2024年福建省莆田市中考數學試卷

一、細心選一選：本大題共10小題，每小題4分，共40分

1.嗎的肯定值是()

A.B.-tC.2D.-2

22

2.下列運算正確的是()

A.3a-a=OB.a*a2=a3C.a4-i-a3=a2D.(as)2=a5

3.一組數據3,3,4,6,8,9的中位數是（)

A.4B.5C.5.5D,6

4.圖中三視圖對應的幾何體是（）

凸日

O

5.菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質是（)

A.對邊相等B.對角相等

C.對角線相互平分D.對角線相互垂直

6.如圖，OP是NAOB的平分線，點C,D分別在角的兩邊OA,OB±,添加下列條件，不能判定

△POCg^POD的選項是（）

A.PC1OA,PD1OBB.OC=ODC.ZOPC=ZOPDD.PC=PD

7.關于x的一元二次方程x2+ax-1=0的根的狀況是（）

A.沒有實數根B.只有一個實數根

C.有兩個相等的實數根D.有兩個不相等的實數根

8.規定：在平面內，將一個圖形圍著某一點旋轉肯定的角度（小于周角）后能和自身重合，則稱此

圖形為旋轉對稱圖形.下列圖形是旋轉對稱圖形，且有一個旋轉角為60。的是（）

A.正三角形B.正方形C.正六邊形D.正十邊形

9.如圖，在AABC中，NACB=90。，AC=BC=4,將AABC折疊，使點A落在BC邊上的點D處,

EF為折痕，若AE=3,則sinZBFD的值為（）

C送D.J

45

10.如圖，在平面直角坐標系中，點A（0,2）,在x軸上任取一點M,完成以下作圖步驟:

①連接AM.作線段AM的垂直平分線h，過點M作x軸的垂線12,記h，12的交點為P：

②在x軸上多次變更點M的，立置.，用①的方法得到相應的點P,把這些點用平滑的曲線順次連接

起來，得到的曲線是（）

J'A

2，浸（0,2）

1-

0~

A.直線B.拋物線C.雙曲線D.雙曲線的一支

二、細心填一填：本大題共6小題，每小題4分，共24分

II.芾出市海岸線曲折，長達217000米，用科學記數法表示217000為.

12.在平面直角坐標系中，點P（?1,2）向右平移3個單位長度得到的點的坐標是

13.已知直線a〃b,一塊直角三角板如圖所示放置，若N1=37。，則N2=.

2

b

14.在大課間活動中，同學們主動參與體育熬煉，小紅在全校隨機抽取一部分同學就“一分鐘跳繩〃

進行測試，并以測試數據為樣本繪制如圖所示的部分頻數分布直方圖（從左到右依次分為六個小組，

每小組含最小值，不含最大值）和扇形統計圖，若“一分鐘跳繩"次數不低于130次的成果為優秀，

全校共有1200名學生，依據圖中供應的信息，估計該校學生“一分鐘跳繩〃成果優秀的人數為

人.

頻數（人數）

15.如圖，CD為。0的弦，直徑AB為4,ABJ_CD于E,ZA=30°,則標的長為（結果保

留n).

16.魏朝時期，劉徽利用下圖通過“以盈補虛，出入相補”的方法，即“勾自乘為朱方，股自乘為青

方，令出入相補，各從其類”證明白勾股定理.若圖中BF=1,CF=2,則AE的長為.

三、耐性做一張：本大題共1。小題，共86分

1°

I7.計算：|圾-3|-技+金).

3

x+2x-11

18.先化簡，再求值：一—?一二,其中x=-l.

