高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省臺金七校聯盟2024-2025學年高一上學期期中聯考數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.命題“至少有一個實數，使得”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】根據存在命題的否定可知，至少有一個實數，使得的否定是，.故選：D.2.學校開運動會，設是參加100米跑的同學}，是參加200米跑的同學}，是參加400米跑的同學}．學校規定，每個參加上述比賽的同學最多只能參加兩項比賽．請你用集合的運算說明這項規定（）A. B.C. D.【答案】D【解析】學校規定，每個參加上述比賽的同學最多只能參加兩項比賽，故沒有同學參加三項比賽，即.故選：D.3.設，且，則下列運算中正確的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】對于選項A：，故A錯誤；對于選項B：，故B錯誤；對于選項C：例如，則，故C錯誤；對于選項D：，故D正確.故選：D.4.如圖，①②③④中不屬于函數，，的一個是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】B【解析】根據函數與關于對稱，可知①④正確，函數為單調遞增函數，故③正確，所以②不是已知函數圖象.故選：B.5.對于集合，和全集，“”是“”的什么條件（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】韋恩圖所示：由推出，反之由推出，所以“”是“”的充要條件.故選：A.6.圖（1）是某條公共汽車線路收支差額關于乘客量的圖象.由于目前本條線路虧損，公司有關人員提出了兩種扭虧為贏建議，如圖（2）（3）所示，這兩種建議是（）A.（2）：降低成本，票價不變；（3）：成本不變，提高票價.B.（2）：提高成本，票價不變；（3）：成本不變，降低票價.C.（2）：成本不變，提高票價；（3）：提高成本，票價不變.D.（2）：降低成本，提高票價；（3）：降低成本，票價不變.【答案】A【解析】（2）直線向上平移，當乘客量為0時，差額絕對值變小，又收入為0，說明降低成本，兩直線平行，說明票價不變；（3）：當乘客量為0時，差額未變，又收入為0，說明成本沒變，直線的傾斜角變大，說明相同的乘客量時收入變大，即票價提高了.故選：A.7.已知函數的定義域為，是奇函數，為偶函數，（為自然對數的底數，），則在區間上的最小值為（）A.2 B.3 C. D.【答案】B【解析】由題意可得：，可得，因為在上單調遞減，可得在上單調遞減，所以在區間上的最小值為.故選：B.8.若集合時，，均有恒成立，則的最大值為（）A.1 B.4 C.16 D.64【答案】B【解析】要使不等式恒成立，則恒成立，當取得最大值，時，取得最大值，即恒成立，因為函數和都是增函數，所以函數是增函數，當時，，所以的最大值為4.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，，則C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】對于選項A：例如，則，，即，故A錯誤；對于選項B：因為，，則，可得，所以，故B正確；對于選項C：例如，則，，即，故C錯誤；對于選項D：因為，且，則，可得，即，故D正確.故選：BD.10.波恩哈德·黎曼（1866.07.20~1926.09.17）是德國著名的數學家.他在數學分析、微分幾何方面作出過重要貢獻，開創了黎曼幾何，并給后來的廣義相對論提供了數學基礎.他提出了著名的黎曼函數，該函數的定義域為，其解析式為：，下列關于黎曼函數的說法正確的是（）A. B.，，C.的值域為 D.為偶函數【答案】ABD【解析】通過題目信息可知對于有理數和無理數具有不同的取值，且當為無理數時，：對于A選項，代入驗證易知其正確；對于B選項，不妨設，根據的性質可得的最小值為，當時，，當時，，當時，若和中有無理數，則，若和均為有理數，不妨設，其中，，，均為正整數，則，，若與互質，則，若與有大于的公約數，則，綜上可得，B選項正確；對于C選項，計算可知的函數值只能是有理數，C選項錯誤；對于D選項，的定義域為，，，對于任意的，當為無理數時，和均為無理數，，當為有理數時，可令，其中和是互質的正整數且，則，，綜上可知對于任意的都有，是偶函數，D正確.故選：ABD.11.若函數，當時，的最大值為，最小值為；則下列說法正確的是（）A.的值與無關 B.的值與無關C.函數，至少有一個零點 D.函數，至多有三個零點【答案】ACD【解析】對于選項AB：假設，，則，顯然，可知的值與無關，與有關，故A正確，B錯誤；對于選項CD：令，可得，構建，則，可知為奇函數，若，在單調遞增，其圖象如圖所示：可知y=gx與恒有1個交點，即恒有1個零點；若，在單調遞減，在上單調遞增，其圖象如圖所示：可知y=gx與可能有1、2或3個交點，即可能有1、2或3個零點；綜上所述：函數，x∈R至少有一個零點，至多有三個零點，故CD正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，，若，則實數的值為__________.