第三章整式的加減知識歸納與題型突破（題型清單）

01思維導圖

整

式

的

加（―去括號

減-合并同類項

整式的加減運算

整式加減化簡求直

整式加減的應用

整式加減中無關型問題

日歷中的規律

數字中的規律

圖形中的規律

02知識速記

知識點1：代數式

1.定義：用運算符號（加、減、乘、除、乘方、開方等）把數或表示數的字母連接而成的式子叫做

代數式。單獨的一個數或一個字母也是代數式。

注意：

①代數式中除了含有數、字母和運算符號外，還可以有括號；

②代數式中不含有“=、＞、＜、等符號。等式和不等式都不是代數式，但等號和不等號兩邊的式子

一般都是代數式；

③代數式中的字母所表示的數必須要使這個代數式有意義，是實際問題的要符合實際問題的意義。

2.代數式的書寫格式：

①代數式中出現乘號，通常省略不寫，如vt；

②數字與字母相乘時，數字應寫在字母前面，如4a；

③帶分數與字母相乘時，應先把帶分數化成假分數，如2-xa應寫作,a；

33

④數字與數字相乘，一般仍用“X”號，即“義”號不省略；

4

⑤在代數式中出現除法運算時，一般寫成分數的形式，如4+(a-4)應寫作——；注意：分數線具有

a-4

“+”號和括號的雙重作用。

⑥在表示和(或)差的代數式后有單位名稱的，則必須把代數式括起來，再將單位名稱寫在式子的后面,

如(“2—Z/)平方米。

知識點2：單項式

1.單項式定義

(1)定義：由數或字母的積組成的式子叫做單項式。

說明：單獨的一個數或者單獨的一個字母也是單項式.

2.單項式的系數：

單項式中的數字因數叫這個單項式的系數.

說明：(1)單項式的系數可以是整數，也可能是分數或小數。如3/的系數是3；空的系數是工；4.8。

33

的系數是4.8；

(2)單項式的系數有正有負，確定一個單項式的系數，要注意包含在它前面的符號

如—4町2的系數是一4；—(2/y)的系數是—2；

(3)對于只含有字母因數的單項式，其系數是1或一1,不能認為是0,如的系數是一1；的系

數是1；

(4)表示圓周率的五，在數學中是一個固定的常數，當它出現在單項式中時，應將其作為系數的一部

分，而不能當成字母。如2mxy的系數就是2.

3.單項式的次數：

一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數.

說明：

(1)計算單項式的次數時，應注意是所有字母的指數和，不要漏掉字母指數是1的情況。如單項式2/j;2z

的次數是字母z,y,x的指數和，即4+3+1=8,而不是7次，應注意字母z的指數是1而不是0；

(2)單項式的指數只和字母的指數有關，與系數的指數無關。如單項式-a4％?;??’的次數是2+3+4=9

而不是13次；

(3)單項式是一個單獨字母時，它的指數是1,如單項式m的指數是1,單項式是單獨的一個常數時，一

般不討論它的次數；

4、在含有字母的式子中如果出現乘號，通常將乘號寫作“*”或者省略不寫。

例如：100x/可以寫成100?/或100/

5、在書寫單項式時，數字因數寫在字母因數的前面，數字因數是帶分數時轉化成假分數.

知識點3：多項式

1、定義：幾個單項式的和叫多項式.

2、多項式的項：多項式中的每個單項式叫做多項式的項.

3、多項式的次數多項式里，次數最高項的次數叫多項式的次數.

4、多項式的項數：多項式中所含單項式的個數就是多項式的項數.

5、常數項：多項式里，不含字母的項叫做常數項.

