Page26四川省遂寧市2024屆高三數學其次次診斷性考試（文）試題一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則=（）A. B.C. D.【1題答案】【答案】B【解析】【分析】依據一元一次不等式的解法求出集合A，結合交集的概念和運算即可得出結果.【詳解】由，解得，即，因為，所以.故選：B2.已知復數，則（）A. B. C. D.【2題答案】【答案】D【解析】【分析】依據復數模的計算公式和共軛復數的概念，得到，即可求解.【詳解】由復數，可得，所以.故選：D.3.“，”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【3題答案】【答案】A【解析】【分析】利用不等式的基本性質、特別值法結合充分條件、必要條件的定義推斷可得出結論.【詳解】充分性：當，時，由不等式的性質可得，充分性成立；必要性：取，，則成立，但“，”不成立，即必要性不成立.因此，“，”是“”的充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題考查充分不必要條件的推斷，同時也考查了不等式基本性質的應用，考查推理實力，屬于基礎題.4.已知，則（）A. B.C. D.【4題答案】【答案】C【解析】【分析】利用協助角公式和誘導公式干脆求解即可.【詳解】，，.故選：C.5.如圖，長方體中，點E，F分別是棱，上的動點（異于所在棱的端點）.給出以下結論：①在F運動的過程中，直線能與AE平行；②直線與EF必定異面；③設直線AE，AF分別與平面相交于點P，Q，則點可能在直線PQ上.其中全部正確結論的序號是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【5題答案】【答案】B【解析】【分析】當點E，F分別是棱，中點時，可證明四邊形是平行四邊形，故可推斷①②；建立空間直角坐標系，當點E，F分別是棱，中點，且長方體為正方體時，利用空間向量證明三點共線【詳解】長方體中，，連接，，當點E，F分別是棱，中點時，由勾股定理得：，故，同理可得：，故四邊形是平行四邊形，所以在F運動的過程中，直線能與AE平行，與EF相交，①正確，②錯誤；以為坐標原點，，，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則當點E，F分別是棱，中點且長方體為正方體時，設棱長為2，則，，，則，，則，又兩向量有公共點，所以三點共線，故則點可能在直線PQ上，③正確.故選：B6.《算法統宗》是由明代數學家程大位所著的一部應用數學著作，其完善了珠算口訣，確立了算盤用法，并完成了由籌算到珠算的徹底轉變，該書清初又傳入朝鮮、東南亞和歐洲，成為東方古代數學的名著.書中卷八有這樣一個問題：“今有物靠壁，一面尖堆，底腳闊一十八個，問共若干？”如圖所示的程序框圖給出了解決該題的一個算法，執行該程序框圖，輸出的S即為該物的總數S，則總數S=（）A.136 B.153 C.171 D.190【6題答案】【答案】C【解析】【分析】執行程序框圖，計算S【詳解】由圖可知，輸出故選：C7.已知直線過點，與圓相交于B，C使得，則滿意條件的直線的條數為（）A.0 B.1 C.2 D.3【7題答案】【答案】B【解析】【分析】由圓的方程確定圓心、半徑，再推斷與圓的位置關系，進而求直線與圓相交的最短弦長，依據直徑、最短弦長及的大小關系，推斷直線的條數.【詳解】由題設，，故圓心，半徑，則，又，故在圓內部，且，所以過的直線與圓相交的最短弦長為，此時，直線，則直線有且僅有一條.故選：B8.函數的圖象大致為（）A. B.C. D.【8題答案】【答案】B【解析】【分析】通過奇偶性可解除A，通過可解除D，通過上的單調性可解除C，進而可得結果.【詳解】因為函數的定義域為，，即函數為偶函數，其圖象關于軸對稱，故解除A；由于冪函數增長速度最快，所以時，，故解除D；由于，當時，明顯，即在單調遞增，故解除C；故選：B.9.設的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則A=（）A. B. C. D.【9題答案】【答案】D【解析】【分析】依據同角三角函數的關系、兩角和的正弦公式、誘導公式和正弦定理化簡計算可得，進而即可求出A.【詳解】由題意知，，，，，由正弦定理，得，又，所以，即，由，得.故選：D10.2024年第24屆冬季奧林匹克運動會（即2024年北京冬季奧運會）的勝利舉辦，呈現了中國作為一個大國的實力和擔當，“一起向將來”更體現了中國推動構建人類命運共同體的價值追求.