2025屆遼寧省本溪滿族自治區高級中學高三下學期第五次調研考試數學試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量，滿足，在上投影為，則的最小值為()A． B． C． D．2．甲、乙、丙、丁四位同學利用暑假游玩某風景名勝大峽谷，四人各自去景區的百里絕壁、千丈瀑布、原始森林、遠古村寨四大景點中的一個，每個景點去一人．已知：①甲不在遠古村寨，也不在百里絕壁；②乙不在原始森林，也不在遠古村寨；③“丙在遠古村寨”是“甲在原始森林”的充分條件；④丁不在百里絕壁，也不在遠古村寨．若以上語句都正確，則游玩千丈瀑布景點的同學是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁3．設F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A． B．C．2 D．4．設非零向量，，，滿足，，且與的夾角為，則“”是“”的（）．A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知命題：R，；命題：R，，則下列命題中為真命題的是（）A． B． C． D．6．已知正項等比數列的前項和為，則的最小值為（）A． B． C． D．7．已知函數，其中，若恒成立，則函數的單調遞增區間為（）A． B．C． D．8．若復數（為虛數單位），則的共軛復數的模為（）A． B．4 C．2 D．9．在中，角、、所對的邊分別為、、，若，則（）A． B． C． D．10．已知橢圓，直線與直線相交于點，且點在橢圓內恒成立，則橢圓的離心率取值范圍為（）A． B． C． D．11．如圖，棱長為的正方體中，為線段的中點，分別為線段和棱上任意一點，則的最小值為（）A． B． C． D．12．下列判斷錯誤的是()A．若隨機變量服從正態分布，則B．已知直線平面，直線平面，則“”是“”的充分不必要條件C．若隨機變量服從二項分布：，則D．是的充分不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．平面直角坐標系中,O為坐標原點,己知A(3,1),B(-1,3),若點C滿足,其中α,β∈R,且α+β=1,則點C的軌跡方程為14．已知各項均為正數的等比數列的前項積為，，（且），則__________.15．若函數恒成立,則實數的取值范圍是_____.16．在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線(a＞0)的一條漸近線方程為，則a＝_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，.（1）判斷函數在區間上的零點的個數；（2）記函數在區間上的兩個極值點分別為、，求證：.18．（12分）設數陣，其中、、、．設，其中，且．定義變換為“對于數陣的每一行，若其中有或，則將這一行中每個數都乘以；若其中沒有且沒有，則這一行中所有數均保持不變”（、、、）．表示“將經過變換得到，再將經過變換得到、，以此類推，最后將經過變換得到”，記數陣中四個數的和為．（1）若，寫出經過變換后得到的數陣；（2）若，，求的值；（3）對任意確定的一個數陣，證明：的所有可能取值的和不超過．19．（12分）如圖，在四面體中，.（1）求證:平面平面；（2）若，求四面體的體積.20．（12分）已知數列的前項和為，.（1）求數列的通項公式；（2）若，為數列的前項和.求證：.21．（12分）選修4-4：坐標系與參數方程在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，且曲線的極坐標方程為.（1）寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；（2）設直線上的定點在曲線外且其到上的點的最短距離為，試求點的坐標.22．（10分）在最新公布的湖南新高考方案中，“”模式要求學生在語數外3門全國統考科目之外，在歷史和物理2門科目中必選且只選1門，再從化學、生物、地理、政治4門科目中任選2門，后三科的高考成績按新的規則轉換后計入高考總分.相應地，高校在招生時可對特定專業設置具體的選修科目要求.雙超中學高一年級有學生1200人，現從中隨機抽取40人進行選科情況調查，用數字1~6分別依次代表歷史、物理、化學、生物、地理、政治6科，得到如下的統計表：序號選科情況序號選科情況序號選科情況序號選科情況11341123621156312352235122342223532236323513145232453323541451413524235341355156152362525635156624516236261563623672561715627134371568235182362823538134923519145292463923510236202353015640245（1）雙超中學規定：每個選修班最多編排50人且盡量滿額編班，每位老師執教2個選修班（當且僅當一門科目的選課班級總數為奇數時，允許這門科目的1位老師只教1個班）.已知雙超中學高一年級現有化學、生物科目教師每科各8人，用樣本估計總體，則化學、生物兩科的教師人數是否需要調整？如果需要調整，各需增加或減少多少人？（2）請創建列聯表，運用獨立性檢驗的知識進行分析，探究是否有的把握判斷學生“選擇化學科目”與“選擇物理科目”有關.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828（3）某高校在其熱門人文專業的招生簡章中明確要求，僅允許選修了歷史科目，且在政治和地理2門中至少選修了1門的考生報名.現從雙超中學高一新生中隨機抽取3人，設具備高校專業報名資格的人數為，用樣本的頻率估計概率，求的分布列與期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據在上投影為，以及，可得；再對所求模長進行平方運算，可將問題轉化為模長和夾角運算，代入即可求得.【詳解】在上投影為，即又本題正確選項：【點睛】本題考查向量模長的運算，對于含加減法運算的向量模長的求解，通常先求解模長的平方，再開平方求得結果；解題關鍵是需要通過夾角取值范圍的分析，得到的最小值.2、D【解析】

