第七章綜合訓練(參考數據:若X~N(μ,σ2),則P(μσ≤X≤μ+σ)≈0.6827;P(μ2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;P(μ3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)一、選擇題(本題共8小題,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.[2023浙江金東期中]已知隨機變量ξ~B(16,0.5),若ξ=2η+3,則D(η)等于()A.1 B.2C.4 D.62.已知離散型隨機變量ξ的分布列如下表,則其均值E(ξ)等于()ξ135P0.5m0.2A.1 B.0.6C.2+3m D.2.43.現在分別有A,B兩個容器,在容器A里有7個紅球和3個白球,在容器B里有1個紅球和9個白球.現從這兩個容器里任意抽出一個球,則在抽到的是紅球的情況下,是來自容器A里面的球的概率是()A.0.5 B.0.7C.0.875 D.0.354.[2023江西青原期末]若某校高二年級1000名學生的某次考試成績X服從正態分布N(90,152),則此次考試成績在區間(105,120]上的學生大約有()A.477人 B.136人C.341人 D.131人5.甲、乙兩人進行羽毛球比賽,假設每局比賽甲勝的概率是23,各局比賽是相互獨立的,采用5局3勝制,則乙以3∶1戰勝甲的概率為(A.827 B.C.881 D.6.[2023廣東龍華校級模擬]泊松分布是統計學里常見的離散型概率分布,由法國數學家泊松首次提出,泊松分布的概率分布列為P(X=k)=λkk!eλ(k=0,1,2,…),其中e為自然對數的底數,λ是泊松分布的均值.已知某線路每個公交車站臺的乘客候車相互獨立,且每個站臺候車人數X服從參數為λ(λ>A.1e4C.94e7.位于坐標原點的一個質點P按下述規則移動:質點每次移動一個單位;移動的方向為向上或向右,并且向上、向右移動的概率都是12.質點P移動5次后位于點(2,3)的概率為(A.1B.CC.CD.C8.某超市為慶祝開業舉辦酬賓抽獎活動,凡在開業當天進店的顧客,都能抽一次獎,每位進店的顧客得到一個不透明的盒子,盒子里裝有紅、黃、藍三種顏色的小球共6個,其中紅球2個,黃球3個,藍球1個,除顏色外,小球的其他方面,諸如形狀、大小、質地等完全相同,每個小球上均寫有獲獎內容,顧客先從自己得到的盒子里隨機取出2個小球,然后再依據取出的2個小球上的獲獎內容去兌獎.設X表示某顧客在一次抽獎時,從自己得到的那個盒子里取出的2個小球中紅球的個數,則X的數學期望E(X)=()A.35 B.12 C.2二、選擇題(本題共4小題,在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求)9.已知隨機變量X服從正態分布N(2,σ2),且P(X≤4)=0.8,則()A.P(X>4)=0.2B.P(X≥0)=0.6C.P(0≤X≤2)=0.3D.P(0≤X≤4)=0.410.[2023北京昌平期中]在一個袋中裝有質地大小一樣的6個黑球,4個白球,現從中任取4個小球.設取出的4個小球中白球的個數為X,則下列結論正確的是()A.P(X=1)=8B.隨機變量X服從二項分布C.隨機變量X服從超幾何分布D.E(X)=811.下列說法正確的是()A.已知隨機變量X~B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,則p=2B.將一組數據中的每個數據都加上同一個常數后,方差恒不變C.設隨機變量ξ~N(0,1),若P(ξ>1)=p,則P(1≤ξ≤0)=12D.某人在10次射擊中,擊中目標的次數為X,X~B(10,0.8),則當X=8時概率最大12.[2023江蘇南京期中]“信息熵”是信息論中的一個重要概念,設隨機變量X的所有可能取值為1,2,…,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),∑i=1npi=1,定義X的信息熵H(X)=∑i=1n(pilog3A.當n=1時,H(X)=0B.當n=3且pi=13(i=1,2,3)時,H(X)=C.若pi=1n(i=1,2,…,n),則H(X)隨著nD.當n=2時,H(X)隨著p1的增大而減小三、填空題(本題共4小題)13.按照國家標準規定,500g袋裝奶粉每袋質量X必須服從正態分布N(500,σ2),經檢測某種品牌的奶粉P(490≤X≤510)=0.95,一超市一個月內共賣出這種品牌的奶粉400袋,則賣出的奶粉質量在510g以上的袋數大約為.

14.若隨機變量X~B(4,p),且E(X)=2,則D(2X3)=.

