試題PAGE1試題威海市2024年初中學業考試數學注意事項：1．本試卷共6頁，共120分．考試時間120分鐘．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、考生號、座號填寫在答題卡和試卷規定的位置上．3．所有的試題都必須在專用的“答題卡”上作答．寫在試卷上或答題卡指定區域以外的答案一律無效．4．選擇題用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號、作圖題用2B鉛筆（加黑加粗，描寫清楚）或0.5毫米的黑色簽字筆作答．其它題目用0.5毫米的黑色簽字筆作答．如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶．5．不要求保留精確度的題目，計算結果保留準確值．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的．每小題選對得3分，選錯、不選或多選，均不得分）1.一批食品，標準質量為每袋．現隨機抽取4個樣品進行檢測，把超過標準質量的克數用正數表示，不足的克數用負數表示．那么，最接近標準質量的是（）A. B. C. D.2.據央視網2023年10月11日消息，中國科學技術大學中國科學院量子創新研究院與上海微系統所、國家并行計算機工程技術研究中心合作，成功構建了255個光子的量子計算原型機“九章三號”，再度刷新了光量子信息的技術水平和量子計算優越性的世界紀錄．“九章三號”處理高斯玻色取樣的速度比上一代“九章二號”提升一百萬倍，在百萬分之一秒時間內所處理的最高復雜度的樣本，需要當前最強的超級計算機花費超過二百億年的時間．將“百萬分之一”用科學記數法表示為（）A. B. C. D.3.下列各數中，最小的數是（）A. B. C. D.4.下列運算正確的是（）A. B.C. D.5.下列幾何體都是由四個大小相同的小正方體搭成的．其中主視圖、左視圖和俯視圖完全相同的是（）A. B. C. D.6.如圖，在扇形中，，點是的中點．過點作交于點，過點作，垂足為點．在扇形內隨機選取一點，則點落在陰影部分的概率是（）A B. C. D.7.定義新運算：①在平面直角坐標系中，表示動點從原點出發，沿著軸正方向（）或負方向（）．平移個單位長度，再沿著軸正方向（）或負方向（）平移個單位長度．例如，動點從原點出發，沿著軸負方向平移個單位長度，再沿著軸正方向平移個單位長度，記作．②加法運算法則：，其中，，，為實數．若，則下列結論正確的是（）A.， B.，C.， D.，8.《九章算術》是我國古老數學經典著作，書中提到這樣一道題目：以繩測井．若將繩三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺．繩長、井深各幾何？題目大意是：用繩子測量水井的深度．如果將繩子折成三等份，一份繩長比井深多尺；如果將繩子折成四等份，一份繩長比井深多尺．繩長、井深各是多少尺？若設繩長尺，井深尺，則符合題意的方程組是（）A. B.C. D.9.如圖，在中，對角線，交于點，點在上，點在上，連接，，，交于點．下列結論錯誤的是（）A若，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，則10.同一條公路連接，，三地，地在，兩地之間．甲、乙兩車分別從地、地同時出發前往地．甲車速度始終保持不變，乙車中途休息一段時間，繼續行駛．下圖表示甲、乙兩車之間的距離（）與時間（）的函數關系．下列結論正確的是（）A.甲車行駛與乙車相遇 B.，兩地相距C.甲車的速度是 D.乙車中途休息分鐘二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．只要求填出最后結果）11.計算：________．12.因式分解：________．13.如圖，在正六邊形中，，，垂足為點I．若，則________．14.計算：________．15.如圖，在平面直角坐標系中，直線與雙曲線交于點，．則滿足的的取值范圍______．16.將一張矩形紙片（四邊形）按如圖所示的方式對折，使點C落在上的點處，折痕為，點D落在點處，交于點E．若，，，則________．