2

x-2x-4x+2

x-3(x-2)>4①

19.解不等式組:

野>x-1O,

20.小梅家的陽臺上放置了一個曬衣架如圖1,圖2是曬衣架的側面示意圖，A,B兩點立于地面,

將曬衣架穩固張開，測得張角NAOB=62。，立桿OA=OB=140cm,小梅的連衣裙穿在衣架后的總長

度為122cm,問將這件連衣裙垂掛在曬衣架上是否會拖落到地面？請通過計算說明理由(參考數據:

sin590=0.86,cos59°^0.52,tan59°=1.66)

21.在一次數學文化課題活動中，把一副數學文化創意撲克牌中的4張撲克牌(如圖所示)洗勻后

正面時下放在桌面上，從中隨機抽取2張牌，請你用列表或畫樹狀圖的方法，求抽取的2張牌的數

字之和為偶數的概率.

22.甲車從A地駛往B地，同時乙車從B地駛往A地，兩車相向而行，勻速行駛，甲車距B地的

距離y(km)與行駛時間x(h)之間的函數關系如圖所示，乙車的速度是60km/h

(1)求甲車的速度；

(2)當甲乙兩車相遇后，乙車速度變為a(km/h),并保持勻速行駛，甲車速度保持不變，結果乙

車比甲車晚38分鐘到達終點，求a的值.

ZBAC=90°,對角線AC,BD相交于點P,以AB為直徑的。O分別交

BC,BD于點E,Q,連接EP并延長交AD于點F.

(1)求證：EF是。0的切線;

24.如圖，反比例函數y=&(x>0)的圖象與直線y=x交于點M,ZAMB=90°,其兩邊分別與兩坐

標軸的正半軸交于點A,B,四邊形OAMB的面積為6.

(1)求k的值;

⑵點P在反比例函數貸2。)的圖象上，若點P的橫坐標為3,NEPF=9。。,其兩邊分別與

x軸的正半軸，直線y=x交于點E,F,問是否存在點E,使得PE二PF?若存在，求出點E的坐標;

25.若正方形有兩個相鄰頂點在三角形的同一條邊上，其余兩個頂點分別在三角形的另兩條邊上,

則正方形稱為三角形該邊上的內接正方形，AABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,各邊上的高分別

記為ha，hb，hc,各邊上的內接正方形的邊長分別記為Xa，Xb,Xc

(1)模擬探究：如圖，正方形EFGH為AABC的BC邊上的內接正方形，求證：

hx

aaa

(2)特別應用：若NBAO90。，xb=xc=2,求上工的值：

bc

(3)拓展延長：若^ABC為脫角三角形，b<c,請推斷Xb與xc的大小，并說明理由.

26.如圖，拋物線C|：y=-歷2+2小的頂點為A,與x軸的正半軸交于點B.

(I)將拋物線G上的點的橫坐標和縱坐標都擴大到原來的2倍，求變換后得到的拋物線的解析式;

(2)將拋物線Ci上的點(x,y)變為(kx,ky)(|k|>l),變換后得到的拋物線記作C2,拋物

線Q的頂點為C,點P在拋物線C2上，滿意SAPAC=S“BC，且NAPC=90。.

①當k>l時，求k的值；

②當kV?l時，請干脆寫出k的值，不必說明理由.

2024年福建省莆田市中考數學試卷

參考答案與試題解析

一、細心選一選：本大題共10小題，每小題4分，共40分

1.-之的肯定值是（）

A.-B.--C.2D.-2

22

【考點】肯定值.

【分析】依據負數的肯定值等于它的相反數解答.

【解答】解：的肯定值是2.

故選：A.

【點評】本題考查了肯定值，一個正數的肯定值是它本身：一個負數的肯定值是它的相反數：0的

肯定值是0.

2.下列運算正確的是（）

A.3a-a=0B.a*a2=a3C.a4-i-a3=a2D.（a3）2=a5

【考點】同底數新的除法；合并同類項；同底數暴的乘法：幕的乘方與積的乘方.

【分析】分別依據合并同類項、同底數昂的乘除法和幕的乘方分別計算即可得出答案.

【解答】解：

A、3a-2a=a,故A不正確；

B、a*a2=a3,故B正確；

C、a4-ra3=a,故C不正確；

D、（a3）2=a6,故D不正確;

故選B.

