20242025學年度蘇科版八年級上期數學期末復習之一次函數新定義綜合問題一、概念一次函數的一般式為y=kx+b（k，b為常數，k≠0），它的圖象是一條直線。當b=0時，y=kx為正比例函數，是特殊的一次函數。二、新定義題型特點1.給定新規則題目會創設一個全新的概念、運算規則或者函數性質描述等，這些新定義往往是基于已有的一次函數知識但又有所拓展或改變。例如，定義一種“伴隨函數”，規定對于一次函數y=kx+b，然后圍繞這個新定義的伴隨函數提出相關問題，像讓你比較原函數與伴隨函數圖象的差異、根據伴隨函數的某些性質求原函數中的參數等。2.整合多知識點通常會將一次函數新定義與其他數學知識相結合，比如與幾何圖形（直線與坐標軸圍成的三角形面積、兩條直線的位置關系如平行、垂直等）、方程（通過函數值相等構建方程求解自變量等）、不等式（根據函數圖象位置確定自變量取值范圍使不等式成立）等知識點融合在一起考查。例如，定義了一個新的一次函數關系后，要求求出該函數圖象與x軸、y軸所圍成三角形面積不超過某個值時參數的取值范圍，這里就涉及到一次函數圖象性質以及三角形面積公式的運用。3.考查思維與應用能力重點在于考查學生對新知識的理解能力、知識遷移能力以及靈活運用所學知識解決新情境問題的邏輯思維能力。由于是新定義，學生不能單純依靠死記硬背已有的公式和常規解題套路，而是要先讀懂并把握新定義的內涵，然后嘗試運用類比、轉化等思維方法把新問題轉化為熟悉的一次函數相關問題去求解。三、常見的新定義類型1.函數變換類定義對一次函數進行某種變換后得到新函數，如上述提到的伴隨函數是對系數取絕對值的變換；還有像關于x軸、y軸、原點對稱的變換，給定一次函數y=kx+b，它關于x軸對稱的函數為y'=kxb，關于y軸對稱的函數是y'=kx+b，關于原點對稱的函數為y'=kxb。然后圍繞變換后的新函數考查其圖象特征、性質以及與原函數的關聯等內容。2.特殊性質定義類規定一次函數具備某種特殊性質，例如定義“友好函數”，當一次函數y=kx+b（k>0）的圖象與直線y=x的夾角為30^{\circ}時，稱其為友好函數，接著要求根據這個性質確定函數中的參數k、b的值或者探討友好函數圖象經過某些特殊點的情況等。3.函數關聯定義類將一次函數與其他數學元素建立特殊聯系進行定義，比如定義“關聯函數”，考查根據兩點坐標求關聯函數表達式以及關聯函數在幾何圖形中的應用等問題。四、解題技巧1.理解新定義仔細研讀題目中給出的新定義內容，明確其具體規則、要求以及涉及的關鍵要素，對于一些抽象的定義，可以通過舉例的方式幫助自己更好地理解，比如按照新定義的規則自己找幾個簡單的一次函數去嘗試操作一下，看看會得到什么樣的結果。2.轉化問題把基于新定義提出的問題轉化為用已學的一次函數知識能夠解決的常規問題，例如新定義的函數與某直線平行，那就根據兩直線平行斜率相等（一次函數中k值相等）這個已學的知識點來構建方程或不等式求解相關參數。3.求解作答運用一次函數的圖象性質、解析式求解方法等知識進行計算、推理，得出最終答案，并按照題目要求規范書寫解答過程，注意對參數取值范圍等情況進行準確判斷和完整表述。總之，一次函數新定義問題是對一次函數知識的深化和拓展考查，需要學生在扎實掌握基礎知識的前提下，培養創新思維和靈活運用知識的能力來應對這類題型。典例一：在平面直角坐標系中，作如下定義；點的坐標為x1,y1，點的坐標為x2,y2，若，則稱、兩點為“同和點”．如圖①，點、(1)若點的坐標為．①在點，、中，是點的“同和點”的是________．（填“C”、“D”或“E”）②若點在軸上，且、兩點為“同和點”，則點的坐標為________．(2)如圖②，直線與軸、軸分別交于點、，點為線段上一動點．①若點與點為“同和點”，則點的坐標為________．②若存在點與點為“同和點”，求的取值范圍．