三、解答題（本大題共8小題，共72分）17.某公司為節能環保，安裝了一批型節能燈，一年用電千瓦·時．后購進一批相同數量的型節能燈，一年用電千瓦·時．一盞型節能燈每年的用電量比一盞型節能燈每年用電量的倍少千瓦·時．求一盞型節能燈每年的用電量．18.為增強學生體質，某校在八年級男生中試行“每日鍛煉，每月測試”的引體向上訓練活動，設定6個及以上為合格．體育組為了解一學期的訓練效果，隨機抽查了20名男生2至6月份的測試成績．其中，2月份測試成績如表1，6月份測試成績如圖1（尚不完整）．整理本學期測試數據得到表2和圖2（尚不完整）．2月份測試成績統計表個數人數表1本學期測試成績統計表1平均數/個眾數/個中位數/個合格率2月3月4月5月6月表2請根據圖表中的信息，解答下列問題：（1）將圖1和圖2中的統計圖補充完整，并直接寫出a，b，c的值；（2）從多角度分析本次引體向上訓練活動的效果；（3）若將此活動在鄰校八年級推廣，該校八年級男生按400人計算，以隨機抽查20名男生訓練成績為樣本，估算經過一學期的引體向上訓練，可達到合格水平的男生人數．19.某校九年級學生開展利用三角函數解決實際問題的綜合與實踐活動，活動之一是測量某護堤石壩與地平面的傾斜角．測量報告如下表（尚不完整）課題測量某護堤石壩與地平面的傾斜角成員組長：×××組員：×××，×××，×××測量工具竹竿，米尺測量示意圖說明：是一根筆直的竹竿．點是竹竿上一點．線段的長度是點到地面的距離．是要測量的傾斜角．測量數據

…………（1）設，，，，，，，，請根據表中的測量示意圖，從以上線段中選出你認為需要測量的數據，把表示數據的小寫字母填寫在“測量數據”一欄．（2）根據（）中選擇的數據，寫出求的一種三角函數值的推導過程．（3）假設，，，根據（）中的推導結果，利用計算器求出的度數，你選擇的按鍵順序為________．20.感悟如圖1，中，點，在邊上，，．求證：．應用（1）如圖2，用直尺和圓規在直線上取點，點（點在點的左側），使得，且（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）如圖3，用直尺和圓規在直線上取一點，在直線上取一點，使得，且（不寫作法，保留作圖痕跡）．21.定義我們把數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值．數軸上表示數a，b的點A，B之間的距離．特別的，當時，表示數a的點與原點的距離等于．當時，表示數a的點與原點的距離等于．應用如圖，在數軸上，動點A從表示的點出發，以1個單位/秒的速度沿著數軸的正方向運動．同時，動點B從表示12的點出發，以2個單位/秒的速度沿著數軸的負方向運動．（1）經過多長時間，點A，B之間的距離等于3個單位長度？（2）求點A，B到原點距離之和的最小值．22.如圖，已知是的直徑，點C，D在上，且．點E是線段延長線上一點，連接并延長交射線于點F．的平分線交射線于點H，．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長．23.如圖，在菱形中，，，為對角線上一動點，以為一邊作，交射線于點，連接．點從點出發，沿方向以每秒的速度運動至點處停止．設的面積為，點的運動時間為秒．（1）求證：；（2）求與的函數表達式，并寫出自變量的取值范圍；（3）求為何值時，線段的長度最短．24.已知拋物線與x軸交點的坐標分別為，，且．（1）若拋物線與x軸交點的坐標分別為，，且．試判斷下列每組數據的大?。ㄌ顚憽⒒颍孩賍_______；②________；③________．（2）若，，求b的取值范圍；（3）當時，最大值與最小值的差為，求b的值．威海市2024年初中學業考試數學注意事項：1．本試卷共6頁，共120分．考試時間120分鐘．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、考生號、座號填寫在答題卡和試卷規定的位置上．3．所有的試題都必須在專用的“答題卡”上作答．寫在試卷上或答題卡指定區域以外的答案一律無效．4．選擇題用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號、作圖題用2B鉛筆（加黑加粗，描寫清楚）或0.5毫米的黑色簽字筆作答．