【點評】本題主要考查哥的運算，駕馭同底數昂的運用性質是解題的關鍵.

3.一組數據3,3,4,6,8,9的中位數是（）

A.4B.5C.5.5D,6

【考點】中位數.

【專題】統計與概率.

【分析】依據題目中的數據，可以求得這組數據的中位數.

【解答】解：數據3,3,4,6,8,9的中位數是：等=5,

故選B.

【點評】本題考查中位數，解題的關鍵是明確中位數的定義，可以將?組數據依據從小到大的依次

排列，找出這組數據的中位數.

4.圖中三視圖對應的幾何體是（）

凸日

O

【考點】由三視圖推斷幾何體.

【分析】由主視圖和左視圖可得此幾何體為柱體，依據俯視圖可推斷出此上面是圓柱體，由此即可

得出結論.

【解答】解：由主視圖可以推出這個幾何體是上下兩個大小不同柱體，

從主視圖推出這兩個柱體的寬度相同，

從俯視圖推出上面是圓柱體，直徑等于下面柱體的寬.

由此可以推斷對應的幾何體是C.

故選C.

【點評】不同考查三視圖，用到的學問點為：由主視圖和左視圖可得幾何體是柱體，錐體還是球體,

由俯視圖可確定幾何體的詳細形態.

5.菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質是（）

A.對邊相等B.對角相等

C.對角線相互平分D.對角線相互垂直

【考點】菱形的性質；平行四邊形的性質.

【分析1由菱形的性質可得：菱形的對角線相互平分且垂直；而平行四邊形的對角線相互平分：則

可求得答案.

【解答】解：???菱形具有的性質：對邊相等，對角相等，對角線相互平分，對角線相互垂直；

平行四邊形具有的性質：對邊相等，對角相等，對角線相互平分；

???菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質是：對角線相互垂直.

故選D.

【點評】此題考查了菱形的性質以及平行四邊形的性質.留意菱形的對角線相互平分且垂直.

6.如圖，0P是NAOB的平分線，點C,D分別在角的兩邊OA,0B±,添加下列條件，不能判定

△POCgaPOD的選項是（）

A.PC1OA,PD1OBB.OC=ODC.ZOPC=ZOPDD.PC=PD

【考點】角平分線的性質；全等三角形的判定.

【分析】要得到△POCgAPOD,現有的條件為有一對角相等，一條公共邊，缺少角，或著是邊，

依據全等三角形的判定定理即可得到結論.于是答案可得.

【解答】解：A.PC±OA,PD_LOB得出NPCO=NPDO=90。，依據AAS判定定理成立，

B.OC=OD,依據SAS判定定理成立，

C.ZOPC=ZOPD,依據ASA判定定理成立，

D.PC=PD,依據SSA無判定定理不成立，

故選D.

【點評】本題考查了先平分線的定義，全等三角形的判定，熟記全等三角形的判定定理是解題的關

鍵.

7.關于x的一元二次方程x24ax-1=0的根的狀況是（）

A.沒有實數根B.只有一個實數根

C.有兩個相等的實數根D,有兩個不相等的實數根

【考點】根的判別式.

【分析1先計算判別式的值，然后非負數的性質和判別式的意義推斷方程根的狀況.

【解答】解：a2+4＞0,

???，方程有兩個不相等的兩個實數根.

故選D.

【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（aW0）的根與4=b2-4ac有如下關系：

當△＞（）時，方程有兩個不相等的兩個實數根；當△=（）時，方程有兩個相等的兩個實數根；當△＜（）

時，方程無實數根.

8.規定：在平面內，將一個圖形圍著某一點旋轉肯定的角度（小于周角）后能和自身重合，則稱此

圖形為旋轉對稱圖形.下列圖形是旋轉對稱圖形，且有一個旋轉角為60。的是（）

A.正三角形B.正方形C.正六邊形D.正十邊形

【考點】旋轉對稱圖形.

【分析】分別求出各旋轉對稱圖形的最小旋轉角，繼而可作出推斷.

