專題28縱觀全局——整體思想閱讀與思考解數學問題時，人們習慣了把它分成若干個較為簡單的為，然后在分而治之，各個擊破。與分解、分部處理問題相反，整體思想是將問題看成一個完整的整體，從大處著眼，有整體入手，突出對問題的整體結構的分析和改造，把一些看似彼此孤立、實質上緊密聯系的量作為整體考慮，從整體上把握問題的內容和解題方向的策略，往往能找到簡捷的解題方法，解題中運用整體思想解題的具體途徑主要有：整體觀察整體設元整體代入整體求和整體求積注：既看局部，又看整體；既見“樹木”，又見“森林”，兩者互用，這是分析問題和解決問題的普遍而有效的方法．例題與求解【例1】某市抽樣調查了1000戶家庭的年收入，其中年收入最高的只有一戶，是38000元。由于將這個數據輸入錯了，所以計算機顯示的這1000戶的平均年收入比實際平均年收入高出了342元，則輸入計算機的那個錯誤數據是．（北京市競賽題）解題思路：有1000個未知量，而等式只有兩個，顯然不能分布求出每個未知量，不妨從整體消元．注：有些問題要達到求解的目的，需要設幾個未知數，但在解答的過程中，這些未知數只起到溝通已知與未知的輔助的作用，因此可“設而不求”，通過整體考慮，直接獲得問題的答案．【例2】設是不全相等的任意數，若QUOTE，則（）（全國初中數學聯賽試題）A.都不小于零B.都不大于零C.至少有一個小于零D.至少有一個大于零解題思路：由于的任意性，若孤立地考慮，則很難把握的正負性，應該考慮整體求出的值．【例3】如果a滿足等式QUOTE，試求QUOTE的值．(天津市競賽題)解題思路：不能直接求出的值，可尋求待求式子分子分母與條件等式的聯系，然后把條件等式整體代入求值．注：整體思想在代數式的化簡與求值、解方程（組）、幾何證明等方面有廣泛的應用，整體代入、疊加疊乘、整體運算、整體設元、幾何補形等都是整體思想的體現．【例4】已知QUOTE，代數式QUOTE，求當QUOTE時，代數式QUOTE的值．（北京市“迎春杯”競賽試題）解題思路：的值無法求出，將給定的值分別代入對應的代數式，尋找已知式與待求式之間的聯系，整體代入求值．【例5】已知實數滿足方程組．求的值．QUOTE（上海市競賽題）解題思路：將上述六個式子看成整體，通過⑥－⑤，④－③，②－①分別得到QUOTE．【例6】如圖，將1,2,3,4,5,6,7,8,9,10這十個數分別填入圖中的十個圓圈內，使得任意連續相鄰的五個圓圈內的數的和均不大于某一個整數M，求M得最小值并完成你的填圖．（北京市“迎春杯”競賽試題）＼解題思路：解答此題的關鍵是根據題意得出QUOTE，這是本題的突破口．注：在解答有同一結構的問題時，可將這一相同結構看作一個整體，用一個字母代換，以此達到體現式子結構的特點，化繁為簡的目的．能力訓練1．已知密碼：3·ABCPQR=4·PQRABC,其中每個字母都表示一個十進制數字，將這個密碼翻譯成式子是2．若a，b，c的值滿足QUOTE，則QUOTE(“城市杯”競賽試題)3．角中有兩個銳角和一個鈍角，其數值已經給出，在計算QUOTE的值時，全班得到23.5°，24.5°，25.5°這樣三個不同結果，其中確有正確的答案，則正確的答案是4．如果，那么=（“希望杯”邀請賽試題）5．已知都是正數，設，，那么與的大小關系是．（北京市“迎春杯”競賽試題）6．若方程組有解，則（湖北省武漢市選拔賽試題）7．若正數滿足不等式，則的大小關系是（）A．B．C．D．8．若，則的值是（）A．B．C．D．9．在一家三口人中，每兩個人的平均年齡加上余下一人的年齡分別得到47,61,60，那么這三人中最大年齡與最小年齡的差是（）A．