其它題目用0.5毫米的黑色簽字筆作答．如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶．5．不要求保留精確度的題目，計算結果保留準確值．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的．每小題選對得3分，選錯、不選或多選，均不得分）1.一批食品，標準質量為每袋．現隨機抽取4個樣品進行檢測，把超過標準質量的克數用正數表示，不足的克數用負數表示．那么，最接近標準質量的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了絕對值的意義，正負數的意義，直接利用正負數的意義以及絕對值的意義可得最接近標準是哪一袋．【詳解】解：∵超過標準質量的克數用正數表示，不足的克數用負數表示．∴∴最接近標準質量的是故選：C．2.據央視網2023年10月11日消息，中國科學技術大學中國科學院量子創新研究院與上海微系統所、國家并行計算機工程技術研究中心合作，成功構建了255個光子的量子計算原型機“九章三號”，再度刷新了光量子信息的技術水平和量子計算優越性的世界紀錄．“九章三號”處理高斯玻色取樣的速度比上一代“九章二號”提升一百萬倍，在百萬分之一秒時間內所處理的最高復雜度的樣本，需要當前最強的超級計算機花費超過二百億年的時間．將“百萬分之一”用科學記數法表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了用科學記數法表示絕對值較小的數，用科學記數法表示絕對值較小的數，一般形式為，其中，為整數．【詳解】解：百萬分之一．故選：B．3.下列各數中，最小的數是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了實數的大小比較，根據實數的大小比較即可求解．【詳解】解：，∵∴最小的數是故選：A．4.下列運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查合并同類項、同底數冪的除法、積的乘方，根據合并同類項、同底數冪的除法、積的乘方的運算法則計算即可．【詳解】A、，運算錯誤，該選項不符合題意；B、，運算錯誤，該選項不符合題意；C、，運算正確，該選項符合題意；D、，運算錯誤，該選項不符合題意．故選：C5.下列幾何體都是由四個大小相同的小正方體搭成的．其中主視圖、左視圖和俯視圖完全相同的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了三視圖；分別畫出四個選項中幾何體的左視圖與俯視圖，通過比較即可得出答案．【詳解】解：A、主視圖為，左視圖為，主視圖與左視圖不同，故該選項不符合題意；B、主視圖為，左視圖為，主視圖與左視圖不同，故該選項不符合題意；C、主視圖為，左視圖為，主視圖與左視圖不同，故該選項不符合題意；D、主視圖為，左視圖為，主視圖與左視圖相同，故該選項符合題意；故選：D．6.如圖，在扇形中，，點是的中點．過點作交于點，過點作，垂足為點．在扇形內隨機選取一點，則點落在陰影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查的是求不規則圖形的面積，幾何概率，根據陰影部分面積等于扇形的面積，即可求解．【詳解】解：∵，，∴四邊形是矩形，∴∴∵點是的中點∴∴∴∴，，點落在陰影部分的概率是故選：B．7.定義新運算：①在平面直角坐標系中，表示動點從原點出發，沿著軸正方向（）或負方向（）．平移個單位長度，再沿著軸正方向（）或負方向（）平移個單位長度．例如，動點從原點出發，沿著軸負方向平移個單位長度，再沿著軸正方向平移個單位長度，記作．②加法運算法則：，其中，，，為實數．若，則下列結論正確的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】本題考查了新定義運算，平面直角坐標系，根據新定義得出，即可求解．【詳解】解：∵，∴解得：，故選：B．8.《九章算術》是我國古老的數學經典著作，書中提到這樣一道題目：以繩測井．