15.某企業將生產出的芯片依次進行智能檢測和人工檢測兩道檢測工序,經智能檢測為次品的芯片會被自動淘汰,合格的芯片進入流水線并由工人進行人工檢測.已知某批芯片智能檢測顯示合格率為90%,最終的檢測結果的次品率為310,則在智能檢測結束并淘汰了次品的條件下,人工檢測一枚芯片恰好為合格品的概率為16.一個盒子里有1個紅色、1個綠色、2個黃色,共四個球,每次拿一個,不放回,拿出紅球即停,設拿出黃球的個數為ξ,則P(ξ=0)=,E(ξ)=.

四、解答題(本題共6小題,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.有三個同樣的箱子,甲箱中有2個紅球、6個白球,乙箱中有6個紅球、4個白球,丙箱中有3個紅球、5個白球.(1)隨機從甲、乙、丙三個箱子中各取一球,求三球都為紅球的概率;(2)從甲、乙、丙中隨機取一箱,再從該箱中任取一球,求該球為紅球的概率.18.[2023山東濰坊月考]某校為緩解學生壓力,舉辦了一場趣味運動會,其中有一個項目為籃球定點投籃,比賽分為初賽和復賽.初賽規則為:每人最多投3次,每次投籃的結果相互獨立.在A處每投進一球得3分,在B處每投進一球得2分,否則得0分.將學生得分逐次累加并用X表示,如果X的值不低于3分就判定為通過初賽,立即停止投籃,否則應繼續投籃,直到投完三次為止.現甲先在A處投一球,以后都在B處投,已知甲同學在A處投籃的命中率為14,在B處投籃的命中率為45,求他初賽結束后所得總分X19.某學習小組有6名同學,其中4名同學從來沒有參加過數學研究性學習活動,2名同學曾經參加過數學研究性學習活動.(1)現從該小組中任選2名同學參加數學研究性學習活動,求恰好選到1名曾經參加過數學研究性學習活動的同學的概率;(2)若從該小組中任選2名同學參加數學研究性學習活動,活動結束后,該小組沒有參加過數學研究性學習活動的同學人數ξ是一個隨機變量,求隨機變量ξ的分布列及均值.20.甲、乙二人進行一次象棋比賽,每局勝者得1分,負者得0分(無平局),約定一方得4分時就獲得本次比賽的勝利并且比賽結束.設在每局比賽中,甲獲勝的概率為23,乙獲勝的概率為13(1)求甲獲得這次比賽勝利的概率;(2)設從第4局開始到比賽結束所進行的局數為X,求X的分布列及均值.21.[2023陜西西安檢測]設有3個投球手,其中一人命中率為q,剩下的兩人水平相當且命中率均為p(p,q∈(0,1)),每位投球手均獨立投球一次,記投球命中的總次數為隨機變量ξ.(1)當p=q=12時,求數學期望E(ξ)及方差D(ξ(2)當p+q=1時,將ξ的數學期望E(ξ)用p表示.22.一次大型考試后,某年級對某學科進行質量分析,隨機抽取了40名學生的成績,分組為[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)從抽取的成績在區間[50,60)內和區間[90,100]上的學生中,隨機選擇三名學生進行進一步調查分析,記X為這三名學生中成績在區間[50,60)內的人數,求X的分布列及均值E(X).(2)①求該年級全體學生的平均成績x與標準差s的估計值(同一組中的數據用該組區間的中點值為代表);(精確到1)②如果該年級學生該學科的成績服從正態分布N(μ,σ2),其中μ,σ分別近似為①中的x,s,那么從該年級所有學生中隨機選三名學生做分析,求這三名學生中恰有兩名學生的成績在區間[62,95]上的概率.(精確到0.01)附:29≈5.385.