【答案】(1)①E②(2)①②【分析】本題是一次函數綜合題，考查了一次函數的性質，理解“同和點"的定義并運用是解題的關鍵；（1）由同和點的定義可求解；由同和點的定義可求解；（2）由同和點的定義，列出等式可求解；由同和點的定義，列出等式可得．【詳解】（1）①∵點的坐標為∴∵點，、∴∴點的“同和點”的是E②點在軸上，且、兩點為“同和點”，∴（2）∵直線與軸、軸分別交于點、，當時，；當時，∴∵點與點為“同和點”，設∴∴∴點的坐標為設∵點與點為“同和點”，∴∴∵點為線段上一動點∴∴典例二：定義:對于一次函數,我們稱函數為函數的“友好函數”.(1)若,試判斷函數是否為函數的“友好函數”,并說明理由;(2)設函數與的圖象相交于點M.①若,點M在函數的“友好函數”圖象的上方,求p的取值范圍;②若,函數的“友好函數”圖象經過點M,是否存在大小確定的m值,對于不等于2的任意實數p,都有“友好函數”圖象與x軸交點Q的位置不變?若存在,請求出m的值及此時點Q的坐標;若不存在,請說明理由.【答案】(1)函數是函數的“友好函數”，理由見解析(2)①;②,【分析】此題考查了一次函數的圖象和性質,弄懂“友好函數”的定義是解題的關鍵.(1)根據定義進行判斷即可;(2)①求出點的坐標為,再求出函數的“友好函數”,根據點在函數的“友好函數”圖象的上方得到,整理后根據即可得到p的取值范圍;②將點的坐標代入“友好函數”得到由得到將代入“友好函數”得到,把代入得到解得,進一步即可求出定點Q的坐標.【詳解】（1）解：是函數的“友好函數”,理由:由函數的“友好函數”為:把代入上式,得,函數是函數的“友好函數”;（2）解:①解方程組得,函數與的圖象相交于點,點的坐標為的“友好函數”為點在函數的“友好函數”圖象的上方,整理得,的取值范圍為;②存在,理由如下:函數的“友好函數”圖象經過點.將點的坐標代入“友好函數”,得將代入,把代入,得解得:當,則,對于不等于2的任意實數,存在“友好函數”圖象與軸交點的位置不變.一、單選題1．定義新運算：，例如：，則下列關于函數的說法正確的是（

）A．點在函數圖象上B．圖象經過第一、三、四象限C．函數圖象與軸的交點為D．若點、在函數圖象上，則【答案】A【分析】本題考查了一次函數的圖象和性質，熟練掌握一次函數的圖象和性質是解題的關鍵．先根據題目所給新定義，得出該函數的解析式，再根據一次函數的性質即可解答．【詳解】解：根據題意可得：，A、把代入得，∴點在函數圖象上，故A正確，符合題意；B、∵，∴圖象經過第一、二、三象限，故B不正確，不符合題意；C、把代入得，解得，∴函數圖象與軸的交點為，故C不正確，不符合題意；D、∵，∴y隨x的增大而增大，∵點、在函數圖象上，，∴，故D不正確，不符合題意；故選：A．2．新定義：是一次函數（，a，b為實數）的“關聯數”．若“關聯數”是的一次函數是正比例函數，則點所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】本題考查了正比例函數，判斷點所在的象限以及新定義；根據“關聯數”是的一次函數是正比例函數，得出，得出，再代入，分別計算，即可作答．【詳解】解：∵“關聯數”是的一次函數是正比例函數，∴∴則∴在第二象限故選：B3．定義：點為平面直角坐標系內的點，若滿足，則把點A叫做“零點”，例如都是“零點”．當時，直線上有“零點”，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查一次函數與圖象的關系，掌握待定系數法及轉化思想是解題的關鍵．由題意：當時，直線上有“零點”，所以直線與線段有交點，求出直線經過A、B兩點時m的值即可判斷．【詳解】解：由題意得：直線與線段有交點，其中，當直線經過時，，當直線經過時，，∴m的取值范圍為：，故選：B．4．對于實數，我們定義符號的意義為：當時，；當時，．例如：．若關于x的函數為，則該函數的最小值是（