根據演繹推理進行判斷．【詳解】由①②④可知甲乙丁都不在遠古村寨，必有丙同學去了遠古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景點的同學是丁．故選：D．【點睛】本題考查演繹推理，掌握演繹推理的定義是解題基礎．3、A【解析】

準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關系，可求雙曲線的離心率．【詳解】設與軸交于點，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心．，又點在圓上，，即．，故選A．【點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優先考慮幾何法，避免代數法從頭至尾，運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來．4、C【解析】

利用數量積的定義可得，即可判斷出結論．【詳解】解：，，，解得，，，解得，“”是“”的充分必要條件．故選：C．【點睛】本題主要考查平面向量數量積的應用，考查推理能力與計算能力，屬于基礎題．5、B【解析】

根據，可知命題的真假，然后對取值，可得命題的真假，最后根據真值表，可得結果.【詳解】對命題：可知，所以R，故命題為假命題命題：取，可知所以R，故命題為真命題所以為真命題故選：B【點睛】本題主要考查對命題真假的判斷以及真值表的應用，識記真值表，屬基礎題.6、D【解析】

由，可求出等比數列的通項公式，進而可知當時，；當時，，從而可知的最小值為，求解即可.【詳解】設等比數列的公比為，則，由題意得，，得，解得，得.當時，；當時，，則的最小值為.故選：D.【點睛】本題考查等比數列的通項公式的求法，考查等比數列的性質，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.7、A【解析】

，從而可得，，再解不等式即可.【詳解】由已知，，所以，，由，解得，.故選：A.【點睛】本題考查求正弦型函數的單調區間，涉及到恒成立問題，考查學生轉化與化歸的思想，是一道中檔題.8、D【解析】

由復數的綜合運算求出，再寫出其共軛復數，然后由模的定義計算模．【詳解】，．故選：D．【點睛】本題考查復數的運算，考查共軛復數與模的定義，屬于基礎題．9、D【解析】

利用余弦定理角化邊整理可得結果.【詳解】由余弦定理得：，整理可得：，.故選：.【點睛】本題考查余弦定理邊角互化的應用，屬于基礎題.10、A【解析】

先求得橢圓焦點坐標，判斷出直線過橢圓的焦點.然后判斷出，判斷出點的軌跡方程，根據恒在橢圓內列不等式，化簡后求得離心率的取值范圍.【詳解】設是橢圓的焦點，所以.直線過點，直線過點，由于，所以，所以點的軌跡是以為直徑的圓.由于點在橢圓內恒成立，所以橢圓的短軸大于，即，所以，所以雙曲線的離心率，所以.故選：A【點睛】本小題主要考查直線與直線的位置關系，考查動點軌跡的判斷，考查橢圓離心率的取值范圍的求法，屬于中檔題.11、D【解析】

取中點，過作面，可得為等腰直角三角形，由，可得，當時，最小，由，故，即可求解.【詳解】取中點，過作面，如圖：則，故，而對固定的點，當時，最小．此時由面，可知為等腰直角三角形，，故.故選：D【點睛】本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.12、D【解析】

根據正態分布、空間中點線面的位置關系、充分條件與必要條件的判斷、二項分布及不等式的性質等知識，依次對四個選項加以分析判斷，進而可求解.【詳解】對于選項，若隨機變量服從正態分布，根據正態分布曲線的對稱性，有，故選項正確，不符合題意；對于選項，已知直線平面，直線平面，則當時一定有，充分性成立，而當時，不一定有，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件，故選項正確，不符合題意；對于選項，若隨機變量服從二項分布：，則，故選項正確，不符合題意；對于選項，，僅當時有，當時，不成立，故充分性不成立；若，僅當時有，當時，不成立，故必要性不成立.因而是的既不充分也不必要條件,故選項不正確，符合題意.故選：D【點睛】本題考查正態分布、空間中點線面的位置關系、充分條件與必要條件的判斷、二項分布及不等式的性質等知識，考查理解辨析能力與運算求解能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據向量共線定理得A,B,C三點共線，再根據點斜式得結果【詳解】因為,且α+β=1，所以A,B,C三點共線，因此點C的軌跡為直線AB:【點睛】本題考查向量共線定理以及直線點斜式方程，考查基本分析求解能力，屬中檔題.14、【解析】

利用等比數列的性質求得，進而求得，再利用對數運算求得的值.【詳解】由于，，所以，則，∴，，.故答案為：【點睛】本小題主要考查等比數列的性質，考查對數運算，屬于基礎題.15、【解析】

