手表時針走過1小時,時針轉過的角度是（）

A.60°B.-60°C.30°D,-30°

【答案】D

【分析】時針轉過的角度為負數，12個小時轉一周，由此求得結果

【解答】解：由于時針順時針旋轉，故時針轉過的角度為負數.

-^x360°=-30°,

故選：D.

【典例2】（2024?江西開學）下列命題為真命題的是（）

A.大于90°的角都是鈍角

B.銳角一定是第一象限角

C.第二象限角大于第一象限角

D.若cose<0,則e是第二或第三象限的角

【答案】B

【分析】根據三角函數的定義逐項判斷即可.

【解答】解：：？。。。>90°,但200°不是鈍角，...A是假命題；

???銳角的范圍是（0,芻，是第一象限角，3是真命題；

150°是第二象限角，390°是第一象限角，150°<390°,是假命題;

當e=7T時，COS0=-1,e=7T不是第二或第三象限的角，.?.￡）是假命題.

故選：B.

【典例3]（2023秋?岳池縣校級期末）若e=-5,則角e的終邊所在的象限是

（）

A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限

【答案】D

【分析】根據各個象限角的范圍，再結合條件即可判斷出結果.

【解答】解：因為-2兀<-5V-含所以e是第一象限角，

故選：D.

題型2終邊相同的角

【典例4】（2024秋?江西月考）2024°角是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【答案】C

【分析】分析可知2024。的終邊與224。的終邊相同，結合象限角的定義即

可分析判斷.

【解答】解：因為2024°=5X360°+224°,

可知2024°的終邊與224°的終邊相同，且224。為第三象限角，

所以2024°角是第三象限角.

故選：C.

【典例5】（2024春?蚌埠月考）下列說法中，正確的是（）

A.長為1的弧所對的圓心角是1弧度的角

B.第二象限的角一定大于第一象限的角

C.-830°是第二象限角

D.-124°與236°是終邊相同的角

【答案】D

【分析】由弧度制定義和象限角定義可判斷選項A、B-,由終邊相同的角可判

斷選項C、D.

【解答】解：長為半徑的弧所對的圓心角是1弧度的角，選項A錯誤；

120°是第二象限角，390°是第一象限角，390°>120°,選項3錯誤；

-830°=250°-3X360°所以-830°是第三象限角，選項C錯誤；

因為236°=-124°+360°,所以-124°與236°是終邊相同的角，選項。

正確.

故選：D.

【典例6】（多選）（2024春?保定期末）下列與412°角的終邊相同的角有（）

A.52°B.778°C.-308°D.1132°

【答案】ACD

【分析】由412°=360°+52°,可得412°角的終邊相同的角為0=左?360°

+52°,kCZ,將左=-1,0,1,2,3,4依次代入上式，即可判斷求解.

【解答】解：,.,412°=360°+52°,

.?.與412°角的終邊相同的角為0=妙360°+52°,長Z,當％=-1時，（3=

-308°,故。選項正確,

當左=0時，0=52°,故A選項正確，

當左=1時，p=412°,當左=2時，0=772°力778°,故3選項錯誤,

當左=3時，0=1132°,故。選項正確，

當左=4時，p=1492o.

故選：ACD.

題型3區域角

【典例7】（2023秋?孝南區校級期末）集合{a|左780°WaWH180°+60°,左GZ}

【答案】C

【分析】〃分奇偶討論，結合圖象可得答案.

【解答】解：當左=2m72CZ時，{a|〃?360°WaW〃?360°+60°,kEZ},

當左=2〃+1,時，a|〃?360°+180°WaW〃?360°+240°,左Z},

所以選項C滿足題意.

故選：C.

【典例8】（2024春?湘陰縣校級期中）下列選項中敘述正確的是（）

A.三角形的內角是第一象限角或第二象限角

B.銳角是第一象限的角

C.第二象限的角比第一象限的角大

D.終邊不同的角同一三角函數值不相等

【答案】B

【分析】銳角的取值范圍是（0°,90°）,利用象限角、象限界角、終邊相

同的角的概念.

【解答】解：???直角不屬于任何一個象限，故A不正確，

由于銳角是第一象限的角，故3是正確的，

由于120。是第二象限角，390°是第一象限角，故C不正確.

由于30°和150°的正弦值一樣，而30°和150°的終邊不同，故D不正確.

故選：B.

【典例9】（多選）（2024春?吉安期末）已知2MrVavS+2/OT,kEZ,那么巴的終

邊可能位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】ABC

【分析】利用給定條件解出三的范圍，再分類討論求解即可.

【解答】解；由題意可得VaV?+2k兀，kEL,則^v區〈巴+2依Z,

/3363

當左=3〃（HGZ）時，此時三的終邊落在第一象限，故A正確；

CY

當左=3〃+1（〃ez）時，此時5的終邊落在第二象限，故3正確；

當左=3〃+2（nGZ）時，此時三的終邊落在第三象限，故C正確.

故選：ABC.

題型4角度制與弧度制

【典例10］（2024春?房山區期中）將300°化為弧度為（）

57r77r_77T

A.—B.—C.—D.

364

【答案】A

【分析】根據角度制與弧度制的相互轉化，計算即可.

【解答】解：300°=300乂焉=攀

1OU3

故選：A.

【典例11］（2024春?黃浦區校級期中）60°用弧度制表示為.

【答案】泉

【分析】由角度和弧度的關系進行求解.

【解答】解：根據角度和弧度的關系可知，60。=f.

故答案為：

【典例12］（2023秋?喀什地區期末）寫出在0°到360°內，并且終邊在y軸上

的所有的角，并用弧度制表示出來.