【解答】解：A、正三角形的最小旋轉角是120。，故此選項錯誤；

B、正方形的旋轉角度是90。，故此選項錯誤；

C、正六邊形的最小旋轉角是60。，故此選項正確：

D、正十角形的最小旋轉角是36。，故此選項錯誤；

故選：C.

【點評】本題考查了旋轉對稱圖形的學問，解答本題的關鍵是駕馭旋轉角度的定義，求出旋轉角.

9.如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,將AABC折疊，使點A落在BC邊上的點D處,

EF為折痕，若AE=3,則sinNBFD的值為（）

返D

4-f

【考點】翻折變換（折疊問題）；等腰直角三角形；銳角三角函數的定義.

【分析】由題意得：△AEFgaDEF,故NEDF=/A；由三侑形的內角和定理及平角的學問問題即

可解決.

【解答】解：:在△ABCH」，ZACB=90\AC=BC=4,

AZA=ZB,

由折疊的性質得到：Z\AEFgADEF,

.\ZEDF=ZA,

???NEDF=NB,

ZCDE+ZBDF+ZEDF=ZBFD+ZBDF+ZB=180°,

NCDE;NBFD.

又?.，AE=DE=3,

ACEM-3=1,

CF1

J在直角AECD中，sin/CDE;若■二號.

ED3

故選：A.

【點評】主要考查了翻折變換的性質及其應用問題；解題的關鍵是敏捷運用全等三角形的性質、三

角形的內角和定理等學問來解決問題.

10.如圖，在平面直角坐標系中，點A（0,2）,在x軸上任取一點M,完成以下作圖步驟：

①連接AM.作線段AM的垂直平分線h，過點M作x軸的垂線b，記1］，12的交點為P：

②在x軸上多次變更點M的電置，用①的方法得到相應的點P,把這些點用平滑的曲線順次連接

起來，得到的曲線是（）

23（0,2）

1-

11111

□"1X

A.直線B.拋物線C.雙曲線D.雙曲線的一支

【考點】二次函數圖象上點的坐標特征：線段垂直平分線的性質；作圖一基本作圖.

【分析】依據給定的作圖步驟作圖，依據圖形中曲線的特征即可得出該曲線為拋物線.

【解答】解：依據作圖步驟作圖，如圖所示.

由此即可得出該曲線為拋物線.

故選B/

【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征、線段的垂直平分線的性質以及基本作圖，解題

的關鍵是依據給定的作圖步驟完成作圖.本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，熟識各

曲線的圖形是關鍵.

二、細心填一填：本大題共6小題，每小題4分，共24分

11.莆田市海岸線曲折，長達217000米，用科學記數法表示曲7000為2.17x105.

【考點】科學記數法一表示較大的數.

【分析】科學記數法的表示形式為aXl（）n的形式，其中lW|a|V10,n為整數.確定n的值時，要

看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的肯定值與小數點移動的位數相同.當原數肯定值>1

時，n是正數；當原數的肯定直VI時，n是負數.

【解答】解：將217000用科學記數法表示為：217000=2,17X105.

故答案為：2.17X105.

【點評】此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為axion的形式，其中iWa

<10,n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.

12.在平面直角坐標系中，點P（-l,2）向右平移3個單位長度得到的點的坐標是（2,2）.

【考點】坐標與圖形變更-平移.

【分析】將點P的橫坐標加3,縱坐標不變即可求解.

【解答】解：點P（-I,2）向右平移3個單位長度得到的點的坐標是（-1+3,2）,即（2,2）.

故答案為（2,2）.

【點評】此題主要考查了坐標與圖形的變更，關鍵是駕馭橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移

加，下移減.

13.已知直線2〃>一塊直角三角板如圖所示放置，若Nl=37。，則N2=53°.

【考點】平行線的性質.

【分析】首先作平行線，然后依據平行線的性質可得到Nl+N2=90。，據此求出N2的度數.