若函數恒成立，即，求導得，在三種情況下，分別討論函數單調性，求出每種情況時的，解關于的不等式，再取并集，即得。【詳解】由題意得,只要即可，，當時，令解得，令，解得，單調遞減，令，解得，單調遞增，故在時，有最小值，，若恒成立，則，解得；當時，恒成立;當時，，單調遞增，,不合題意,舍去.綜上,實數的取值范圍是.故答案為：【點睛】本題考查恒成立條件下，求參數的取值范圍，是常考題型。16、3【解析】

雙曲線的焦點在軸上，漸近線為，結合漸近線方程為可求.【詳解】因為雙曲線(a＞0)的漸近線為，且一條漸近線方程為，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查雙曲線的漸近線，明確雙曲線的焦點位置，寫出雙曲線的漸近線方程的對應形式是求解的關鍵，側重考查數學運算的核心素養.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）利用導數分析函數在區間上的單調性與極值，結合零點存在定理可得出結論；（2）設函數的極大值點和極小值點分別為、，由（1）知，，且滿足，，于是得出，由得，利用正切函數的單調性推導出，再利用正弦函數的單調性可得出結論.【詳解】（1），，，當時，，，，則函數在上單調遞增；當時，，，，則函數在上單調遞減；當時，，，，則函數在上單調遞增.，，，，.所以，函數在與不存在零點，在區間和上各存在一個零點.綜上所述，函數在區間上的零點的個數為；（2），.由（1）得，在區間與上存在零點，所以，函數在區間與上各存在一個極值點、，且，，且滿足即，，，又，即，，，，，由在上單調遞增，得，再由在上單調遞減，得，即.【點睛】本題考查利用導數研究函數的零點個數問題，同時也考查了利用導數證明不等式，考查分析問題和解決問題的能力，屬于難題.18、（1）；（2）；（3）見解析.【解析】

（1）由，能求出經過變換后得到的數陣；（2）由，，求出數陣經過變化后的矩陣，進而可求得的值；（3）分和兩種情況討論，推導出變換后數陣的第一行和第二行的數字之和，由此能證明的所有可能取值的和不超過．【詳解】（1），經過變換后得到的數陣；（2）經變換后得，故；（3）若，在的所有非空子集中，含有且不含的子集共個，經過變換后第一行均變為、；含有且不含的子集共個，經過變換后第一行均變為、；同時含有和的子集共個，經過變換后第一行仍為、；不含也不含的子集共個，經過變換后第一行仍為、．所以經過變換后所有的第一行的所有數的和為.若，則的所有非空子集中，含有的子集共個，經過變換后第一行均變為、；不含有的子集共個，經過變換后第一行仍為、．所以經過變換后所有的第一行的所有數的和為．同理，經過變換后所有的第二行的所有數的和為．所以的所有可能取值的和為，又因為、、、，所以的所有可能取值的和不超過．【點睛】本題考查數陣變換的求法，考查數陣中四個數的和不超過的證明，考查類比推理、數陣變換等基礎知識，考查運算求解能力，綜合性強，難度大．19、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）取中點，連接，根據等腰三角形的性質得到，利用全等三角形證得，由此證得平面，進而證得平面平面.（2）由（1）知平面，即是四面體的面上的高，結合錐體體積公式，求得四面體的體積.【詳解】（1）證明:如圖，取中點，連接，由則，則，故故，平面.又平面，故平面平面（2）由（1）知平面，即是四面體的面上的高，且.在中，，由勾股定理易知故四面體的體積【點睛】本小題主要考查面面垂直的證明，考查錐體體積計算，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）利用求得數列的通項公式.（2）先將縮小即，由此結合裂項求和法、放縮法，證得不等式成立.【詳解】（1）∵，令，得.又，兩式相減，得.∴.（2）∵.又∵，，∴.∴.∴.【點睛】本小題主要考查已知求，考查利用放縮法證明不等式，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.21、（1）的普通方程為．的直角坐標方程為（2）（-1，0）或（2，3）【解析】

（1）對直線的參數方程消參數即可求得直線的普通方程，對整理并兩邊乘以，結合，即可求得曲線的直角坐標方程。（2）由（1）得：曲線C是以Q（1,1）為圓心，為半徑的圓，設點P的坐標為，由題可得：，利用兩點距離公式列方程即可求解。【詳解】解：（1）由消去參數，得．即直線的普通方程為．因為又，∴曲線的直角坐標方程為（2）由知，曲線C是以Q（1,1）為圓心，為半徑的圓設點P的坐標為，則點P到上的點的最短距離為|PQ|即，整理得，解得所以點P的坐標為（-1，0）或（2，3）【點睛】本題主要考查了參數方程化為普通方程及極