知識點4：整式

(1)單項式和多項式統稱為整式。

(2)單項式或多項式都是整式。

(3)整式不一定是單項式。

(4)整式不一定是多項式。

(5)分母中含有字母的代數式不是整式；而是今后將要學習的分式。

知識點5：同類項

1.定義：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項。

2.合并同類項：

(1)合并同類項的概念：把多項式中的同類項合并成一項叫做合并同類項。

(2)合并同類項的法則：

同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字母的指數不變。

(3)合并同類項步驟：

a.準確的找出同類項。

b.逆用分配律，把同類項的系數加在一起(用小括號)，字母和字母的指數不變。

c.寫出合并后的結果。

(4)在掌握合并同類項時注意：

a.如果兩個同類項的系數互為相反數，合并同類項后，結果為0.

b.不要漏掉不能合并的項。

c.只要不再有同類項，就是結果(可能是單項式，也可能是多項式)。

說明：合并同類項的關鍵是正確判斷同類項。

03題型歸納

題型一用代數式表示式

例題1.如圖，陰影部分面積的表達式為()

111

A.ab+-7ra2B.ab—^rta2C.ab—na2D.ab—^ira2

鞏固訓練

1.用代數式表示乂的3倍與y的平方的差為()

A.3x-y2B.3x-yC.(3x-y)2D.3(x-y)2

2.一個矩形的周長為30,若矩形的一邊長用字母x表示，則此矩形的面積為()

A.x(15—x)B.x(30—x)C.x(30—2x)D.x(15+x)

3.甲數是a,比乙數的3倍少b,表示乙數的式子是（）

A.3a-bB.a+3—bC.(a+b)+3D.(a—b)+3

題型二用代數式的概念及意義

例題2.下列代數式符合通常書寫規范的是（).

A.ax4B.l|aC.s+tD.(a+1)兀

鞏固訓練

1.下列各式中，書寫正確的是（）

A.x2y|B.l|mnC.x+yD.；(a+b)

2.代數式5（y-5）的正確含義是（）

A.5乘p減5B.y的5倍減去5

C.y與5的差的5倍D.5與y的積減去5

3.一種商品每件成本a元，原來按成本增加22%定出價格,現在由于庫存積壓減價，按原價的85%出售,

現售價是元.

題型三求代數式的值

例題3.若/+3%的值為12,則3/+9%-2的值為（）

A.0B.24C.34D.44

鞏固訓練

1.已知|m|=5,\n\=4,且nm>0,則m+九的值是()

A.-9B.-1C.9D.9或一9

2.若代數式x+2y的值是3,則代數式2x+4y-2023的值是.

3.若a2-3a+2=5,貝13a2-9a+2022的值是.

題型四單項式的判斷

例題4.有下列代數式：犯課《12,久-2,8爐,一，其中單項式的個數為（）.

A.2個B.3個C.4個D.5個

鞏固訓練

1.系數是的單項式是（）

A.一2B.C,-5mD,—"1

2.下列代數式中，是單項式的是（）

,X3cm+n

A.2B.-xy+yC.-D.

3.代數式5》+y,02b,娶，?，os其中單項式的個數是（）

A.3B.4C.5D.6

題型五單項式的項和次數

例題5.單項式-孥的系數和次數分別是（）

A.系數是-5,次數是3B.系數是-|,次數是4

C.系數是-1,次數是3D.系數是5,次數是5

鞏固訓練

1.單項式-等的系數是,次數是.

2.單項式-*3'2的次數是,系數是.

題型六多項式的判斷

例題6.下列式子初，竽,^+1，K2+X—3中，多項式有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

鞏固訓練

1.下列式子：2a2b,3xy-2y2,號,4,-機，修，其中是多項式的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

2.代數式2a+b,q，-7,-^a2bc,竽中，多項式的個數是（）

r4z

A.2B.3C.4D.5

3.下列式子：@a2b+ab—b2；②0；③—普；④—%+];⑤3⑥多項式的個數是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

題型七多項式的項、項數或次數

例題7.對于多項式7——3x-5,下列說法錯誤的是()

A.它是二次三項式B.各項分別是7/,3%,5

C.最高次項的系數是7D.常數項是-5

鞏固訓練

1.多項式4a3b3一8必+7a2b-15的二次項系數是,三次項系數是,常數項是

次數最高項的系數是.

2.多項式2a3b2-3a2b+a-4的次數和項數分別為.

3.多項式a4—2a26+/的次數是,項數是.