【答案】

22

【分析】由題意，根據終邊相同的角的表示方法，得出結論.

【解答】解：終邊在y軸上的所有的角為左X180°+90°,長Z,

則在0°到360°內，終邊在y軸上的所有的角為90°和270°,

即工和。.

22

題型5扇形的弧長與面積

【典例13］（2024春?韓城市期末）若扇形的圓心角為手，弧長為如，則該扇形

的半徑為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】根據扇形的弧長公式求出扇形的半徑.

27r

【解答】解：扇形的圓心角是三，圓心角所對的弧長是2m

所以該扇形的半徑為廠=票=3.

T

故選：A.

【典例14】（多選）（2023秋?岳池縣校級期末）下列說法正確的是（)

A.如果a是第一象限的角，則-a是第四象限的角

B.43°角與-317°角終邊重合

C.若圓心角為工的扇形的弧長為m則該扇形面積為空

33

D.若a是第二象限角，則點P(sina,cosa)在第四象限

【答案】ABD

【分析】利用象限角的概念判斷A;利用終邊相同的角的特征判斷&求出扇

形所在圓半徑,再求出扇形面積判斷C；利用三角形函數值的符號法則判斷D.

【解答】解：對于A,a是第一象限的角，即2/OTVaV*+2k7r,k&Z,則-%

2kn<a<-2kn,keZ,因此-a是第四象限的角，A正確；

對于3,由于-317°=-360°+43°,因此43°角與-317°角終邊重合，B

正確；

對于C,由圓心角為g的扇形弧長為n,得該扇形弧所在圓半徑為3,則該扇

形面積為2，C錯誤；

2

對于。，由a是第二象限角，得sina>0,cosa<0,則點尸(sina,cosa)在

第四象限，。正確.

故選：ABD.

【典例15](2023秋?唐河縣校級期末)已知扇形的半徑為3,圓心角的弧度數

是2,則扇形的面積與周長的比值為.

【答案】I

4

【分析】根據扇形弧長及面積公式計算即可.

【解答】解：因為扇形的半徑為3,圓心角的弧度數是2,

所以扇形的面積為S=}x2x32=9,

又扇形的弧長為2X3=6,所以扇形的周長為6+2X3=12,

Q2

所以扇形的面積與周長的比值為弓=7-

124

故答案為：

4

題型6三角函數的概念

【典例16】（多選）（2023秋?商洛期末）若a的終邊經過點（1,-遍），則（）

A.a是第四象限角B.tana=—V5

「.AA

?/30n?/6

Csina=-or-Dcosa=6

【答案】ABD

【分析】根據三角函數的定義即可得出正確的選項.

【解答】解：因為點（1,-V5）在第四象限，所以a是第四象限角，A正確；

tana==—V5,B正確；

sina==^=-騫，C錯誤；

cosa=+=絡，D正確.

故選：ABD.

【典例17】（2024春?嘉定區校級期中）設角0的終邊經過點尸（4,-3）,那么

2cos0-sin0=.

11

【答案】y.

【分析】由已知結合三角函數的定義即可直接求解.

【解答】解：由題意得cosB=sinB=—稱，

所以2cos0-sin0=2x1+|=..

故答案為：—.

【典例18]（2024春?袁州區校級月考）已知角a的終邊在直線y=x上，求

sina+cosa的值.

【答案】見試題解答內容

【分析】由條件利用任意角的三角函數的定義，分類討論求得sina、cosa的

值，即可求sina+cosa的值.

【解答】解：由于角a的終邊在直線y=%上，

若角a的終邊在第一象限，在角a的終邊上任意取一點M（1,1）,則OM=V2,

則由任意角的三角函數的定義得sina=丁、cosa=2，

sina+cosa=V2.

若角a的終邊在第三象限，

在角a的終邊上任意取一點N（-1,-1）,則0N=V2,

則由任意角的三角函數的定義可得sina=-孝、cosa=-?，

sina+cosa=-V2.

題型7三角函數值的正負

【典例19]（2024?南開區學業考試）坐標平面內點P的坐標為（sin5,cos5）,

則點尸位于第（）象限.

A.-B.二C.三D.四

【答案】B

【分析】判斷出5所在的象限，再根據正余弦的符號即可判斷求解.

O.TT

【解答】解：因為々~<5<2兀，所以sin5<0,cos5>0,

則點尸在第二象限，

故選：B.

【典例20】（多選）（2023秋?煙臺期末）若角a是第二象限角，則下列說法正確

的有（）

zyry

A.sin>0B.tan>0C.sin2a<0D.cos2a<0

【答案】BC

【分析】由題意得出]以及2a各自的范圍即可求解.

【解答】解：由題意2/OT+芻Va<k+2k;r,kez,

所以+aV與V5+/ot,kEZ,4/CTT+n<2a<2TT+4kn,kEZ,

所以￡為第一或第三象限角，2a為第三或第四象限角或終邊在y軸的非正半軸,

故3c正確，AD錯誤.

故選：BC.

【典例21】（2023秋?金華期末）sin20（填>或〈）.

【答案】>.

【分析】由2是第二象限角，得到sin2>0.

【解答】解：.??2是第二象限角，?入1112>0.

故答案為：>.

題型8誘導公式一

【典例22］（2024春?雨花區月考）若角330°的終邊上有一點（a,-1）,則a

的值為（）

A.V3B.—\/3C.+V3D.—

一3

【答案】A

【分析】利用任意角的三角函數的定義結合誘導公式求解.

【解答】解：因為角330°的終邊上有一■點（a,-1）,所以tcm330°=，，

又tan330°=tan（—30°）=—tan30°——學，

所以」=一理，所以a=W.

a3

故選：A.