參考答案第七章綜合訓練1.A∵隨機變量ξ~B(16,0.5),∴D(ξ)=16×0.5×0.5=4.∵ξ=2η+3,∴η=12ξ3∴D(η)=122D(ξ)=14×4=1.2.D依題意,0.5+m+0.2=1,解得m=0.3,故E(ξ)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4.故選D.3.C設A=“抽到的是紅球”,B=“抽到的是來自容器A里面的球”,則AB=“抽到的是來自容器A里面的紅球”.由題意可知,P(AB)=720,P(A)=820,故P(B|A)=P(AB)P(4.B根據正態分布的對稱性P(105<X≤120)=12×[P(60<X≤120)P(75<X≤105)]≈12×(0.95450.6827)=0.1359,則1000×0.1359=135.5.B由題意知,前3局乙勝2局,第4局乙勝,故所求概率P=C3故選B.6.D由題可知P(X=2)=P(X=3),即λ22eλ=λ36eλ,解得λ=3,故P(X=k)=3kk!e3(k=0,1,2,…),P(X=1)=37.B依題意,質點在移動過程中向右移動2次,向上移動3次,因此質點P移動5次后位于點(2,3)的概率P=C58.C由題意可知,X的所有可能取值為0,1,2,則P(X=0)=C42C62=25,P(X=1)=C∴E(X)=0×25+1×815+2×9.AC∵P(X≤4)=0.8,∴P(X>4)=0.2.∵X~N(2,σ2),∴P(X<0)=P(X>4)=0.2.∴P(0≤X≤4)=P(X≤4)P(X<0)=0.6,P(X≥0)=1P(X<0)=0.8,∴P(0≤X≤2)=12P(0≤X≤4)=0.310.ACD由題意知隨機變量X服從超幾何分布,故B錯誤,C正確;X的可能取值分別為0,1,2,3,4,則P(X=0)=C64C104=114P(X=2)=C42C62C104P(X=4)=C4∴E(X)=0×114+1×821+2×37+3×435+11.BCD對于A,因為X~B(n,p),E(X)=30,D(X)=20,所以np=30,np(1p)=20,所以p=13易知B正確;對于C,因為ξ~N(0,1),P(ξ>1)=p,所以P(0≤ξ≤1)=12p,所以P(1≤ξ≤0)=12對于D,擊中目標的次數為X,X~B(10,0.8),令C10k0.8k0.210k≥C10k+10.8k+10.29k,且C10k0.8k0.210k≥C10k-1·0.8k10.211k,解得395≤k12.ABC若n=1,則p1=1,故H(X)=p1log3p1=1×log31=0,故A正確;當n=3且pi=13(i=1,2,3)時,H(X)=3×13×log313=若pi=1n(i=1,2,…,n),則H(X)=n·1n·log31n=log3n,由對數函數的單調性可知,H(X若n=2,則p1+p2=1,H(X)=(p1log3p1+p2log3p2)=[p1log3p1+(1p1)log3(1p1)],設f(p)=[plog3p+(1p)log3(1p)],0<p<1,則f'(p)=log3p+p·1p·ln3log3(1p)+(1p)·-1(1-令f'(p)<0,解得12<p<1,此時函數f(p令f'(p)>0,解得0<p<12,此時函數f(p)單調遞增,故D錯誤13.10因為X~N(500,σ2),且P(490≤X≤510)=0.95,所以P(X>510)=1-0.952=0.025,所以賣出的奶粉質量在510g以上袋數大約為400×014.4由隨機變量X~B(4,p),且E(X)=2,可得4p=2,解得p=12,則D(X)=4×12故D(2X3)=4D(X)=4.15.79設該批芯片中一枚芯片由智能檢測合格為事件A,經智能檢測合格的芯片進入流水線并由人工檢測,一枚芯片恰好為合格品為事件B,則P(A)=910,P(AB)=1則在智能檢測結束并淘汰了次品的條件下,人工檢測一枚芯片恰好為合格品的概率P(B|A)=P(16.131依題意,ξ則P(ξ=0)=14P(ξ=1)=24P(ξ=2)=113故E(ξ)=0×13+1×13+2×1317.解(1)根據題意,記事件A1:從甲箱中取一球為紅球,事件A2:從乙箱中取一球為紅球,事件A3:從丙箱中取一球為紅球,記事件B:取得的三球都為紅球,且事件A1,A2,A3相互獨立,所以P(B)=P(A1)P(A2)P(A3)=14×3(2)記事件C:該球為紅球,事件D1:取甲箱,事件D2:取乙箱,事件D3:取丙箱.因為P(C|D1)=14,P(C|D2)=35,P(C|D3)=所以P(C)=P(D1)P(C|D1)+P(D2)P(C|D2)+P(D3)P(C|D3)=13所以該球為紅球的概率為4912018.解設甲同學在A處投中為事件A,投不中為事件A,在B處投中為事件B,投不中為事件B,由已知得P(A)=14,P(B)=45,則P(A)=34,P(B)=15,X的可能取值為0,2,3,4,P(X=0)=34×15×15=3100,P(X=2)=34×4X0234P3611219.解(1)記“恰好選到1名曾經參加過數學研究性學習活動的同學”為事件A,則P(A)=C4故恰好選到1名曾經參加過數學研究性學習活動的同學的概率為815(2)依題意,隨機變量ξ的取值可能為2,3,4,則P(ξ=2)=C42C62=25,P(ξ=3)=C故隨機變量ξ的分布列為ξ234P281E(ξ)=2×25+3×815+4×20.解(1)設“甲獲得這次比賽勝利”為事件A,則P(A)=23故甲獲得這次比賽勝利的概率為1627(2)依題意,X的取值可能為2,3,4,則P(X