題型八多項式系數、指數中字母求值

例題8.如果多項式5%a—(b-3)x+6是關于X的二次二項式，那么a,6的值可能是()

A.a=l,b=3B.a=1力=4C.a=2,b=3D.a=2,b=4

鞏固訓練

7n

1.多項式第2ylI+(7n++2是關于X,＞的三次二項式，則加的值是()

A.±1B.-1C.1D.±3

2.多項式。加一(血—4)%+7是關于x的四次三項式，則機的值是()

A.—2B.4C.-4D.4或-4

題型九去括號和添括號

例題9.先去括號，再合并同類項：

(l)(2m—3)+m—(3m—2)；

(2)4%—2(—5%+3x—6).

鞏固訓練

1.將下列各式去括號，并合并同類項.

(l)(7y—2%)—(7x—4y)(2)(—/?+3a)~(a—h)

(3)(2x-5y)—(3x—5y+1)(4)2(2-7X)-3(6X+5)

2

(5)(—8/+6%)—5^x—+1(6)(3/+2a—1)—2(。2_3a_5)

題型十同類項和合并同類項

例題10.已知單項式4%2yM與單項式_3%勺6是同類項，則m一九的值為()

A.-4B.8C.4D.-8

鞏固訓練

1.下列各題中的兩個項，不屬于同類項的是()

1221

A.2%2y與一//B.1與-3?C.a2b與5x10/7aD.赳i?幾與7127n

2.若5a2為一43與一2防3、+1是同類項，則代數式2%+3y的值()

A.4B.3C.2D.1

3.若單項式2%加一、2與單項式$2y九+1是同類項，則rnzi的值為()

A.2B.-2C.3D.-3

題型十一整式的加減運算

例題11.化簡：

(1)3(2%—7y)-(4x—10y);(2)3a2—(3h+4a2)—4(/j—7a2-76).

鞏固訓練

1.化簡：

(l)x—(2x-y)+(3x—2y);

(2)2(a2Z)+3a/?)—(2a/?—a2/7-1).

2.已知A=4q2+2a—1,B——2a2+6a—1.求:

(1)2/-8；

(2)—371—2B.

3.化簡

(1)—%y2+3y2%+x2；

(2)3(—ah+2a)—(3a—/?)+3ab.

題型十二整式的加減中的化簡求值

例題12.先化簡，再求值：

(l)2a2—[a2—2(a/>—a/?2)+2a/?]+3ab2,其中a=-3,b=2

⑵(2/—2y2)—3(孫3+久2)+3(盯3+y2),其中％=—j_,y=2

鞏固訓練

1.先化簡，再求值：4盯+（3/-2盯）一2（3久y+6），其中x=-l,y=2.

2.先化簡，再求值：—2（：a2+2a—1）+3（a+,2）,其中a=-5.

2222

3.先化簡，再求值：2(ab+ab)-2(ab-l)-ab-2,其中a=l,b=-3.

題型十三整式加減的應用

例題13.小紅臥室的窗戶上半部分是由4個扇形組成的半圓形，下半部分為4個大小一樣的長方形組成

的大長方形，小長方形的長和寬的比為3:2,已知小長方形的長為a.

（1）求這個窗戶的面積和窗戶外框的總長.

（2）小紅想給窗戶上方做裝飾物，裝飾物所占的面積為上半部分半圓面積的，求窗戶中能射進陽光的部

分的面積（窗框面積忽略不計）.

鞏固訓練

1.體育分值在中考總分中的比例逐漸加大，某校為適應新中考要求，決定采購一批某品牌足球和跳繩,

用于學生訓練，學校查閱天貓網店后發現足球每個定價129元，跳繩每條定價19元，現有/,8兩家網

店均提供包郵服務，并提出了各自的優惠方案，/網店：買一個足球送一條跳繩；3網店：足球和跳繩

都按定價的90%付款，已知學校要采購足球100個，跳繩x條(x>100).

(1)請用含x的代數式分別表示在這兩家網店購買，各需付款多少元？

(2)若產300時，通過計算說明此時在哪家網店購買較為合算？

2.如圖，長為60cm,寬為久(cm)的大長方形被分割成7小塊，除陰影4B外，其余5塊是形狀、大小完全

相同的小長方形.其較短一邊長為y(cm).

(1)從圖中可知，這5塊完全相同的小長方形中，每塊小長方形較長邊的長是cm(用含y的代數

式表示).

(2)分別計算陰影4B的周長(用含x,y的代數式表示).

(3)陰影4與陰影B的周長差會不會隨著x的變化而變化？請說明理由.