）A． B．0 C．5 D．7【答案】C【分析】本題考查一次函數，聯立與成方程組，通過解方程組找出交點坐標，再根據的意義即可得出函數的最小值．【詳解】解：聯立與得，解得，當時，，；當時，，；綜上可知，該函數的最小值是5，故選C．5．定義一種新運算：，例如：，，給出下列說法：①；②若，則或4；③的解集為或；④若函數的圖象與直線（m為常數）只有1個交點，則．以上說法中正確的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據新定義，分類計算判斷即可．【詳解】因為，且，所以，故①正確；當即時，，解得符合題意；當即時，，所以與矛盾，不合題意，所以②錯誤；當即時，，解得，所以不等式的解集是；當即時，，解得，所以不等式的解集是；綜上，不等式的解集為或；所以③正確；當即時，，當即時，函數圖象如下，當函數圖象與直線（m為常數）只有1個交點，則．

所以④正確；正確的結論有①③④，共三個，故選C．【點睛】本題考查了新定義運算、一元一次不等式和一次函數的圖象和性質，正確新定義的內涵是解題的關鍵．6．定義：對于給定的一次函數（a，b為常數，且），把形如的函數稱為一次函數的“衍生函數”，已知一次函數，若點在這個一次函數的“衍生函數”圖象上，則m的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，根據“衍生函數”的定義，找出一次函數的“衍生函數”是解題的關鍵．找出一次函數的“衍生函數”，再利用一次函數圖象上點的坐標特征，即可求出m的值．【詳解】解：由定義知，一次函數的“衍生函數”為，∵點在一次函數的“衍生函數”圖象上，∴．故選：D．7．現定義一種新的距離：對于平面直角坐標系內的點，，將稱作P、Q兩點間的“拐距”，記作，即，已知點，動點B在直線上，橫坐標為，當取得最小值時，應滿足的條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查了新定義，用到了一次函數的性質、一元一次不等式的應用等知識，先求出，根據m的取值范圍分三種情況進行討論即可得到答案.【詳解】解：∵動點B在直線上，橫坐標為m，∴點B的坐標為，∵點A的坐標為∴，當時，，當時，，當時，，∴當取得最小值時，應滿足的條件是，故選：C8．定義：平面直角坐標系中，若點A到x軸、y軸的距離和為2，則稱點A為“和二點”．例如：點到x軸、y軸距離和為2，則點B是“和二點”，點也是“和二點”．一次函數的圖象l經過點，且圖象l上存在“和二點”，則k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查一次函數圖象及性質．取連，取點P，軸軸，垂直分別為，可得均為等腰直角三角形，從而得為等腰直角三角形進而得，繼而得到線上的點為“成雙點”，線上的點為“成雙點”，可得到當一次函數的圖象與線或線有交點時，一次函數的圖象上存在“成雙點”，再分別求出當一次函數的圖象經過點E時，當一次函數的圖象經過點G時，k的值，即可求解．【詳解】解：取連，取點P，軸軸，垂直分別為，∵，∴均為等腰直角三角形，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∴點是“成雙點”，即線上的點為“成雙點”，同理線上的點為“成雙點”，∴當一次函數的圖象與線或線有交點時，一次函數的圖象上存在“成雙點”，∵一次函數的圖象l經過點，∴，解得：，∴一次函數解析式為，當一次函數的圖象經過點E時，∴，解得：，當一次函數的圖象經過點G時，∴，解得：，∴k的取值范圍：，故選：D．9．在平面直角坐標系中，是坐標原點，定義點和點的關聯值如下：若，，在一條直線上；若，，不在一條直線上．