【解答】解：作直線AB〃a,

Va/7b

???AB〃a〃b,

VAB#a,

AZ1=Z3,

VAB#b,

/.Z2=Z4,

VZ3+Z4=90°,

??.N1+N2=90°,

VZ1=37°,

AZ2=90°-37°=53°,

【點評】本題考查了平行線的性質，構成直線人13〃2是解懣的關鍵，嫻熟駕馭兩直線平行，內錯角

相等.

14.在大課間活動中，同學們主動參與體育熬煉，小紅在全校隨機抽取一部分同學就“?分鐘跳繩〃

進行測試，并以測試數據為樣本繪制如圖所示的部分頻數分布直方圖（從左到右依次分為六個小組，

每小組含最小值，不含最大值）和扇形統計圖，若“一分鐘跳繩”次數不低于130次的成果為優秀，

全校共有1200名學生，依據圖中供應的信息，估計該校學生“一分鐘跳繩〃成果優秀的人數為480

人.

頻數（人數）

【考點】頻數（率）分布直方圖；用樣本估計總體；扇形統計圖.

【分析】首先由其次小組有10人，占20%,可求得總人數，再依據各小組頻數之和等于數據總數求

得第四小組的人數，利用總人數260乘以樣本中“一分鐘跳繩〃成果為優秀的人數所占的比例即可求

解.

【解答】解：總人數是：10?20%=50（人），

第四小組的人數是：50-4-10-16-6-4=10,

所以該校九年級女生“一分鐘跳繩〃成果為優秀的人數是：I與*X1200M80,

50

故答案為：480.

【點評】本題考查讀頻數分布直力圖的實力和利用統計圖獲得信息的實力；利用統計圖獲得信息時,

必需仔細視察、分析、探討統計圖，才能作出正確的推斷和解決問題.

15.如圖，CD為。O的弦，直徑AB為4,AB_LCD于E,ZA=30°,則菽的長為（結果保

留n).

A

【考點】弧K的計算；垂徑定理.

【分析】連接AC,由垂徑定理的CE=DE,依據線段垂直平分線的性質得到AC二AD,由等腰三角

形的性質得到NCAB=NDAB=30。，由圓周角定理得到NCOB=60。，依據弧長的計算公式即可得到結

論.

【解答】解：連接AC,

VCD為。0的弦，AB是。O的直徑，

/.CE=DE,

：AB_LCD,

.\AC=AD,

.?.ZCAB=ZDAB=30°,

???ZCOB=60°,

?冠的長總產會

9

故答案為：—H,

J

【點評】本題考查的是垂徑定理，線段的垂直平分線的判定，等腰三角形的性質，嫻熟駕馭垂徑定

理是解答此題的關鍵.

16.魏朝時期，劉徽利用下圖通過“以盈補虛，出入相補〃的方法，即“勾自乘為朱方，股自乘為青

方，令出入相補，各從其類”證明白勾股定理.若圖中BF=1,CF=2,則AE的長為3斤.

【考點】勾股定理的證明.

【專題】證明題；等腰三角形與直角三角形.

【分析】由BF+CF求出BC的長，即為正方形ABCD的邊長，由AB與CE平行，得比例求出CE

的長，由DC+CE求出DE的長，在直角三角形ADE中，利用勾股定理求出AE的長即可.

【解答】解：VBF=1,CF=2,

.\BC=BF+CF=l+2=3,

VABZ^EC,

.ABBF加31

.?黃京即百了

解得：CE=6,

在RtZXADE中，AD=3,DE=DC+CE=3+6=9,

依據勾股定理得：AE=正行=3日，

故答案為：3例

【點評】此題考查了勾股定理的證明，以及相像三角形的判定與性質，嫻熟駕馭勾股定理是解本題

的關鍵.

三、耐性做一張：本大題共10小題，共86分

10

17.計算：yj~2-3-V16+(—)-

【考點】實數的運算：零指數第.

【專題】計算題.

【分析】依據肯定值、算術平方根和零指數基的意義計算.