3.如圖，一塊長方形鐵皮的長為(7a+b)米，寬為(6+2a+2b)米.將這塊長方形鐵皮的四個角都剪去一

個邊長為(a+b)米的正方形，然后沿虛線折成一個無蓋的長方體盒子.

(1)求這個盒子底部的長和寬(用含a、6的式子表示，要求化簡);

(2)求這塊長方形鐵皮的周長(用含a、6的式子表示，要求化簡);

題型十四整式加減中的無關型問題

例題14.己知A=3%2+2xy+3y—l,B=3x2—3xy.

⑴計算4+2B；

(2)若力+2B的值與y的取值無關，求工的值.

鞏固訓練

2

1.已知4=2/+Xy+2y—l,B=x+xy.

(1)當x=—l,y=2時，求4—2B的值；

⑵若22-48的值與y無關，求x的值.

2.己知4=-3x-4xy+3y,B=-2.x+xy.

⑴當x+y=I，xy=—拊，求4-3B的值.

(2)若4-3B的值與x的取值無關，求y的值.

3.已知代數式4=3%2+2xy+2y,B=xy+x2-2x

(1)求4-3B；

(2)當無=-1,y=2時，求4—38的值.

(3)若力—3B的值與x的取值無關，求y的值.

題型十五日歷中的規律

例題15.如圖是某月的日歷.

123456

78910111213

14151617181920

21222324252627

282930

(1)通過計算說明，帶陰影的方框中的9個數之和與方框正中的數有什么關系？

(2)不改變方框的大小，如果將帶陰影的方框移至其他幾個位置試一試(方框內必須有數字)，上述關系

還成立嗎？如成立，請說明為什么成立(盡量用數學語言表述)

【活學活用】

小剛是個愛動腦筋的同學，在發現教程中的用方框在日歷中移動的規律后，突發奇想，將連續的偶數2,

4,6,8,…，排成如圖形式，并用一個十字形框架框住其中的五個數，請你仔細觀察十字形框架中的

數字的規律，并回答下列問題:

246810

1214161820

2224262830

3234363840

(3)十字框中的五個數的和與中間的數16有什么關系？

(4)設中間的數為居用代數式表示十字框中的五個數的和；

（5）若將十字框上下左右移動，可框住另外的五位數，其它五位數的和能等于100嗎？如能，寫出這五位

數，如不能，說明理由.

鞏固訓練

I.在某月的日歷上用長方形圈到a,b,c,d四個數（如圖），如果d=15,那么a+b+c的值為（）

A.22B.25

2.如圖，用“十”字形框，任意套中2022年元月份日歷中的五個數，則這五個數的和不可能是（）

星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六

12

3456789

10111213141516

17181920212223

24252627282930

31

A.40B.42C.60D.45

3.下表是2002年12月份的日歷，現在用一個長方形在日歷中任意框出4個嚼j請你用一個等式表示

a、b、c、d之間的關系.

日—二三四五六

1

2345678

9101112131415

16171819202122

23242526272829

30

題型十六數字中的規律

例題16.觀察下列算式：31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187…歸納各

計算結果中個位數字的規律，可得32。25的個位數字是（

A.1B.3C.9D.7

鞏固訓練

1.中國古代用算籌來進行記數，算籌的擺放形式有縱、橫兩種形式（如圖所示），表示一個多位數時，把

各個數位的數碼由高位到低位從左到右排列，但各位數碼的籌式需要縱橫相間，其中個位、百位、萬

位……用縱式表示，十位、千位、十萬位……用橫式表示，則56846可用算籌表示為（）

I23456789

IIIIIIIIIIIIIIITKWW縱式

—====-L^==橫式

中國古代的算籌數碼

A.IIIIIX￥=TB.IIIII±WIIIIT

c.HINTi|lll±D.Illll±￥llll±

2.等邊△ABC在數軸上的位置如圖所示，點4C對應的數分別為0和-1,若△ABC繞頂點沿順時針方向

在數軸上連續翻轉，翻轉1次后，點B所對應的數為1,則連續翻轉若干次后，數2024對應的點為

A.點2B.點BC.點CD.不確定

3.請觀察下列算式，找出規律并填空

工=1,WLW工工