已知點坐標為，點坐標為，有下列結論：①；②若，，則點坐標為；③滿足的點，都在一三象限角平分線和二四象限角平分線上；④若平面中任意一點滿足，則滿足條件的點的全體組成的圖形面積為．其中，正確結論的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查坐標與圖形、一次函數的應用，理解題中定義是解答的關鍵．根據三角形的面積公式結合坐標與圖形求解即可．【詳解】解：∵點坐標為，點坐標為，∴，，∴，故①正確；若，，則O、A、P共線，，∴，則，∴點P坐標為或，故②錯誤；若，則，設Px,y，∴，∴，即點P到坐標軸的距離不相等，故滿足條件的點P，不在一三象限角平分線和二四象限角平分線上，故③錯誤；若平面中任意一點滿足，設Px,y，則，即，∴，對于，當，時，，與x軸交點坐標為，與y軸的交點坐標為0,1；當，時，，與x軸交點坐標為，與y軸的交點坐標為0,1；當，時，，與x軸交點坐標為，與y軸的交點坐標為；當，時，，與x軸交點坐標為，與y軸的交點坐標為，在同一坐標系中畫出它們的圖象，如圖，∴滿足圍起來的圖形面積為，即滿足條件的點的全體組成的圖形面積為，故④正確，綜上，正確的結論為①和④，故選：B．10．等腰中，，記，周長為y，定義為這個三角形的坐標，如圖所示，直線將第一象限劃分為4個區域．下面四個結論中，所有正確結論的序號是（

）①對于任意等腰，其坐標不可能位于區域Ⅰ中；②對于任意等腰，其坐標可能位于區域Ⅳ中③若是等腰直角三角形，其坐標位于區域Ⅲ中；④圖中點M所對應的等腰三角形的底邊比點N所對應的等腰三角形的底邊要長．A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①④【答案】A【分析】設，則．根據，利用不等式的性質得出，即可判斷①；根據三角形任意兩邊之和大于第三邊，得出，利用不等式的性質得到，即可判斷②；③根據等腰直角三角形的性質、不等式的性質得出，即可判斷③；分別求出點、點所對應等腰三角形的底邊范圍，即可判斷④．【詳解】解：如圖，等腰三角形中，，記，周長為，設，則，①∵，，∴對于任意等腰三角形，其坐標位于直線的上方，不可能位于區域I中，故結論①正確，符合題意；②∵三角形任意兩邊之和大于第三邊，，即，，∴對于任意等腰三角形，其坐標位于直線的下方，不可能位于區域IV中，故結論②錯誤，不符合題意；③若三角形是等腰直角三角形，則，，，，即，∴若三角形是等腰直角三角形，其坐標位于區域III中，故結論③正確，符合題意；④由圖可知，點位于區域III中，此時，，，點N位于區域Ⅱ中，此時，，，∴點所對應等腰三角形的底邊比點所對應等腰三角形的底邊長，故結論④正確，符合題意．故選：A．【點睛】本題是一次函數綜合題，涉及到一次函數的圖象與性質，三角形三邊關系定理，等腰三角形、等腰直角三角形的性質，不等式的性質，難度適中．理解三角形的坐標的意義，利用數形結合思想是解題的關鍵．二、填空題11．定義為一次函數的特征數，若特征數為的一次函數為正比例函數，則為．【答案】【分析】本題考查了新定義、正比例函數的定義，熟練掌握正比例函數的定義是解題的關鍵．根據特征數的定義及正比例函數的定義，可得，，解方程即可求解．【詳解】解：根據題意，特征數為的一次函數表達式為：，∵為正比例函數，∴，，解得：，故答案為：．12．定義：若，滿足，為常數）且對，則稱點為“妙點”，比如點．若函數的圖象上的“妙點”在第三象限，則的取值范圍為．【答案】且【分析】本題考查的是因式分解的應用，等式的基本性質，一次函數的交點問題，二元一次方程組與不等式組的關系，理解題意是解本題的關鍵．由“妙點”定義可得：，推出秒點的軌跡，可得，求解交點坐標，由“妙點”在第三象限得出不等式組，從而得解．