若將繩三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺．繩長、井深各幾何？題目大意是：用繩子測量水井的深度．如果將繩子折成三等份，一份繩長比井深多尺；如果將繩子折成四等份，一份繩長比井深多尺．繩長、井深各是多少尺？若設繩長尺，井深尺，則符合題意的方程組是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查二元一次方程組的應用，此題中的等量關系有：①將繩三折測之，繩多四尺；②繩四折測之，繩多一尺，不變的是井深，據此即可得方程組．正確理解題意，找準等量關系解題的關鍵．【詳解】解：設繩長x尺，井深y尺，依題意，得：．故選：C．9.如圖，在中，對角線，交于點，點在上，點在上，連接，，，交于點．下列結論錯誤的是（）A.若，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，則【答案】D【解析】【分析】本題考查了相似三角形的性質與判定，菱形的性質與判定，垂直平分線的性質，全等三角形的性質與判定；根據相似三角形的性質與判定即可判斷A，根據題意可得四邊形是的角平分線，進而判斷四邊形是菱形，證明可得則垂直平分，即可判斷B選項，證明四邊形是菱形，即可判斷C選項，D選項給的條件，若加上，則成立，據此，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴A.若，即，又，∴∴∴，故A選項正確，B.若，，，∴是的角平分線，∴∵∴∴∴∴四邊形是菱形，∴在中，∴∴又∵∴∴，故B選項正確，C.∵，∴∵，∴∴∴∵∴∴四邊形是菱形，又∵∴，則∴∴∴，故C選項正確；D.若，則四邊形是菱形，由，且時，可得垂直平分，∵∴，故D選項不正確故選：D．10.同一條公路連接，，三地，地在，兩地之間．甲、乙兩車分別從地、地同時出發前往地．甲車速度始終保持不變，乙車中途休息一段時間，繼續行駛．下圖表示甲、乙兩車之間的距離（）與時間（）的函數關系．下列結論正確的是（）A.甲車行駛與乙車相遇 B.，兩地相距C.甲車的速度是 D.乙車中途休息分鐘【答案】A【解析】【分析】本題考查了函數圖象，根據函數圖象結合選項，逐項分析判斷，即可求解．【詳解】解：根據函數圖象可得兩地之間的距離為（）兩車行駛了小時，同時到達地，如圖所示，在小時時，兩側同向運動，在第2小時，即點時，兩者距離發生改變，此時乙車休息，點的意義是兩車相遇，點意義是乙車休息后再出發，∴乙車休息了1小時，故D不正確，設甲車的速度為，乙車的速度為，根據題意，乙車休息后兩者同時到達地，則甲車的速度比乙車的速度慢，∵即在時，乙車不動，則甲車的速度是，∴乙車速度為，故C不正確，∴的距離為千米，故B不正確，設小時兩輛車相遇，依題意得，解得：即小時時，兩車相遇，故A正確故選：A．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．只要求填出最后結果）11.計算：________．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次根式的混合運算，根據二次根式的性質以及二次根式的乘法進行計算即可求解．【詳解】解：故答案為：．12.因式分解：________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多項式乘以多項式展開，然后利用完全平方公式分解因式即可．【詳解】解：故答案為：．13.如圖，在正六邊形中，，，垂足為點I．若，則________．【答案】##50度【解析】【分析】本題考查了正六邊形的內角和、平行平行線的性質及三角形內角和定理，先求出正六邊形的每個內角為，即，則可求得的度數，根據平行線的性質可求得的度數，進而可求出的度數，再根據三角形內角和定理即可求出的度數．【詳解】解：∵正六邊形的內角和，每個內角為：，，，，，，，，，，．故答案為：．14.計算：________．【答案】##【解析】【分析】本題考查分式的加減，根據同分母分式的加減法則解題即可．【詳解】．故答案為：．15.如圖，在平面直角坐標系中，直線與雙曲線交于點，．則滿足的的取值范圍______．