【解答】解：原式4T

=-V2.

【點評】本題考查了肯定值的運算：實數的運算和在有理數范圍內一樣，值得一提的是，實數既可

以進行加、減、乘、除、乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數可以開平方.留意零指數轅

的意義.

18.先化簡，再求值：中7-娛」-+工，其中X=?L

X-2X-4x+2

【考點】分式的化簡求值.

【專題】計算題.

【分析】先把x2-4分解因式和除法運算化為乘法運算，再約分后進行同分母的減法運算得到原式

=—不，然后把X的值代入計算即可.

x-2

【解答】解：原式=碧"2K3)?(X+2)

x-2

3

x-2

3

當x=-1時，原式=~:---不=-1.

-1-2

【點評】本題考查了分式的化簡求值：先把分式化簡后，再把分式中未知數對應的值代人求出分式

的值.在化簡的過程中要留意運算依次和分式的化簡.化簡的最終結果分子、分母要進行約分，留

意運算的結果要化成最簡分式或整式.

'x-3(x-2)》4①

19.解不等式組：＜i+2x＞「］②

【考點】解一元一次不等式組.

【分析】先解不等式組中的每一個不等式，再求出它們的公共解即可.

x-3(x-2)＞4①

【解答】解:

-1②

由①得xWI；

由②得xV4；

所以原不等式組的解集為：xWl.

【點評】考查了一元一次不等式解集的求法，其簡便求法就是用口訣求解.求不等式組解集的口訣:

同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）.

20.小梅家的陽臺上放置了一個曬衣架如圖1,圖2是曬衣架的側面示意圖，A,B兩點。于地面，

將曬衣架穩固張開，測得張角NAOB=62。，立桿OA=OB=140cm,小梅的連衣裙穿在衣架后的總長

度為122cm,問將這件連衣裙垂掛在曬衣架上是否會拖落到地面？請通過計算說明理由（參考數據:

【分析】過點O作OE_LAB,依據等腰三角形的性質求得NOAB,再在RtZ\AEO中，利用三角函

數sin/OAB=/,求得OE,即可作出推斷.

0A

【解答】證明：過點O作OE_LAB于點E,

VOA=OB,ZAOB=62°,

.,.ZOAB=ZOBA=59°,

在Rt^AEO中，OE=OA*sinZOAB

=140Xsin590

a140X0.86

=120.4,

???120.4V122,

???這件連衣裙垂掛在曬衣架上會拖落到地面.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是構造直角三角形和三角函數的定義的綜合

運用.

21.在一-次數學文化課題活動中，把一副數學文化創意撲克牌中的4張撲克牌(如圖所示)洗勻后

正面對下放在桌面匕從中隨機抽取2張牌，請你用列表或畫樹狀圖的方法，求抽取的2張牌的數

字之和為偶數的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法.

【專題】概率及其應用.

【分析】列出得出全部等可能的狀況數，找出抽取2張牌的數字之和為偶數的狀況數，即可求出所

求的概率.

【解答】解：列表如下:

3456

3----(4,3)(5.3)(6,3)

4(3,4)----(5.4)(6,4)

5(3,5)(4,5)----(6,5)

6(3,6)(4,6)(5.6)----

全部等可能的狀況數有12種，抽取2張牌的數字之和為偶數的有4種,

則「噎君

【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法，概率=所求狀況數與總狀況數之比.

22.甲車從A地駛往B地，同時乙車從B地駛往A地，兩車相向而行，勻速行駛，甲車距B地的

距離y(km)與行駛時間x(h)之間的函數關系如圖所示,乙車的速度是與km/h

(1)求甲車的速度；

(2)當甲乙兩車相遇后，乙車速度變為a(km/h),并保持勻速行駛，甲車速度保持不變，結果乙

車比甲車晚38分鐘到達終點，求a的值.

【考點】分式方程的應用；函數的圖象.

【專題】方程與不等式.