在北京冬季奧運會的某個競賽日，某人欲在冰壺（●）、冰球（●）、花樣滑冰（）、跳臺滑雪（）、自由式滑雪（）這5個項目隨機選擇2個競賽項目現場觀賽（注：競賽項目后括號內為“●”表示當天不決出獎牌的競賽，“”表示當天會決出獎牌的競賽），則所選擇的2個觀賽項目中最多只有1項當天會決出獎牌的概率為（）A. B. C. D.【10題答案】【答案】D【解析】【分析】利用列舉法求解，先列出這5個項目隨機選擇2個競賽項目的全部狀況，再找出所選擇的2個觀賽項目中最多只有1項當天會決出獎牌的狀況，然后依據古典型的概率公式求解即可【詳解】分別為表示冰壺（●）、冰球（●）、花樣滑冰（）、跳臺滑雪（）、自由式滑雪（）這5個項目，則這5個項目隨機選擇2個競賽項目的全部狀況有：，共10種，其中所選擇的2個觀賽項目中最多只有1項當天會決出獎牌的有：，共7種，所以所選擇的2個觀賽項目中最多只有1項當天會決出獎牌的概率為，故選：D11.已知雙曲線C的一條漸近線為直線，C的右頂點坐標為，右焦點為F.若點M是雙曲線C右支上的動點，點A的坐標為，則的最小值為（）A. B. C. D.【11題答案】【答案】B【解析】【分析】依據雙曲線漸近線和頂點的定義求出雙曲線的標準方程，進而求出右焦點坐標，再確定點A在雙曲線的外部，結合三角形三邊之間的關系可知當三點共線時取得最小值，利用兩點坐標求距離公式計算即可.【詳解】設雙曲線方程為，則，所以，雙曲線方程為，由，得，，因此在雙曲線外部（不含焦點的部分），又，所以，在中，由三邊之間的關系可知當是線段與雙曲線的交點，即三點共線時，取得最小值，且最小值為，故選：B.12.設，，，則a，b，c的大小關系正確的是（）A. B. C. D.【12題答案】【答案】D【解析】【分析】分別構造函數，，，利用其單調性推斷.【詳解】解：設，則，所以在上遞減，所以，即，設，則，遞增，則，即，所以，令，則，，當時，，則遞減，又，所以當時，，遞減，則，即，因為，則，所以，即，故，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，若，則實數t值為_______________.【13題答案】【答案】1【解析】【分析】由向量垂直的坐標表示列方程，解出的值【詳解】，又，故即，解得故答案為：114.函數（）的圖象向右平移后所得函數圖象關于軸對稱，則______．【14題答案】【答案】【解析】【分析】依據函數的平移變換及函數的奇偶性即可求解.【詳解】由的圖象向右平移后，可得的圖象，因為的圖象關于軸對稱，所以,解得因為，解得，當時，.故答案為：.15.已知拋物線C以坐標原點O為頂點，以為焦點，直線與拋物線C交于兩點A，B，直線上的點滿意，則拋物線C的方程為______________.【15題答案】【答案】【解析】【分析】由題意可知，直線恒過定點，寫出和，因為，所以，解出的值，進而得出拋物線的方程.【詳解】由題意可知，當時，，即直線恒過定點，所以，且，因為，所以，即，解得，所以拋物線C的方程為：，故答案為：.16.已知，，，，都在同一個球面上，平面平面，是邊長為2的正方形，，當四棱錐的體積最大時，該球的半徑為______．【16題答案】【答案】【解析】【分析】先求出四棱錐體積最大時，為等邊三角形，再找出外接球的球心，通過勾股定理即可求得半徑.【詳解】如圖，過點作于，平面平面，平面平面，平面，，故四棱錐的體積最大，即最大，，最大，即面積最大，由,，得，，得，當且僅當時取等號，此時面積最大，為等邊三角形.取的外心為，正方形的外心為，過分別作所在平面的垂線，交點為，即為四棱錐外接球的球心，四邊形為矩形，，，設外接球半徑為，則.故答案為：.三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據要求作答．（一）必考題：共60分．17.某縣為了解鄉村經濟發展狀況，對全縣鄉村經濟發展狀況進行調研，現對2012年以來的鄉村經濟收入（單位：億元）進行了統計分析，制成如圖所示的散點圖，其中年份代碼的值1—10分別對應2012年至2024年．（1）若用模型①，②擬合與的關系，其相關系數分別為，，試推斷哪個模型的擬合效果更好？（2）依據（1）中擬合效果更好的模型，求關于的回來方程（系數精確到0.01），并估計該縣2025年的鄉村經濟收入（精確到0.01）．