【答案】或【解析】【分析】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，根據圖象解答即可求解，利用數形結合思想解答是解題的關鍵．【詳解】解：由圖象可得，當或時，，∴滿足的的取值范圍為或，故答案為：或．16.將一張矩形紙片（四邊形）按如圖所示的方式對折，使點C落在上的點處，折痕為，點D落在點處，交于點E．若，，，則________．【答案】【解析】【分析】本題考查矩形的折疊問題，全等三角形的判定和性質，勾股定理，先根據勾股定理求出，然后證明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解題即可．【詳解】解：在中，，由折疊可得，，又∵是矩形，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴，，∴，，設，則，在中，，即，解得：，故答案為．三、解答題（本大題共8小題，共72分）17.某公司為節能環保，安裝了一批型節能燈，一年用電千瓦·時．后購進一批相同數量的型節能燈，一年用電千瓦·時．一盞型節能燈每年的用電量比一盞型節能燈每年用電量的倍少千瓦·時．求一盞型節能燈每年的用電量．【答案】千瓦·時，過程見詳解【解析】【分析】本題考查分式方程，根據題意列方程是關鍵，并注意檢驗．根據兩種節能燈數量相等列式分式方程求解即可．【詳解】解：設一盞型節能燈每年的用電量為千瓦·時，則一盞型節能燈每年的用電量為千瓦·時整理得解得經檢驗：是原分式方程的解．答：一盞型節能燈每年的用電量為千瓦·時18.為增強學生體質，某校在八年級男生中試行“每日鍛煉，每月測試”的引體向上訓練活動，設定6個及以上為合格．體育組為了解一學期的訓練效果，隨機抽查了20名男生2至6月份的測試成績．其中，2月份測試成績如表1，6月份測試成績如圖1（尚不完整）．整理本學期測試數據得到表2和圖2（尚不完整）．2月份測試成績統計表個數人數表1本學期測試成績統計表1平均數/個眾數/個中位數/個合格率2月3月4月5月6月表2請根據圖表中的信息，解答下列問題：（1）將圖1和圖2中的統計圖補充完整，并直接寫出a，b，c的值；（2）從多角度分析本次引體向上訓練活動的效果；（3）若將此活動在鄰校八年級推廣，該校八年級男生按400人計算，以隨機抽查的20名男生訓練成績為樣本，估算經過一學期的引體向上訓練，可達到合格水平的男生人數．【答案】（1）見解析，（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）根據總人數減去引體向上為其他個數人數，進而補充條形統計圖，根據題意求得合格率，補充折線統計圖，根據平均數，眾數的定義，即可得出的值；（2）根據平均數，眾數，中位數，合格率，分析；（3）根據樣本估計總體即可求解．【小問1詳解】解：月測試成績中，引體向上個的人數為根據表2可得，；【小問2詳解】解：本次引體向上訓練活動的效果明顯，從平均數和合格率看，平均數和合格率逐月增加，從中位數看，引體向上個數逐月增加，從眾數看，引體向上的個數越來越大，（答案不唯一，合理即可）【小問3詳解】解：（人）答：估算經過一學期的引體向上訓練，可達到合格水平的男生人數為人【點睛】本題考查了條形統計圖，折線統計圖，統計表，樣本估計總體，以及求平均數，眾數，中位數的意義；掌握相關的統計量的意義是解題的關鍵．19.某校九年級學生開展利用三角函數解決實際問題的綜合與實踐活動，活動之一是測量某護堤石壩與地平面的傾斜角．測量報告如下表（尚不完整）課題測量某護堤石壩與地平面的傾斜角成員組長：×××組員：×××，×××，×××測量工具竹竿，米尺測量示意圖說明：是一根筆直的竹竿．點是竹竿上一點．線段的長度是點到地面的距離．是要測量的傾斜角．測量數據