【分析】（1）依據函數圖象可知甲2小時行駛的路程是（280-120）km,從而可以求得甲的速度;

（2）依據第（1）問中的甲的速度和甲乙兩車相遇后，乙車速度變為a（km/h）,并保持勻速行駛,

甲車速度保持不變，結果乙車比甲車晚38分鐘到達終點，可以列出分式方程，從而可以求得a的值.

【解答】解：（I）由圖象可得，

—190

甲車的速度為：=80kni/h,

即甲車的速度是80km/h；

（2）相遇時間為：晨%=2h,

80+60

由小題.盡上可市得但，藍60X廠2方3880X2

解得，a=75,

經檢驗，a=78是原分式方程的解，

即a的值是75.

【點評】本題考查分式方程的應用、函數圖象，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題須要的條件,

利用數形結合的思想解答問題.

23.如圖，在口ABCD中，NBAC=90。，對角線AC,BD相交于點P,以AB為直徑的。O分別交

BC,BD于點E,Q,連接EP并延長交AD于點F.

（1）求證：EF是。。的切線；

（2）求證：EF2=4BP*QP.

【考點】切線的判定；平行四邊形的性質；相像三角形的判定與性質.

【專題】證明題.

【分析】（1）連接OE,AE,由AB是。O的直徑，得至IJNAEB=/AEC=90。，依據四邊形ABCD

是平行四邊形，得到PA二PC推出NOEP=/OAC=90。，依據切線的判定定理即可得到結論；（2）由

AB是。O的直徑，得到NAQB=90。依據相像三角形的性質得到???PA2=PB?PQ,依據全等三角形的

性質得至UPF=PE,求得PA=PE=^EF,等量代換即可得到結論.

【解答】證明：(I)連接OE,AE,

TAB是。O的直徑,

.\ZAEB=ZAEC=90o,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

.\PA=PC,

APA=PC=PE,

.\ZPAE=ZPEA,

VOA=OE,

AZOAE=ZOEA,

ZOEP=ZOAC=90\

JEF是。O的切線；

(2);AB是。。的直徑，

???ZAQB=90°,

.,.△APQ^ABPA,

.PA_PQ

??加而，

.,.PA2=PB?PQ,

rZPAF=ZPCE

在4AFP與ACEP中，ZAPF=ZCPE>

PA=PC

.,.△AFP^ACEP,

.\PF=PE,

.\PA=PE=—EF,

2

.?.EF2=4BP*QP.

【點評】本題考查了切線的判定，平行四邊形的性質，相像三角形的判定和性質，正確的作出協助

線是解題的關鍵.

24.如圖，反比例函數y=K（x>0）的圖象與直線y=x交于點M,ZAMB=90°,其兩邊分別與兩坐

x

標軸的正半軸交于點A,B,四邊形OAMB的面積為6.

<1）求k的值；

（2）點P在反比例函數y=K（x>0）的圖象上，若點P的橫坐標為3,NEPF=90。，其兩邊分別與

x

X軸的正半軸，直線y=x交于點E,F,問是否存在點E,使得PE=PF?若存在，求出點E的坐標；

備用圖

【考點】反比例函數與一次函數的交點問題.

【分析】（I）過點M作MC_Lx軸于點C,MDJ_y軸于點D,依據AAS證明△AMCgABMD,

那么S四地形OCMD=S四邊形OAMB=6,依據反比例函數比例系數k的幾何意乂得出k=6；

（2）先依據反比例函數圖象二點的坐標特征求得點P的坐標為（3,2）.再分兩種狀況進行探討:

①如圖2,過點P作PG_Lx軸于點G,過點F作FH_LPG于點H,交y軸于點K.依據AAS證明

△PGE且△FHP,進而求出E點坐標；②如圖3,同理求出E點坐標.

【解答】解：（1）如圖1,過點M作MC_Lx軸于點C,MDJ_y軸于點D,

則NMCA二NMDB=90°,ZAMC=ZBMD,MC=MD,

AAAMC^ABMD,

?'?S四邊形OCMD=S四地形0AMB=6，

.*.k=6；

（2）存在點E,使得PE=PF.