參考數據：，，，，72.652.25126.254.52235.4849.16參考公式：對于一組數據，，…，，回來方程中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．【17題答案】【答案】（1）的擬合效果更好（2），億元【解析】【分析】（1）依據相關系數即可得出答案；（2）依據最小二乘法結合題中數據求出，即可求出回來方程，再依據回來方程即可求出該縣2025年的鄉村經濟收入的估計值.【小問1詳解】解：因為更接近1，所以的擬合效果更好.【小問2詳解】解：依據題中所給數據得，則，所以回來方程為，2025年的年份代碼為14，當時，，所以估計該縣2025年的鄉村經濟收入為億元.18.已知數列中，，，設.（1）求，，；（2）推斷數列是不是等比數列，并說明理由；（3）求數列的前n項和.【19題答案】【答案】（1），，；（2）是等比數列，理由見解析；（3）.【解析】【分析】（1）依據遞推關系寫出、，進而可得，，（2）由題設可得，結合題設等量關系即可推斷是否為等比數列.（3）應用分組求和及等比數列前n項和公式求.【小問1詳解】由題設，，，所以，，.【小問2詳解】由題設，，而，所以是首項為，公比為的等比數列，又，所以是首項為，公比為的等比數列.小問3詳解】由（2）知：，則.19.如圖所示，已知是邊長為6的等邊三角形，點M、N分別在，上，，O是線段的中點，將沿直線進行翻折，A翻折到點P，使得平面平面，如圖所示.（1）求證：；（2）若，求點M到平面的距離.【21題答案】【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）由，證得，利用面面垂直的性質，證得平面，進而證得；（2）設點到平面的距離為，結合，求得的值，結合平面，利用點到平面的距離與點到平面的距離相等，即可求解.【小問1詳解】證明：因為是邊長為6的等邊三角形，且，在中，可得，又因為點是線段的中點，所以，因為平面平面，且平面，平面平面，所以平面，又因為平面，所以.【小問2詳解】解：由是邊長為6的等邊三角形，可得的高為，因為,，可得，,則的面積為，又由平面，且，所以三棱錐的體積為，在直角中，，可得，所以的面積為，設點到平面的距離為，因，可得，解得，又由，且平面，平面，所以平面，則點到平面的距離與點到平面的距離相等，所以點到平面的距離為.20.已知橢圓C：的離心率為，點在橢圓C上.（1）求橢圓C的方程；（2）設是橢圓C上第一象限的點，直線過P且與橢圓C有且僅有一個公共點.①求直線的方程（用，表示）；②設O為坐標原點，直線分別與x軸，y軸相交于點M，N，求面積的最小值.【23題答案】【答案】（1）；（2）；.【解析】【分析】(1)依據橢圓離心率的概念和點在橢圓上列出關于a、b、c的方程組，結合解方程組即可；(2)依據題意可得，設直線l方程，聯立橢圓方程，利用根的判別式等于0得出關于k的一元二次方程，依據公式法解出k，代入直線l方程即可；求出點M、N的坐標，依據和基本不等式可得，結合三角形面積公式化簡計算即可.【小問1詳解】由題意知，橢圓的離心率為，且過點，則，解得，所以橢圓的標準方程為；【小問2詳解】①因為是橢圓在第一象限的點，所以，即()，設直線l方程為，則，消去y，整理得，則，整理，得，即，則，解得，所以直線l方程為，即；②令，得，令，得，即，由()，得，當且僅當即時等號成立，所以，得，所以，此時，故當點P的坐標為，的面積最小，最小值為.21.已知函數．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若a為整數，當時，，求a的最小值．【25題答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據導數的幾何意義求出切線的斜率及切點即可求解答案；（2）依據導函數分子部分的最小值與零比較分類探討，分別分、、探討即可.【小問1詳解】當時，，所以，又因為，其中，則在點處的切線斜率，所以切線方程為【小問2詳解】由題知，其中，設，則，可知為上的增函數，則，所以為上的增函數，則.①當，即時，，即，所以為上的增函數，則，由于為整數，可知時，恒成立，符合題意.②當時，，，則的最小值為，又，由于為上的增函數，則存在使得（即），當時，，即，為減函數；當時，，即，為增函數，則，其中，令，則，當時，，在上單調遞減，則，即.所以也符合題意.③當時，，由于為上增函數，則存在實數，且，使得，即，故為上的減函數，則當時，，故不符合題意，舍去.綜上所述，的最小值為.【關鍵點點睛】求切線的關鍵是求斜率與切點坐標，解決導數中的恒成立問題，一