【答案】【解析】由，知是的子集，所以或或.由集合中元素的互異性，知，所以，故，.從而，而，故.經驗證滿足條件.13.已知，若，，則的最小值為__________.【答案】【解析】因為，若，，可知，則，可得，則，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為.14.若函數，（，且）在區間上單調遞增，則的取值范圍是_________.【答案】【解析】可看作由函數與函數復合而成，當時，因為為增函數，所以在上單調遞增即可，由對勾函數的單調性，只需，解得，當時，因為為減函數，所以在上單調遞減即可，由對勾函數的單調性，只需，解得，綜上，的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，，.（1）求，；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求的取值范圍.解：（1）由已知得，，，，.（2）因為“”是“”的充分不必要條件，所以，若，即時，，符合題意；若，即時，，所以，所以；若，即時，，所以，所以，綜上，.16.設奇函數，（為自然對數的底數，）.（1）求的定義域和；（2），求函數的值域.解：（1）因為，令，可得，可知的定義域為；因為是奇函數，則，解得，可得，則，即，可知是奇函數.綜上所述：（2）由（1）可知，令，則，因為在上單調遞減，當時，；當時，；可知，即，且在定義域內為增函數，則，所以的值域為.17.設函數.（1）若，求證：在0，2內存在零點；（2）若不等式的解集是，且時，恒成立，求的取值范圍.解：（1）由，即，，，，當時，，由零點存在性定理知在0，2上存在零點；當時，則，是零點，此時存在零點；綜上在0，2內存在零點（2）依題意得，且，是方程的兩根，由韋達定理得，，，所以，依題意，得在上恒成立，因為，，所以只需，令，，令，則，在上單調遞增，所以時，，，.18.函數滿足：對任意實數，，有成立；函數，，，且當時，gx>0.（1）求并證明函數為奇函數；（2）證明：函數在0，+（3）若關于的不等式恒成立，求的取值范圍.解：（1）因為，令，則，得f1=0；令，則，得；證明：，令，依題意得，即f-x=-f所以是奇函數.（2）由得，即，，，，則，則，可得，即，所以函數在0，+∞上單調遞增（3）因為，，且函數為奇函數，則，可知是偶函數，且，因為，可得，因為是偶函數，且，可得，又因為函數在0，+∞上單調遞增，可得因為，則，可知，當時，，當且僅當，即時，等號成立；當時，，當且僅當，即時，等號成立；綜上所述：.可得，解得，且，所以的取值范圍為.19.已知函數的定義域為，若最多存在個實數，，，，，使得，，則稱函數為“級函數”.（1）函數①，②是否為“級函數”，如果是，求出的值，如果不是，請說明理由；（2）若函數，求值；（3）若函數，求，的取值范圍.（用表示）解：（1）①函數為偶函數，圖象關于軸對稱，且在上遞增，在0，+∞上遞減，所以為“級函數”，且；②在上遞減，且此時；在0，+∞上遞減，且此時；所以不為“級函數”.（2），y=fx的圖象關于直線軸對稱，當時，，；當時，，.（3），易得，①當，時，，即，所以，令，當時，在遞增，在遞增，所以；當時，在遞增，在遞增，在遞減，所以；當時，在遞減，在遞增，在遞增，在遞減，所以；②當，時，，即，所以，令，對稱軸是，在上遞減，所以，因為：；故：當時，的取值范圍為，當時，的取值范圍為，當時，的取值范圍為.浙江省臺金七校聯盟2024-2025學年高一上學期期中聯考數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.命題“至少有一個實數，使得”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】根據存在命題的否定可知，至少有一個實數，使得的否定是，.故選：D.2.學校開運動會，設是參加100米跑的同學}，是參加200米跑的同學}，是參加400米跑的同學}．學校規定，每個參加上述比賽的同學最多只能參加兩項比賽．請你用集合的運算說明這項規定（）A. B.C. D.【答案】D【解析】學校規定，每個參加上述比賽的同學最多只能參加兩項比賽，故沒有同學參加三項比賽，即.故選：D.3.設，且，則下列運算中正確的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】對于選項A：，故A錯誤；對于選項B：，故B錯誤；對于選項C：例如，則，故C錯誤；對于選項D：，故D正確.故選：D.4.如圖，①②③④中不屬于函數，，的一個是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】B【解析】根據函數與關于對稱，可知①④正確，函數為單調遞增函數，故③正確，所以②不是已知函數圖象.故選：B.5.對于集合，和全集，“”是“”的什么條件（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】韋恩圖所示：由推出，反之由推出，所以“”是“”的充要條件.故選：A.6.圖（1）是某條公共汽車線路收支差額關于乘客量的圖象.