由題意，得點P的坐標為（3,2）.

①如圖2,過點P作PG_Lx軸于點G,過點F作FH_LPG于點H,交y軸于點K.

VZPGE=ZFHP=90°,ZEPG=ZPFH,PE=PF,

???△PGE咨△FHP,

.\PG=FH=2,FK=0K=3-2=1,GE=HP=2-1=1,

.\OE=OG+GE=3+1=4,

AE(4,0)；

②如圖3,過點P作PG_Lx軸于點G,過點F作FH_LPG于點H,交y軸于點K.

VZPGE=ZFHP=90°,ZEPG=ZPFH,PE=PF,

/.△PGE^AFHP,

.,.PG=FH=2,FK=OK=3+2=5,GE=HP=5-2=3,

.\OE=OG+GE=3+3=6,

圖1

【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，全等三角形的判定與性質，反比例函數比

例系數k的幾何意義，反比例函數圖象上點的坐標特征，有肯定難度.利用數形結合與分類探討是

解題的關鍵.

25.若正方形有兩個相鄰頂點在三角形的同一條邊上，其余兩個頂點分別在三角形的另兩條邊上,

則正方形稱為三角形該邊上的內接正方形，AABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,各邊上的高分別

記為1%,屈，%，各邊上的內接正方形的邊長分別記為Xa，Xb，XC

（1）模擬探究：如圖，正方形EFGH為AABC的BC邊上的內接正方形，求證：

ahaxa

（2）特別應用：若NBAC=90°,Xb=xc=2,求上上的值；

bc

（3）拓展延長：若^ABC為脫角三角形，b<c,請推斷Xb與Xc的大小，并說明理由.

【分析】（1）先依據EH〃FG,判定△AEHs/\ABC,再依據相像三角形對應邊成比例，列出比例

式變形即可得到工十;二；；

ahaxa

（2）先依據（1）中的結論得出再將hb=c和Xb=2代入變形，即可求得三上的值：

bhbxbbc

111111bhch

（3）先依據（1）中的結論得出真1和二■丁，變形得出乂卜二一?■h，x=—r再

c

bhbxbchcxcbb+hbc4-hc

依據aABC得到bhb=ch「hb=csinA,hc=bsinA,最終代入代數式;一；進行變形推導，即可得出

xbxc

Xb與Xc的大小關系.

【解答】解：???正方形EFGH中，EH〃FG,

AAAEH^AABC,

VAD1BC,

.EHAKxaxa

??二一,［H、nJ二

BCADa

「aha』，

(2)由(1)得：

bhbxb

,/NA=90°,

:.hb=c,

又。6=2,

(3)Xb>xc.

.1.111.11

證明：由(1)得z：二+1二，二+1工一，

b%Xbchcxc

._叫chc

x-,x,

**bb+hTuuc-7+h7

.\2S=bhb=chc,

又,?'hb二csinA,hc=bsinA,

.J^-J^_b+hb-(c+hc)

*,xbxc_2S

b+csinA-(c+bsinA)

"2S

(b-c)(1-sibA)

2S'

Vb<c,sinA<1,

【點評】本題主要考查了三角形的綜合運用，難度較大，解決問題的關鍵是駕馭相像三角形的判定

與性質.解題時留意，當三角形的高出現時，可以考慮相像三角形的對應高之比等于相像比；其中

第（2）個問題也可以運用相像三角形的性質進行計算求解.此外，特別應用和拓展延長部分的解答

都運用了模擬探究中的結論.

26.如圖，拋物線Ci：y=-歷2+2J&的頂點為A,與x軸的正半軸交于點B.

（1）將拋物線G上的點的橫坐標和縱坐標都擴大到原來的2倍，求變換后得到的拋物線的解析式;

（2）將拋物線Ci上的點（x,y）變為（kx,ky）（|k|>l）,變換后得