【詳解】解：∵，滿足，為常數）且對，則稱點為“妙點”，∴，∴，∵，∴，∴，解得：，∵函數的圖象上的“妙點”在第三象限，∴，∴，∵，∴，解得：，∴且；故答案為：且．13．在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的“變換點”的坐標定義如下：當時，點坐標為；當時，點坐標為．線段上所有點的“變換點”組成一個新的圖形，若直線與組成的新的圖形有兩個交點，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查新定義“變換點”，根據新定義確定分段函數，利用圖像找出滿足條件的點坐標，求函數值，列不等式，根據題意畫出圖形，確定變換分界點，根據條件，從直線的變動范圍確定的取值范圍，掌握新定義“變換點”，根據新定義確定分段函數，利用圖像找出滿足條件的點坐標，求函數值，列不等式是解題關鍵．【詳解】解：當時，，解得：，∴分界點為點，如圖，當時，線段變換后的線段的兩個端點分別為，當時，線段變換后的線段的兩個端點分別為，∵直線與組成的新的圖形有兩個交點，且直線過定點0,4，∴當直線過點A時，，此時；當直線過點B時，，此時；∴直線與組成的新的圖形有兩個交點，的取值范圍是．故答案為：14．在平面直角坐標系中，對于點和給出如下定義：如果那么稱點為點的“關聯點”，例如：點的“關聯點”為點，的“關聯點”為點．（1）點的“關聯點”為，則．（2）如果點是一次函數圖象上點的“關聯點”，那么點的坐標為．【答案】0或．【分析】此題主要考查一次函數的性質，解題的關鍵是熟知關聯點的定義．（1）由關聯點的定義可知，由可得出，再代入代數式計算即可．（2）由關聯點的定義可知點P的坐標為或，分情況分別把和代入一次函數解析式，求出a的值，即可得出點P的坐標．【詳解】解：（1）由“關聯點”的定義可知：，∵，∴，∴，故答案為：0．（2）∵點是一次函數圖象上點的“關聯點”，∴點P的坐標為或，當點P的坐標為時，∵點P在一次函數圖象上，∴，解得∶，∴點P的坐標為；當點P的坐標為時，∵點P在一次函數圖象上，∴，解得∶，∴點P的坐標為，綜上所述，點P的坐標為或，故答案為∶或．15．定義：在平面直角坐標系中，函數圖象上到兩坐標軸的距離之和等于的點，叫做該函數圖象的“階和點”．例如，為一次函數的“階和點”．（1）若點是關于的正比例函數的“階和點”，則；（2）若關于的一次函數的圖象有且僅有個階和點，則的取值范圍為．【答案】【分析】本題主要考查了一次函數的圖形與性質，一次函數圖象上點的坐標的特征，待定系數法，（1）利用待定系數法和“階和點”的定義即可求解；（2）利用一次函數的性質確定關于的一次函數的圖象經過第一、三、四象限，再利用分類討論的方法和“階和點”的定義，求得的值，進而得到關于的不等式，解不等式求得的取值范圍，再利用已知條件即可得出結論．【詳解】解：（1）點是關于的正比例函數的點，，．點到兩坐標軸的距離之和等于，點是關于的正比例函數的“階和點”，．；故答案為：；（2）關于的一次函數的圖象有且僅有個“階和點”，一次函數的圖象與以原點為中心，兩對角線在坐標軸上，邊長為的正方形有兩個交點．由題意得：，，關于的一次函數的圖象經過第一、三、四象限，①如圖，當時，一次函數的圖象經過，則，．，．關于的一次函數的圖象有且僅有個“階和點”，．②如圖，當時，關于的一次函數的圖象有且僅有個“階和點”，∴綜上，關于的一次函數的圖象有且僅有個“階和點”，的取值范圍為．故答案為：．16．對某一個函數給出如下定義：若存在實數，對于這個函數的所有函數值y，都滿足，則稱這個函數是有界函數，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數的邊界值．例如，圖中的函數是有界函數，其邊界值是1．函數的邊界值為．若函數（，）的邊界值是5，且這個函數的最大值也是5，則b的取值范圍為．