B．C．D．10．設，滿足等式，則中至少有一個值（）A．B．C．D．（全國初中數學聯賽試題）11．12．有一個四位數，把它從中間分成兩半，得到前、后兩個兩位數，將前面的兩位數的末尾添一個零，然后加上前后兩個兩位數的乘積，恰好等于原來的四位數，又知道原數的個位數字為5，試求這個四位數．（江蘇省競賽試題）13．代數式中，可以分別取+1或-1．（1）證明代數式的值都是偶數．（2）求這個代數式所能取到的最大值．（“華羅庚金杯”競賽試題）14．如圖，在六邊形的頂點處分別標上數1，2，3，4，5，6，能否使任意三個相鄰頂點處的三數之和（1）大于9？（2）大于10？若能，請在圖中標出來；若不能，請說明理由．（江蘇省競賽試題）

專題28縱觀全局——整體思想例1380000提示：設a1，a2，a3，…，a999，al000分別為所統計的1000戶居民的年收入，又設他們的平均值是A，誤輸入計算機的數據為a'，由題意得例2D提示：x＋y＋z＝EQ\F(1,2)[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]．例3EQ－\F(5,2)原式＝例4將x＝2，y＝－4代入ax3＋EQ\F(1,2)by＋5＝1997中，得8a－2b＋5＝1997．故4a－b＝996．當x＝－4，y＝－EQ\F(1,2)時，3ax－24by3＋4986＝3a·(－4)－24b·(－EQ\F(1,2))3＋4986＝－12a＋3b＋4986＝－3(4a－b)＋4986＝－3×996＋4986＝1998．例5②－①得b－a＝20;④－③得d－c＝80；⑥－⑤得f－e＝320．故，f－e＋d－c＋b－a＝320＋80＋20＝420．例6設滿足已知條件填好的數依次為a1，a2，…，a10，則a1＋a2＋a3＋a4＋a5≤M，a2＋a3＋a4＋a5＋a6≤M，…a10＋a1＋a2＋a3＋a4≤M．所以5（a1＋a2＋…＋a10）≤10M，即≤10M，解得M≥27．5．而M為整數，故M的最小值為28．將1，2，…，10分成如下的兩組10，7，6，3，2，9，8，5，4，1．依次填入圖中，【能力訓練】1．3·571428＝4·4285712．－10提示：由題意有，即．則9a＋2b＋7c＝2(3a－2b＋c)＋3(a＋2b－3c)＝2×4＋3×（－6）＝－10．3．23.5°4．18x4＋7x3＋8x2－13x＋15＝x2(x2＋2x)＋5x(x2＋2x)－2(x2＋2x)－9x＋15＝3x2＋15x－6－9x＋15＝3(x2＋2x)＋9＝3×3＋9＝18．5．＞提示：設x＝a1＋a2＋…＋a1990，y＝a2＋a3＋…＋a1990，求M－N．6．－1提示：將3個方程組相加得(a＋b＋1)(x2＋x＋l)＝0，而x2＋x＋1＝＞0，故a＋b＋1＝0．7．B8．B9．A10．A11．(1)原式＝＝＝(由a＋b＋c＝0，得b＋c＝－a，a＋c＝－b，a＋b＝－c)＝－1＋(－1)＋(－1)＋3＝0(2)由得，即．同理，．三式相加得2()＝48，故＝24．則＝．12．設前、后兩個二位數分別為m，n，則根據題意有：10m＋mn＝100m＋n，m＝，由m＞0，n＞0，得n－90＞0，又n是兩位數，且個位數字為5，因此n＝95，從而知m＝19，故所求四位數為1995．13．(1)略．(2)在rvz，－rwy，－suz，swx，tuy，－tvx這六項相乘得，－＝－1，所以這六項中，至少有一項是－1，這樣六項之和之多是5－1＝4．在u，x，y為－1，其他字母為1時，原式的最大值為4．