…………（1）設，，，，，，，，請根據表中的測量示意圖，從以上線段中選出你認為需要測量的數據，把表示數據的小寫字母填寫在“測量數據”一欄．（2）根據（）中選擇的數據，寫出求的一種三角函數值的推導過程．（3）假設，，，根據（）中的推導結果，利用計算器求出的度數，你選擇的按鍵順序為________．【答案】（1），，，；（2），推導見解析；（3）．【解析】【分析】（）根據題意選擇需要的數據即可；（）過點作于點，可得，得到，即得，得到，再根據正弦的定義即可求解；（）根據（）的結果即可求解；本題考查了解直角三角形，相似三角形的的判定和性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．【小問1詳解】解：需要的數據為：，，，；【小問2詳解】解：過點作于點，則，∵，∴，∴∴，即∴，∴；【小問3詳解】解：∵，∴按鍵順序為，故答案為：．20.感悟如圖1，在中，點，在邊上，，．求證：．應用（1）如圖2，用直尺和圓規在直線上取點，點（點在點的左側），使得，且（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）如圖3，用直尺和圓規在直線上取一點，在直線上取一點，使得，且（不寫作法，保留作圖痕跡）．【答案】見解析【解析】【分析】本題主要考查全等三角形的判定及性質、尺規作圖：證明，即可求得；應用（1）：以點為圓心，以長度為半徑作圓，交直線于一點，該點即為點，以點為圓心，以長度為半徑作圓，交直線于一點，該點即為點，連接，；應用（2）：以點為圓心，以長為半徑作圓，交的延長線于一點，該點即為點，以點為圓心，以長為半徑作圓，交直線于一點，該點即為點，連接．【詳解】∵，∴．在和中∴．∴．應用（1）：以點為圓心，以長度為半徑作圓，交直線于一點，該點即為點，以點為圓心，以長度為半徑作圓，交直線于一點，該點即為點，連接，，圖形如圖所示．應用（2）：以點為圓心，以長為半徑作圓，交的延長線于一點，該點即為點，以點為圓心，以長為半徑作圓，交直線于一點，該點即為點，連接，圖形如圖所示．21.定義我們把數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值．數軸上表示數a，b的點A，B之間的距離．特別的，當時，表示數a的點與原點的距離等于．當時，表示數a的點與原點的距離等于．應用如圖，在數軸上，動點A從表示的點出發，以1個單位/秒的速度沿著數軸的正方向運動．同時，動點B從表示12的點出發，以2個單位/秒的速度沿著數軸的負方向運動．（1）經過多長時間，點A，B之間的距離等于3個單位長度？（2）求點A，B到原點距離之和的最小值．【答案】（1）過4秒或6秒（2）3【解析】【分析】本題考查了一元一次方程的應用，不等式的性質，絕對值的意義等知識，解題的關鍵是：（1）設經過x秒，則A表示的數為，B表示的數為，根據“點A，B之間的距離等于3個單位長度”列方程求解即可；（2）先求出點A，B到原點距離之和為，然后分，，三種情況討論，利用絕對值的意義，不等式的性質求解即可．【小問1詳解】解：設經過x秒，則A表示的數為，B表示的數為，根據題意，得，解得或6，答，經過4秒或6秒，點A，B之間的距離等于3個單位長度；【小問2詳解】解：由（1）知：點A，B到原點距離之和為，當時，，∵，∴，即，當時，，∵，∴，即，當時，，∵，∴，即，綜上，，∴點A，B到原點距離之和的最小值為3．22.如圖，已知是的直徑，點C，D在上，且．點E是線段延長線上一點，連接并延長交射線于點F．的平分線交射線于點H，．（1）求證：是切線；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查切線的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性質，圓周角定理，根據角平分線的定義得到是解題的關鍵．（1）連接，根據圓周角定理得到，即可得到，然后根據角平分線的定義得到，然后得到即可證明切線；（2）設的半徑為，根據，可以求出，然后根據，即可得到結果．【小問1詳解】證明：連接，則，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，又∵是半徑，∴是的切線；【小問2詳解】解：設的半徑為，則，∵，即，解得，∴，，又∵∴，∴，即，解得．23.如圖，在菱形中，，，為對角線上一動點，以為一邊作，交射線于點，連接．點從點出發，沿方向以每秒的速度運動至點處停止．設的面積為，點的運動時間為秒．（1）求證：；（2）求與的函數表達式，并寫出自變量的取值范圍；（3）求為何值時，線段長度最短．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．