【答案】3【分析】本題考查了一次函數的圖象與性質．理解題意，熟練掌握一次函數的圖象與性質是解題的關鍵．由，可知當時，；當時，；由邊界值的定義可求函數的邊界值；由（，）邊界值是5，，函數的最大值是5，可知當時，；可求，當時，；則，計算求解即可．【詳解】解：∵，∴當時，；當時，；∴由邊界值的定義可知，函數的邊界值為3；∵（，）邊界值是5，，函數的最大值是5，∴當時，；解得，，當時，；∴，解得，，故答案為：3，．17．定義：對于給定的一次函數（a，b為常數，且），把形如的函數稱為一次函數的“相對函數”．（1）若點在一次函數的“相對函數”圖象上，則m的值是；（2）若點在一次函數的“相對函數”圖象上，則n的值是．【答案】【分析】本題主要查了求函數值或自變量，理解新定義是解題的關鍵．（1）把代入解析式，即可求解；（2）分兩種情況：當時，當時，即可求解．【詳解】解：（1）根據題意得：；故答案為：（2）當時，，此時；當時，，此時；綜上所述，n的值是．故答案為：18．定義：我們把一次函數與正比例函數的交點稱為一次函數的“不動點”．例如求的“不動點”：聯立方程，解得，則的“不動點”為，（1）由定義可知，一次函數的“不動點”為；（2）若直線與軸交于點，與軸交于點，且直線上沒有“不動點”，若點為軸上一個動點，使得，求滿足條件的P點坐標【答案】或【分析】本題是一次函數的綜合題，理解定義，熟練掌握一次函數的圖象及性質是解題的關鍵．（1）根據題意，聯立，即可求解；（2）由題意可知直線與直線平行，則有，在求出，，設，由，可得，即可點坐標．【詳解】解：（1）聯立，解得，一次函數的“不動點”為，故答案為：；（2）直線上沒有“不動點”，直線與直線平行，，，，，設，，，，，，或，或．故答案為：或三、解答題19．當、為兩個不相等的常數，且時，定義一次函數與互為“友好函數”．如：與互為“友好函數”．(1)點在的“友好函數”的圖象上，求的值；(2)若點既是函數圖象上的點，又是它的“友好函數”圖象上的點，求點的坐標．【答案】(1)(2)點的坐標為【分析】本題主要考查了求一次函數的解析式：（1）把代入，即可求解；（2）設點的坐標為，根據題意，可得，即可求解．【詳解】（1）解：函數的“友好函數”為．點在的“友好函數”的圖象上，，解得．（2）解：函數的“友好函數”為．設點的坐標為，根據題意，得，解得，點的坐標為．20．定義：對于一次函數、，我們稱函數為函數、的“星辰函數”．(1)已知函數為函數、的“星辰函數”，求，的值；(2)在平面直角坐標系中，函數與的圖象相交于點．過點作軸的垂線，交函數、的“星辰函數”的圖象于點．①若，函數、的“星辰函數”圖象經過點，求的值；②若，點在點的上方，求的取值范圍．【答案】(1)(2)①；②【分析】本題主要考查一次函數圖象的性質，二元一次方程組，一元一次不等式的求值，理解“星辰函數”的定義，掌握一次函數圖象的性質是解題的關鍵．（1）根據“星辰函數”的定義可得，由此列二元一次方程組求解即可；（2）根據題意，函數與的圖象相交于點，聯立方程組可得，設函數、的“星辰函數”為，對于①則有，由此化簡即可求解；對于②則有點的橫坐標為，縱坐標為，根據點在點的上方，可得，由此化簡即可求值．【詳解】（1）解：根據“星辰函數”的定義有，，∴，∴，解得，；（2）解：∵函數與的圖象相交于點，∴，解得，，∴，根據題意，設函數、的“星辰函數”為，①∵點在“星辰函數”上，∴，整理得，，∵，∴，∴；②過點作軸的垂線，交函數、的“星辰函數”的圖象于點，∴點的橫坐標為，縱坐標為，∵點在點的上方，∴，∴，∵，則，∴∴．21．閱讀理解：對于線段和點，定義：若，則稱點為線段的“等距點”；特別地，若，則稱點是線段的“完美等距點”．解決問題：如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，點的坐標為，點是直線上一動點．