由于目前本條線路虧損，公司有關人員提出了兩種扭虧為贏建議，如圖（2）（3）所示，這兩種建議是（）A.（2）：降低成本，票價不變；（3）：成本不變，提高票價.B.（2）：提高成本，票價不變；（3）：成本不變，降低票價.C.（2）：成本不變，提高票價；（3）：提高成本，票價不變.D.（2）：降低成本，提高票價；（3）：降低成本，票價不變.【答案】A【解析】（2）直線向上平移，當乘客量為0時，差額絕對值變小，又收入為0，說明降低成本，兩直線平行，說明票價不變；（3）：當乘客量為0時，差額未變，又收入為0，說明成本沒變，直線的傾斜角變大，說明相同的乘客量時收入變大，即票價提高了.故選：A.7.已知函數的定義域為，是奇函數，為偶函數，（為自然對數的底數，），則在區間上的最小值為（）A.2 B.3 C. D.【答案】B【解析】由題意可得：，可得，因為在上單調遞減，可得在上單調遞減，所以在區間上的最小值為.故選：B.8.若集合時，，均有恒成立，則的最大值為（）A.1 B.4 C.16 D.64【答案】B【解析】要使不等式恒成立，則恒成立，當取得最大值，時，取得最大值，即恒成立，因為函數和都是增函數，所以函數是增函數，當時，，所以的最大值為4.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，，則C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】對于選項A：例如，則，，即，故A錯誤；對于選項B：因為，，則，可得，所以，故B正確；對于選項C：例如，則，，即，故C錯誤；對于選項D：因為，且，則，可得，即，故D正確.故選：BD.10.波恩哈德·黎曼（1866.07.20~1926.09.17）是德國著名的數學家.他在數學分析、微分幾何方面作出過重要貢獻，開創了黎曼幾何，并給后來的廣義相對論提供了數學基礎.他提出了著名的黎曼函數，該函數的定義域為，其解析式為：，下列關于黎曼函數的說法正確的是（）A. B.，，C.的值域為 D.為偶函數【答案】ABD【解析】通過題目信息可知對于有理數和無理數具有不同的取值，且當為無理數時，：對于A選項，代入驗證易知其正確；對于B選項，不妨設，根據的性質可得的最小值為，當時，，當時，，當時，若和中有無理數，則，若和均為有理數，不妨設，其中，，，均為正整數，則，，若與互質，則，若與有大于的公約數，則，綜上可得，B選項正確；對于C選項，計算可知的函數值只能是有理數，C選項錯誤；對于D選項，的定義域為，，，對于任意的，當為無理數時，和均為無理數，，當為有理數時，可令，其中和是互質的正整數且，則，，綜上可知對于任意的都有，是偶函數，D正確.故選：ABD.11.若函數，當時，的最大值為，最小值為；則下列說法正確的是（）A.的值與無關 B.的值與無關C.函數，至少有一個零點 D.函數，至多有三個零點【答案】ACD【解析】對于選項AB：假設，，則，顯然，可知的值與無關，與有關，故A正確，B錯誤；對于選項CD：令，可得，構建，則，可知為奇函數，若，在單調遞增，其圖象如圖所示：可知y=gx與恒有1個交點，即恒有1個零點；若，在單調遞減，在上單調遞增，其圖象如圖所示：可知y=gx與可能有1、2或3個交點，即可能有1、2或3個零點；綜上所述：函數，x∈R至少有一個零點，至多有三個零點，故CD正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，，若，則實數的值為__________.【答案】【解析】由，知是的子集，所以或或.由集合中元素的互異性，知，所以，故，.從而，而，故.經驗證滿足條件.13.已知，若，，則的最小值為__________.【答案】【解析】因為，若，，可知，則，可得，則，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為.14.若函數，（，且）在區間上單調遞增，則的取值范圍是_________.【答案】【解析】可看作由函數與函數復合而成，當時，因為為增函數，所以在上單調遞增即可，由對勾函數的單調性，只需，解得，當時，因為為減函數，所以在上單調遞減即可，由對勾函數的單調性，只需，解得，綜上，的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，，.（1）求，；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求的取值范圍.解：（1）由已知得，，，，.（2）因為“”是“”的充分不必要條件，所以，若，即時，，符合題意；若，即時，，所以，所以；若，即時，，所以，所以，綜上，.16.設奇函數，（為自然對數的底數，）.（1）求的定義域和；（2），求函數的值域.解：（1）因為，令，可得，可知的定義域為；因為是奇函數，則，解得，可得，則，即，可知是奇函數.綜上所述：（2）由（1）可知，令，則，因為在上單調遞減，當時，；當時，；可知，即，且在定義域內為增函數，則，所以的值域為.17.設函數.（1）若，求證：在0，2內存在零點；（2）若不等式的解集是，且時，恒成立，求的取值范圍.解：（1）由，即，，，，當時，，由零點存在性定理知在0，2上存在零點；當時，則，是零點，此