(1)已知3個點：，則這三點中，可以做線段的“等距點”是，線段的“完美等距點”是；(2)若坐標原點O為線段AP的“等距點”，求出點P的坐標；(3)若，點在軸上，且是線段的“等距點”，求點的坐標；(4)當m>0，是否存在這樣的點，使點是線段的“等距點”，也是線段的“完美等距點”，請直接寫出所有這樣的點P的坐標．【答案】(1)和；(2)點P的坐標為或，(3)點的坐標為或；(4)點P的坐標為或【分析】（1）依據兩點之間的距離公式分別計算各點到，的距離，根據等距點和完美等距點做出判斷；（2）由在上，得到，根據兩點間的距離公式，由列出等式，求解即可，（3）設出點的坐標，根據等距點的定義，利用兩點之間的距離公式列出方程可得結論；（4）假定存在，設出點的坐標，根據等距點的定義，利用兩點之間的距離公式列出方程可得結論，本題綜合考查了一次函數與幾何知識的應用，靈活應用兩點之間的距離公式和勾股定理是解題的關鍵．【詳解】（1）解：，，，為等距點．，，，為等距點．，，，不為等距點．，，，，，為完美等距點，故答案：和；；（2）解：在上，，，，，或，（3）解：在上，，，，，或，設的坐標為，或，，，或，解得：或．的坐標為或；（4）解：設點的坐標為，，，，點是線段的“等距點”，，，解得：，為線段的“完美等距點”，，為等腰直角三角形，，，，，解得：或，當時，，當時，，點的坐標為或．22．已知直線．(1)當為何值時，直線經過原點？(2)若直線不經過原點，設直線與軸交于點，與軸交于點，當為何值時，，并求出此時的面積；(3)定義：在平面直角坐標系中，若某個點到軸、軸的距離之和為2，則稱該點為“元元點”，如點，，都是“元元點”．若直線上至少有一個“元元點”，求的取值范圍．【答案】(1)(2)或(3)或或或【分析】本題考查了一次函數上點的坐標特征，一次函數的性質等內容，讀懂題目信息，理解“元元點”的定義是解題的關鍵；（1）根據一次函數上點的坐標特征，將代入即可求解；（2）求出直線與軸，軸的交點坐標，得到，的長度，在根據建立方程求出值，進而求出的面積；（3）根據“元元點”的定義，設出“元元點”的坐標，代入直線解析式，得到關于的不等式，解不等式即可求解；【詳解】（1）當直線經過原點時，將原點坐標，代入直線表達式，得到，解得，（2）解：當直線不經過原點時，設直線與軸交于點，與軸交于點，當時，，當時，，，，解得：或，當時，，，，當時，，，，；（3）解：因為某個點到軸、軸的距離之和為2，所以，，①當時，時，，解得：當時，時，，，若，即時，，，若，即時，，，，若，即時，，，，，，，，，，無解，故；②當，時，，，，解得：，，，，時，，，，解得：，，，，，若，，，，無解，若，，，，無解，若，，，，，故，③當，時，，，，解得，，，，，若，，，，，若，無解，故，④當，時，，，，解得，，，，，，，，若，即，，，，，，，，若，即，，，，，，，無解，故，綜上所述，或或或23．定義：在平面直角坐標系中，對于點Mx,y和點當時，，當時，則稱點N為點M的變換點．例如：點變換點的坐標是，點?3,2變換點的坐標是．(1)則點的變換點的坐標是；(2)已知點M在函數的圖象上，點M的變換點N的縱坐標為5，求點M的坐標．(3)已知點M在函數的圖象上，其變換點N的縱坐標的取值范圍是，求k的取值范圍．【答案】(1)(2)或(3)k的取值范圍為【分析】本題考查了一次函數的圖象，由函數值求自變量，點坐標等知識．理解題意，數形結合是解題的關鍵．（1）由，可得進而可求結果；（2）設，當時，，可求，進而可得，則；當時，，可求，進而可得，則；（3）由題意知，上的點的變換點的圖象如圖所示，當時，，則，當時，，則，當時，，可求，當時，，可求，由變換點N的縱坐標的取值范圍是，數形結合作答即可．【詳解】（1）解：∵，∴∴點的變換點的坐標是；故答案為：；（2）解：設，當時，，解得，，∴，∴；當時，解得，，∴，∴；綜上，點M的坐標為或；（3）解：由題意知，上的點的變換點的圖象如圖所示，當時，，∴，當時，，∴，當時，，解得，，當時，，解得，，∵變換點N的縱坐標的取值范圍是，∴由圖象可知，，∴k的取值范圍為．24．定義：我們把一次函數與正比例函數的交點稱為一次函數（）的“亮點”．例如求的“亮點”，聯立方程：，解得，則的“亮點”為．(1)由定義可知，一次函數的“亮點”為___________．(2)一次函數的“亮點”為，求p，q的值．(3)若直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，且直線上沒有“亮點”，點P在x軸上，使，求滿足條件的點P的坐標．【答案】(1)(2)(3)或；【分析】本題考查了新定義，一次函數的性質，一次函數與坐標軸圍成的三角形的面積，兩直線交點問題，熟練的利用數形結合的方法解題是關鍵．（1）聯立一次函數解析式與正比例函數，解二元一次方程組即可；（2）將“亮點”為，代入求得q，進而代入求得p即可；（3）根據題意可得，進而設，根據三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）解：由定義可知，一次函數的“亮點”為一次函數解析式與正比例函數的交點，即，解得，一次函數的“亮點”為；（2）解：根據定義可得，點在上，，解得，點又在上，，又，，解得，∴．（3）解：∵直線上沒有“亮點”，∴直線與平行，∴，∴，令，則，令，則，，，設，∵，，∴，，即或，解得或，∴或．25．在平面直角坐標系中，對于線段，給出如下定義：直線經過線段的一個端點，直線經過線段的另一個端點，若直線與交于點，且點不在線段上，則稱點為線段的“雙線關聯點”．(1)已知，線段的兩個端點分別為和，則在點，中，線段的“雙線關聯點”是___________：(2)是直線上的兩個動點．①點是線段的“雙線關聯點”，其縱坐標為，直接寫出點的橫坐標___________；②正方形的四個頂點的坐標分別為，其中．若所有線段的“雙線關聯點”中，有且僅有兩個點在正方形的邊上，直接寫出的取值范圍___________．【答案】(1)(2)①點的橫坐標為或；②【分析】（1）當直線經過點，直線經過點，可得，值，即可得到直線，直線，聯立即可求解第一種情況，當直線經過點，直線經過點時，同理可得第二種情況．（2）①將點代入，求出，即可得出，在按照（1）的步驟分情況談論，當直線經過點，直線經過點時，或當直線經過點，直線經過點時，分別結合點縱坐標為，即可得出點的橫坐標．②設線段的雙線關聯點”為，由①得消元可得點在直線上運動，同理得點在直線上運動，在時，令慢慢變大，找到其一個交點和三個交點時的值，觀察圖象即可得到的取值范圍．【詳解】（1）解：若直線經過點，直線經過點，則代入得：，，∴直線，直線，聯立得：，解得：，若直線經過點，直線經過點，則代入得：，，∴直線，直線，聯立得：，解得：，綜上可得點是線段的“雙線關聯點”，故答案為；（2）①解：將點代入，得，，則，當直線經過點，直線經過點時，則代入得，，解得：，，求得直線，直線，聯立得：，解得：，∵點是線段的“雙線關聯點”，其縱坐標為，故，解得：，∴點的橫坐標：．因此；當直線經過點，直線經過點時，同上可求，，，聯立得，解得：，∵點是線段的“雙線關聯點”，其縱坐標為，故，解得：，∴點的橫坐標：，綜上所述，點的橫坐標為或；②解：設線段的“雙線關聯點”為，則由上可得，由①得：，消去可得：，∴則點在直線上運動，同理可求點在直線上運動，∵線段的“雙線關聯點”中，有且僅有兩個點在正方形的邊上，∴正方形與直線，直線恰好有兩個交點，當且很小時，此時正方形與兩條直線無交點，不符合題意，如圖：隨著增大，當點落在直線上，